章节题目
第六节 微分法在几何上的应用
内容提要
曲线的切线与方程法平面方程曲面的切平面方程与法线方程
重点分析
曲线的切线方程与曲面的切平面方程的求法
难点分析
曲线以一般方程形式给出时切线方程的求法
习题布置
 2、4、6、10
备注
教 学 内 容
一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程
(1)式中的三个函数均可导.


 
割线 的方程为

考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以

曲线在M处的切线方程

切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,

法平面：过M点且与切线垂直的平面.

例：求曲线，,在处的切线和法平面方程.
解 当时，
  
   
切线方程 
法平面方程 

特殊地：
1.空间曲线方程为  
 
法平面方程为 
2.空间曲线方程为 
切线方程为 
法平面方程为 
例2求曲线，在点处的切线及法平面方程.
解1 直接利用公式;
解2 将所给方程的两边对求导并移项，得
 
  
由此得切向量 
所求切线方程为 
法平面方程为 

二、曲面的切平面与法线设曲面方程为 
在曲面上任取一条通过点M的曲线

曲线在M处的切向量 

令 
则 由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面.
切平面方程为
通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.
法线方程为
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.
曲面在M处的法向量即

特殊地：空间曲面方程形为 
令 
曲面在M处的切平面方程为

曲面在M处的法线方程为

全微分的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为

切平面上点的竖坐标的增量

在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量.
若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为



其中  
例3 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.
解   
切平面方程为  
法线方程为 

例4 求曲面在点处的切平面及法线方程.
解 令 
 

切平面方程 

法线方程 
例5 求曲面平行于平面的各切平面方程.
解 设为曲面上的切点,
切平面方程为
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
 
因为是曲面上的切点，
满足方程
所求切点为  
切平面方程(1)


切平面方程(2)


三、小结空间曲线的切线与法平面
（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）
曲面的切平面与法线
（求法向量的方向余弦时注意符号）
思考题
如果平面与椭球面相切，求.
思考题解答设切点 
依题意知切向量为
  
切点满足曲面和平面方程