第九单元 n维随机变量的数字特征一、学习目标通过本节课的学习，知道多个随机变量的期望和方差的性质，以及随机变量之间的协方差、相关系数概念，并会做二维随机变量的协方差和相关系数等简单问题．
二、内容讲解二维随机变量的期望与方差的性质：
设二维随机变量(X，Y)，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
若X与Y是独立的，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)
1.定义3.9协方差设X，Y为两个随机变量，且E(X),E(Y)存在，称数值E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}为X，Y的协方差．记作(X,Y)，或?XY,
(X,Y)＝E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
＝
协方差刻划了随机变量X，Y取值间的联系．
2.定义3.10相关系数设X，Y为两个随机变量，且D(X)>0,D(Y)>0，则称
为X，Y的相关系数．记作?XY,即?XY＝
3.相关系数?XY满足性质：XY1．
相关系数的意义是：它刻划X，Y间线性关系的近似程度．
问题思考:设X，Y是二随机变量，则下列事实是等价的吗？若是，加以证明若不是，请举出反例,
(1) ＝0；
(2) X与Y不相关；
(3) E(XY)=E(X)E(Y);
(4) D(X+Y)=D(X)+D(Y)．
答案：是等价的。证明如下：由(1)＝0，
则得＝0，所以，X与Y不相关．反之亦然．
由(1)＝0，即
E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－YE(X)－XE(Y)+E(X)E(Y)]
＝E(XY)－E(Y)E(X)－E(X)E(Y)＋E(X)E(Y)
＝E(XY)－E(X)E(Y)=0
所以，E(XY)=E(X)E(Y)．反之亦然．
由(1)＝0，D(X+Y)=E[(X+Y)－E(X+Y)]2
=E[(X－E(X))2－2(X－E(X))(Y－E(Y))+(Y－E(Y))2]
=D(X)－2＋D(Y)=D(X)+D(Y)
反之亦然．
三、例题讲解例1：设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为，求cov(X,Y)和．
解:cov(X,Y)=E
先求边缘分布密度．
fX(x)=
fY(y)=
再求X和Y的期望和方差．
E(X)=
因为X与Y的分布相同，有E(Y)=
再求协方差
cov(X,Y)=
=
=
=
=
最后求相关系数.
D(X)=
=
=
D(Y)=
代公式得到

求协方差就是按照定义式．
步骤为(1) 求各自的边缘分布密度；
(2) 计算各自的期望；
(3) 求协方差；
(4) 计算各自的方差；
(5)? 计算相关系数．
四、课堂练习练习1 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为

求随机变量X和Y的协方差和相关系数．
分析：这是连续型随机变量的问题，求X的边缘分布密度，是联合分布密度f(x,y)对变量y积分．求Y 的边缘分布密度，是联合分布密度f(x,y)对变量x积分．求协方差就是按照定义式，必须首先计算各自的期望，再求两个之差的期望值．主要是计算积分．计算相关系数，涉及到协方差和各自的方差．然后代入定义式．
练习2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求随机变量X与Y的协方差和相关系数．
随机变量X的边缘分布密度为
fX(x)= fX(x)=
计算广义积分，求X的边缘分布密度，是联合分布密度f(x,y)对变量y积分．求Y的边缘分布密度，是联合分布密度f(x,y)对变量x积分．
五、课后作业
1.已知D(X)=25，D(Y)=36，?=0.4．求D(X+Y)和D(X－Y)．
2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为

求随机变量X和Y的协方差和相关系数．
3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为

求随机变量X与Y的协方差和相关系数．
4,试验证：若Y＝a+bX，则
1.D(X+Y)=85；D(X－Y)=37；
2.0；0；
3.?0，0；
4.无答案。