第10章随机变量与数字特征典型例题与综合练习一、典型例题
1.随机变量例1指出以下各变量是不是随机变量，是离散型的随机变量还是连续型的随机变量？
(1)某人一次打靶命中的环数；
(2)某厂生产的40瓦日光灯管的使用时数；
(3)鲁棉1号品种棉花的纤维长度；
(4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数；
(5)某单位一天的用电量．
解(1)设该人打靶命中的环数为X，若是10环靶，习惯上标为6环以下，7环、8环、9环和10环．由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响，射击一次，命中哪个环是难以确定的．但是，大量次数的射击可以告诉人们，该人射击的命中规律，即概率．可见，一次射击命中的环数X是随机变量．因为X只能取值6以下，7，8，9，10，故Y是离散型随机变量．
(2)设该厂生产的40瓦日光灯管的使用时数为Y(小时)，如果随意取出1只进行试验，这只灯管能使用多长时间是难以确定的．若设计指标是1500小时且生产条件比较稳定，大量统计可得到，寿命在1400～1600小时的灯管占绝大部分，在1400小时以下或1600小时以上的很少．也就是说灯管的寿命是有规律的,所以寿命Y是随机变量．因为Y的取值时间是连绵不断的，故Y是连续型随机变量．
(3)设鲁棉1号品种的棉花纤维长度为Y，任取一根棉花的纤维，它的长度事先难以确定，但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性，这就是概率．所以Y是随机变量．因为长度值是连绵不断的，故Y是连续型随机变量．
(4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为X，则X是随机变量，且是离散型随机变量．
(5)设该单位一天的用电量为Z，则Z是随机变量，且是连续型随机变量．
我们将取值带有随机性，但取值的概率大小是确定的这种变量，称作随机变量．当随机变量的取值是有限个或可列个时，则它是离散型随机变量．随机变量的取值是某个区间或区域，其值是连绵不断的时，它是连续型随机变量．
由于各种因素的影响，到底X取值为几难以确定，由经验或大量统计结果可以知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的．所以X是随机变量．
因为纱线被扯断的根数是一根一根的，就是说X的值是可以数出来的，若是考察一段时间内的纱线被扯断的根数，则X取值是有限的，若一直考察下去，则X取值是可列个．
该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定，由经验可知，Z的取值规律情况．所以Z是随机变量．因为用电量是连绵不断，故Z是连续型随机变量．
2.离散型随机变量例1.设随机变量Y的概率分布为P(Y=m)=A(2+m)－1,m=0，1，2，3．
(1)试确定系数A；
(2)用表格形式写出Y的分布列；
(3)求P(Y<2)，P(Y?1)，P(＝1<Y?3).
解:(1)由分布列的性质，有
=A(2+0)－1+A(2+1)－1+A(2+2)－1+A(2+3)－1
=A
于是得A＝
(2)Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
(3)因为{Y<2}，故m可取0，1，所以
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=?0.649
因为{Y?1}，m可取1，2，3，所以P(Y?1)＝?
或P(Y?1)=1－P(Y=0)=1－
因为{－1<Y?3}包含了m的所有可能取值，
所以P(－1<Y?3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)
==1
确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质，所有可能取值概率的和为1，即．
分布列即随机变量取值的概率表，只需计算出所有概率值，列成表.
求离散型随机变量的概率，主要是弄清所给定的事件包括随机变量Y的哪些可能值．将这些取值的概率相加即得．
用随机变量的概率分布性质
因为A＝，而P(Y=m)=A(2 + m)－1,
当m=0时，P(Y=0)=
当m=1时，P(Y=1)=
当m=2时，P(Y=2)＝
当m=3时，P(Y=3) =于是，得到Y的分布列．
因为Y只能取值0，1，2，3，所以Y<2，只有Y＝0或Y＝1，于是有
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=
因为Y只能取值0，1，2，3，所以Y?1，即Y＝1或Y＝2或Y＝3，于是有
P(Y?1)=P(Y=1)+P(Y=2)＋P(Y＝3)=
或者用对立事件概率公式{Y?1}=，故P(Y?1)=1－P(Y=0}=1－
因为Y的所有可能取值为0，1，2，3，均在－1,3(包括3)内，可见{－1<Y?3}是必然事件．
3.连续型随机变量例1设连续型随机变量X的概率密度函数为
(1)试确定系数k；(2)求P(X>1.5),P(X<5),P(0?X?2)．
解：(1)显然，k?0，由密度函数的性质，
因为
＝
所以k=
那么，X的概率密度函数为
(2)
=
=
P(X<5)==
P(0?X?2)==?0.483
求连续型随机变量概率密度中的常数，主要用密度的性质，＝1
需提醒学生：密度函数不少是分段函数，必须要分清楚，在哪些区间密度函数不为0，哪些区间密度函数为0．
求连续型随机变量的概率，根据连续型随机变量的定义式，其实质是一个定积分的计算问题．
因为概率密度函数非负，故有k?0.
由概率密度函数性质＝1．又密度函数f(x)只在区间[1,3)内非0，且x?[1,2]时，f(x)＝kx2,x?(2,3)时，f(x)=kx，所以有,求得k值．
因为事件{X>1.5}＝{1.5<X<+?}，根据连续型随机变量的定义式，
由于在区间(1.5,+?)上，函数f(x)只在区间(1.5,3)上非0，且x?[1,2]时,
f(x)＝x2；x?(2,3)时，f(x)=x，故有所列积分．
因为密度函数f(x)只在1与3之间取值非0，事件{－?<X<5}是必然事件．也可直接写出 P(X<5)=1．
事件{0?X?2}={0<X<1}+{1?X?2},{0<X<1}与{1?X?2}互斥，于是有?
P(0?X?2)=P(0<X<1)+P(1?X?2)=0+
4.正态分布例1设X～N(0，1)，查标准正态分布数值表，求
(1)P(X=1.23)；(2)P(X<2.08)；
(3) P(X?－0.09)；(4)P(2.15?X?5.12)；
(5)P(?X?<k)=0.65，求k．
解(1)因为X是连续型随机变量，于是P(X=1.23)=0
(2)求P(X<2.08),意即z=2.08，有
P(X<2.08)=?(2.08)=0.9812
(3)P(X?－0.09)=1－P(X<－0.09)
=1－[1－?(0.09)=?(0.09)=0.5359
(4)P(2.15?X?5.12)=?(5.12)－?(2.15)
=1－0.9842=0.0158
(5)因为?X?<k，即－k<X<k,于是有P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1=0.65
即?(k)=0.825，查附表Ⅰ：标准正态分布数值表，由概率值查变量值，
得(0.935)=0.825，所以 k=0.935．
对于有关标准正态分布的概率计算问题，主要是查表求值．记住公式若X～N(0,1)，则
P(X<z)=P(X?z)=?(z) ①
P(X>z)=P(X?z)=1－?(z) ②
P(z1<X<z2)=?(z2)－?(z1) ③
P(X<－z)=1－?(z) ④
P(?X?<z)=P(－z<X<z)=2?(z)－1 ⑤
利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．
连续型随机变量，在一点处的概率为0．即如果X是连续型随机变量，那么无论X是什么分布，任给一点x，都有P(X=x)=0．
事件{X<2.08}，即事件{X<z}，其中z=2.08．对于标准正态分布，由[分析]的公式①，得? P(X<2.08)＝?(2.08).
查附表：标准正态分布数值表．当x=2.08时，?(x)=0.981 2,
事件{X?－0.09}=，用对立事件的概率计算公式，有P{X?－0.09}=P()=1－P(X<－0.09)
对于标准正态分布，由分析的公式④，本例z>0，即－z=－0.09.
P(X<－z)=1－P(X<z)＝1－?(z)，将z=0.09代入，即得．
事件{2.15?X?5.12}={－?<X?5.12)－{－?<X?2.15)，所以 P(2.15?X?5.12)=P(－?<X?5.12)－P(－?<X?2.15),
因为X是标准正态分布，用[分析]公式③，有P(2.15?X?5.12)=?(5.12)－?(2.15)查表即得．
因为?X?<k，即－k<X<k,于是P(?X?<k)=P(－k<X<k)，
因为X标准正态分布，有[分析]公式⑤，得P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1
已知P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1＝0.65，解得?(k)＝0.825.
例2 (正态分布) 设X～N(70，102)，
(1)求P(X<62)； (2) 求P(X?72)；(3)求a，使P(a?X<90)=0.705 5．
解：因为?=70，?=10．所以Z＝=?N(0,1),
(1)P(X<62)=P()=P(Z<－0.8)
=1－?(0.8)=1－0.788 1=0.211 9
(2)P(X?72)=1－P(X<72)=1－P()
=1－P(Z<0.2)=1－?(0.2)=1－0.579 3=0.420 7
(3)P(a?X<90)＝P(<<)
＝P(<Z<2)
＝?(2)－?()＝0.9772－?()=0.7055
即?()=0.2717，因其值0.2717小于0.5，故<0．
所以，0.2717＝1－?()，?()＝0.7283
查附表，得＝0.61，解得a＝63.9．
这是一般正态分布的概率问题，因为正态分布的概率一般都通过查表求之，附表只给出标准正态分布数值表（任何概率的书都是只给标准正态分布数值表），所以求一般正态分布的概率都必须首先标准化，即若X ~ N(?，?2)，则Z＝ N(0，1)．变换Z＝也称线性变换．(此过程称为标准正态化)，此过程也可以在概率符号内进行．再套用以下公式求概率值．
若X～N(0,1)，则
P(X<z)=P(X?z)=?(z) ①
P(X>z)=P(X?z)=1－?(z) ②
P(z1<X<z2)=?(z2)－?(z1) ③
P(X<－z)=1－?(z) ④
P(?X?<z)=P(－z<X<z)=2?(z)－1 ⑤
利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．
因为X～N(70，102)，不是标准正态分布，首先做标准正态化.
事件{X<62}={}，于是X～N(70，102)，则Z＝～N(0,1)．
所以P(X<62)=P()=P(Z<－0.8)，由标准正态分布,
用[分析]公式④，①，查表计算即得．
事件{X?72}=，所以?P(X?72)=1－P(X<72).
又X不是标准正态分布，标准正态化，有1－P()，～N(0，1)
套用[分析]公式①，查表计算即得．
X不是标准正态分布，先标准正态化得到P(a?X<90)＝P(< Z < 2)
用[分析]公式③，得到(2)－?()
题设上式等于0.705 5,(2)－?( )=0.705 5,
查表得?(2)，解得?( )＝0.271 7
在附表：标准正态分布数值表中，?(x)?0.500 0，而?()＝0.271 7<0.5
表明<0，有F()＝1－F()＝0.2717，其中>0．
5.分布函数与函数分布例1已知随机变量X的概率分布为
X
－1
1
p
(1)求随机变量X的分布函数，并计算概率P(－1?X<1)；
(2)求随机变量函数Y＝5X－3的概率分布．
解：X是一维随机变量，它的可能取值是－1，1．
(1)F(x)=P(X?x)
当x<－1时，事件{X?x}=?，F(x)=0．
当－1?x<1时，事件{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X?x<1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)＝
当x?1时，F(x)=P(X?x)=P(X=－1)+P(X=1)==1
所以，随机变量X的分布函数为
P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)=
(2)Y的概率分布为
X
－1
1
Y＝5X－3
－8
2
P
求离散型随机变量的分布函数，即计算事件{－?<X?x}概率．由于离散型随机变量的取值是一些孤立点，所以要特别注意分析事件{－?<X?x}何时包括随机变量取值点．
求随机变量函数的分布，若P(X=xk)=pk，那么Y＝g(X),就有P(Y=yk)=P(G(X)=g(xk))=pk．
由题目给出概率分布可知，随机变量X只取值－1，1.这是随机变量的分布函数的定义式.
当x<－1时，事件{X?x}={X?x<－1}，所以随机变量X既取不到－1，也取不到1，故{X?x}=?，所以F(x)=0．
当－1?x<1时，事件{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X?x<1}＝?＋{X=－1}＋?＝{X＝－1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)＝
当x?1时，{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X<1}+{X=1}+{1<X?x}＝?＋{X=－1}＋?+{X=1}+?＝{X＝－1}+{X=1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)+P(X=1)==1,
由分布函数F(x)，求事件{a<X?b}的概率公式为P({a<X?b}=P(X?b)－P(X?a)
事件{－1?X<1}={X=－1}＋(－1<X?1)－{X＝1}
P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)=
严格按公式写出为P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X?1)－P(X＝1)=
X=－1,1的概率分别为，因为X与Y有关系式Y＝5X－3,
显然，X＝－1，1，则 Y＝5×(－1)―3=－8，和5×1－3＝2，
因此，发生的可能性就是.
例2 (连续型随机变量的分布函数) 设随机变量X的分布密度函数为?
(1)求随机变量X的分布函数；(2)计算概率P(1.5<X<2.5)．
解：(1)由分布函数的定义，F(x)=P(X?x)
当x<0时，密度函数f(x)=0，所以F(x)=0．
当0?x<2时，密度函数f(x)=，于是
F(x)=P(X?x)=?
当x?2时，F(x)=P(X?x)=?
所以，随机变量X的分布函数为
(2) P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－)=0.0625
求连续型随机变量的分布函数，即计算事件{－?<X?x}概率．由于连续型随机变量在任何一点处的概率为0，所以对事件{X?x}还是{X<x}可以不必太介意．但要注意密度还是在哪个区间上取值非0，便于计算定积分．
若分布还是为F(x)，则有P(a?X?b)=P(a<X?b)=P(a?X<b)=F(b)－F(a).
当x<0时，密度函数f(x)=0，事件{X?x}={X?x<0}，所以随机变量X的分布函数F(x)=P(X?x)=P(X?x<0)=.
当0?x<2时，密度函数f(x)=1－，事件{X?x}={X<0}+{0?X?x<2}，
所以F(x)=P(X?x)＝.
当x?2时，密度函数f(x)=0 (x?(－?，0))；f(x)=1－?(x?(0,2))；
f(x)=0(x?(2,x))，于是F(x)=P(X?x)=．
由分布函数F(x)，求事件{a<X?b}的概率公式为P({a<X?b}=P(X?b)－P(X?a)，故P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－),
例3 (函数的分布) 已知随机变量X～N(0，1)，证明Y＝?X＋?～N(?，?2)，其中?>0．
证明：因为fX(x)=(－?<x<+?)
显然y＝?x＋?(?>0)的是严格单调增加函数，其反函数是x=，且x?=>0
所以，fY(y)=fX()=(－?<y<+?)
所以，Y～N(?，?2)．
求连续型随机变量函数的分布，有公式：已知X～fX(x)时,Y＝g(X)．
如果y=g(x)是严格单调增加的函数，则fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?
根据公式fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?，其中是x=关于y的导数值，即[g-1(y)]?．
因为X～N(0，1)，将y=g(x)=?x+?的反函数代入公式fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?，即得.
6.数学期望例1(离散型随机变量)设随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
p
求(1)随机变量X的数学期望；
(2)求随机变量函数Y＝2X＋5的数学期望．
解：(1)由离散型随机变量期望的计算公式
E(X)=＝
(2)用随机变量函数的期望公式，此处Y＝2X＋5，即g(x)=2x+5,
于是有E(g(X))=E(2X+5)==
＝=
求离散型随机变量的数学期望，主要是根据期望的定义式，计算＝E(X）；而求随机变量函数的期望是用公式
将X的取值和相应的概率值代入期望的计算公式E(X)=，计算得期望值．
由随机变量函数的期望计算公式，此处y=g(x)=2x＋5，随机变量X的函数为Y＝g(X),由X的取值，得到Y的取值以及概率(实则X的取值概率)如表
X
0
1
2
3
Y＝2X+5
5
7
9
11
p
代入计算公式E(g(X))=E(2X+5)==，计算求和而得．
例2 (连续型随机变量) 设连续型随机变量X的概率密度函数为
(1)求E(X)；(2)设Y=5X2-1，求E(Y)．
解:(1)由期望的计算公式
E(X)=
=
(2)用随机变量函数的期望公式，有
E(Y)=E(5X2－1)=
=
=
=
求连续型随机变量的数学期望，主要是根据期望的定义，计算无穷积分＝E(X）．注意密度函数在何处非0．而求随机变量函数的期望是用公式
因为概率密度函数为
代入期望的计算公式，注意f(x)在何处非0．有E(X)=计算得期望值．
由随机变量函数的期望计算公式，此处y=g(x)=5x2－1，随机变量X的函数为
Y＝g(X),注意随机变量X的密度函数的非0区间，
有 E(Y)=E(5X2－1) ==
=计算积分而得．
7.方差例1 (离散型随机变量) 设随机变量X的概率分布为
X
0
1
4
9
P
0.1
0.4
0.3
0.2
求(1)随机变量X的方差；(2)求随机变量函数Y＝6X－5的方差．
解(1)首先计算X期望E(X)=
＝
由离散型随机变量方差的定义公式，得
D(X)=E(X－E(X))2=
==9.84
或用方差的常用计算公式D(X)=E(X2)－(E(X))2
为此先计算E(X)=3.4,再计算E(X2)．有
E(X2)=
＝＝21.4
所以，D(X)=E(X2)－(E(X))2=21.4－3.42=9.84
(2)由随机变量方差的性质，D(Y)＝D(6X－5)=62D(X)=354.24
求离散型随机变量的方差，主要是根据方差的定义式，计算＝D(X）
或常用公式D(X)=E(X2)－(E(x))2计算．将数值代入计算即得.
方差有性质D(aX+b)=a2D(X)，计算Y＝aX+b的方差．
由方差的定义式，D(X)=，需要先计算X的期望E(X)．
由随机变量函数的期望，即随机变量Y＝(X－E(X))2的期望，就是随机变量X的取值减去E(X)之差的平方的期望．
E(X2)是随机变量X的函数Y＝X2的数学期望．公式为E(X2)=，即所有随机变量X取值的平方，乘以X取值的概率值之积的和.
将E(X2)和E(X)的值代入D(X)=E(X2)－(E(X))2，即得.
方差具有性质：D(aX+b)=a2D(X).
例2 (连续型随机变量) 设连续型随机变量X的概率密度函数为
求随机变量X的方差D(X)．
解：(1)由期望的计算公式
E(X)==
由方差的定义式，D(X)＝E(X－E(X))2
=
=
=
或用常用计算公式，有
D(X)=E(X2)－[E(X)]2=＝
求连续型随机变量的方差，主要是根据方差的定义式，计算D(X)=，
亦即计算随机变量的函数Y＝(X－E(X))2的期望．或用公式D(X)=E(X2)－(E(x))2，为此需首先计算随机变量的期望E(X)和随机变量的函数Y＝X2的期望.再代入方差计算公式．
在计算期望值时，要注意密度函数是分段函数的情况和密度函数是非0的区间．
计算期望是个无穷区间上的积分，但是密度函数只是在区间(0,1)上是非0值．
E(X－E(X))2正是随机变量函数Y＝(X－E(X))2的期望，它的计算公式为 .注意随机变量X的密度函数的非0区间是(0,1)．
D(X)=E(X2)－[E(X)]2是计算方差的一个有用公式．其中E(X2)是随机变量函数X2的期望，计算公式为
注意随机变量X的密度函数的非0区间是(0,1)．将计算所得E(X2)和E(X)代入计算公式即得．
8.n维随机变量例1 (二维离散型随机变量)?对某校五年200名学生进行调查，得到资料如下：
Y
X
工? 资? 等? 级
合计
I
II
III
IV
1
0.10
0.15
0.12
0.06
0.43
2
0.05
0.07
0.10
0.05
0.27
3
0.04
0.02
0.14
0.10
0.30
合? 计
0.19
0.24
0.36
0.21
1.00
在校成绩分1,2,3三个等级，用X表示，毕业后在工作时的工资分四个等级，用Y表示．表中的数是同时具有在校成绩和工资等级在200人中占的比例(即概率)．
求X，Y的边缘概率分布，问X与Y是否独立？
解:由表即得
P(X=i,Y=j)=pij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
如p11=0.10，p12=0.15，p13=0.12,,p33=0.14，p34=0.10
P(X=1)=p11+p12+p13+p14=0.10+0.15+0.12+0.06=0.43
P(X=2)=p21+p22+p23+p24=0.05+0.07+0.10+0.05=0.27
P(X=3)=p31+p32+p33+p34=0.04+0.02+0.14+0.10=0.30
P(Y=1)=p11+p21+p31=0.10+0.05+0.04=0.19
P(Y=2)=p12+p22+p32=0.15+0.07+0.02=0.24
P(Y=3)=p13+p23+p33=0.12+0.10+0.14=0.36
P(Y=4)=p14+p24+p34=0.06+0.05+0.10=0.21
因为P(X=1)P(Y=1)=0.43×0.19=0.0817?P(X=1.Y=1)=p11，
可知X与Y不独立．
已知二维离散型随机变量的联合概率分布pij，求关于随机变量X的边缘概率分布，是pij对j求和，即P(X=i)
求关于随机变量Y的边缘概率分布是pij对i求和，即P(Y=j)
判断随机变量是否独立的基本方法是验证P(X=i)P(Y=j)=P(X=i,Y=j)是否成立？
这是X与Y的联合概率分布，即? X＝1，Y＝1时的概率为p11=010，等等.
这是求X的概率分布，即边缘概率分布，当X＝1时，Y＝1，2，3，4时的所有概率之和，亦即表中水平数求和．
这是求Y的概率分布，即边缘概率分布，当Y＝1时，X＝1，2，3，时的所有概率之和，亦即表中竖直列的数求和,
随机变量X与Y独立的充分必要条件是对所有i，j，都有P(X=i)P(Y=j)=P(X=i,Y=j)，i=1,2,3；j=1,2,3,4,
本题找到了一个不成立，故X与Y不独立,
例2 (二维连续型随机变量)?已知二维随机变量X与Y的联合分布密度函数为
求随机变量X与Y各自的边缘分布密度，并判断X与Y是否独立？
解:求X的边缘密度函数，有
＝＝
＝
类似地，随机变量Y的边缘密度函数为
fY(y)＝
＝＝
因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以，随机变量X与Y独立．
由联合分布密度求边缘分布密度是对联合分布密度函数求积分，公式为 ，
一般这是一个无穷限的广义积分，有时联合分布密度是分段函数，要注意何时联合密度函数非0．若由联合分布函数，求联合密度函数是求导数或偏导数．
判断二维连续型随机变量是否独立的充分必要条件是验证f(x,y)= fX(x)fY(y)是否成立？
求X的边缘密度函数，
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝
例3 (n维随机变量的数字特征)? 设二维随机变量X与Y的联合分布密度为＝
(1)求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；(2) ，?XY．
解：(1)先求边缘分布密度
所以，
所以，
=
=
=
=
=
=
(2) 先计算E(XY)
=
=
所以，
XY=
求二维随机变量的数字特征，与一维随机变量的求法是相同的．
首先，求各自的边缘密度函数，公式为
于是，
=。
计算工具主要是广义积分，且主要用分部积分．
计算fX(x)要用一次分部积分.
计算E(X)要用一次分部积分，而计算E(Y)要用两次分部积分.
计算D(X)要用 两次分部积分，而计算D(X)要用三次分部积分.
计算E(XY)要用二重积分，由于被积函数f(x,y)=g(x)h(y)，因此实际上是两个无穷限的广义积分.
计算协方差和相关系数，只是代公式的问题．
二、综合练习
1.填空题
1.设p(x)是随机变量X的密度，则对任意a<b，都有P(a<X<b)=，
那么，X是连续性随机变量．
2．设离散型随机变量X有概率分布P(X=xi)=pi(i=1,2,…)，则pi满足,
3．随机变量X的方差D(X)是随机变量的期望．
4．设随机变量X～B(50,0.20),则E(X)=,
5．设正态分布X的密度函数是，则D(X)=.
6．随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率．
7．设连续型随机变量X的分布函数是
F(x)=
那么X的密度函数f(x)=,
8．设随机变量X与Y的密度函数分别为
X～ Y～
且X与Y独立，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=.
9．设随机变量X与Y独立，则相关系数?XY=
1.；2．；3．(X－E(X))2 ；4．10；5．0.5；6．{X?x}；
7．?；8．；9．0
2.单选题
1,设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布的是( ).
(A)
X
(B)
X
(C)
X
(D)
X
2．下列函数中，可以作为随机变量X密度函数的是( ).
(A) ；(B) ?
(C) ；(D)?p(x)＝e-?x (-?<x<+?)
3．设随机变量Y～B(n,p),且E(Y)=2.4，D(Y)=1.44，则参数n,p为( ).
(A)n=8,p=0.3；(B)n=6,p=0.6；(C)n=6,p=0.4；(D)n=24,p=0.1
4．设随机变量X～N(a,d)(d>0),则( )～N(0,1)．
(A)Z=dX+a；(B)Z=d2(X-a)；(C)；(D)
5．设随机变量X的密度函数为
f(x)=
X的分布函数记作F(x),则F(2)=,
(A)；(B) 1；(C)； (D)
6．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是( ).
(A) X的函数；(B) 确定常数；(C)随机变量；(D)x的函数
7．设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij
则随机变量X的边缘概率分布为P(X=xi)=( )
(A)；(B)；(C) ；(D)
8．设(X，Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，X，Y的边缘密度函数分别为fX(x),fY(y),则E(XY)=( ).
(A) ；(B) ?
(C) ；(D)
1,B 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．A
3.多选题
1．下列函数在各自指定区间上是密度函数的为( )
(A) f(x)=；(B) f(x)=
(C) f(x)=；(D) f(x)=
2．设X～N(0,1),,则以下各式成立的是( )
(A)?(－x)=1－?(x)；(B)?(0)=0.5；(C)?(－x)=?(x)；(D)?(－x)=－?(x)
3．设随机变量X，E(X),D(X)都存在．则D(X)=( )
(A)E(X2)+E2(X)；(B)E2(x)－E(X2)；(C)E(X2)－E2(X)；(D)E[(X－E(X))2]
4．设随机变量X，E(X)=?,D(X)=?2都存在，令Y＝aX+b,则下式成立的是( )
(A)E(Y)=a?+b；(B)E(Y)=a?；(C)D(Y)=a2?2；(D) D(Y)=a2?2+b2
5．正态密度函数曲线有下列性质( )
(A)关于x=?(期望值)对称；(B)函数在x=?处有最大值(?2是方差)
(C)当x时，曲线无限趋近x轴；(D)从曲线顶点向左、右两侧快速下降
6．设随机变量X的分布函数为F(x)，分布函数F(x)满足的性质是( )
(A)0?F(x)?1，x?R；(B)F(x)是x的不减函数；
(C)；(D)F(x)是右连续的
7．设X，Y是二随机变量，则以下成立的是( )
(A)若X与Y独立，则X与Y不相关；(B)若X与Y不相关，则X与Y独立
(C)若X与Y相关，则X与Y不独立；(D)若X与Y不独立，则X与Y相关
8．设二随机变量X与Y相互独立，已知(X，Y)的联合密度函数f(x,y)，各自的边缘密度函数分别为fX(x)，fY(y)．则以下成立是( )
(A)f(x,y)=fX(x)fY(y)；(B)P(X?x，Y?y)=P(X?x,－?<y<+?)P(－?<x<+?,Y?y)
(C)E(XY)=E(X)E(Y)；(D)D(XY)=D(X)D(Y)
9.设二随机变量X与Y，则＝( )
(A)E[(X－E(X))(Y－E(Y))]；(B)?XY
(C)E(XY)－E(X)E(Y)；(D) 0
1．ABC；2．AB；3．CD；4．AC；5．ABCD；6．ABCD；7．AC；8．ABC；9.ABC
4.配伍题
1．设离散型随机变量X的概率分布P(X=xi)=kpi(i=1,2,3)，k的取值与下表可以构成概率分布的是
(A)
X
①
P
(B)
X
②
P
(C)
X
③
P
2．设X～N(0,1),则有P(?X?<k)=?．
(A)=0.6826；① k=3
(B)=0.9544；② k=2
(C)=0.9974；③ k=1
3．设连续型随机变量，下列函数在指定区间取非0值，能构成密度函数．
(A) f(x)=2x；① (0，1/2)
(B) f(x)=8x；② (0，1)?
(C)f(x)=16x；③(0，)
4．在相同条件下，用3种方法测量一个零件的长度(单位：)，由测量结果得到它们的长度为4.8? 4.9? 5.0 5.1 5.2,取值相应的概率分布如下，
(A) 第一种方法的概率：0.1? 0.1? 0.6? 0.1? 0.1① 好
(B) 第二种方法的概率：0.2? 0.2? 0.2? 0.2? 0.2② 中
(C) 第三种方法的概率：0.1? 0.2? 0.3? 0.2? 0.1③ 差
5．随机变量所服从的分布是
(A)设Z为1亩棉田内的害虫个数，则Z服从；①二项分布
(B)设X为某人打靶射击100次所命中的次数，则X服从；②指数分布
(C)设Y为一个元器件在出故障前连续工作的时数，则Y服从；③泊松分布
6．设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x)，则有
(A)f(x)=；①F(b)－F(a)=
(B)F(x)=；②F(x)，在f(x)的连续点上
(C)P(a<X?b)=；③
7．已知随机变量X的概率分布为
X
1
2
3
p
F(x)是X的分布函数，则有
(A) F(0.5)；① 1
(B) F(2.5)；②
(D)?F(3.1)；③ 0
8．已知随机变量(X,Y)的取值为(0,0),(－1,1),(－1,)，(2，0)
且相应的概率值为．则有
(A) (X,Y)的联合概率分布
(A) (X,Y)的联合概率分布
①
Y
X
0
1/3
1
－1
0
1/12
1/3
0
1/6
0
0
2
5/12
0
0
(B) X的边缘概率分布
②
随机变量
–1
0
2
pX
5/12
1/6
5/12
(C) Y的边缘概率分布
③
随机变量
0
1/3
1
pY
7/12
1/12
1/3
1．A? ②；B ③；C ①；2．A ③；B ②；C ①；
3．A ②；B ①；C ③； 4．A ①；B ③；C ②；
5．A ③；B ①；C ②； 6．A ②；B ③；C ①；
7．A ③；B ②；C ①； 8．A ①；B ②；C ③；
5.是非题
1．表
X
p
0.20
0.70
0.10
0.00
是随机变量的概率分布．( )
2．指数分布
（?>0）的期望和方差都是．( )
3．设随机变量X服从泊松分布,则E(X)=D(X)=?．( )
4．设X服从区间[2，5]上的均匀分布，则E(X)=3.5．( )
5．离散型随机变量X的分布函数是分段函数．( )
6．设随机变量X的方差存在，则X的方差D(X)的计算公式为E[X－E(X)]．( )
7．设fX(x)是二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布密度，则
＝1．( )
8．设二维随机变量(X，Y)的相关系数?XY=0，则协方差＝0．(? )
1．√； 2．×； 3．√； 4．√； 5．√； 6．×； 7．√；?8．√；
6.计算题
1．设随机变量X的密度为
(1) 求P(4<X<5)； (2) 求常数a，使P(X<a)=P(X>a)．
2．某车间有12台机床，每台机床都常常需要停机，车间里任一时刻机床停机的台数记为X，根据统计，X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
5
6
p
0.0077
0.0462
0.1272
0.2120
0.2384
0.1908
0.1113
X
7
8
9
10
11
12
p
0.0477
0.0149
0.0035
0.0005
0.0003
0
(1) 求任一时刻停机在5台以上的概率;
(2) 求任一时刻停机不超过4台的概率;
(3) 求任一时刻平均有几台机床停机．
3．设X～N(－5,81)，计算概率P( 0<X<8 )，P( X>－25 ).
4．设X～N(108，9 )，(1)求P(101.1<X<117.6)；(2)求常数a，使得P(X<a)=0.9。
5．某类钢丝的抗拉强度服从均值为100()，标准差为5()的正态分布，求抗拉强度在90～110()之间的概率．
6．汽车需通过设有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地，设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率都是0.4．
(1)求汽车停车次数的概率分布；(2)求停车次数不超过2次的概率；
(3)平均停车的次数．
7．调查结果表明，某地区科技人员的年龄X（岁）有如下密度函数
(1)试确定常数k；(2)计算该地区科技人员的平均年龄；
(3)求小于平均年龄的科技人员的人数和大于平均年龄的科技人员的人数各占百分之几？
8．已知X～B(4，)．求
(1)Y＝2X的概率分布；(2)Y=的概率分布．
9．设X～N(?，?2)，求Y＝bX+a(b>0)的密度函数．
10.已知随机变量X～
求随机变量X的分布函数．
11,设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求(1) 系数A； (2) X,Y的边缘分布密度．
12,已知X与Y是两个随机变量，X表示随机地从1～4的四个整数中取出的一个整数，Y表示随机地从1～X的整数中取出的一个整数．求(X，Y)的联合分布．
13,设二随机变量X与Y，已知D(X)=25，D(Y)=36，?XY=0.4．
计算 D(X+Y)和D(X－Y)．
1．(1) 0.26；(2) ；2．(1)0.178；(2)0.6315；(3)4.0049；
3．0.2128；0.9868；4．(1)0.9886；(2)111.84；5．0.9544；
6．(1)；(2)0.8208；(3)1.6；
X
0
1
2
3
4
P
0.129 6
0,345 6
0.345 6
0.153 6
0.025 6
7．(1)?；(2)41；(3)0.543；0.457；
8．(1)
Y
0
2
4
6
8
(2)
Y
0
/2
1
9．Y～N(a+b?，(b?)2)；10．F(x)=；
11．(1)；(2)；；12．联合分布列为
X Y
1
2
3
4
1
1/4
0
0
0
1/4
2
1/8
1/8
0
0
1/4
3
1/12
1/12
1/12
0
1/4
4
1/16
1/16
1/16
1/16
1/4
25/48
13/48
7/48
3/48
1
注意：表的末列是X的边缘概率分布；末行是Y的边缘概率分布．
13．85；37,
三、第十章作业
1,菜场根据以往零售某种蔬菜的经验知道，进货后，第1天售出的概率是50％，每10公斤的毛利是10元；第2天售出30％，每10公斤的毛利是5元；第3天能全部售出，其毛利只有每10公斤1元．求每10公斤毛利X的概率分布．
2,按照规定，某种型号灯管的使用寿命超过5000小时为一级品．现已知一大批此种灯管中的一级品率为0.2，从中任意抽测10只，问这10只灯管中恰有k只为一级品的概率是多少？
3,某市每天的用电量不超过百万瓦，用Z表示每天的耗电率，即耗电率等于用电量/百万瓦，设Z具有密度函数
若该市每天供应的电量只有80万瓦，求每天供应的电量不够的概率，每天供电量为90万瓦呢？
4,设X～N(1,0.62)，求P(X>0),P(0.2<X<1.8)．
5,设X～N(),分别求
0.95,
0.90,
和 0.99
时相应的k值．又k取什么值有P(X>?－k?)=0.95．
6,设随机变量X的分布密度为
试求X的分布函数F（x）．
7．设随机变量X的概率分布为
X
-2
0
2
4
p
求（1）X+2，（2）1－X，（3）X2的概率分布．
8．设随机变量X?N（0，?2），求Y=的分布密度fY（y）．
9,甲,乙两台机床同时生产一种产品，生产1000个产品所出的次品数分别用X，Y表示，根据以往经验知道它们的概率分布为
次? 品? 个? 数
0
1
2
3
甲的次品概率分布
0．7
0．1
0．1
0．1
乙的次品概率分布
0．5
0．3
0．2
0
试比较两台机床的优劣．
10,设随机变量Y的概率分布为
P(Y=k)=
试确定常数c，并求E(Y),D(Y)．
11,设连续型随机变量X的密度函数为
(1) 试确定常数A
(2) 求概率P(<－2<X<0.5)
(3) 求E(X),D(X)
12,设随机变量X的密度函数为
f(x)=
且E(X)=3/5，试确定系数a，b，并求D(X)．
13,设随机变量X的密度函数为
f(x)=
求E(X),D(X),E(X－a)，D(X－a)．
14.对球的直径作测量，设其测量值均匀地分布在[a,b]内，求球体积的期望值．
15.某产品的质量指标X～N(160,?2)(单位：毫米)，若要求
P(120<X<200)?0.80
问允许?最大为多少？
答
1.?设X为每10公斤的毛利(单位：元)．
X
1
5
10
pX
0.2
0.3
0.5
2,．
3,0.0272； 仍缺电，0.0037．
4,0.952 5；0.816 4．
5,1.96；1.65? 2.58；1.65,
6,
7,
X
－2
－
0
2
4
Y=X+2
0
2
4
6
Z=1－X
3
1
－1
－3
S=X2
0
4
8,
9,甲优．
10,；E(X)=；D(X)=．
11,(1) ；(2) ；(3) E(X)=；D(X)=．
12,．
13.．
14.．
15,31.25．
1.随机变量例1指出以下各变量是不是随机变量，是离散型的随机变量还是连续型的随机变量？
(1)某人一次打靶命中的环数；
(2)某厂生产的40瓦日光灯管的使用时数；
(3)鲁棉1号品种棉花的纤维长度；
(4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数；
(5)某单位一天的用电量．
解(1)设该人打靶命中的环数为X，若是10环靶，习惯上标为6环以下，7环、8环、9环和10环．由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响，射击一次，命中哪个环是难以确定的．但是，大量次数的射击可以告诉人们，该人射击的命中规律，即概率．可见，一次射击命中的环数X是随机变量．因为X只能取值6以下，7，8，9，10，故Y是离散型随机变量．
(2)设该厂生产的40瓦日光灯管的使用时数为Y(小时)，如果随意取出1只进行试验，这只灯管能使用多长时间是难以确定的．若设计指标是1500小时且生产条件比较稳定，大量统计可得到，寿命在1400～1600小时的灯管占绝大部分，在1400小时以下或1600小时以上的很少．也就是说灯管的寿命是有规律的,所以寿命Y是随机变量．因为Y的取值时间是连绵不断的，故Y是连续型随机变量．
(3)设鲁棉1号品种的棉花纤维长度为Y，任取一根棉花的纤维，它的长度事先难以确定，但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性，这就是概率．所以Y是随机变量．因为长度值是连绵不断的，故Y是连续型随机变量．
(4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为X，则X是随机变量，且是离散型随机变量．
(5)设该单位一天的用电量为Z，则Z是随机变量，且是连续型随机变量．
我们将取值带有随机性，但取值的概率大小是确定的这种变量，称作随机变量．当随机变量的取值是有限个或可列个时，则它是离散型随机变量．随机变量的取值是某个区间或区域，其值是连绵不断的时，它是连续型随机变量．
由于各种因素的影响，到底X取值为几难以确定，由经验或大量统计结果可以知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的．所以X是随机变量．
因为纱线被扯断的根数是一根一根的，就是说X的值是可以数出来的，若是考察一段时间内的纱线被扯断的根数，则X取值是有限的，若一直考察下去，则X取值是可列个．
该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定，由经验可知，Z的取值规律情况．所以Z是随机变量．因为用电量是连绵不断，故Z是连续型随机变量．
2.离散型随机变量例1.设随机变量Y的概率分布为P(Y=m)=A(2+m)－1,m=0，1，2，3．
(1)试确定系数A；
(2)用表格形式写出Y的分布列；
(3)求P(Y<2)，P(Y?1)，P(＝1<Y?3).
解:(1)由分布列的性质，有
=A(2+0)－1+A(2+1)－1+A(2+2)－1+A(2+3)－1
=A
于是得A＝
(2)Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
(3)因为{Y<2}，故m可取0，1，所以
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=?0.649
因为{Y?1}，m可取1，2，3，所以P(Y?1)＝?
或P(Y?1)=1－P(Y=0)=1－
因为{－1<Y?3}包含了m的所有可能取值，
所以P(－1<Y?3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)
==1
确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质，所有可能取值概率的和为1，即．
分布列即随机变量取值的概率表，只需计算出所有概率值，列成表.
求离散型随机变量的概率，主要是弄清所给定的事件包括随机变量Y的哪些可能值．将这些取值的概率相加即得．
用随机变量的概率分布性质
因为A＝，而P(Y=m)=A(2 + m)－1,
当m=0时，P(Y=0)=
当m=1时，P(Y=1)=
当m=2时，P(Y=2)＝
当m=3时，P(Y=3) =于是，得到Y的分布列．
因为Y只能取值0，1，2，3，所以Y<2，只有Y＝0或Y＝1，于是有
P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)=
因为Y只能取值0，1，2，3，所以Y?1，即Y＝1或Y＝2或Y＝3，于是有
P(Y?1)=P(Y=1)+P(Y=2)＋P(Y＝3)=
或者用对立事件概率公式{Y?1}=，故P(Y?1)=1－P(Y=0}=1－
因为Y的所有可能取值为0，1，2，3，均在－1,3(包括3)内，可见{－1<Y?3}是必然事件．
3.连续型随机变量例1设连续型随机变量X的概率密度函数为
(1)试确定系数k；(2)求P(X>1.5),P(X<5),P(0?X?2)．
解：(1)显然，k?0，由密度函数的性质，
因为
＝
所以k=
那么，X的概率密度函数为
(2)
=
=
P(X<5)==
P(0?X?2)==?0.483
求连续型随机变量概率密度中的常数，主要用密度的性质，＝1
需提醒学生：密度函数不少是分段函数，必须要分清楚，在哪些区间密度函数不为0，哪些区间密度函数为0．
求连续型随机变量的概率，根据连续型随机变量的定义式，其实质是一个定积分的计算问题．
因为概率密度函数非负，故有k?0.
由概率密度函数性质＝1．又密度函数f(x)只在区间[1,3)内非0，且x?[1,2]时，f(x)＝kx2,x?(2,3)时，f(x)=kx，所以有,求得k值．
因为事件{X>1.5}＝{1.5<X<+?}，根据连续型随机变量的定义式，
由于在区间(1.5,+?)上，函数f(x)只在区间(1.5,3)上非0，且x?[1,2]时,
f(x)＝x2；x?(2,3)时，f(x)=x，故有所列积分．
因为密度函数f(x)只在1与3之间取值非0，事件{－?<X<5}是必然事件．也可直接写出 P(X<5)=1．
事件{0?X?2}={0<X<1}+{1?X?2},{0<X<1}与{1?X?2}互斥，于是有?
P(0?X?2)=P(0<X<1)+P(1?X?2)=0+
4.正态分布例1设X～N(0，1)，查标准正态分布数值表，求
(1)P(X=1.23)；(2)P(X<2.08)；
(3) P(X?－0.09)；(4)P(2.15?X?5.12)；
(5)P(?X?<k)=0.65，求k．
解(1)因为X是连续型随机变量，于是P(X=1.23)=0
(2)求P(X<2.08),意即z=2.08，有
P(X<2.08)=?(2.08)=0.9812
(3)P(X?－0.09)=1－P(X<－0.09)
=1－[1－?(0.09)=?(0.09)=0.5359
(4)P(2.15?X?5.12)=?(5.12)－?(2.15)
=1－0.9842=0.0158
(5)因为?X?<k，即－k<X<k,于是有P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1=0.65
即?(k)=0.825，查附表Ⅰ：标准正态分布数值表，由概率值查变量值，
得(0.935)=0.825，所以 k=0.935．
对于有关标准正态分布的概率计算问题，主要是查表求值．记住公式若X～N(0,1)，则
P(X<z)=P(X?z)=?(z) ①
P(X>z)=P(X?z)=1－?(z) ②
P(z1<X<z2)=?(z2)－?(z1) ③
P(X<－z)=1－?(z) ④
P(?X?<z)=P(－z<X<z)=2?(z)－1 ⑤
利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．
连续型随机变量，在一点处的概率为0．即如果X是连续型随机变量，那么无论X是什么分布，任给一点x，都有P(X=x)=0．
事件{X<2.08}，即事件{X<z}，其中z=2.08．对于标准正态分布，由[分析]的公式①，得? P(X<2.08)＝?(2.08).
查附表：标准正态分布数值表．当x=2.08时，?(x)=0.981 2,
事件{X?－0.09}=，用对立事件的概率计算公式，有P{X?－0.09}=P()=1－P(X<－0.09)
对于标准正态分布，由分析的公式④，本例z>0，即－z=－0.09.
P(X<－z)=1－P(X<z)＝1－?(z)，将z=0.09代入，即得．
事件{2.15?X?5.12}={－?<X?5.12)－{－?<X?2.15)，所以 P(2.15?X?5.12)=P(－?<X?5.12)－P(－?<X?2.15),
因为X是标准正态分布，用[分析]公式③，有P(2.15?X?5.12)=?(5.12)－?(2.15)查表即得．
因为?X?<k，即－k<X<k,于是P(?X?<k)=P(－k<X<k)，
因为X标准正态分布，有[分析]公式⑤，得P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1
已知P(?X?<k)=P(－k<X<k)=2?(k)－1＝0.65，解得?(k)＝0.825.
例2 (正态分布) 设X～N(70，102)，
(1)求P(X<62)； (2) 求P(X?72)；(3)求a，使P(a?X<90)=0.705 5．
解：因为?=70，?=10．所以Z＝=?N(0,1),
(1)P(X<62)=P()=P(Z<－0.8)
=1－?(0.8)=1－0.788 1=0.211 9
(2)P(X?72)=1－P(X<72)=1－P()
=1－P(Z<0.2)=1－?(0.2)=1－0.579 3=0.420 7
(3)P(a?X<90)＝P(<<)
＝P(<Z<2)
＝?(2)－?()＝0.9772－?()=0.7055
即?()=0.2717，因其值0.2717小于0.5，故<0．
所以，0.2717＝1－?()，?()＝0.7283
查附表，得＝0.61，解得a＝63.9．
这是一般正态分布的概率问题，因为正态分布的概率一般都通过查表求之，附表只给出标准正态分布数值表（任何概率的书都是只给标准正态分布数值表），所以求一般正态分布的概率都必须首先标准化，即若X ~ N(?，?2)，则Z＝ N(0，1)．变换Z＝也称线性变换．(此过程称为标准正态化)，此过程也可以在概率符号内进行．再套用以下公式求概率值．
若X～N(0,1)，则
P(X<z)=P(X?z)=?(z) ①
P(X>z)=P(X?z)=1－?(z) ②
P(z1<X<z2)=?(z2)－?(z1) ③
P(X<－z)=1－?(z) ④
P(?X?<z)=P(－z<X<z)=2?(z)－1 ⑤
利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．
因为X～N(70，102)，不是标准正态分布，首先做标准正态化.
事件{X<62}={}，于是X～N(70，102)，则Z＝～N(0,1)．
所以P(X<62)=P()=P(Z<－0.8)，由标准正态分布,
用[分析]公式④，①，查表计算即得．
事件{X?72}=，所以?P(X?72)=1－P(X<72).
又X不是标准正态分布，标准正态化，有1－P()，～N(0，1)
套用[分析]公式①，查表计算即得．
X不是标准正态分布，先标准正态化得到P(a?X<90)＝P(< Z < 2)
用[分析]公式③，得到(2)－?()
题设上式等于0.705 5,(2)－?( )=0.705 5,
查表得?(2)，解得?( )＝0.271 7
在附表：标准正态分布数值表中，?(x)?0.500 0，而?()＝0.271 7<0.5
表明<0，有F()＝1－F()＝0.2717，其中>0．
5.分布函数与函数分布例1已知随机变量X的概率分布为
X
－1
1
p
(1)求随机变量X的分布函数，并计算概率P(－1?X<1)；
(2)求随机变量函数Y＝5X－3的概率分布．
解：X是一维随机变量，它的可能取值是－1，1．
(1)F(x)=P(X?x)
当x<－1时，事件{X?x}=?，F(x)=0．
当－1?x<1时，事件{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X?x<1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)＝
当x?1时，F(x)=P(X?x)=P(X=－1)+P(X=1)==1
所以，随机变量X的分布函数为
P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)=
(2)Y的概率分布为
X
－1
1
Y＝5X－3
－8
2
P
求离散型随机变量的分布函数，即计算事件{－?<X?x}概率．由于离散型随机变量的取值是一些孤立点，所以要特别注意分析事件{－?<X?x}何时包括随机变量取值点．
求随机变量函数的分布，若P(X=xk)=pk，那么Y＝g(X),就有P(Y=yk)=P(G(X)=g(xk))=pk．
由题目给出概率分布可知，随机变量X只取值－1，1.这是随机变量的分布函数的定义式.
当x<－1时，事件{X?x}={X?x<－1}，所以随机变量X既取不到－1，也取不到1，故{X?x}=?，所以F(x)=0．
当－1?x<1时，事件{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X?x<1}＝?＋{X=－1}＋?＝{X＝－1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)＝
当x?1时，{X?x}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X<1}+{X=1}+{1<X?x}＝?＋{X=－1}＋?+{X=1}+?＝{X＝－1}+{X=1}
F(x)=P(X?x)=P(X=－1)+P(X=1)==1,
由分布函数F(x)，求事件{a<X?b}的概率公式为P({a<X?b}=P(X?b)－P(X?a)
事件{－1?X<1}={X=－1}＋(－1<X?1)－{X＝1}
P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)=
严格按公式写出为P(－1?X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X?1)－P(X＝1)=
X=－1,1的概率分别为，因为X与Y有关系式Y＝5X－3,
显然，X＝－1，1，则 Y＝5×(－1)―3=－8，和5×1－3＝2，
因此，发生的可能性就是.
例2 (连续型随机变量的分布函数) 设随机变量X的分布密度函数为?
(1)求随机变量X的分布函数；(2)计算概率P(1.5<X<2.5)．
解：(1)由分布函数的定义，F(x)=P(X?x)
当x<0时，密度函数f(x)=0，所以F(x)=0．
当0?x<2时，密度函数f(x)=，于是
F(x)=P(X?x)=?
当x?2时，F(x)=P(X?x)=?
所以，随机变量X的分布函数为
(2) P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－)=0.0625
求连续型随机变量的分布函数，即计算事件{－?<X?x}概率．由于连续型随机变量在任何一点处的概率为0，所以对事件{X?x}还是{X<x}可以不必太介意．但要注意密度还是在哪个区间上取值非0，便于计算定积分．
若分布还是为F(x)，则有P(a?X?b)=P(a<X?b)=P(a?X<b)=F(b)－F(a).
当x<0时，密度函数f(x)=0，事件{X?x}={X?x<0}，所以随机变量X的分布函数F(x)=P(X?x)=P(X?x<0)=.
当0?x<2时，密度函数f(x)=1－，事件{X?x}={X<0}+{0?X?x<2}，
所以F(x)=P(X?x)＝.
当x?2时，密度函数f(x)=0 (x?(－?，0))；f(x)=1－?(x?(0,2))；
f(x)=0(x?(2,x))，于是F(x)=P(X?x)=．
由分布函数F(x)，求事件{a<X?b}的概率公式为P({a<X?b}=P(X?b)－P(X?a)，故P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－),
例3 (函数的分布) 已知随机变量X～N(0，1)，证明Y＝?X＋?～N(?，?2)，其中?>0．
证明：因为fX(x)=(－?<x<+?)
显然y＝?x＋?(?>0)的是严格单调增加函数，其反函数是x=，且x?=>0
所以，fY(y)=fX()=(－?<y<+?)
所以，Y～N(?，?2)．
求连续型随机变量函数的分布，有公式：已知X～fX(x)时,Y＝g(X)．
如果y=g(x)是严格单调增加的函数，则fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?
根据公式fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?，其中是x=关于y的导数值，即[g-1(y)]?．
因为X～N(0，1)，将y=g(x)=?x+?的反函数代入公式fY(y)=fX(g－1(y))[g－1(y)]?，即得.
6.数学期望例1(离散型随机变量)设随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
p
求(1)随机变量X的数学期望；
(2)求随机变量函数Y＝2X＋5的数学期望．
解：(1)由离散型随机变量期望的计算公式
E(X)=＝
(2)用随机变量函数的期望公式，此处Y＝2X＋5，即g(x)=2x+5,
于是有E(g(X))=E(2X+5)==
＝=
求离散型随机变量的数学期望，主要是根据期望的定义式，计算＝E(X）；而求随机变量函数的期望是用公式
将X的取值和相应的概率值代入期望的计算公式E(X)=，计算得期望值．
由随机变量函数的期望计算公式，此处y=g(x)=2x＋5，随机变量X的函数为Y＝g(X),由X的取值，得到Y的取值以及概率(实则X的取值概率)如表
X
0
1
2
3
Y＝2X+5
5
7
9
11
p
代入计算公式E(g(X))=E(2X+5)==，计算求和而得．
例2 (连续型随机变量) 设连续型随机变量X的概率密度函数为
(1)求E(X)；(2)设Y=5X2-1，求E(Y)．
解:(1)由期望的计算公式
E(X)=
=
(2)用随机变量函数的期望公式，有
E(Y)=E(5X2－1)=
=
=
=
求连续型随机变量的数学期望，主要是根据期望的定义，计算无穷积分＝E(X）．注意密度函数在何处非0．而求随机变量函数的期望是用公式
因为概率密度函数为
代入期望的计算公式，注意f(x)在何处非0．有E(X)=计算得期望值．
由随机变量函数的期望计算公式，此处y=g(x)=5x2－1，随机变量X的函数为
Y＝g(X),注意随机变量X的密度函数的非0区间，
有 E(Y)=E(5X2－1) ==
=计算积分而得．
7.方差例1 (离散型随机变量) 设随机变量X的概率分布为
X
0
1
4
9
P
0.1
0.4
0.3
0.2
求(1)随机变量X的方差；(2)求随机变量函数Y＝6X－5的方差．
解(1)首先计算X期望E(X)=
＝
由离散型随机变量方差的定义公式，得
D(X)=E(X－E(X))2=
==9.84
或用方差的常用计算公式D(X)=E(X2)－(E(X))2
为此先计算E(X)=3.4,再计算E(X2)．有
E(X2)=
＝＝21.4
所以，D(X)=E(X2)－(E(X))2=21.4－3.42=9.84
(2)由随机变量方差的性质，D(Y)＝D(6X－5)=62D(X)=354.24
求离散型随机变量的方差，主要是根据方差的定义式，计算＝D(X）
或常用公式D(X)=E(X2)－(E(x))2计算．将数值代入计算即得.
方差有性质D(aX+b)=a2D(X)，计算Y＝aX+b的方差．
由方差的定义式，D(X)=，需要先计算X的期望E(X)．
由随机变量函数的期望，即随机变量Y＝(X－E(X))2的期望，就是随机变量X的取值减去E(X)之差的平方的期望．
E(X2)是随机变量X的函数Y＝X2的数学期望．公式为E(X2)=，即所有随机变量X取值的平方，乘以X取值的概率值之积的和.
将E(X2)和E(X)的值代入D(X)=E(X2)－(E(X))2，即得.
方差具有性质：D(aX+b)=a2D(X).
例2 (连续型随机变量) 设连续型随机变量X的概率密度函数为
求随机变量X的方差D(X)．
解：(1)由期望的计算公式
E(X)==
由方差的定义式，D(X)＝E(X－E(X))2
=
=
=
或用常用计算公式，有
D(X)=E(X2)－[E(X)]2=＝
求连续型随机变量的方差，主要是根据方差的定义式，计算D(X)=，
亦即计算随机变量的函数Y＝(X－E(X))2的期望．或用公式D(X)=E(X2)－(E(x))2，为此需首先计算随机变量的期望E(X)和随机变量的函数Y＝X2的期望.再代入方差计算公式．
在计算期望值时，要注意密度函数是分段函数的情况和密度函数是非0的区间．
计算期望是个无穷区间上的积分，但是密度函数只是在区间(0,1)上是非0值．
E(X－E(X))2正是随机变量函数Y＝(X－E(X))2的期望，它的计算公式为 .注意随机变量X的密度函数的非0区间是(0,1)．
D(X)=E(X2)－[E(X)]2是计算方差的一个有用公式．其中E(X2)是随机变量函数X2的期望，计算公式为
注意随机变量X的密度函数的非0区间是(0,1)．将计算所得E(X2)和E(X)代入计算公式即得．
8.n维随机变量例1 (二维离散型随机变量)?对某校五年200名学生进行调查，得到资料如下：
Y
X
工? 资? 等? 级
合计
I
II
III
IV
1
0.10
0.15
0.12
0.06
0.43
2
0.05
0.07
0.10
0.05
0.27
3
0.04
0.02
0.14
0.10
0.30
合? 计
0.19
0.24
0.36
0.21
1.00
在校成绩分1,2,3三个等级，用X表示，毕业后在工作时的工资分四个等级，用Y表示．表中的数是同时具有在校成绩和工资等级在200人中占的比例(即概率)．
求X，Y的边缘概率分布，问X与Y是否独立？
解:由表即得
P(X=i,Y=j)=pij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
如p11=0.10，p12=0.15，p13=0.12,,p33=0.14，p34=0.10
P(X=1)=p11+p12+p13+p14=0.10+0.15+0.12+0.06=0.43
P(X=2)=p21+p22+p23+p24=0.05+0.07+0.10+0.05=0.27
P(X=3)=p31+p32+p33+p34=0.04+0.02+0.14+0.10=0.30
P(Y=1)=p11+p21+p31=0.10+0.05+0.04=0.19
P(Y=2)=p12+p22+p32=0.15+0.07+0.02=0.24
P(Y=3)=p13+p23+p33=0.12+0.10+0.14=0.36
P(Y=4)=p14+p24+p34=0.06+0.05+0.10=0.21
因为P(X=1)P(Y=1)=0.43×0.19=0.0817?P(X=1.Y=1)=p11，
可知X与Y不独立．
已知二维离散型随机变量的联合概率分布pij，求关于随机变量X的边缘概率分布，是pij对j求和，即P(X=i)
求关于随机变量Y的边缘概率分布是pij对i求和，即P(Y=j)
判断随机变量是否独立的基本方法是验证P(X=i)P(Y=j)=P(X=i,Y=j)是否成立？
这是X与Y的联合概率分布，即? X＝1，Y＝1时的概率为p11=010，等等.
这是求X的概率分布，即边缘概率分布，当X＝1时，Y＝1，2，3，4时的所有概率之和，亦即表中水平数求和．
这是求Y的概率分布，即边缘概率分布，当Y＝1时，X＝1，2，3，时的所有概率之和，亦即表中竖直列的数求和,
随机变量X与Y独立的充分必要条件是对所有i，j，都有P(X=i)P(Y=j)=P(X=i,Y=j)，i=1,2,3；j=1,2,3,4,
本题找到了一个不成立，故X与Y不独立,
例2 (二维连续型随机变量)?已知二维随机变量X与Y的联合分布密度函数为
求随机变量X与Y各自的边缘分布密度，并判断X与Y是否独立？
解:求X的边缘密度函数，有
＝＝
＝
类似地，随机变量Y的边缘密度函数为
fY(y)＝
＝＝
因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以，随机变量X与Y独立．
由联合分布密度求边缘分布密度是对联合分布密度函数求积分，公式为 ，
一般这是一个无穷限的广义积分，有时联合分布密度是分段函数，要注意何时联合密度函数非0．若由联合分布函数，求联合密度函数是求导数或偏导数．
判断二维连续型随机变量是否独立的充分必要条件是验证f(x,y)= fX(x)fY(y)是否成立？
求X的边缘密度函数，
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝
例3 (n维随机变量的数字特征)? 设二维随机变量X与Y的联合分布密度为＝
(1)求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；(2) ，?XY．
解：(1)先求边缘分布密度
所以，
所以，
=
=
=
=
=
=
(2) 先计算E(XY)
=
=
所以，
XY=
求二维随机变量的数字特征，与一维随机变量的求法是相同的．
首先，求各自的边缘密度函数，公式为
于是，
=。
计算工具主要是广义积分，且主要用分部积分．
计算fX(x)要用一次分部积分.
计算E(X)要用一次分部积分，而计算E(Y)要用两次分部积分.
计算D(X)要用 两次分部积分，而计算D(X)要用三次分部积分.
计算E(XY)要用二重积分，由于被积函数f(x,y)=g(x)h(y)，因此实际上是两个无穷限的广义积分.
计算协方差和相关系数，只是代公式的问题．
二、综合练习
1.填空题
1.设p(x)是随机变量X的密度，则对任意a<b，都有P(a<X<b)=，
那么，X是连续性随机变量．
2．设离散型随机变量X有概率分布P(X=xi)=pi(i=1,2,…)，则pi满足,
3．随机变量X的方差D(X)是随机变量的期望．
4．设随机变量X～B(50,0.20),则E(X)=,
5．设正态分布X的密度函数是，则D(X)=.
6．随机变量X的分布函数F(x)是事件 的概率．
7．设连续型随机变量X的分布函数是
F(x)=
那么X的密度函数f(x)=,
8．设随机变量X与Y的密度函数分别为
X～ Y～
且X与Y独立，则(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=.
9．设随机变量X与Y独立，则相关系数?XY=
1.；2．；3．(X－E(X))2 ；4．10；5．0.5；6．{X?x}；
7．?；8．；9．0
2.单选题
1,设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布的是( ).
(A)
X
(B)
X
(C)
X
(D)
X
2．下列函数中，可以作为随机变量X密度函数的是( ).
(A) ；(B) ?
(C) ；(D)?p(x)＝e-?x (-?<x<+?)
3．设随机变量Y～B(n,p),且E(Y)=2.4，D(Y)=1.44，则参数n,p为( ).
(A)n=8,p=0.3；(B)n=6,p=0.6；(C)n=6,p=0.4；(D)n=24,p=0.1
4．设随机变量X～N(a,d)(d>0),则( )～N(0,1)．
(A)Z=dX+a；(B)Z=d2(X-a)；(C)；(D)
5．设随机变量X的密度函数为
f(x)=
X的分布函数记作F(x),则F(2)=,
(A)；(B) 1；(C)； (D)
6．设随机变量X，且E(X)存在，则E(X)是( ).
(A) X的函数；(B) 确定常数；(C)随机变量；(D)x的函数
7．设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij
则随机变量X的边缘概率分布为P(X=xi)=( )
(A)；(B)；(C) ；(D)
8．设(X，Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，X，Y的边缘密度函数分别为fX(x),fY(y),则E(XY)=( ).
(A) ；(B) ?
(C) ；(D)
1,B 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．A
3.多选题
1．下列函数在各自指定区间上是密度函数的为( )
(A) f(x)=；(B) f(x)=
(C) f(x)=；(D) f(x)=
2．设X～N(0,1),,则以下各式成立的是( )
(A)?(－x)=1－?(x)；(B)?(0)=0.5；(C)?(－x)=?(x)；(D)?(－x)=－?(x)
3．设随机变量X，E(X),D(X)都存在．则D(X)=( )
(A)E(X2)+E2(X)；(B)E2(x)－E(X2)；(C)E(X2)－E2(X)；(D)E[(X－E(X))2]
4．设随机变量X，E(X)=?,D(X)=?2都存在，令Y＝aX+b,则下式成立的是( )
(A)E(Y)=a?+b；(B)E(Y)=a?；(C)D(Y)=a2?2；(D) D(Y)=a2?2+b2
5．正态密度函数曲线有下列性质( )
(A)关于x=?(期望值)对称；(B)函数在x=?处有最大值(?2是方差)
(C)当x时，曲线无限趋近x轴；(D)从曲线顶点向左、右两侧快速下降
6．设随机变量X的分布函数为F(x)，分布函数F(x)满足的性质是( )
(A)0?F(x)?1，x?R；(B)F(x)是x的不减函数；
(C)；(D)F(x)是右连续的
7．设X，Y是二随机变量，则以下成立的是( )
(A)若X与Y独立，则X与Y不相关；(B)若X与Y不相关，则X与Y独立
(C)若X与Y相关，则X与Y不独立；(D)若X与Y不独立，则X与Y相关
8．设二随机变量X与Y相互独立，已知(X，Y)的联合密度函数f(x,y)，各自的边缘密度函数分别为fX(x)，fY(y)．则以下成立是( )
(A)f(x,y)=fX(x)fY(y)；(B)P(X?x，Y?y)=P(X?x,－?<y<+?)P(－?<x<+?,Y?y)
(C)E(XY)=E(X)E(Y)；(D)D(XY)=D(X)D(Y)
9.设二随机变量X与Y，则＝( )
(A)E[(X－E(X))(Y－E(Y))]；(B)?XY
(C)E(XY)－E(X)E(Y)；(D) 0
1．ABC；2．AB；3．CD；4．AC；5．ABCD；6．ABCD；7．AC；8．ABC；9.ABC
4.配伍题
1．设离散型随机变量X的概率分布P(X=xi)=kpi(i=1,2,3)，k的取值与下表可以构成概率分布的是
(A)
X
①
P
(B)
X
②
P
(C)
X
③
P
2．设X～N(0,1),则有P(?X?<k)=?．
(A)=0.6826；① k=3
(B)=0.9544；② k=2
(C)=0.9974；③ k=1
3．设连续型随机变量，下列函数在指定区间取非0值，能构成密度函数．
(A) f(x)=2x；① (0，1/2)
(B) f(x)=8x；② (0，1)?
(C)f(x)=16x；③(0，)
4．在相同条件下，用3种方法测量一个零件的长度(单位：)，由测量结果得到它们的长度为4.8? 4.9? 5.0 5.1 5.2,取值相应的概率分布如下，
(A) 第一种方法的概率：0.1? 0.1? 0.6? 0.1? 0.1① 好
(B) 第二种方法的概率：0.2? 0.2? 0.2? 0.2? 0.2② 中
(C) 第三种方法的概率：0.1? 0.2? 0.3? 0.2? 0.1③ 差
5．随机变量所服从的分布是
(A)设Z为1亩棉田内的害虫个数，则Z服从；①二项分布
(B)设X为某人打靶射击100次所命中的次数，则X服从；②指数分布
(C)设Y为一个元器件在出故障前连续工作的时数，则Y服从；③泊松分布
6．设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x)，则有
(A)f(x)=；①F(b)－F(a)=
(B)F(x)=；②F(x)，在f(x)的连续点上
(C)P(a<X?b)=；③
7．已知随机变量X的概率分布为
X
1
2
3
p
F(x)是X的分布函数，则有
(A) F(0.5)；① 1
(B) F(2.5)；②
(D)?F(3.1)；③ 0
8．已知随机变量(X,Y)的取值为(0,0),(－1,1),(－1,)，(2，0)
且相应的概率值为．则有
(A) (X,Y)的联合概率分布
(A) (X,Y)的联合概率分布
①
Y
X
0
1/3
1
－1
0
1/12
1/3
0
1/6
0
0
2
5/12
0
0
(B) X的边缘概率分布
②
随机变量
–1
0
2
pX
5/12
1/6
5/12
(C) Y的边缘概率分布
③
随机变量
0
1/3
1
pY
7/12
1/12
1/3
1．A? ②；B ③；C ①；2．A ③；B ②；C ①；
3．A ②；B ①；C ③； 4．A ①；B ③；C ②；
5．A ③；B ①；C ②； 6．A ②；B ③；C ①；
7．A ③；B ②；C ①； 8．A ①；B ②；C ③；
5.是非题
1．表
X
p
0.20
0.70
0.10
0.00
是随机变量的概率分布．( )
2．指数分布
（?>0）的期望和方差都是．( )
3．设随机变量X服从泊松分布,则E(X)=D(X)=?．( )
4．设X服从区间[2，5]上的均匀分布，则E(X)=3.5．( )
5．离散型随机变量X的分布函数是分段函数．( )
6．设随机变量X的方差存在，则X的方差D(X)的计算公式为E[X－E(X)]．( )
7．设fX(x)是二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布密度，则
＝1．( )
8．设二维随机变量(X，Y)的相关系数?XY=0，则协方差＝0．(? )
1．√； 2．×； 3．√； 4．√； 5．√； 6．×； 7．√；?8．√；
6.计算题
1．设随机变量X的密度为
(1) 求P(4<X<5)； (2) 求常数a，使P(X<a)=P(X>a)．
2．某车间有12台机床，每台机床都常常需要停机，车间里任一时刻机床停机的台数记为X，根据统计，X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
5
6
p
0.0077
0.0462
0.1272
0.2120
0.2384
0.1908
0.1113
X
7
8
9
10
11
12
p
0.0477
0.0149
0.0035
0.0005
0.0003
0
(1) 求任一时刻停机在5台以上的概率;
(2) 求任一时刻停机不超过4台的概率;
(3) 求任一时刻平均有几台机床停机．
3．设X～N(－5,81)，计算概率P( 0<X<8 )，P( X>－25 ).
4．设X～N(108，9 )，(1)求P(101.1<X<117.6)；(2)求常数a，使得P(X<a)=0.9。
5．某类钢丝的抗拉强度服从均值为100()，标准差为5()的正态分布，求抗拉强度在90～110()之间的概率．
6．汽车需通过设有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地，设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率都是0.4．
(1)求汽车停车次数的概率分布；(2)求停车次数不超过2次的概率；
(3)平均停车的次数．
7．调查结果表明，某地区科技人员的年龄X（岁）有如下密度函数
(1)试确定常数k；(2)计算该地区科技人员的平均年龄；
(3)求小于平均年龄的科技人员的人数和大于平均年龄的科技人员的人数各占百分之几？
8．已知X～B(4，)．求
(1)Y＝2X的概率分布；(2)Y=的概率分布．
9．设X～N(?，?2)，求Y＝bX+a(b>0)的密度函数．
10.已知随机变量X～
求随机变量X的分布函数．
11,设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求(1) 系数A； (2) X,Y的边缘分布密度．
12,已知X与Y是两个随机变量，X表示随机地从1～4的四个整数中取出的一个整数，Y表示随机地从1～X的整数中取出的一个整数．求(X，Y)的联合分布．
13,设二随机变量X与Y，已知D(X)=25，D(Y)=36，?XY=0.4．
计算 D(X+Y)和D(X－Y)．
1．(1) 0.26；(2) ；2．(1)0.178；(2)0.6315；(3)4.0049；
3．0.2128；0.9868；4．(1)0.9886；(2)111.84；5．0.9544；
6．(1)；(2)0.8208；(3)1.6；
X
0
1
2
3
4
P
0.129 6
0,345 6
0.345 6
0.153 6
0.025 6
7．(1)?；(2)41；(3)0.543；0.457；
8．(1)
Y
0
2
4
6
8
(2)
Y
0
/2
1
9．Y～N(a+b?，(b?)2)；10．F(x)=；
11．(1)；(2)；；12．联合分布列为
X Y
1
2
3
4
1
1/4
0
0
0
1/4
2
1/8
1/8
0
0
1/4
3
1/12
1/12
1/12
0
1/4
4
1/16
1/16
1/16
1/16
1/4
25/48
13/48
7/48
3/48
1
注意：表的末列是X的边缘概率分布；末行是Y的边缘概率分布．
13．85；37,
三、第十章作业
1,菜场根据以往零售某种蔬菜的经验知道，进货后，第1天售出的概率是50％，每10公斤的毛利是10元；第2天售出30％，每10公斤的毛利是5元；第3天能全部售出，其毛利只有每10公斤1元．求每10公斤毛利X的概率分布．
2,按照规定，某种型号灯管的使用寿命超过5000小时为一级品．现已知一大批此种灯管中的一级品率为0.2，从中任意抽测10只，问这10只灯管中恰有k只为一级品的概率是多少？
3,某市每天的用电量不超过百万瓦，用Z表示每天的耗电率，即耗电率等于用电量/百万瓦，设Z具有密度函数
若该市每天供应的电量只有80万瓦，求每天供应的电量不够的概率，每天供电量为90万瓦呢？
4,设X～N(1,0.62)，求P(X>0),P(0.2<X<1.8)．
5,设X～N(),分别求
0.95,
0.90,
和 0.99
时相应的k值．又k取什么值有P(X>?－k?)=0.95．
6,设随机变量X的分布密度为
试求X的分布函数F（x）．
7．设随机变量X的概率分布为
X
-2
0
2
4
p
求（1）X+2，（2）1－X，（3）X2的概率分布．
8．设随机变量X?N（0，?2），求Y=的分布密度fY（y）．
9,甲,乙两台机床同时生产一种产品，生产1000个产品所出的次品数分别用X，Y表示，根据以往经验知道它们的概率分布为
次? 品? 个? 数
0
1
2
3
甲的次品概率分布
0．7
0．1
0．1
0．1
乙的次品概率分布
0．5
0．3
0．2
0
试比较两台机床的优劣．
10,设随机变量Y的概率分布为
P(Y=k)=
试确定常数c，并求E(Y),D(Y)．
11,设连续型随机变量X的密度函数为
(1) 试确定常数A
(2) 求概率P(<－2<X<0.5)
(3) 求E(X),D(X)
12,设随机变量X的密度函数为
f(x)=
且E(X)=3/5，试确定系数a，b，并求D(X)．
13,设随机变量X的密度函数为
f(x)=
求E(X),D(X),E(X－a)，D(X－a)．
14.对球的直径作测量，设其测量值均匀地分布在[a,b]内，求球体积的期望值．
15.某产品的质量指标X～N(160,?2)(单位：毫米)，若要求
P(120<X<200)?0.80
问允许?最大为多少？
答
1.?设X为每10公斤的毛利(单位：元)．
X
1
5
10
pX
0.2
0.3
0.5
2,．
3,0.0272； 仍缺电，0.0037．
4,0.952 5；0.816 4．
5,1.96；1.65? 2.58；1.65,
6,
7,
X
－2
－
0
2
4
Y=X+2
0
2
4
6
Z=1－X
3
1
－1
－3
S=X2
0
4
8,
9,甲优．
10,；E(X)=；D(X)=．
11,(1) ；(2) ；(3) E(X)=；D(X)=．
12,．
13.．
14.．
15,31.25．
