第三单元 期望的区间估计一、学习目标通过本课学习，弄明白区间估计的意义，会求总体参数的区间估计二、内容讲解
1.区间估计的概念对于总体的未知参数，不仅需要估计它的值，有时还要按给定的可靠程度（置信度）估计它的误差范围.说具体些，即对于未知参数，要估计出一个区间（），使得这个区间包含的可能性是很大的，一般要求使
一般取0.9，0.95，0.99，即＝0.1，0.05，0.01.
称区间（）为未知参数的置信度为的置信区间.
2.正态总体均值的置信区间求法
1）已知，已知，对期望进行区间估计，求的1－置信区间的方法.
已知样本均值～
因此样本函数得
整理有P(－≤≤+)＝ 1－
的置信度为1－的置信区间为[－，+]
2．设，其中未知，对期望进行区间估计，求的1－置信区间的方法.
已知～，其中，
整理有P(－≤≤+)＝1－
从而得到期望的置信度为1－的置信区间为
[－，+]
归纳以上做法的步骤：
1．计算，确定，查；
2．计算和；
3．以作为置信区间的左端点,以
为置信区间的右端点，即置信度为1－的期望的置信区间为 [－，+]
问题：置信区间的长度与置信度有关系吗？
答有关系.置信度越大，置信区间越长；反之，置信度越小，置信区间的长度就越短.
三、例题讲解例1设总体，测得一组样本的观测值为12.6；13.4；12.8；13.2，求的置信度为0.95的置信区间.
解? 先求：（12.6＋13.4＋12.8＋13.2）＝13
确定：1－＝0.95，＝0.05
利用标准正态分布查出＝1.96
计算＝，故所求0.95置信区间为：
（13－0.296，13+0.296）＝(12.706，13.294)
例2对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度（米/秒）为
422.2 417.2 425.6 420.3 425.8
423.1 418.7 428.2 438.3 434.0
412.3 431.5 413.5 441.3 423.0
根据长期经验，最大飞行速度可以认为是服从正态分布的，试利用上述数据对最大飞行速度的期望值进行区间估计（置信度0.95）.
解 这是未知的情形
1．求：（422.2＋417.2＋425.6＋420.3＋425.8＋…＋423.09）＝425.0
求：，
2．确定：1－＝0.95，＝0.05，
查分布表得，
3．计算，
从而得到期望的置信度为0.95的置信区间为
（425.0－4.7，425.0+4.7）＝（420.3，429.7）
例3对某种材料的强度只有下限的要求，已知该材料的强度，但均未知，今进行5次测试，得样本均值和样本均方差分别为＝1160千克/厘米2，＝99.75千克/厘米2，现求的0.99单侧置信区间（）.
分析：求（），即只需求置信下限,也即求满足下式的:
因为，
即，得
因为，，查分布表,
＝＝＝992.8(千克/厘米2)
的0.99单侧置信区间为（992.8）
四、课堂练习练习：正态总体～中抽取一组样本容量为的样本，计算得样本均值，样本方差为，试求 (1)已知；(2)未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置信区间.
因为置信度为0.95，所以.
(1)这是已知方差，对均值的区间估计问题.查正态分布数值表求得临界值，=1.96
期望的置信度为0.95的置信区间因方差已知或未知而有所不同，解题时要注意这一点.
五、课后作业
1．为确定某种液体的浓度，取4个独立的测定值，其平均值，
样本标准差，设被测总体近似地服从正态分布，求总体均值的置信度为95％的置信区间.
2．从一批钉子中随机地抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为
2.14
2.10
2.13
2.15
2.13
2.12
2.13
2.10
2.15
2.12
2.14
2.10
2.13
2.11
2.14
2.11
设钉长服从正态分布，
试求（1）已知(cm)；（2）未知，两种情况分别求总体均值的90％的置信区间,
1．[8.33%，8.43%]；[，0.0125]； 2．[2.121，2.129]，[2.117，2.133].
1.区间估计的概念对于总体的未知参数，不仅需要估计它的值，有时还要按给定的可靠程度（置信度）估计它的误差范围.说具体些，即对于未知参数，要估计出一个区间（），使得这个区间包含的可能性是很大的，一般要求使
一般取0.9，0.95，0.99，即＝0.1，0.05，0.01.
称区间（）为未知参数的置信度为的置信区间.
2.正态总体均值的置信区间求法
1）已知，已知，对期望进行区间估计，求的1－置信区间的方法.
已知样本均值～
因此样本函数得
整理有P(－≤≤+)＝ 1－
的置信度为1－的置信区间为[－，+]
2．设，其中未知，对期望进行区间估计，求的1－置信区间的方法.
已知～，其中，
整理有P(－≤≤+)＝1－
从而得到期望的置信度为1－的置信区间为
[－，+]
归纳以上做法的步骤：
1．计算，确定，查；
2．计算和；
3．以作为置信区间的左端点,以
为置信区间的右端点，即置信度为1－的期望的置信区间为 [－，+]
问题：置信区间的长度与置信度有关系吗？
答有关系.置信度越大，置信区间越长；反之，置信度越小，置信区间的长度就越短.
三、例题讲解例1设总体，测得一组样本的观测值为12.6；13.4；12.8；13.2，求的置信度为0.95的置信区间.
解? 先求：（12.6＋13.4＋12.8＋13.2）＝13
确定：1－＝0.95，＝0.05
利用标准正态分布查出＝1.96
计算＝，故所求0.95置信区间为：
（13－0.296，13+0.296）＝(12.706，13.294)
例2对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度（米/秒）为
422.2 417.2 425.6 420.3 425.8
423.1 418.7 428.2 438.3 434.0
412.3 431.5 413.5 441.3 423.0
根据长期经验，最大飞行速度可以认为是服从正态分布的，试利用上述数据对最大飞行速度的期望值进行区间估计（置信度0.95）.
解 这是未知的情形
1．求：（422.2＋417.2＋425.6＋420.3＋425.8＋…＋423.09）＝425.0
求：，
2．确定：1－＝0.95，＝0.05，
查分布表得，
3．计算，
从而得到期望的置信度为0.95的置信区间为
（425.0－4.7，425.0+4.7）＝（420.3，429.7）
例3对某种材料的强度只有下限的要求，已知该材料的强度，但均未知，今进行5次测试，得样本均值和样本均方差分别为＝1160千克/厘米2，＝99.75千克/厘米2，现求的0.99单侧置信区间（）.
分析：求（），即只需求置信下限,也即求满足下式的:
因为，
即，得
因为，，查分布表,
＝＝＝992.8(千克/厘米2)
的0.99单侧置信区间为（992.8）
四、课堂练习练习：正态总体～中抽取一组样本容量为的样本，计算得样本均值，样本方差为，试求 (1)已知；(2)未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置信区间.
因为置信度为0.95，所以.
(1)这是已知方差，对均值的区间估计问题.查正态分布数值表求得临界值，=1.96
期望的置信度为0.95的置信区间因方差已知或未知而有所不同，解题时要注意这一点.
五、课后作业
1．为确定某种液体的浓度，取4个独立的测定值，其平均值，
样本标准差，设被测总体近似地服从正态分布，求总体均值的置信度为95％的置信区间.
2．从一批钉子中随机地抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为
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设钉长服从正态分布，
试求（1）已知(cm)；（2）未知，两种情况分别求总体均值的90％的置信区间,
1．[8.33%，8.43%]；[，0.0125]； 2．[2.121，2.129]，[2.117，2.133].
