第二单元 离散型随机变量一、学习目标通过本节课的学习，记住离散型随机变量的定义以及几个常见离散型随机变量，会计算概率分布中的常数和事件的概率．
二、内容讲解定义3.1离散型随机变量设X是随机变量，若X可能取有限个值或可列个值，则称X为离散型随机变量，如果离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xk,…，称P（X=xk）=pk,(k=1,2,…)为离散型随机变量X的概率分布，或分布列（律）．
概率分布有两条性质：
(1)p?0 (k=1,2,…)；
(2) p1+p2+…+pk+…==1
常见的离散型随机变量
1.二点分布随机变量X：{0,1}
概率分布为 X 0 1
P k 1－p p
0?p?1,常记q=1-p
如抛掷硬币：p=q=
又如射击打靶：
概率分布为,X 0 1
pk 1－p p
2.二项分布设随机变量X，取值0,1,2,…，n 概率分布为
P（X＝k）=（0?p?1，k=0,1,2,…,n）
记作 X～B（n，p）
3.泊松分布设随机变量X，取值0,1,2,…
概率分布为
P（X＝k）=(?>0，k=0,1,2,…)
称随机变量X服从泊松分布，记作X～?(?)
当p较小，n较大时，取?=np，二项分布可以用泊松分布近似．
问题思考：P(X=c)=1(c是确定常数)是概率分布吗？
是.因为P(X=c)=1是概率分布(称为一点分布)．把它视为特殊的随机变量，总取值为c的随机变量．所以，它满足概率分布的两条性质：
(1) P(X=c)>0； (2)P(X=c)=1．
三、例题讲解例1：某射手打靶，打中的概率为p．连续射击n次，用随机变量X表示n次射击击中的次数,X的取值范围：{0,1,2,…,n}
若恰好k次击中，事件{X＝k}的概率：
P（X＝k）=（k=0,1,2,…,n）
例2：考察某问询处的电话．每小时接10次电话,用X表示1小时内接到问询电话的次数．
=10（次）是1小时内平均接到的电话次数，故有
P（X＝k）==，k=0,1,2,…
P（X＝12）==0.0948
四、课堂练习练习设袋中有标号分别为－?，?，?，?，?，?的?个相同的球，从中任意取出?个球，已知每个球被取出的可能是相同的．用X表示所取出的球的标号数，求X的概率分布列，并求P(X>0),P(－1?X<2)．
从这6个球中任取1球，所取到的数无非是－1，1，2．可见X是离散型随机变量．用古典概型的概率计算公式计算取各数的概率．再求那两个具体概率值．共6个球，任一球被取到的可能性是一样的，故n=6，再计算有利于事件{X=－1}，{X=1}，{X=2}的数字个数，求出X的概率分布．随机变量X只能取3个值：－1，1，2．任取1球的概率是．
标?－的球只有?个，因此随机变量?取值?－的概率是；
标的球有?个，因此取到标数的概率是；
取到标有数的概率是．于是得到随机变量?的概率分布为：
练习2 某名牌烟市场上有15％的假烟．一顾客一年内买20条该牌香烟，求一年内他买到假烟的概率．
由所设他买到X条假烟，对1条香烟真假必具其一，且为假的概率是15％，对于这位顾客来说．可能买到0条，或1条，或2条，…，或20条假烟，也即X＝0,1,2,…,20，依二项分布的定义，所以X服从二项分布B(20，0.15).
五、课后作业
1.判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布．
(1)
Xk
－2
1
0
(2)
Xk
1
2
3
4
Pk
pk
2,设随机变量Y的概率分布为P(Y=k)=，
求P(Y=1),P(Y>2),P(Y?3),P(1.5?Y?5),P(Y>)．
3.天气记录表明，某地在11月份的30天中，平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率．
4,某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工零件等原因时常停车．设各台车床停车或开车是相互独立的，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3，求：(1)任一时刻车间内停车台数X的分布；(2) 车间内有3台车床停车的概率；
(3)任一时刻车间内车床全部工作的概率．
5,已知随机变量X～?(?)，P(X=0)=0.4，求参数?,并求P(X?2).
1.（1）不能，(2)能；
2,．
3,0.647．
4,(1) ；
(2) ；(3) 0.712?0.013 8．
5,?0.233 5
二、内容讲解定义3.1离散型随机变量设X是随机变量，若X可能取有限个值或可列个值，则称X为离散型随机变量，如果离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xk,…，称P（X=xk）=pk,(k=1,2,…)为离散型随机变量X的概率分布，或分布列（律）．
概率分布有两条性质：
(1)p?0 (k=1,2,…)；
(2) p1+p2+…+pk+…==1
常见的离散型随机变量
1.二点分布随机变量X：{0,1}
概率分布为 X 0 1
P k 1－p p
0?p?1,常记q=1-p
如抛掷硬币：p=q=
又如射击打靶：
概率分布为,X 0 1
pk 1－p p
2.二项分布设随机变量X，取值0,1,2,…，n 概率分布为
P（X＝k）=（0?p?1，k=0,1,2,…,n）
记作 X～B（n，p）
3.泊松分布设随机变量X，取值0,1,2,…
概率分布为
P（X＝k）=(?>0，k=0,1,2,…)
称随机变量X服从泊松分布，记作X～?(?)
当p较小，n较大时，取?=np，二项分布可以用泊松分布近似．
问题思考：P(X=c)=1(c是确定常数)是概率分布吗？
是.因为P(X=c)=1是概率分布(称为一点分布)．把它视为特殊的随机变量，总取值为c的随机变量．所以，它满足概率分布的两条性质：
(1) P(X=c)>0； (2)P(X=c)=1．
三、例题讲解例1：某射手打靶，打中的概率为p．连续射击n次，用随机变量X表示n次射击击中的次数,X的取值范围：{0,1,2,…,n}
若恰好k次击中，事件{X＝k}的概率：
P（X＝k）=（k=0,1,2,…,n）
例2：考察某问询处的电话．每小时接10次电话,用X表示1小时内接到问询电话的次数．
=10（次）是1小时内平均接到的电话次数，故有
P（X＝k）==，k=0,1,2,…
P（X＝12）==0.0948
四、课堂练习练习设袋中有标号分别为－?，?，?，?，?，?的?个相同的球，从中任意取出?个球，已知每个球被取出的可能是相同的．用X表示所取出的球的标号数，求X的概率分布列，并求P(X>0),P(－1?X<2)．
从这6个球中任取1球，所取到的数无非是－1，1，2．可见X是离散型随机变量．用古典概型的概率计算公式计算取各数的概率．再求那两个具体概率值．共6个球，任一球被取到的可能性是一样的，故n=6，再计算有利于事件{X=－1}，{X=1}，{X=2}的数字个数，求出X的概率分布．随机变量X只能取3个值：－1，1，2．任取1球的概率是．
标?－的球只有?个，因此随机变量?取值?－的概率是；
标的球有?个，因此取到标数的概率是；
取到标有数的概率是．于是得到随机变量?的概率分布为：
练习2 某名牌烟市场上有15％的假烟．一顾客一年内买20条该牌香烟，求一年内他买到假烟的概率．
由所设他买到X条假烟，对1条香烟真假必具其一，且为假的概率是15％，对于这位顾客来说．可能买到0条，或1条，或2条，…，或20条假烟，也即X＝0,1,2,…,20，依二项分布的定义，所以X服从二项分布B(20，0.15).
五、课后作业
1.判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布．
(1)
Xk
－2
1
0
(2)
Xk
1
2
3
4
Pk
pk
2,设随机变量Y的概率分布为P(Y=k)=，
求P(Y=1),P(Y>2),P(Y?3),P(1.5?Y?5),P(Y>)．
3.天气记录表明，某地在11月份的30天中，平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率．
4,某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工零件等原因时常停车．设各台车床停车或开车是相互独立的，每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.3，求：(1)任一时刻车间内停车台数X的分布；(2) 车间内有3台车床停车的概率；
(3)任一时刻车间内车床全部工作的概率．
5,已知随机变量X～?(?)，P(X=0)=0.4，求参数?,并求P(X?2).
1.（1）不能，(2)能；
2,．
3,0.647．
4,(1) ；
(2) ；(3) 0.712?0.013 8．
5,?0.233 5
