第11章 参数估计典型例题与综合练习一、典型例题
1.抽样分析例1已知总体，样本容量，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
根据抽样分布的定理3.2可知，若设是来自正态总体的一组样本，则样本均值
解：因为总体?，样本容量，则样本均值
故所求概率为
＝＝2（）＝2（1－0.9332）＝0.1336
由于，,故即.
由于，所以
2.点估计例1设正态总体中未知，已知，又设是来自正态总体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是的无偏估计？哪个是最佳无偏估计？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要依据就是这条原则.统计量是否为的无偏估计，就要看是否满足.所有无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量.
解：①根据统计量的概念可知，(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量.
（由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数,故他们都是统计量.）
②求无偏估计量
=
（计算统计量的期望，看是否满足.）
)===
（每次试验均取最小值）
从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计.
③求最佳无偏估计量
所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的).
（计算所有无偏估计量的方差，其中最小者即为最佳无偏估计量.）
例2设总体X的概率密度为，其中
是未知参数，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.
矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则，建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中求出参数估计量的方法.
极大似然估计法就是指似然函数
在处取得最大值,
解(1)用矩估计法求的估计量（总体的一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.）
由于总体的一阶原点矩为
样本的一阶原点矩为
令，得，从中解出
是的矩估计量.
(2)用极大似然估计法求的估计量（由于似然函数与其对数具有相同的极大值点，而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出，故常常采用对似然函数取对数的方法求极大似然估计）
似然函数=
两边取对数，得
求导数
令，得
从中解出
是的极大似然估计.
3.区间估计例1设来自正态总体～的样本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、5.2、5.1、5.0
试求(1)已知；(2)未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置信区间.
对正态总体的未知参数进行区间估计时，方差已知和未知的情况下，所选取的统计量是不同的，因此服从的分布也是不同的，从而得到的置信区间也是不同的.
解：计算得样本均值 ，
因为置信度为0.95，所以.
(1)这是已知方差，对均值的区间估计问题.
查正态分布数值表求临界值，
，=1.96
因? -＝5.0-1.96×＝4.347
＋＝2.125＋1.96×＝5.653
故所求总体均值的置信度为0.95的置信区间为[4.347，5.653].
（已知方差时，总体均值的置信度为0.95的置信区间为[-，+].）
(2)这是未知方差，对均值的区间估计问题.
查自由度为n－1＝8，的t分布表得到临界值＝2.306
计算样本标准差得 s＝0.1581.（样本标准差）
因? -＝5.0-2.306×＝4.878
＋＝5.0+2.306×＝5.122
故所求总体均值的90％的置信区间为[4.878，5.122].
（未知方差时，总体均值的置信度为0.95的置信区间为 [-，+]）
二、综合练习
1.填空题
1,对于有限总体，采取 抽样，就可以获得简单随机样本.
2, 叫做统计量.
3,对总体的未知参数进行估计，属于 问题.常用的参数估计有, 两种方法.
4,比较估计量好坏的两个重要标准是,,
5,设是来自正态总体（均未知）的样本值，则参数的置信度为的置信区间为,又参数的置信度为的置信区间为.
1,随机有放回地重复；
2．不含未知参数的样本函数；
3．参数估计，矩估计，极大似然估计；
4．无偏性，有效性；
5.（-，+）,（，）.
2.单选题
1,设是来自正态总体（均未知）的样本，则（ ）是统计量：(A)；(B) ；(C)；(D)
2.设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而是该总体的一个样本，记，则总体方差的矩估计为（ ）.
(A)；(B) ；(C) ；(D)
3,设是来自正态总体的容量为2的样本，其中为未知参数，以下关于的估计中，只有（ ）才是的无偏估计.
(A) ；(B)；(C) ；(D)
4.设是来自正态总体的样本，已知而为未知参数，记为，已知表示标准正态分布的分布函数，，，则的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.
(A)(-0.975，+0.975)；(B) (-1.96，+1.96)
(C)(-1.28，+1.28)；(D) (-0.90，+0.90)
1,A ；2．B ；3．D ；4．B,
3.计算题
1,某种零件长度（单位：cm）服从，今从中任取9个零件抽检，求：
（1）9个零件的平均长度大于11.1cm的概率；
（2）9个零件的长度的样本方差大于的概率.
2,假设随机变量服从区间[]上的均匀分布，参数未知，是来自的一个样本，求参数的矩估计.
3,设样本来自总体,求未知参数θ的极大似然估计量.
4,假设某车间生产的滚珠直径（单位：mm）服从正态分布，现从某天的产品里随机抽取5个滚珠，测得直径如下：
14.6 15.1 14.9 15.2 15.1
求置信度为0.95时滚珠平均直径的置信区间.取.
1.? 33,2,6，2.4 3,第一种 4,．
三、本章作业
1．样本来自指数分布
用矩估计法分别求θ，a的估计量.
2．设样本来自总体
求未知参数θ的极大似然估计量.若随机抽取一组样本，得样本值0.5；0.6；0.5；0.4
求θ的一个极大似然估计值.
3．假设新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生男婴，测其体重分别为（单位：g）：
3100 2520 3000 3000 3600 3320
3160 3560 2880 2600 3400 2540
试分别就下面两种情形以90％的置信度估计新生男婴的平均体重（单位：g）.
（1）；（2）未知.
1．,其中，；
2．；
3．(1)[2878.38，3235.62]；(2) [2862.42，3251.58].
1.抽样分析例1已知总体，样本容量，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
根据抽样分布的定理3.2可知，若设是来自正态总体的一组样本，则样本均值
解：因为总体?，样本容量，则样本均值
故所求概率为
＝＝2（）＝2（1－0.9332）＝0.1336
由于，,故即.
由于，所以
2.点估计例1设正态总体中未知，已知，又设是来自正态总体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是的无偏估计？哪个是最佳无偏估计？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要依据就是这条原则.统计量是否为的无偏估计，就要看是否满足.所有无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量.
解：①根据统计量的概念可知，(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量.
（由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数,故他们都是统计量.）
②求无偏估计量
=
（计算统计量的期望，看是否满足.）
)===
（每次试验均取最小值）
从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计.
③求最佳无偏估计量
所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的).
（计算所有无偏估计量的方差，其中最小者即为最佳无偏估计量.）
例2设总体X的概率密度为，其中
是未知参数，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.
矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则，建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中求出参数估计量的方法.
极大似然估计法就是指似然函数
在处取得最大值,
解(1)用矩估计法求的估计量（总体的一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方差.）
由于总体的一阶原点矩为
样本的一阶原点矩为
令，得，从中解出
是的矩估计量.
(2)用极大似然估计法求的估计量（由于似然函数与其对数具有相同的极大值点，而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出，故常常采用对似然函数取对数的方法求极大似然估计）
似然函数=
两边取对数，得
求导数
令，得
从中解出
是的极大似然估计.
3.区间估计例1设来自正态总体～的样本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、5.2、5.1、5.0
试求(1)已知；(2)未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置信区间.
对正态总体的未知参数进行区间估计时，方差已知和未知的情况下，所选取的统计量是不同的，因此服从的分布也是不同的，从而得到的置信区间也是不同的.
解：计算得样本均值 ，
因为置信度为0.95，所以.
(1)这是已知方差，对均值的区间估计问题.
查正态分布数值表求临界值，
，=1.96
因? -＝5.0-1.96×＝4.347
＋＝2.125＋1.96×＝5.653
故所求总体均值的置信度为0.95的置信区间为[4.347，5.653].
（已知方差时，总体均值的置信度为0.95的置信区间为[-，+].）
(2)这是未知方差，对均值的区间估计问题.
查自由度为n－1＝8，的t分布表得到临界值＝2.306
计算样本标准差得 s＝0.1581.（样本标准差）
因? -＝5.0-2.306×＝4.878
＋＝5.0+2.306×＝5.122
故所求总体均值的90％的置信区间为[4.878，5.122].
（未知方差时，总体均值的置信度为0.95的置信区间为 [-，+]）
二、综合练习
1.填空题
1,对于有限总体，采取 抽样，就可以获得简单随机样本.
2, 叫做统计量.
3,对总体的未知参数进行估计，属于 问题.常用的参数估计有, 两种方法.
4,比较估计量好坏的两个重要标准是,,
5,设是来自正态总体（均未知）的样本值，则参数的置信度为的置信区间为,又参数的置信度为的置信区间为.
1,随机有放回地重复；
2．不含未知参数的样本函数；
3．参数估计，矩估计，极大似然估计；
4．无偏性，有效性；
5.（-，+）,（，）.
2.单选题
1,设是来自正态总体（均未知）的样本，则（ ）是统计量：(A)；(B) ；(C)；(D)
2.设总体X的均值与方差都存在，且均为未知参数，而是该总体的一个样本，记，则总体方差的矩估计为（ ）.
(A)；(B) ；(C) ；(D)
3,设是来自正态总体的容量为2的样本，其中为未知参数，以下关于的估计中，只有（ ）才是的无偏估计.
(A) ；(B)；(C) ；(D)
4.设是来自正态总体的样本，已知而为未知参数，记为，已知表示标准正态分布的分布函数，，，则的置信水平为0.95的置信区间为（ ）.
(A)(-0.975，+0.975)；(B) (-1.96，+1.96)
(C)(-1.28，+1.28)；(D) (-0.90，+0.90)
1,A ；2．B ；3．D ；4．B,
3.计算题
1,某种零件长度（单位：cm）服从，今从中任取9个零件抽检，求：
（1）9个零件的平均长度大于11.1cm的概率；
（2）9个零件的长度的样本方差大于的概率.
2,假设随机变量服从区间[]上的均匀分布，参数未知，是来自的一个样本，求参数的矩估计.
3,设样本来自总体,求未知参数θ的极大似然估计量.
4,假设某车间生产的滚珠直径（单位：mm）服从正态分布，现从某天的产品里随机抽取5个滚珠，测得直径如下：
14.6 15.1 14.9 15.2 15.1
求置信度为0.95时滚珠平均直径的置信区间.取.
1.? 33,2,6，2.4 3,第一种 4,．
三、本章作业
1．样本来自指数分布
用矩估计法分别求θ，a的估计量.
2．设样本来自总体
求未知参数θ的极大似然估计量.若随机抽取一组样本，得样本值0.5；0.6；0.5；0.4
求θ的一个极大似然估计值.
3．假设新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名新生男婴，测其体重分别为（单位：g）：
3100 2520 3000 3000 3600 3320
3160 3560 2880 2600 3400 2540
试分别就下面两种情形以90％的置信度估计新生男婴的平均体重（单位：g）.
（1）；（2）未知.
1．,其中，；
2．；
3．(1)[2878.38，3235.62]；(2) [2862.42，3251.58].
