第三单元 连续型随机变量一、学习目标通过本节课的学习，了解连续型随机变量的定义和密度函数的性质，会计算相关的概率，并记住两个常见连续型随机变量－均匀分布和指数分布．
二、内容讲解
1.定义3.2连续型随机变量定义如打靶
打中靶板的每一点都是等可能的，于是,打中区域A内，有P(A)＝
若打中B点，则有P(B)＝
对于连续型随机变量X，总有P（X＝x）=0
下面给出连续型随机变量的定义．
设随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)(-?<x<?)，使得对任意a<b，都有
P(a<X?b)=，那么称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度函数，或概率密度．亦称X服从f(x),记作X～f(x)．
显然有
对任意实数a，都有P(X=a)=P(a<X?a)==0
2.常见连续型随机变量均匀分布设X为随机变量，若X的密度函数为
则称X服从均匀分布．
因为，所以
于是有
均匀分布密度函数f(x)的图形
y
举一个均匀分布例子．
如公共汽车每10分钟来1辆，等车时间X（分钟）,有X服从均匀分布
f(t)=
等车在2分钟之内能乘上汽车的概率为P(0<X<2)==0.2
常见连续型随机变量中，最为重要的分布是正态分布，在下一课专门讨论．
问题：因为概率小于或等于1，所以密度函数必须满足0?f(x)?1．对吗？
不对.不要求密度函数0?f(x)?1．只要求f(x)?0，且可积,．如是密度函数，但f(x)>1 (0<x<)．
三、例题讲解例1? 设随机变量X具有密度f(x)=
求:(1)常数A； (2) P(－4<X?1)；(3) P(?X)．
解：(1) 由密度函数的性质，＝1，即＝1
所以A=2
(2)?
=＝1
(3 P＝
例2：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（m）的概率密度为
f(x)=，又知当弹着点与目标的距离在50m之内时，即可摧毁目标．求发射1枚炮弹能摧毁目标的概率.
P（X＝k）==，k=0,1,2,…
P（X＝12）==0.0948
解：(1)所求为P(X?50)．
P(X?50)=
=
=－
思考题：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（m）的概率密度为
f(x)=
又知当弹着点与目标的距离在50m之内时，即可摧毁目标．已知发射一枚炮弹摧毁目标的概率为0.632(在例2中已经求得)，那么至少要发射多少枚炮弹才能使摧毁目标的概率不小于0.95？
解：发射1枚炮弹能摧毁目标的概率是0.632．用Y表示发射n枚炮弹中能摧毁目标的炮弹枚数，有Y～B（n,0.632）
所求为P(Y=1)+P(Y=2)+…+P(Y=n)=1－P(Y=0)?0.95．
即1－=1－0.368n?0.95
即0.368n?0.05
当n=2时,0.3682=0.135 424
当n=3时,0.3683=0.049 836?0.05
可见，至少要发射3枚炮弹，能保证摧毁目标概率不小于0.95.
四、课堂练习练习1指出下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？哪些是连续型随机变量？
(1)在100个产品中有5个不合格品，从中任取10个产品，其中不合格产品的数量；
(2)北京地区一年的降雨量；
(3)一台计算机出故障前的工作时间；
(4)某天深夜0～1点钟通过某十字路口汽车的辆数．
由离散型和连续型随机变量的定义，取值是可数个数(点)的随机变量是离散型随机变量；取值联成一片的，或取值是某个区间的点的随机变量是连续型随机变量．题设产品是以“个”为单位的，次品最多5个，用X表示任取10个产品中的不合格产品的数量，X只能取0,1,2,3,4,5这六个值，故X是离散型随机变量．
练习2设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=?
(1) 确定系数k；(2) 求概率P(X>1)； (3) 求概率P(1<X?2)．
这是连续型随机变量的概率求值问题．首先确定概率密度，再用定义式计算概率值．计算广义积分，再求k.
利用连续型随机变量的概率密度的性质,
因为1，即
所以k=1
所以
五、课后作业
1.判断以下函数f(x)在各自指定区间上(f(x)在指定区间之外取值为0)是不是某随机变量的密度函数?
(1)f(x)=
(2)
(3)
2,设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=
求：(1)常数A；
(2)P(0<X<0.5)；
(3) P(0.25<X?2)．
3,设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=
试确定常数k．
4,设随机变量Z在[0，10]服从均匀分布．
(1) 试写出Z的密度函数；
(2) 试绘出密度函数的曲线；
(3) 试求概率P(Z<3)，P(Z?6)和P(3<Z?8).
5,某计算机的工作寿命X(单位：小时)服从参数为0.001的指数分布．
(1) 试写出X的密度函数；
(2) 求此计算机使用时间不超过1000小时的概率．
1.?(1) 不成立；(2) 成立；(3) 成立．
2.?(1) A=2；(2) 0.25；(3) 0.937 5．
3.．
4.(1) f(z)=0.1? [0,10]；(2) 图略；(3) 0.3，0.4，0.5,
5,(1) X～；(2) 0.6321．
．
二、内容讲解
1.定义3.2连续型随机变量定义如打靶
打中靶板的每一点都是等可能的，于是,打中区域A内，有P(A)＝
若打中B点，则有P(B)＝
对于连续型随机变量X，总有P（X＝x）=0
下面给出连续型随机变量的定义．
设随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)(-?<x<?)，使得对任意a<b，都有
P(a<X?b)=，那么称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度函数，或概率密度．亦称X服从f(x),记作X～f(x)．
显然有
对任意实数a，都有P(X=a)=P(a<X?a)==0
2.常见连续型随机变量均匀分布设X为随机变量，若X的密度函数为
则称X服从均匀分布．
因为，所以
于是有
均匀分布密度函数f(x)的图形
y
举一个均匀分布例子．
如公共汽车每10分钟来1辆，等车时间X（分钟）,有X服从均匀分布
f(t)=
等车在2分钟之内能乘上汽车的概率为P(0<X<2)==0.2
常见连续型随机变量中，最为重要的分布是正态分布，在下一课专门讨论．
问题：因为概率小于或等于1，所以密度函数必须满足0?f(x)?1．对吗？
不对.不要求密度函数0?f(x)?1．只要求f(x)?0，且可积,．如是密度函数，但f(x)>1 (0<x<)．
三、例题讲解例1? 设随机变量X具有密度f(x)=
求:(1)常数A； (2) P(－4<X?1)；(3) P(?X)．
解：(1) 由密度函数的性质，＝1，即＝1
所以A=2
(2)?
=＝1
(3 P＝
例2：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（m）的概率密度为
f(x)=，又知当弹着点与目标的距离在50m之内时，即可摧毁目标．求发射1枚炮弹能摧毁目标的概率.
P（X＝k）==，k=0,1,2,…
P（X＝12）==0.0948
解：(1)所求为P(X?50)．
P(X?50)=
=
=－
思考题：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离X（m）的概率密度为
f(x)=
又知当弹着点与目标的距离在50m之内时，即可摧毁目标．已知发射一枚炮弹摧毁目标的概率为0.632(在例2中已经求得)，那么至少要发射多少枚炮弹才能使摧毁目标的概率不小于0.95？
解：发射1枚炮弹能摧毁目标的概率是0.632．用Y表示发射n枚炮弹中能摧毁目标的炮弹枚数，有Y～B（n,0.632）
所求为P(Y=1)+P(Y=2)+…+P(Y=n)=1－P(Y=0)?0.95．
即1－=1－0.368n?0.95
即0.368n?0.05
当n=2时,0.3682=0.135 424
当n=3时,0.3683=0.049 836?0.05
可见，至少要发射3枚炮弹，能保证摧毁目标概率不小于0.95.
四、课堂练习练习1指出下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？哪些是连续型随机变量？
(1)在100个产品中有5个不合格品，从中任取10个产品，其中不合格产品的数量；
(2)北京地区一年的降雨量；
(3)一台计算机出故障前的工作时间；
(4)某天深夜0～1点钟通过某十字路口汽车的辆数．
由离散型和连续型随机变量的定义，取值是可数个数(点)的随机变量是离散型随机变量；取值联成一片的，或取值是某个区间的点的随机变量是连续型随机变量．题设产品是以“个”为单位的，次品最多5个，用X表示任取10个产品中的不合格产品的数量，X只能取0,1,2,3,4,5这六个值，故X是离散型随机变量．
练习2设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=?
(1) 确定系数k；(2) 求概率P(X>1)； (3) 求概率P(1<X?2)．
这是连续型随机变量的概率求值问题．首先确定概率密度，再用定义式计算概率值．计算广义积分，再求k.
利用连续型随机变量的概率密度的性质,
因为1，即
所以k=1
所以
五、课后作业
1.判断以下函数f(x)在各自指定区间上(f(x)在指定区间之外取值为0)是不是某随机变量的密度函数?
(1)f(x)=
(2)
(3)
2,设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=
求：(1)常数A；
(2)P(0<X<0.5)；
(3) P(0.25<X?2)．
3,设连续型随机变量X的密度函数为f(x)=
试确定常数k．
4,设随机变量Z在[0，10]服从均匀分布．
(1) 试写出Z的密度函数；
(2) 试绘出密度函数的曲线；
(3) 试求概率P(Z<3)，P(Z?6)和P(3<Z?8).
5,某计算机的工作寿命X(单位：小时)服从参数为0.001的指数分布．
(1) 试写出X的密度函数；
(2) 求此计算机使用时间不超过1000小时的概率．
1.?(1) 不成立；(2) 成立；(3) 成立．
2.?(1) A=2；(2) 0.25；(3) 0.937 5．
3.．
4.(1) f(z)=0.1? [0,10]；(2) 图略；(3) 0.3，0.4，0.5,
5,(1) X～；(2) 0.6321．
．
