章节题目
第八节 多元函数的极值及其求法
内容提要
多元函数极值的概念、必要条件及充分条件多元函数的最值条件极值的求法
重点分析
极值的必要条件及充分条件极值与最值的求法
难点分析
用拉格朗日乘数法求解条件极值拉格朗日乘数法所得方程组的求法
习题布置
2、6、8、10
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖y 元，则每天可卖出70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
每天的收益为
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义：设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
例1、函数Z=3x2+4y2在（0，0）处有极小值例2、函数Z=-在（0，0）处有极大值例3、函数Z=xy在（0，0）处无极值
2、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,,.
证 不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意
都有,
故当，时，有,
说明一元函数在处有极大值,
必有 ;
类似地可证 .
推广 如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为
，，.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点极值点例如,点是函数的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 ,，令 ,，，
则在点处是否取得极值的条件如下：
（1）时具有极值,当时有极大值,当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．
例4求由方程确定的函数的极值解 将方程两边分别对求偏导
由函数取极值的必要条件知,驻点为,
将上方程组再分别对求偏导数,
故 ,函数在有极值.
将代入原方程,有,
当时，,
所以为极小值；
当时，,
所以为极大值.
求函数极值的一般步骤：
第一步 解方程组 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出的符号，再判定是否是极值.
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例5 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在内的驻点，
解方程组
得区域内唯一驻点,且,
再求在边界上的最值在边界和上,
在边界上，即
于是,
由 ,
得
比较后可知为最大值,
为最小值.
例6 求的最大值和最小值.
解 由
得驻点和,
因为即边界上的值为零.
所以最大值为，最小值为.
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
三、条件极值拉格朗日乘数法实例,小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x,y)=lnx+lny,设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．
问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny 在条件8x+10y=200下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法：要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由
解出，其中就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找在条件
，下的极值，
先构造函数
其中均为常数，可由 偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.
例7 将正数12分成三个正数之和 使得为最大.
解 令 ,
则 解得唯一驻点，
故最大值为
例8 在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
解 设为椭球面上一点,
令,
则,,
过的切平面方程为
,
化简为 ,
该切平面在三个轴上的截距各为，，,
所围四面体的体积 ,在条件下求V的最小值,令
,
由
即
可得，，
当切点坐标为(，，)时,四面体的体积最小.
四、小结多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值拉格朗日乘数法
思考题若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？
思考题解答不是,例如 ,
当时，在取极大值;
当时，在取极小值;
但在不取极值.
第八节 多元函数的极值及其求法
内容提要
多元函数极值的概念、必要条件及充分条件多元函数的最值条件极值的求法
重点分析
极值的必要条件及充分条件极值与最值的求法
难点分析
用拉格朗日乘数法求解条件极值拉格朗日乘数法所得方程组的求法
习题布置
2、6、8、10
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖y 元，则每天可卖出70-5x+4y 瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
每天的收益为
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义：设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
例1、函数Z=3x2+4y2在（0，0）处有极小值例2、函数Z=-在（0，0）处有极大值例3、函数Z=xy在（0，0）处无极值
2、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零,,.
证 不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意
都有,
故当，时，有,
说明一元函数在处有极大值,
必有 ;
类似地可证 .
推广 如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为
，，.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点极值点例如,点是函数的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理2（充分条件） 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又 ,，令 ,，，
则在点处是否取得极值的条件如下：
（1）时具有极值,当时有极大值,当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．
例4求由方程确定的函数的极值解 将方程两边分别对求偏导
由函数取极值的必要条件知,驻点为,
将上方程组再分别对求偏导数,
故 ,函数在有极值.
将代入原方程,有,
当时，,
所以为极小值；
当时，,
所以为极大值.
求函数极值的一般步骤：
第一步 解方程组 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出的符号，再判定是否是极值.
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
例5 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在内的驻点，
解方程组
得区域内唯一驻点,且,
再求在边界上的最值在边界和上,
在边界上，即
于是,
由 ,
得
比较后可知为最大值,
为最小值.
例6 求的最大值和最小值.
解 由
得驻点和,
因为即边界上的值为零.
所以最大值为，最小值为.
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.
三、条件极值拉格朗日乘数法实例,小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 U(x,y)=lnx+lny,设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．
问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny 在条件8x+10y=200下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法：要找函数在条件下的可能极值点，先构造函数，其中为某一常数，可由
解出，其中就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找在条件
，下的极值，
先构造函数
其中均为常数，可由 偏导数为零及条件解出，即得极值点的坐标.
例7 将正数12分成三个正数之和 使得为最大.
解 令 ,
则 解得唯一驻点，
故最大值为
例8 在第一卦限内作椭球面 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
解 设为椭球面上一点,
令,
则,,
过的切平面方程为
,
化简为 ,
该切平面在三个轴上的截距各为，，,
所围四面体的体积 ,在条件下求V的最小值,令
,
由
即
可得，，
当切点坐标为(，，)时,四面体的体积最小.
四、小结多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
多元函数的最值拉格朗日乘数法
思考题若及在点均取得极值，则在点是否也取得极值？
思考题解答不是,例如 ,
当时，在取极大值;
当时，在取极小值;
但在不取极值.
