第四单元 正态分布一、学习目标通过本节课的学习，了解正态分布的密度函数，标准正态分布及其密度函数、分布函数等概念，熟练进行正态分布的标准正态化，并熟练计算各种正态分布的概率值．
二、内容讲解
1.正态分布如果随机变量X的密度函数为f(x)=，其中?,?为常数，?>0，则称X服从正态分布，记为X～N(?，?2)
正态分布密度函数f(x)的图形：
f(x)
f(x)图形的特点：
(1)f(x)在点x=?处取最大值，图形关于x=?对称，左、右侧迅速下降，无限趋近x轴;
(2)越小，图形越陡峭，X的取值越向x=?处集中；? 越大，图形越扁平．
2.标准正态分布在正态分布N(?,?2)中，?=0，?=1，即N(0,1)称为标准正态分布．它的密度函数记作?(x),有(x)=
对任意实数x,分布函数记为?(x)=P(X?x)，由连续型随机变量的定义，?(x)=P(X?x)==，称其为标准正态分布的分布函数．
(x)的图形如下：
y
(x)
(－x) 1－?(x)
－x 0 x x
由图可知：?(x)=1－?(－x)
(x)(x?0)的值可查附表?标准正态分布数值表．
设X～N(0,1)，则P(a<X?b)=?(b)－?(a)，计算概率值就可以通过查表得到了．
3.正态分布概率计算思考题：若X～N(0,4)，有P(a<X<b)=?(b)－?(a)吗？
这个随机变量不是标准正态分布，所以这个概率计算式是不对的．
现在推导一般正态分布的概率计算问题．
设随机变量X的密度函数为f(x)=
即X～N(?，?2)，如何求概率P(a<X<b)呢？
一般地，X～N(?,?2),
P(a<X<b)=
(其中是标准正态分布的密度函数)
=?－?
所以，若X～N(?,?2),则Y=～N(0,1)(此过程称为标准正态化)
于是，回答前面的问题，若X～N(0,4)，则P(a<X<b)=?－?()
问题思考1：若X～N(0,1)，a为何值时，有P(X<a)=P(X>a)?
a=0．任意正态分布X～N(?，?2)，都有P(X>2)=1－P(X?2)，本问题中X～N(0,1)，已知P(X<a)=P(X>a)=1－P(X<a)，即(a)=1－?(a)，得到?(a)=0.5，查表得到a=0,
问题思考2：已知X～N(0,1)，则P(X<0)=0.5．若X～N(5,2)，还有P(X<0)=0.5吗？
答案 不对．只要是期望值为0的随机变量X，都有P(X?0)＝0.5．但是，方差不为1时，即为一般正态随机变量，必须进行标准正态化，才可以直接查附表求概率．
当X～N(5,2)时，Y＝～N(0，1)，
则P(X<0)＝P(<)=P(Y<)=?()
(－3.5)=1－?(3.5)=1－0.9998＝0.0002
四、例题讲解例1：设X～N（0，1），求:(1) P(X<1.35)；(2) P(－2.1<X?0.5)；
解：(1) P(X<1.35)=?(－1.35)=0.9115
(2) P(－2.1?X<0.5)=?(0.5)－?(－2.1)
=0.6915－[1－?(2.1)]
=0.6915－1+0.9821
=0.6736
例2：某年大学入学考试数学成绩X(分)近似服从正态分布N(65，102)．试求数学成绩在85分以上的考生约占百分之几？
解:显然所求为P(X>85)=1－P(X?85)
=1－?(85)(对吗?)
不对．正确解法为：
因为X～N（65，102）令～N（0，1）
所以P(X>85)=1－P(X?85)
=1－
=1－P(Y?2)
=1－?(2)
=1－0.9772
=0.0228
答：数学成绩在85分以上的考生占2.28％.
例3：设X～N(5,32)，求 P(2<X?11)．
解：根据公式，由X～N（5，32〕,则有
?N(0,1)，X＝3Y+5
P(2<X<11)=P()
=P(－1<Y<2)
=?(2)－?(－1)
=0.9772－(1－0.8413)
=0.8185
五、课后作业练习1设X～N(0,1),(1)求P(－1.24?X<1.45)；
(2)求b使P(b<X<－0.86)=0.0027．
这是标准正态分布的概率计算问题，标准正态分布X，有
P（a<X<b）=?(b)－?(a),以及?(－x)=1－?(x)
P(－1.24?X<1.45)=?(1.45)－?(－1.24)
=?(1.45)－[1－?(1.24)]
=0.9265+0.8925－1=0.819
练习2? 设X～N(2，0.32)，求(1)P(X<2.4)；(2)P(X>0)；(3)?P(－1?X<3)
解：因为X～N（2，0.32）,标准正态化，得到Y=～N（0，1）这是一般正态分布的概率求值问题，必须先标准正态化，才能查表．
五、课后作业
1,设X～N(0,1),求P(1<X<2)，P(－1<X<1)
2,设X～N(2,0.32),求P(X>2.4)
3,乘以什么常数可使变成正态概率密度函数？
4,设X～N(5,4),求a，使得(1) P(X<a)=0.90；(2) P(?X－5?>a)=0.01
5,设一大批产品的一级品率为20%,现在从中随机取出100件，试求其中恰好有20件一级品的概率和一级品件数在13～30之间个概率．
1.0.136；0.6826．
2.0.0918．
3.．
4.(1)7.56；(2)5.16．
5.X～B(100,02)，
（用正态分布近似）P(X=20)=0.1034；0.9537
二、内容讲解
1.正态分布如果随机变量X的密度函数为f(x)=，其中?,?为常数，?>0，则称X服从正态分布，记为X～N(?，?2)
正态分布密度函数f(x)的图形：
f(x)
f(x)图形的特点：
(1)f(x)在点x=?处取最大值，图形关于x=?对称，左、右侧迅速下降，无限趋近x轴;
(2)越小，图形越陡峭，X的取值越向x=?处集中；? 越大，图形越扁平．
2.标准正态分布在正态分布N(?,?2)中，?=0，?=1，即N(0,1)称为标准正态分布．它的密度函数记作?(x),有(x)=
对任意实数x,分布函数记为?(x)=P(X?x)，由连续型随机变量的定义，?(x)=P(X?x)==，称其为标准正态分布的分布函数．
(x)的图形如下：
y
(x)
(－x) 1－?(x)
－x 0 x x
由图可知：?(x)=1－?(－x)
(x)(x?0)的值可查附表?标准正态分布数值表．
设X～N(0,1)，则P(a<X?b)=?(b)－?(a)，计算概率值就可以通过查表得到了．
3.正态分布概率计算思考题：若X～N(0,4)，有P(a<X<b)=?(b)－?(a)吗？
这个随机变量不是标准正态分布，所以这个概率计算式是不对的．
现在推导一般正态分布的概率计算问题．
设随机变量X的密度函数为f(x)=
即X～N(?，?2)，如何求概率P(a<X<b)呢？
一般地，X～N(?,?2),
P(a<X<b)=
(其中是标准正态分布的密度函数)
=?－?
所以，若X～N(?,?2),则Y=～N(0,1)(此过程称为标准正态化)
于是，回答前面的问题，若X～N(0,4)，则P(a<X<b)=?－?()
问题思考1：若X～N(0,1)，a为何值时，有P(X<a)=P(X>a)?
a=0．任意正态分布X～N(?，?2)，都有P(X>2)=1－P(X?2)，本问题中X～N(0,1)，已知P(X<a)=P(X>a)=1－P(X<a)，即(a)=1－?(a)，得到?(a)=0.5，查表得到a=0,
问题思考2：已知X～N(0,1)，则P(X<0)=0.5．若X～N(5,2)，还有P(X<0)=0.5吗？
答案 不对．只要是期望值为0的随机变量X，都有P(X?0)＝0.5．但是，方差不为1时，即为一般正态随机变量，必须进行标准正态化，才可以直接查附表求概率．
当X～N(5,2)时，Y＝～N(0，1)，
则P(X<0)＝P(<)=P(Y<)=?()
(－3.5)=1－?(3.5)=1－0.9998＝0.0002
四、例题讲解例1：设X～N（0，1），求:(1) P(X<1.35)；(2) P(－2.1<X?0.5)；
解：(1) P(X<1.35)=?(－1.35)=0.9115
(2) P(－2.1?X<0.5)=?(0.5)－?(－2.1)
=0.6915－[1－?(2.1)]
=0.6915－1+0.9821
=0.6736
例2：某年大学入学考试数学成绩X(分)近似服从正态分布N(65，102)．试求数学成绩在85分以上的考生约占百分之几？
解:显然所求为P(X>85)=1－P(X?85)
=1－?(85)(对吗?)
不对．正确解法为：
因为X～N（65，102）令～N（0，1）
所以P(X>85)=1－P(X?85)
=1－
=1－P(Y?2)
=1－?(2)
=1－0.9772
=0.0228
答：数学成绩在85分以上的考生占2.28％.
例3：设X～N(5,32)，求 P(2<X?11)．
解：根据公式，由X～N（5，32〕,则有
?N(0,1)，X＝3Y+5
P(2<X<11)=P()
=P(－1<Y<2)
=?(2)－?(－1)
=0.9772－(1－0.8413)
=0.8185
五、课后作业练习1设X～N(0,1),(1)求P(－1.24?X<1.45)；
(2)求b使P(b<X<－0.86)=0.0027．
这是标准正态分布的概率计算问题，标准正态分布X，有
P（a<X<b）=?(b)－?(a),以及?(－x)=1－?(x)
P(－1.24?X<1.45)=?(1.45)－?(－1.24)
=?(1.45)－[1－?(1.24)]
=0.9265+0.8925－1=0.819
练习2? 设X～N(2，0.32)，求(1)P(X<2.4)；(2)P(X>0)；(3)?P(－1?X<3)
解：因为X～N（2，0.32）,标准正态化，得到Y=～N（0，1）这是一般正态分布的概率求值问题，必须先标准正态化，才能查表．
五、课后作业
1,设X～N(0,1),求P(1<X<2)，P(－1<X<1)
2,设X～N(2,0.32),求P(X>2.4)
3,乘以什么常数可使变成正态概率密度函数？
4,设X～N(5,4),求a，使得(1) P(X<a)=0.90；(2) P(?X－5?>a)=0.01
5,设一大批产品的一级品率为20%,现在从中随机取出100件，试求其中恰好有20件一级品的概率和一级品件数在13～30之间个概率．
1.0.136；0.6826．
2.0.0918．
3.．
4.(1)7.56；(2)5.16．
5.X～B(100,02)，
（用正态分布近似）P(X=20)=0.1034；0.9537
