第二单元 点估计一、学习目标通过本课的学习，知道什么是点估计，点估计有哪两种方法，会用极大似然估计求总体参数的估计值，知道无偏估计，能比较哪个估计量更有效.
二、内容讲解利用样本的统计量来估计总体的一些未知的常数，譬如总体的数学期望、方差，这就是数理统计学中的点估计问题.
点估计的主要方法是矩估计和极大似然估计.
1.矩估计法矩法的根据是：样本的矩均是依概率收敛于总体相应的矩.
若表示容量为的样本阶原点矩，表示总体的阶原点矩，则，其中为任意小的正数.
据此，我们常用样本的矩作为总体矩的估计，这就是点估计的矩法.
当总体中有未知参数，则总体的阶矩亦出现：，于是我们就令从中解得，以此作为的估计值，这就是矩估计法.
为一阶原点矩，为二阶中心矩，至于用几个条件也要根据具体的问题来选择.
2.极大似然估计法为了说明极大似然估计法的原理，我们先观察一个问题：
袋中有黑白两色的12个球，其中一种颜色为9个，另一种颜色为3个，但不知是黑多白少，还是黑少白多，现做试验：随机摸取一个放回，再任抽取一个，结果两个都是黑球，这时你会作什么判断呢？显然会判断黑多白少.
我们从概率上来分析这个判断.
如果是黑多白少，则两次都抽到黑球的概率为
如果是白多黑少，则两次都抽到黑球的概率为，
当然“概率最大的事件最可能出现”——极大似然估计法的依据.
若总体的分布密度函数为，其中为待定的参数，因此，取得样本观测值的概率依赖于，称为似然函数，取的最大点作为未知参数的估计值.
3.估计量衡量的标准对于同一个参数用不同的方法得到不同的估计量，那么采用什么标准来评定估计量的好坏呢？
常用的标准有三：
无偏性由于估计量是样本的函数，是随机变量，即对于不同的样本观测值就得到不同的估计值，我们希望一个好的估计量，等于参数的真值，具有这种特性的估计量，称为无偏估计量.
可以证明：以作为的估计是无偏估计量.
以作为的估计亦是无偏估计量.
有效性有时一个未知参数的无偏估计量不止一个，譬如，那么如何比较它们的好坏呢？即希望它们与参数的真值偏差越小越好，因此，若就称较有效.
一致性如果参数的估计量随着样本容量的增加，任意接近真值的可能越大，且概率趋于1，具有这种性质的估计量称为一致性估计量.
问题思考：矩估计法和极大似然估计法得到的估计量会相同吗？
答案 可能相同，也可能不同.
三、例题讲解例1已知某种灯泡的寿命，但和未知，今随机抽取5只灯泡测得寿命分别为1623 1527 1287 1432 1591（小时）
求和的估计值.
解：为总体的数学期望，也即为的一阶原点矩.为的二阶中心矩.
由矩法，用样本的一阶原点矩(1623+1527+1287+1432+1591)=1492
作为的估计，
用样本的二阶中心矩
＝(16232+15272+12872+14322+15912)－14922＝14762.4
作为的估计.
例2设总体在区间上服从均匀分布，但未知，现抽取样本，测得一组观测值（1，3，0，4，－2），试用矩估计法估计.
解：已知上均匀分布的数学期望、方差分别为
，
样本的一阶原点矩（即样本均值）
样本的二阶中心矩
得到关系式，
从方程组里求出的值就是其估计值
例3设总体的密度函数为
其中参数未知而待定，抽样得样本观测值，求参数的极大似然估计.
解：似然函数
为求最大点
例4若，其中和均未知，设样本一组观测值为，用极大似然估计法估计和.
解：似然函数
＝
取对数
得到和的极大似然估计分别是、，与样本方差略有不同.
四、课堂练习练习1设正态总体中未知，已知，又设是来自正态总体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是的无偏估计？哪个是最佳无偏估计？
（1）；（2）；（3）；（4）
不含未知参数的样本函数称为统计量.
统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要依据就是这条原则.统计量是否为的无偏估计，就要看是否满足.所有无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量.
由于（1），（3），（4）中都不含有未知参数，故它们都是统计量.
练习2已知某种电子元件的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布，今随机抽取250个元件，测得寿命数据如下（单位：小时）
寿命时间（小时）
元件数（个）
0～100
39
100～200
58
200～300
47
300～400
33
400～500
25
500～600
22
600～700
11
700～800
6
800～900
7
900～1000
2
合计
250
试采用极大似然估计法估计该指数分布中的参数.
似然函数，极大似然估计法是指似然函数当参数取估计量时达到最大值，即
五、课堂作业
1．设总体服从二项分布，为正整数，，其中均为未知参数，是从中抽取的一个样本，试分别求的矩估计.
2．设是正态总体的一个样本，其中，未知，求的似然函数，并对的一个样本2.1，2.2，2.0估计.
3．设来自指数分布的样本，试分别用矩估计法和极大似然法求的估计量,
1．；
2．L()，；
3．.
二、内容讲解利用样本的统计量来估计总体的一些未知的常数，譬如总体的数学期望、方差，这就是数理统计学中的点估计问题.
点估计的主要方法是矩估计和极大似然估计.
1.矩估计法矩法的根据是：样本的矩均是依概率收敛于总体相应的矩.
若表示容量为的样本阶原点矩，表示总体的阶原点矩，则，其中为任意小的正数.
据此，我们常用样本的矩作为总体矩的估计，这就是点估计的矩法.
当总体中有未知参数，则总体的阶矩亦出现：，于是我们就令从中解得，以此作为的估计值，这就是矩估计法.
为一阶原点矩，为二阶中心矩，至于用几个条件也要根据具体的问题来选择.
2.极大似然估计法为了说明极大似然估计法的原理，我们先观察一个问题：
袋中有黑白两色的12个球，其中一种颜色为9个，另一种颜色为3个，但不知是黑多白少，还是黑少白多，现做试验：随机摸取一个放回，再任抽取一个，结果两个都是黑球，这时你会作什么判断呢？显然会判断黑多白少.
我们从概率上来分析这个判断.
如果是黑多白少，则两次都抽到黑球的概率为
如果是白多黑少，则两次都抽到黑球的概率为，
当然“概率最大的事件最可能出现”——极大似然估计法的依据.
若总体的分布密度函数为，其中为待定的参数，因此，取得样本观测值的概率依赖于，称为似然函数，取的最大点作为未知参数的估计值.
3.估计量衡量的标准对于同一个参数用不同的方法得到不同的估计量，那么采用什么标准来评定估计量的好坏呢？
常用的标准有三：
无偏性由于估计量是样本的函数，是随机变量，即对于不同的样本观测值就得到不同的估计值，我们希望一个好的估计量，等于参数的真值，具有这种特性的估计量，称为无偏估计量.
可以证明：以作为的估计是无偏估计量.
以作为的估计亦是无偏估计量.
有效性有时一个未知参数的无偏估计量不止一个，譬如，那么如何比较它们的好坏呢？即希望它们与参数的真值偏差越小越好，因此，若就称较有效.
一致性如果参数的估计量随着样本容量的增加，任意接近真值的可能越大，且概率趋于1，具有这种性质的估计量称为一致性估计量.
问题思考：矩估计法和极大似然估计法得到的估计量会相同吗？
答案 可能相同，也可能不同.
三、例题讲解例1已知某种灯泡的寿命，但和未知，今随机抽取5只灯泡测得寿命分别为1623 1527 1287 1432 1591（小时）
求和的估计值.
解：为总体的数学期望，也即为的一阶原点矩.为的二阶中心矩.
由矩法，用样本的一阶原点矩(1623+1527+1287+1432+1591)=1492
作为的估计，
用样本的二阶中心矩
＝(16232+15272+12872+14322+15912)－14922＝14762.4
作为的估计.
例2设总体在区间上服从均匀分布，但未知，现抽取样本，测得一组观测值（1，3，0，4，－2），试用矩估计法估计.
解：已知上均匀分布的数学期望、方差分别为
，
样本的一阶原点矩（即样本均值）
样本的二阶中心矩
得到关系式，
从方程组里求出的值就是其估计值
例3设总体的密度函数为
其中参数未知而待定，抽样得样本观测值，求参数的极大似然估计.
解：似然函数
为求最大点
例4若，其中和均未知，设样本一组观测值为，用极大似然估计法估计和.
解：似然函数
＝
取对数
得到和的极大似然估计分别是、，与样本方差略有不同.
四、课堂练习练习1设正态总体中未知，已知，又设是来自正态总体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是的无偏估计？哪个是最佳无偏估计？
（1）；（2）；（3）；（4）
不含未知参数的样本函数称为统计量.
统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要依据就是这条原则.统计量是否为的无偏估计，就要看是否满足.所有无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量.
由于（1），（3），（4）中都不含有未知参数，故它们都是统计量.
练习2已知某种电子元件的使用寿命（从开始使用到初次失效为止）服从指数分布，今随机抽取250个元件，测得寿命数据如下（单位：小时）
寿命时间（小时）
元件数（个）
0～100
39
100～200
58
200～300
47
300～400
33
400～500
25
500～600
22
600～700
11
700～800
6
800～900
7
900～1000
2
合计
250
试采用极大似然估计法估计该指数分布中的参数.
似然函数，极大似然估计法是指似然函数当参数取估计量时达到最大值，即
五、课堂作业
1．设总体服从二项分布，为正整数，，其中均为未知参数，是从中抽取的一个样本，试分别求的矩估计.
2．设是正态总体的一个样本，其中，未知，求的似然函数，并对的一个样本2.1，2.2，2.0估计.
3．设来自指数分布的样本，试分别用矩估计法和极大似然法求的估计量,
1．；
2．L()，；
3．.
