章节题目
第四节 多元复合函数的求导法则
内容提要
多元复合函数链式求导法则全微分的形式不变性
重点分析
多元复合函数求导
难点分析
多元复合函数求导
习题布置
 1、3、5、7、8（3）、11、12（双）
备注
教 学 内 容
一、链式法则定理　如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：
．
证 
 
由于函数在点有连续偏导数

当，时，，

当时,，


上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 

  

以上公式中的导数称为全导数,
上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：
如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
,.
链式法则如图示
 

 
    
    
类似地再推广，设、、都在点具有对和的偏导数，复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
,
.
 x
  
 y
特殊地其中
即 令 


把复合函数中的看作不变而对的偏导数把中的及看作不变而对的偏导数例1 设，而，，求 和,
解     
 
    
 
例2 设，而，，求全导数.
解 



例3 设，具有二阶连续偏导数，求和.
解 令 
记  
同理有   
  
  
  
  
于是    

二、全微分形式不变性
设函数具有连续偏导数，则有全微分;当、时，有.
全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.
  
 
 
例4 已知，求和.
解 



   
三、小结
1、链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题设，而，，
则，
试问与是否相同？为什么？
思考题解答不相同.
等式左端的是作为一个自变量的函数，
而等式右端最后一项是作为的三元函数，
写出来为