第八单元 二维随机变量一、学习目标通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题.
二、内容讲解
1.离散型随机变量的联合分布离散型的二维随机变量(X,Y)
Y=
x1
x2
x3
y1
p11
p12
p13
y2
p21
p22
p23
也可以用矩阵，称矩阵为二维离散型随机变量的联合概率分布.
2.二维随机变量的联合分布函数
F(x,y)=P(X?x，Y?y)，称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.
3.二维连续型随机变量联合密度函数二维随机变量(X，Y)，若，称为二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数，或简称联合密度．
联合分布密度函数为应有性质：
(1)?0； (2)＝1
4.随机变量的独立性随机变量的独立性是概率统计中的重要概念．在研究随机现象时经常遇到这样的随机随机变量：其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响．
若二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数为，则有
＝
＝
＝
称随机变量X与Y相互独立的.
问题思考：二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗？
答案不完全是一回事．边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质，但从整体来看，边缘分布在三维空间考虑，而一维分布只在平面上考虑．例如F(x)是X的分布函数，它表示X的值落在区间(－?,x]上的概率．若X是连续型随机变量，F(x)表示面积．如果X是二维随机变量的一个分量，则它的分布函数FX(x)表示(X,Y)的取值落在区域(－?<X?x，－?<Y<+?)上的概率．当(X,Y)是连续型时，FX(x)表示某个面积．
三、例题讲解例1 设在袋中有8只球，4红，1白，3黑，从袋中不放回地随机摸4个球，用X表示其中的红球数，Y表示其中的白球数.
(1)写出(X,Y)的联合概率分布,(2)求红球比白球多2的概率.
解? (1) 显然X可能取值是0，1，2，3，4．Y的可能取值是0，1.(X，Y)是二维离散型随机变量．于是其联合概率分布为
X=
Y=
0
1
2
3
4
0
0
1
0
具体计算如下；P(X=0，Y=0)=0
P(X=1，Y=0)=?
P(X=2，Y=0)=
P(X=3，Y=0)=
P(X=4，Y=0)=
P(X=0，Y=1)=，P(X=1，Y=1)=，
P(X=2，Y=1)=，P(X=3，Y=1)=，P(X=4，Y=1)=0
(2)?所求为P(X－Y＝2).
P(X－Y＝2)＝P(X=2,Y=0)+P(X=3，Y=1)＝
例2设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
求概率P((X,Y)?G)，其中G是平面区域(右图)．
解：P((X,Y)?G)＝
＝＝＝
＝＝=
四、课堂练习练习1 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为
Y
X
1
2
3
1
2
求：(1) 概率值P(X<2,Y?2)；
(2) 随机变量X与Y的边缘概率分布；
(3) 概率值P(Y<2)，P(X?1)；
(4) 问随机变量X与Y独立吗？
分析：随机变量X只能取值1，2，而随机变量Y只能取值1，2，3．X<2与Y?2，都包括哪些X和Y的取值．
(1)P(X<2,Y?2)=P(－?<X<2，－?<Y?2)
＝P({－?<X<1}?{X＝1}?{1<X<2},
{－?<Y<1}?{Y=1}?{!<Y<2}?{Y=2})=P({X=1},{Y=1}?{Y=2})
=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=?
已知联合概率分布，求概率值，要弄清X，Y的取值哪些在所指定的范围内，这些联合概率分布的概率值相加．求X的边缘概率分布，是对Y的取值求和．判断独立性用定理的充分必要条件．
练习2已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求：(1)概率值P(－1<X?，Y?1)
(2)概率值P(0.5?Y<1.8)；
(3)随机变量X和Y的边缘分布密度；
(4)试问随机变量X与Y独立吗？
分析：这是二维连续型随机变量求概率值的问题，根据定义式，就是求二重积分.所有积分都是在使联合分布密度非0的区域上积分，而求X的边缘分布密度是联合分布密度对y的积分，Y的边缘分布密度是对x的积分．判断独立性用定理．要弄清联合分布密度在哪个区域，将概率值的式子化为二重积分．
当(x,y)?D1èD3时，联合分布密度f(x,y)=0．P(－1<X￡，Y31)＝P(D1èD2èD3)＝P(D1)+P(D2)+P(D3)＝P(D2)＝＝＝=
五、课后作业
1,设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下：
X
0
1
2
3
4
5
6
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.11
求X和Y的边缘概率分布，并判断X与Y是否独立．
2.如二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)?a<x<b,c<y<d}内服从均匀分布，试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度，并问X与Y相互独立吗？
3,设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求(1) 系数A；(2)X,Y的边缘分布密度．
4.已知随机变量X与Y相互独立，并且它们的密度函数分别为
求(X,Y)的联合分布密度和概率值P(－2<X<2,5，－3<Y?5)．
5,一台机器制造直径为X的圆轴，另一台机器制造内径为Y的轴衬．设(X,Y)的联合分布密度为
轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036时两者可以适衬．求任一轴与任一轴衬适衬的概率．
1.
X
0
1
2
3
PX
0.627
0.260
0.095
0.018
Y?
0
1
2
3
4
5
6
PY
0.202
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029
X与Y不独立．
2.
;? X与Y独立．
3.(1)A=；(2) ；
4.；
5,0.96．
二、内容讲解
1.离散型随机变量的联合分布离散型的二维随机变量(X,Y)
Y=
x1
x2
x3
y1
p11
p12
p13
y2
p21
p22
p23
也可以用矩阵，称矩阵为二维离散型随机变量的联合概率分布.
2.二维随机变量的联合分布函数
F(x,y)=P(X?x，Y?y)，称F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.
3.二维连续型随机变量联合密度函数二维随机变量(X，Y)，若，称为二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数，或简称联合密度．
联合分布密度函数为应有性质：
(1)?0； (2)＝1
4.随机变量的独立性随机变量的独立性是概率统计中的重要概念．在研究随机现象时经常遇到这样的随机随机变量：其中一些随机变量的取值对其余随机变量没有什么影响．
若二维随机变量(X,Y)的联合分布密度函数为，则有
＝
＝
＝
称随机变量X与Y相互独立的.
问题思考：二维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布是一回事吗？
答案不完全是一回事．边缘分布看作某个分量的分布时就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质，但从整体来看，边缘分布在三维空间考虑，而一维分布只在平面上考虑．例如F(x)是X的分布函数，它表示X的值落在区间(－?,x]上的概率．若X是连续型随机变量，F(x)表示面积．如果X是二维随机变量的一个分量，则它的分布函数FX(x)表示(X,Y)的取值落在区域(－?<X?x，－?<Y<+?)上的概率．当(X,Y)是连续型时，FX(x)表示某个面积．
三、例题讲解例1 设在袋中有8只球，4红，1白，3黑，从袋中不放回地随机摸4个球，用X表示其中的红球数，Y表示其中的白球数.
(1)写出(X,Y)的联合概率分布,(2)求红球比白球多2的概率.
解? (1) 显然X可能取值是0，1，2，3，4．Y的可能取值是0，1.(X，Y)是二维离散型随机变量．于是其联合概率分布为
X=
Y=
0
1
2
3
4
0
0
1
0
具体计算如下；P(X=0，Y=0)=0
P(X=1，Y=0)=?
P(X=2，Y=0)=
P(X=3，Y=0)=
P(X=4，Y=0)=
P(X=0，Y=1)=，P(X=1，Y=1)=，
P(X=2，Y=1)=，P(X=3，Y=1)=，P(X=4，Y=1)=0
(2)?所求为P(X－Y＝2).
P(X－Y＝2)＝P(X=2,Y=0)+P(X=3，Y=1)＝
例2设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
求概率P((X,Y)?G)，其中G是平面区域(右图)．
解：P((X,Y)?G)＝
＝＝＝
＝＝=
四、课堂练习练习1 已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为
Y
X
1
2
3
1
2
求：(1) 概率值P(X<2,Y?2)；
(2) 随机变量X与Y的边缘概率分布；
(3) 概率值P(Y<2)，P(X?1)；
(4) 问随机变量X与Y独立吗？
分析：随机变量X只能取值1，2，而随机变量Y只能取值1，2，3．X<2与Y?2，都包括哪些X和Y的取值．
(1)P(X<2,Y?2)=P(－?<X<2，－?<Y?2)
＝P({－?<X<1}?{X＝1}?{1<X<2},
{－?<Y<1}?{Y=1}?{!<Y<2}?{Y=2})=P({X=1},{Y=1}?{Y=2})
=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=?
已知联合概率分布，求概率值，要弄清X，Y的取值哪些在所指定的范围内，这些联合概率分布的概率值相加．求X的边缘概率分布，是对Y的取值求和．判断独立性用定理的充分必要条件．
练习2已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求：(1)概率值P(－1<X?，Y?1)
(2)概率值P(0.5?Y<1.8)；
(3)随机变量X和Y的边缘分布密度；
(4)试问随机变量X与Y独立吗？
分析：这是二维连续型随机变量求概率值的问题，根据定义式，就是求二重积分.所有积分都是在使联合分布密度非0的区域上积分，而求X的边缘分布密度是联合分布密度对y的积分，Y的边缘分布密度是对x的积分．判断独立性用定理．要弄清联合分布密度在哪个区域，将概率值的式子化为二重积分．
当(x,y)?D1èD3时，联合分布密度f(x,y)=0．P(－1<X￡，Y31)＝P(D1èD2èD3)＝P(D1)+P(D2)+P(D3)＝P(D2)＝＝＝=
五、课后作业
1,设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下：
X
0
1
2
3
4
5
6
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.11
求X和Y的边缘概率分布，并判断X与Y是否独立．
2.如二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)?a<x<b,c<y<d}内服从均匀分布，试求其联合分布密度和各自的边缘分布密度，并问X与Y相互独立吗？
3,设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为
求(1) 系数A；(2)X,Y的边缘分布密度．
4.已知随机变量X与Y相互独立，并且它们的密度函数分别为
求(X,Y)的联合分布密度和概率值P(－2<X<2,5，－3<Y?5)．
5,一台机器制造直径为X的圆轴，另一台机器制造内径为Y的轴衬．设(X,Y)的联合分布密度为
轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036时两者可以适衬．求任一轴与任一轴衬适衬的概率．
1.
X
0
1
2
3
PX
0.627
0.260
0.095
0.018
Y?
0
1
2
3
4
5
6
PY
0.202
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029
X与Y不独立．
2.
;? X与Y独立．
3.(1)A=；(2) ；
4.；
5,0.96．
