章节题目
第七节 方向导数与梯度
内容提要
方向导数的概念及计算梯度的概念与几何意义
重点分析
方向导数的计算梯度概念的理解
难点分析
梯度概念的理解梯度的几何意义
习题布置
2、4、7、10
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．
设函数Z=f (x,y)在点P (x,y)的某一领域U (P)内有定义,自点P引射线L,
设x轴正向到L射线的转角为,并设 (x+)为L上的另一点且
当沿着趋于时,是否存在？
记为
依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为；
定理 如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有 ，其中为轴到方向L的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以得到
设为cos,为sin
故有方向导数
例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.
解 这里方向即为,故轴到方向的转角.
所求方向导数
例2 求函数在点（1，1）沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导 数有
（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
故（1）当时，方向导数达到最大值;
（2）当时，方向导数达到最小值;
（3）当和时，方向导数等于0.
推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数，它在空间一点沿着方向L的方向导数,可定义为
（ 其中）
设方向L的方向角为
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有
例3 设是曲面 在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.
解 令
故
方向余弦为
故
三、梯度的概念
定义 设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为.
设是方向 上的单位向量，
由方向导数公式知
其中
当时，有最大值.
结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为
.
当不为零时，轴到梯度的转角的正切为 ．
在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得
所得曲线在xoy面上投影如图
等高线的画法
例如,
梯度与等高线的关系：
函数Z=f (x,y)在点p(x,y)的梯度的方向与点p的等高线f (x,y)=c在这点法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于等于函数在这个法线方向上的方向导数。
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
类似地,设曲面为函数的等量面，此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.
例4 求函数 在点 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
故
在处梯度为0.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
思考题讨论函数在点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思考题解答
同理：故两个偏导数均不存在.
沿任意方向的方向导数,
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
第七节 方向导数与梯度
内容提要
方向导数的概念及计算梯度的概念与几何意义
重点分析
方向导数的计算梯度概念的理解
难点分析
梯度概念的理解梯度的几何意义
习题布置
2、4、7、10
备注
教 学 内 容
一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．
设函数Z=f (x,y)在点P (x,y)的某一领域U (P)内有定义,自点P引射线L,
设x轴正向到L射线的转角为,并设 (x+)为L上的另一点且
当沿着趋于时,是否存在？
记为
依定义，函数在点沿着轴正向、轴正向的方向导数分别为；
定理 如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有 ，其中为轴到方向L的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以得到
设为cos,为sin
故有方向导数
例1求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.
解 这里方向即为,故轴到方向的转角.
所求方向导数
例2 求函数在点（1，1）沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导 数有
（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
故（1）当时，方向导数达到最大值;
（2）当时，方向导数达到最小值;
（3）当和时，方向导数等于0.
推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数，它在空间一点沿着方向L的方向导数,可定义为
（ 其中）
设方向L的方向角为
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有
例3 设是曲面 在点处的指向外侧的法向量，求函数在此处沿方向的方向导数.
解 令
故
方向余弦为
故
三、梯度的概念
定义 设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为.
设是方向 上的单位向量，
由方向导数公式知
其中
当时，有最大值.
结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为
.
当不为零时，轴到梯度的转角的正切为 ．
在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得
所得曲线在xoy面上投影如图
等高线的画法
例如,
梯度与等高线的关系：
函数Z=f (x,y)在点p(x,y)的梯度的方向与点p的等高线f (x,y)=c在这点法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线，而梯度的模等于等于函数在这个法线方向上的方向导数。
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义一个向量(梯度)
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.
类似地,设曲面为函数的等量面，此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.
例4 求函数 在点 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
故
在处梯度为0.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
思考题讨论函数在点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思考题解答
同理：故两个偏导数均不存在.
沿任意方向的方向导数,
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
