第七单元 方差一、学习目标通过本节课的学习，认识方差是随机变量取值的离散程度的反映．学会方差的定义及其性质，会进行方差的计算．
二、内容讲解
1.定义3.5方差如果随机变量X的概率分布为P(X＝xk)=pk
则称和数D(X)=为X的方差，记为D(X)；
若连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则D(X)=
统一为,D(X)＝E(X－E(X))2＝E(X2)－(E(X))2
以连续型随机变量为例，推导上公式．
D(X)＝
＝+
＝E(X2)－2E(X)E(X)+E2(X)
＝E(X2)－E2(X)
称为随机变量X的标准差．
2.常见分布的方差
(1)X服从二点分布
X
1
0
pk
p
1－p
D(X)＝E(X2)－E2(X)＝12×p+02×(1－p)－p2＝p(1－p)
＝pq(q＝1－p)
（2）X服从均匀分布
X～f(x)=
已知E(X)＝，D(X)=E(X2)－E2(X)
=－()2
=－()2
=
（3）X服从正态分布N（?,?2）
D(X)=E(X－E(X))2
=
= =?2
3.常见分布的期望与方差
（１）二点分布：E(X)=p，D(X)=p(1－p)
（２）均匀分布：E(X)=，D(X)=
（３）正态分布N(?,?2)：E(X)=?，D(X)=?2
（４）标准正态分布N(0,1)：E(X)=0，D(X)=1
（５）二项分布B(n,p)：E(X)=np,D(X)=np(1－p)
（６）泊松分布?(?)：E(X)=，D(X)=?
问题思考1:方差的公式写成D(X)=E[X－E(x)]2，对吗？
答案不对．式中的x是普通变量，因此E(x)＝x，它不是随机变量X的期望．所以公式D(X)=E[X－E(x)]2是错误的．
问题思考2:随机变量X的方差D(X)可以为0吗？可以为负数吗？
答案随机变量的方差可以为0．不能为负数．对于特殊的随机变量X，它只取一个值X＝c(常数)，于是E(X)=c，D(X)=[X－E(X)]2=[c－c]2=0．或解释为随机变量X取值非常集中(只取一个值)，没有偏差，所以随机变量X的方差为0．从方差的定义，它是平方数乘以非负函数(或数)积分(或求和)必定是非负数．从方差的意义解释：方差是偏差的平方，平方数必是大于或等于0的数．
三、例题讲解例1? 有10000人参加某保险公司的人寿保险，每人每年付100元的保险费．而在1年内，1个人死亡的概率是0.006．死亡时，其家属可以获赔偿费10000元．试计算 (1)保险公司赔本的概率；(2)保险公司在1年内利润不少于30万元的概率.
解：假设10000人中1年内有X个人死亡，则X～B（10 000，0.006）
E(X)＝np＝60
D(X)＝np(1－p)=59.64
(1) 所求为P（X>100）．
因为n较大，p又较小，
近似有X～N（60，59.64），于是，
P（X>100）＝1－P(X?100)
＝1－＝1－?(5.18)?0
可见，保险公司基本不会亏本．
(2)获利30万元，即公司赔偿70万元，则死亡人数达到70人，故所求为P(0<X?70)．
P(0<X?70)=P()
=P()
=?(1.30)－?(－7.769)
=0.9032
即获利30万元的概率是90.32%．
例2设随机变量X的密度函数为f(x)=，试求随机变量X的方差D(X)．
解：用方差的定义式．D(X)＝E[X－E(X)]2
E(X)＝＝+＝1
D(X)=E[X－1]2＝
=
=+＝
例3如果离散型随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
2
pk
试求随机变量X的方差D(X)．
解:用方差的计算公式．D(X)=E(X2)－(E(X))2
E(X)=
由X分布，得到Z＝X2的分布：
Z＝X2
0
1
4
pk
注意：
所以D(X)=E(X2)－[E(X)]2==
四、课堂练习练习1 假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的个数的方差．
分析：因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的方差，设终止前取得的旧球个数为随机变量X为好．这是离散型随机变量的方差问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，然后求期望值，最后计算方差．
提示：X表示在取得新球之前所取得的旧球个数,
解：设X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X＝0,1,2,3．
练习2 设连续型随机变量X的密度函数为
f(x)=
且已知E(X)=，求a与b的值，并计算随机变量X的方差D(X)．
分析：题设给出了密度函数，但是含有两个未知参数a,b，为确定这两个未知参数，就需找出两个等式．密度函数性质和已知期望值正是两个条件．密度函数一旦确定，方差就容易计算．
解：由密度函数的性质，以及随机变量X的期望E(X),得到一组联立方程
为确定两个参数，由密度函数的性质，有＝1和已知E(X)=
将所给密度函数f(x)＝a+bx2(x?(0,1)),代入以上两个等式，得到
五、课后作业
1.已知随机变量X的概率分布为：
求随机变量X的方差D(X)．
2.已知每次射击的命中率为0.6,如果进行10次射击，用X表示命中的次数，求E(X),D(X)．
3.在相同的条件下，用两种方法测量某零件的长度(单位：mm)，由大量测量结果得到分布列如下：
长度(mm)
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
p1
0.1
0.1
0.6
0.1
0.1
p2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
其中p1,p2分别表示第一，二种方法的概率，试比较哪种方法的精确度较好．
4,设随机变量X的密度为
1. 33,2. 6，2.4,3,第一种,4,．
二、内容讲解
1.定义3.5方差如果随机变量X的概率分布为P(X＝xk)=pk
则称和数D(X)=为X的方差，记为D(X)；
若连续型随机变量X的概率密度为f(x)，则D(X)=
统一为,D(X)＝E(X－E(X))2＝E(X2)－(E(X))2
以连续型随机变量为例，推导上公式．
D(X)＝
＝+
＝E(X2)－2E(X)E(X)+E2(X)
＝E(X2)－E2(X)
称为随机变量X的标准差．
2.常见分布的方差
(1)X服从二点分布
X
1
0
pk
p
1－p
D(X)＝E(X2)－E2(X)＝12×p+02×(1－p)－p2＝p(1－p)
＝pq(q＝1－p)
（2）X服从均匀分布
X～f(x)=
已知E(X)＝，D(X)=E(X2)－E2(X)
=－()2
=－()2
=
（3）X服从正态分布N（?,?2）
D(X)=E(X－E(X))2
=
= =?2
3.常见分布的期望与方差
（１）二点分布：E(X)=p，D(X)=p(1－p)
（２）均匀分布：E(X)=，D(X)=
（３）正态分布N(?,?2)：E(X)=?，D(X)=?2
（４）标准正态分布N(0,1)：E(X)=0，D(X)=1
（５）二项分布B(n,p)：E(X)=np,D(X)=np(1－p)
（６）泊松分布?(?)：E(X)=，D(X)=?
问题思考1:方差的公式写成D(X)=E[X－E(x)]2，对吗？
答案不对．式中的x是普通变量，因此E(x)＝x，它不是随机变量X的期望．所以公式D(X)=E[X－E(x)]2是错误的．
问题思考2:随机变量X的方差D(X)可以为0吗？可以为负数吗？
答案随机变量的方差可以为0．不能为负数．对于特殊的随机变量X，它只取一个值X＝c(常数)，于是E(X)=c，D(X)=[X－E(X)]2=[c－c]2=0．或解释为随机变量X取值非常集中(只取一个值)，没有偏差，所以随机变量X的方差为0．从方差的定义，它是平方数乘以非负函数(或数)积分(或求和)必定是非负数．从方差的意义解释：方差是偏差的平方，平方数必是大于或等于0的数．
三、例题讲解例1? 有10000人参加某保险公司的人寿保险，每人每年付100元的保险费．而在1年内，1个人死亡的概率是0.006．死亡时，其家属可以获赔偿费10000元．试计算 (1)保险公司赔本的概率；(2)保险公司在1年内利润不少于30万元的概率.
解：假设10000人中1年内有X个人死亡，则X～B（10 000，0.006）
E(X)＝np＝60
D(X)＝np(1－p)=59.64
(1) 所求为P（X>100）．
因为n较大，p又较小，
近似有X～N（60，59.64），于是，
P（X>100）＝1－P(X?100)
＝1－＝1－?(5.18)?0
可见，保险公司基本不会亏本．
(2)获利30万元，即公司赔偿70万元，则死亡人数达到70人，故所求为P(0<X?70)．
P(0<X?70)=P()
=P()
=?(1.30)－?(－7.769)
=0.9032
即获利30万元的概率是90.32%．
例2设随机变量X的密度函数为f(x)=，试求随机变量X的方差D(X)．
解：用方差的定义式．D(X)＝E[X－E(X)]2
E(X)＝＝+＝1
D(X)=E[X－1]2＝
=
=+＝
例3如果离散型随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
2
pk
试求随机变量X的方差D(X)．
解:用方差的计算公式．D(X)=E(X2)－(E(X))2
E(X)=
由X分布，得到Z＝X2的分布：
Z＝X2
0
1
4
pk
注意：
所以D(X)=E(X2)－[E(X)]2==
四、课堂练习练习1 假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的个数的方差．
分析：因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的方差，设终止前取得的旧球个数为随机变量X为好．这是离散型随机变量的方差问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，然后求期望值，最后计算方差．
提示：X表示在取得新球之前所取得的旧球个数,
解：设X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X＝0,1,2,3．
练习2 设连续型随机变量X的密度函数为
f(x)=
且已知E(X)=，求a与b的值，并计算随机变量X的方差D(X)．
分析：题设给出了密度函数，但是含有两个未知参数a,b，为确定这两个未知参数，就需找出两个等式．密度函数性质和已知期望值正是两个条件．密度函数一旦确定，方差就容易计算．
解：由密度函数的性质，以及随机变量X的期望E(X),得到一组联立方程
为确定两个参数，由密度函数的性质，有＝1和已知E(X)=
将所给密度函数f(x)＝a+bx2(x?(0,1)),代入以上两个等式，得到
五、课后作业
1.已知随机变量X的概率分布为：
求随机变量X的方差D(X)．
2.已知每次射击的命中率为0.6,如果进行10次射击，用X表示命中的次数，求E(X),D(X)．
3.在相同的条件下，用两种方法测量某零件的长度(单位：mm)，由大量测量结果得到分布列如下：
长度(mm)
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
p1
0.1
0.1
0.6
0.1
0.1
p2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
其中p1,p2分别表示第一，二种方法的概率，试比较哪种方法的精确度较好．
4,设随机变量X的密度为
1. 33,2. 6，2.4,3,第一种,4,．
