第六单元 数学期望一、学习目标通过本节课的学习，认识数学期望是最好的代表性数字，并能利用定义和性质，熟练地进行数学期望的计算．
二、内容讲解
1.定义3.4数学期望如果随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
...
xk
...
pk
p1
p2
...
pk
...
则称和数 x1p1+x2p2+…+xkpk+…=为X的数学期望或期望，记作E(X)．
E（X）=
如果随机变量X的密度函数为f(x),则称为X的数学期望或期望，记作E(X)．
2.常见分布的期望
（1）二点分布随机变量X的概率分布为
X
1
0
pk
P
1－p
则E(X)=1×p+0×(1－p)=p
（2）二项分布X～B（n,p）
X
0
1
...
k
...
n
pk
(1－p)n
...
...
pn
E(X)==np
（3）泊松分布X～?(?)
P(X=k)=(k=0,1,2,…)
E(X)=?
（4）均匀分布
X～f(x)=
E(X)==
（5）正态分布
X～f(x)=
E(X)==+=?
3.随机变量函数的期望我们提这样一个问题，若X为随机变量，问X2是随机变量吗？若X的概率分布为
X
x1
x2
x3
pk
p1
p2
p3
你会计算E(X2)吗？下面我们讨论这个问题．
离散型
X
x1
x2
...
xk
...
pk
p1
p2
...
pk
...
E(X)=
连续型X～f(x)，E(X)=
若X为随机变量，则X2也是随机变量，且
X
x1
x2
x3
Pk
p1
p2
p3
有
Y＝X2
Pk
p1
p2
p3
一般地，设X是随机变量，Y=g(x)是连续函数，Y=g(X)亦是随机变量．且有
E(Y)=E(g(X))=
问题思考1,数学期望E(X)是随机变量吗？能将数学期望写成E(x)吗？
答案不是．不成．E(X)是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写成E(x),因为x是普通变量，有E(x)=x．
问题思考2,数学期望E(X)=视为加权平均，那么它的权是什么？
答案它的权是随机变量X取值xk的概率值pk．
三、例题讲解例1：假设A，B两个工人生产同一种产品，日产量相同．在一天中出现的不合格品件数分别为X（件）和Y（件），它们的概率分布为
X
0
1
2
3
4
Y
0
1
2
3
4
pk
0.4
0.3
0.2
0.1
0
pk
0.5
0.1
0.2
0.1
0.1
试比较两工人技术情况．
解：E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1
E(Y)＝0×0.5+1×0.1+2×0.2 +3×0.1+4×0.1=1.2
平均而言，工人A比工人B的技术好些.
例2：设连续型随机变量X的密度为f(x)=
求E(X).
解：先确定常数A．因为
所以
E(X)==
例3：一管理员拿10把钥匙去试开一房门，只有1把钥匙能打开此房门．他随机拿出1把钥匙试开，如若打不开，就把这钥匙放在一旁，再随机取出1把试开，直至把房门打开为止．问平均试开几次能把房门打开．
解：设X为试开第x次打开了房门，有X＝1，2，…，10
P(X＝1)=0.1
P(X＝2)＝
P(X＝10)＝=0.1
于是，能打开房门的平均次数为
E(X)＝1×0.1+2×0.1+…＋10×0.1＝
例4 设X～f(x)=,求E(X2－X+1).
解:由随机变量函数的期望公式
E(X2－X＋1)＝=
=
四、课堂练习练习1假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球就不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的平均数．
解：设X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X＝0,1,2,3．旧球只有3个，X表示取得的旧球个数．因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的平均，设终止前取得的旧球个数为随机变量X为好．这是离散型随机变量的数学期望问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，最后代入数学期望的计算公式．
练习2 设连续型随机变量X的分布函数为求：E(X)．
解：已知随机变量的分布函数F(x)，连续型随机变量的分布函数与其密度函数的关系为f(x)=F(x)，当x<0时，F(x)=0,故f(x)=0；当x〉0时，f(x)=F(x)=(1－e－x) =1－(e－x)=e－x。连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数．已知连续型随机变量的分布函数求期望，首先求其密度函数，然后依据数学期望的定义式，计算广义积分．注意其密度函数是分段函数的情况．
五、课后作业
1.已知随机变量X的概率分布为：求E(X)．
2.在某城市观看足球比赛，出席观看的球迷人数如下：
当天气非常冷时，有35000人；当天气较冷时，有40000人；当天气较暖和时，有48000人；当天气暖和时，有60000人．若上述四种天气的概率分别为0.08,0.42,0.43,0.07，问每场比赛期望观看的球迷有多少？
3.在射击比赛中，每人射4次(每次1发)，约定全都不命中得0分；只中1发得15分；中2发得30分；中3发得55分；中4发得100分．某人每次射击的命中率为0.5,问他期望能得多少分？
4.设随机变量X的密度函数为f(x)=
求X的期望值．
5.设随机变量X的密度为
求E(X)．
6.对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间[a,b]．求圆面积的期望值．
1.11；2.44440；3.35；4.；5.0；6.(a2+ab+b2)
二、内容讲解
1.定义3.4数学期望如果随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
...
xk
...
pk
p1
p2
...
pk
...
则称和数 x1p1+x2p2+…+xkpk+…=为X的数学期望或期望，记作E(X)．
E（X）=
如果随机变量X的密度函数为f(x),则称为X的数学期望或期望，记作E(X)．
2.常见分布的期望
（1）二点分布随机变量X的概率分布为
X
1
0
pk
P
1－p
则E(X)=1×p+0×(1－p)=p
（2）二项分布X～B（n,p）
X
0
1
...
k
...
n
pk
(1－p)n
...
...
pn
E(X)==np
（3）泊松分布X～?(?)
P(X=k)=(k=0,1,2,…)
E(X)=?
（4）均匀分布
X～f(x)=
E(X)==
（5）正态分布
X～f(x)=
E(X)==+=?
3.随机变量函数的期望我们提这样一个问题，若X为随机变量，问X2是随机变量吗？若X的概率分布为
X
x1
x2
x3
pk
p1
p2
p3
你会计算E(X2)吗？下面我们讨论这个问题．
离散型
X
x1
x2
...
xk
...
pk
p1
p2
...
pk
...
E(X)=
连续型X～f(x)，E(X)=
若X为随机变量，则X2也是随机变量，且
X
x1
x2
x3
Pk
p1
p2
p3
有
Y＝X2
Pk
p1
p2
p3
一般地，设X是随机变量，Y=g(x)是连续函数，Y=g(X)亦是随机变量．且有
E(Y)=E(g(X))=
问题思考1,数学期望E(X)是随机变量吗？能将数学期望写成E(x)吗？
答案不是．不成．E(X)是一个确定的数，不是随机变量．不能把数学期望写成E(x),因为x是普通变量，有E(x)=x．
问题思考2,数学期望E(X)=视为加权平均，那么它的权是什么？
答案它的权是随机变量X取值xk的概率值pk．
三、例题讲解例1：假设A，B两个工人生产同一种产品，日产量相同．在一天中出现的不合格品件数分别为X（件）和Y（件），它们的概率分布为
X
0
1
2
3
4
Y
0
1
2
3
4
pk
0.4
0.3
0.2
0.1
0
pk
0.5
0.1
0.2
0.1
0.1
试比较两工人技术情况．
解：E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0=1
E(Y)＝0×0.5+1×0.1+2×0.2 +3×0.1+4×0.1=1.2
平均而言，工人A比工人B的技术好些.
例2：设连续型随机变量X的密度为f(x)=
求E(X).
解：先确定常数A．因为
所以
E(X)==
例3：一管理员拿10把钥匙去试开一房门，只有1把钥匙能打开此房门．他随机拿出1把钥匙试开，如若打不开，就把这钥匙放在一旁，再随机取出1把试开，直至把房门打开为止．问平均试开几次能把房门打开．
解：设X为试开第x次打开了房门，有X＝1，2，…，10
P(X＝1)=0.1
P(X＝2)＝
P(X＝10)＝=0.1
于是，能打开房门的平均次数为
E(X)＝1×0.1+2×0.1+…＋10×0.1＝
例4 设X～f(x)=,求E(X2－X+1).
解:由随机变量函数的期望公式
E(X2－X＋1)＝=
=
四、课堂练习练习1假设袋中装有12个球其中9个新球，3个旧球．从中任取1球，如果取出的是旧球就不再放回，再任取1个球．直至取得新球为止．求在取得新球以前取出的旧球的平均数．
解：设X＝(取得新球以前取得的旧球个数)，显然旧球只有3个，故X＝0,1,2,3．旧球只有3个，X表示取得的旧球个数．因为只有3个旧球，若连续三次都取得旧球，第四次必定终止．是否第四次终止呢？所求是终止前取得的旧球个数的平均，设终止前取得的旧球个数为随机变量X为好．这是离散型随机变量的数学期望问题．首先确定这个随机变量的可能取值，其次求这个随机变量的概率分布，最后代入数学期望的计算公式．
练习2 设连续型随机变量X的分布函数为求：E(X)．
解：已知随机变量的分布函数F(x)，连续型随机变量的分布函数与其密度函数的关系为f(x)=F(x)，当x<0时，F(x)=0,故f(x)=0；当x〉0时，f(x)=F(x)=(1－e－x) =1－(e－x)=e－x。连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数．已知连续型随机变量的分布函数求期望，首先求其密度函数，然后依据数学期望的定义式，计算广义积分．注意其密度函数是分段函数的情况．
五、课后作业
1.已知随机变量X的概率分布为：求E(X)．
2.在某城市观看足球比赛，出席观看的球迷人数如下：
当天气非常冷时，有35000人；当天气较冷时，有40000人；当天气较暖和时，有48000人；当天气暖和时，有60000人．若上述四种天气的概率分别为0.08,0.42,0.43,0.07，问每场比赛期望观看的球迷有多少？
3.在射击比赛中，每人射4次(每次1发)，约定全都不命中得0分；只中1发得15分；中2发得30分；中3发得55分；中4发得100分．某人每次射击的命中率为0.5,问他期望能得多少分？
4.设随机变量X的密度函数为f(x)=
求X的期望值．
5.设随机变量X的密度为
求E(X)．
6.对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间[a,b]．求圆面积的期望值．
1.11；2.44440；3.35；4.；5.0；6.(a2+ab+b2)
