第五单元 分布函数与函数的分布一、学习目标通过本节课的学习，认识分布函数的概念，会求简单的分布函数．知道随机变量的函数仍是随机变量，因此知道该函数有分布．
二、内容讲解
1.分布函数设X是连续型随机变量，密度函数为f(x)，则事{X?x}的概率，即称为随机变量X的分布函数．有
F?(x)=f(x)（在f(x)的连续点）
几何上看,y
F(x) f(x)
事件{X?x}的概率，等于由－?至x，密度f(x)与x轴围成的面积．
2.随机变量函数的分布设X是随机变量，y=g(x)是一个函数，如果当随机变量X取值x时，随机变量Y按y=g(x)取值，则称Y为随机变量X的函数，记作Y＝g(X)
如果X是离散型随机变量，其概率分布为P(X=xk)=pk(k=1,2,…)，
则随机变量Y的概率分布为P(Y=yk)=P(Y=g(xk))=pk(k=1,2,…)
问题思考：连续型随机变量X的分布函数为F(x)=，其中密度函数f(x)可以大于1，那么F(x)可以大于1吗？
答案 不可以．因为分布函数是事件{X?x}的概率，概率显然只能是大于或等于0，小于或等1的数值．
三、例题讲解例1:求二点分布的分布函数．
解:二点分布的概率分布为
X
1
0
pk
p
1－p
分布函数F(x)=P(X?x)＝．
当x<0时，事件{X=0}不包含在事件{X?x}内．
F(x)=P(X?x)=0
当0?x<1时，事件{X?x}={－?<X?0?X=0?0<X?x}，所以
F(x)=P(X?x)=P(－?<X<0)+P(X=0)+P(0<X?x)
=0+1－p+0=1－p
当x?1时，有F(x)=P(X?x)
=P(－?<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<X?x)
=0+1－p+0+p=1
于是二点分布的分布函数为F(x)=
二点分布的分布函数F(x)图形如下：
可见，二点分布的分布函数是一个右连续的曲线．任何离散型随机变量的分布函数都是右连续的分段函数．
例2:求均匀分布的分布函数．
解:均匀分布的密度函数为f(x)=
分布函数F(x)=P(X?x)．
当x<a时，f(x)=0，F(x)=P(X?x)＝
当a?x<b时，f(x)=，事件{X?x}={－?<X<a}?{a?X?x}
F(x)=P(X?x)=P(－?<X<a)+P(a?X?x)
＝
＝
当x?b时，F(x)=P(X?x)=P(－?<X<a)+P(a?X<b)+P(b?X?x)
＝＝1
F(x)=，F(x)的图形如下：
所有连续型随机变量的分布函数都是一个连续曲线．
例3：已知随机变量X的概率分布
X
0
2
5
pk
求Y＝2X＋1的概率分布．
分析：按照随机变量函数的定义，已知X的概率分布P(X=xk)=pk．那么Y的取值正是yk=g(xk)，而P(Y=yk)与P(X=xk)是相同的．
解：已知随机变量X的概率分布，求随机变量函数Y的概率分布.按所给公式，y=2x+1，于是P(Y=yk)=P(Y=g(xk))＝P(Y=2xk+1)=pk
因为
X
0
2
5
pk
当x=0,2,5时，y＝2x+1=1,5,11，于是得到Y的概率分布为
(已知函数为y=g(x)=2x+1，故Y的取值就是X的取值的两倍加1，
即Y＝1，5，11．概率值与X的取值概率一样.)
Y
1
5
11
P(Y=yk)
四、课堂练习练习1 袋中装有分别写上1，2，3，4，5的球．从中一次任取3球，所取3球中最大数字是一随机变量，求该随机变量的分布函数．
求分布函数，首先求出X的概率分布．为此先确定X的可能取值，再用分布函数定义求分布函数．一次取3个球，所以球上数字不重复，X为3球中最大数字，故X最小是3．X表示所取3球中最大数字，X最小取3，还可以取4，5．故X可能取值为3，4，5．
练习2 设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)=
求随机变量X的分布函数．
求分布函数就是按分布函数的定义，求事件{X?x}的概率，即事件{－?<X?x}的概率．对于连续型随机变量，它的分布函数是密度函数的一个变上限的定积分，所以求分布函数主要是计算定积分的问题．但是不少的密度函数是分段函数，要注意密度函数的变化．此时，密度函数f(x)=0，故F(x)=0
五、课后作业
1.设随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
Pk
求随机变量X的分布函数．
2.设随机变量X的密度函数为f(x)=
求随机变量X的分布函数．
3.设随机变量X的分布函数为
F(x)=
求：(1)系数A，B；(2)X取值在()内的概率；(3)X的密度函数．
4,已知随机变量X的概率分布为
X
1
0
1
2
3
4
pk
求：(1)Y=1－X；(2)Z=(X－1)2的概率分布．
1,;2,
3.(1)A=;B=.(2);(3)
4.（1）
Y
2
1
0
－1
－2
－3
pY
（2）
Z
0
1
4
9
pZ
二、内容讲解
1.分布函数设X是连续型随机变量，密度函数为f(x)，则事{X?x}的概率，即称为随机变量X的分布函数．有
F?(x)=f(x)（在f(x)的连续点）
几何上看,y
F(x) f(x)
事件{X?x}的概率，等于由－?至x，密度f(x)与x轴围成的面积．
2.随机变量函数的分布设X是随机变量，y=g(x)是一个函数，如果当随机变量X取值x时，随机变量Y按y=g(x)取值，则称Y为随机变量X的函数，记作Y＝g(X)
如果X是离散型随机变量，其概率分布为P(X=xk)=pk(k=1,2,…)，
则随机变量Y的概率分布为P(Y=yk)=P(Y=g(xk))=pk(k=1,2,…)
问题思考：连续型随机变量X的分布函数为F(x)=，其中密度函数f(x)可以大于1，那么F(x)可以大于1吗？
答案 不可以．因为分布函数是事件{X?x}的概率，概率显然只能是大于或等于0，小于或等1的数值．
三、例题讲解例1:求二点分布的分布函数．
解:二点分布的概率分布为
X
1
0
pk
p
1－p
分布函数F(x)=P(X?x)＝．
当x<0时，事件{X=0}不包含在事件{X?x}内．
F(x)=P(X?x)=0
当0?x<1时，事件{X?x}={－?<X?0?X=0?0<X?x}，所以
F(x)=P(X?x)=P(－?<X<0)+P(X=0)+P(0<X?x)
=0+1－p+0=1－p
当x?1时，有F(x)=P(X?x)
=P(－?<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<X?x)
=0+1－p+0+p=1
于是二点分布的分布函数为F(x)=
二点分布的分布函数F(x)图形如下：
可见，二点分布的分布函数是一个右连续的曲线．任何离散型随机变量的分布函数都是右连续的分段函数．
例2:求均匀分布的分布函数．
解:均匀分布的密度函数为f(x)=
分布函数F(x)=P(X?x)．
当x<a时，f(x)=0，F(x)=P(X?x)＝
当a?x<b时，f(x)=，事件{X?x}={－?<X<a}?{a?X?x}
F(x)=P(X?x)=P(－?<X<a)+P(a?X?x)
＝
＝
当x?b时，F(x)=P(X?x)=P(－?<X<a)+P(a?X<b)+P(b?X?x)
＝＝1
F(x)=，F(x)的图形如下：
所有连续型随机变量的分布函数都是一个连续曲线．
例3：已知随机变量X的概率分布
X
0
2
5
pk
求Y＝2X＋1的概率分布．
分析：按照随机变量函数的定义，已知X的概率分布P(X=xk)=pk．那么Y的取值正是yk=g(xk)，而P(Y=yk)与P(X=xk)是相同的．
解：已知随机变量X的概率分布，求随机变量函数Y的概率分布.按所给公式，y=2x+1，于是P(Y=yk)=P(Y=g(xk))＝P(Y=2xk+1)=pk
因为
X
0
2
5
pk
当x=0,2,5时，y＝2x+1=1,5,11，于是得到Y的概率分布为
(已知函数为y=g(x)=2x+1，故Y的取值就是X的取值的两倍加1，
即Y＝1，5，11．概率值与X的取值概率一样.)
Y
1
5
11
P(Y=yk)
四、课堂练习练习1 袋中装有分别写上1，2，3，4，5的球．从中一次任取3球，所取3球中最大数字是一随机变量，求该随机变量的分布函数．
求分布函数，首先求出X的概率分布．为此先确定X的可能取值，再用分布函数定义求分布函数．一次取3个球，所以球上数字不重复，X为3球中最大数字，故X最小是3．X表示所取3球中最大数字，X最小取3，还可以取4，5．故X可能取值为3，4，5．
练习2 设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)=
求随机变量X的分布函数．
求分布函数就是按分布函数的定义，求事件{X?x}的概率，即事件{－?<X?x}的概率．对于连续型随机变量，它的分布函数是密度函数的一个变上限的定积分，所以求分布函数主要是计算定积分的问题．但是不少的密度函数是分段函数，要注意密度函数的变化．此时，密度函数f(x)=0，故F(x)=0
五、课后作业
1.设随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
Pk
求随机变量X的分布函数．
2.设随机变量X的密度函数为f(x)=
求随机变量X的分布函数．
3.设随机变量X的分布函数为
F(x)=
求：(1)系数A，B；(2)X取值在()内的概率；(3)X的密度函数．
4,已知随机变量X的概率分布为
X
1
0
1
2
3
4
pk
求：(1)Y=1－X；(2)Z=(X－1)2的概率分布．
1,;2,
3.(1)A=;B=.(2);(3)
4.（1）
Y
2
1
0
－1
－2
－3
pY
（2）
Z
0
1
4
9
pZ
