章节题目
第二节 偏导数
内容提要
偏导数的定义、计算、几何意义高阶偏导数
重点分析
偏导数的计算
难点分析
多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别
习题布置
 1（单）、4、5、6（单）、8、9（2）
备注
教 学 内 容
一、偏导数的定义及其计算法定义 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量
，
如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为
，，或.
同理可定义函数在点处对的偏导数,为

记为，，或.
如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，
记作，，或.
同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在 处



例1 求 在点处的偏导数．
解    
 
 
例2 设，求证 .
证    
 
 原结论成立．
例3 设，求，.
解  
 

 
  不存在．
例4 已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.
证  
   
     
有关偏导数的几点说明：
１、偏导数是一个整体记号，不能拆分;
２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

解   
３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续,
例如,函数,依定义知在处，.但函数在该点处并不连续,偏导数存在不能得到连续,
4、偏导数的几何意义

如图

几何意义:
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
二、高阶偏导数函数的二阶偏导数为
 纯偏导
 混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5　设，求、、、及.
解：   
     
   
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：

例6 设，求二阶偏导数.
解  
 
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域 D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例7 验证函数满足拉普拉斯方程解  
 
 
三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）
偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数：纯偏导、混合偏导（相等的条件）
思考题若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？
思考题解答不能.例如,在处连续,但 不存在.