章节题目
第三节 全微分及其应用
内容提要
全微分的概念、计算、充要条件及应用
重点分析
全微分的概念及充要条件函数可微、偏导数存在、偏导数连续、连续之间的关系
难点分析
函数可微的判定
习题布置
 1（单）、4
备注
教 学 内 容
一、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得


全增量的概念：如果函数在点的某邻域内有定义，并设为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量的全增量，记为，即 =
全微分的定义：如果函数在点的全增量可以表示为，其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即 =.
函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.
如果函数在点可微分,则函数在该点连续.
事实上  
  
故函数在点处连续.
二、可微的条件定理1（必要条件）　如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必存在，且函数在点的全微分为
．
证 如果函数在点可微分,的某个邻域总成立,当时，上式仍成立，此时,   
同理可得 
一元函数在某点的导数存在,微分存在．微分存在,一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在,不能保证全微分存在．
例如,
在点处有 
 
如果考虑点沿着直线趋近于，
则   
说明它不能随着而趋于0,当时，

函数在点处不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，
定理２（充分条件）　如果函数的偏导数、在点连续，则该函数在点可微分．
证 
 
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理

 
（依偏导数的连续性）
其中为的函数,
且当时，.
同理  当时，,
  
 
故函数在点处可微,
习惯上，记全微分为 
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例1 计算函数在点处的全微分.
解  
 
所求全微分 
例2 求函数，当，，，时的全微分.
解 

 
例3 计算函数的全微分.
解   
所求全微分 
例4 试证函数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点不连续，而在点可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分，讨论.
证 令 
则    
故函数在点连续,
  
同理 
当时，
 
当点沿直线趋于时,
 不存在.
所以在不连续.
同理可证在不连续.
 

故在点可微 

多元函数连续、可导、可微的关系

全微分在近似计算中的应用


也可写成 
例5 计算的近似值.
解 


 
 
由公式得  
三、小结
１、多元函数全微分的概念；
２、多元函数全微分的求法；
３、多元函数连续、可导、可微的关系
（注意：与一元函数有很大区别）
思考题函数在点处可微的充分条件是:
（1）在点处连续；
（2）、在点的
某邻域存在；
（3），
当时是无穷小量；
（4）,
当时是无穷小量,