海南风光第五章电路的暂态分析（ 2）
(脉冲激励下的 RC电路含有多个储能元件的一阶电路 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路第 5章 电路的暂态分析本课作业
8
5-16
5-17
5-20
5-22
英 8题
tC Uetu)(
上节课内容复习
00Cu
/)( t
R Uetu
Cu tu
R
U
Uu C0
tC UeUtu)(
/)( t
R Uetu
Cu
tuR
U
-U
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
RC
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
问题：在 t<0时电路已处于稳定状态,。在 t=0时，开关 K由 2合向 1，在 t=T时，
开关 K由 1合向 2。求 t?0的
uC和 uR。设 T>5?,?=RC
tC UeUtu)(t=0 ~T：
t=T ~?：
)()( Tt
C Uetu
Cu
t
U
-U T
Cu tu
R
U
Cu
tuR
U
-U
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
Cu tu
R
U
t=0 ~T,?/)( t
R Uetu
t=T ~?,?/)()( Tt
R Uetu
Ru
U
-U
tTCu t
uR
U
-U
Cu
t
U
-U
T
Ru
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
CRiu ou
tT
U
iu
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
tC UeUtu)(
)()( Tt
C Uetu
t
U
-U T
t=0 ~T：
t=T ~?：
设 T>5?,?=RC
uC
单个脉冲激励下的
R
C
电路
tT
U
iu
ou
C
R
iu
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
/)()( Tt
R Uetu
/)( t
R Uetu
t=0 ~T：
t=T ~?：
设 T>5?,?=RC
U
-U
tT u
R
单个脉冲激励下的
R
C
电路条件,如果 T >>τ
此电路称为微分电路电路的输出近似为输入信号的微分微分电路
C
R
iu ou
dt
duRCiRu C
R
CRCi uuuuT,?当
dt
duRC i?T
tU
iu
t
ou
uC
输入上跳，输出产生正脉冲输入下跳，输出产生负脉冲
C
R
iu ou
T >>τ
T 2T 3T 4T
U
2U
-U
练习
ui
uo
请问 uC的波形如何？
条件,τ>> T积分电路电路的输出近似为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
C
R
iu
ou
C
R
iu
ou
序列脉冲激励下的 RC电路
T
U
iu
t2T
-U 设 T>5?,?=RC
uC
uR
Cu
t
U
-U
T
Ru
tT
U
iu
T<5 τ 设 T= τ
U
-U
T 2T
0.63U
0.63U -0.63?0.63U
uo
uR-0.63U
如果 ui是连续脉冲,uo和 uR的波形如何?
ui
C
R
iu ou
uR
t
iu U
2TT 3T 4T 5T
Cu
U
ou
U
( 稳定后 )
U 2
CR
iu
ou
T<5 τ
Cu
ou
U 2
t
t
以横轴上下对称,以 0.5 U上下对称，
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
5? >> T时稳定后的波形
U
三要素方程：
TteUtu
TeUUUtu
Tt
t
2T
t0
22
11
Cu U 2
t
U
U2
U1
T 2T0
)(2 tu
)(1 tu
两式联立求解得：
/2/
/
1 11 TT
T
e
U
U
e
eU
U
(2)
/
212 )2(
TeUUTu
当 t=2T时：
---------
(1)
/
121 )()(
TeUUUUTu
当 t=T时：
---
标记页仅供参考，不做要求。
Uu
dt
duRC
dt
udLC
C
CC
2
2
一般情况下，电路中若包含 多个 储能元件，所列微分方程 不是一阶 的，属高阶过渡过程。这种电路不能简单用三要素法求解。如：
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路
+
_
C
RU
i
L
有些情况，电路中虽然含有多个储能元件，但仍是一阶电路，仍可用三要素法求解。本节主要讨论这种电路。
Uuuu CLR
dt
duCi C?
2
2
)( dt udLCdtduCdtdLdtdiLu CCL
含有多个储能元件的电路，其中储能元件若能通过串并联关系用一个等效，则该电路仍为一阶电路
。如：
5.5.1 多个储能元件可串并联的一阶电路
+
_ U
C+
_ U
C1
C2 C
3
132
132
CCC
CCCC
）（该电路求解方法仍可用三要素法
5.5.2 初始值不独立的一阶电路有的时候，多个储能元件虽不能通过串并联关系等效成一个储能元件，但所列方程仍是一阶的，所以仍是一阶电路。如：
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1Cu
2Cu
i
证明
(2)U u u
c c2 1
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1
(1)
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
整理后得,
2
1
21
1
21 )
11()(
R
Uu
RRdt
duCC
C
C
此方程为一阶微分方程，所以该电路是一阶电路。
dt
duC
R
uU
dt
duC
R
u CCCC 1
2
2
11
1
1
1
将 (2)代入 (1)得,
U u uc c2 1
(2)
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1
(1)
去除电路中的独立源（电压源短路、电流源开路），
然后判断电路中的储能元件能否等效为一个。若能，
则为一阶电路 ; 反之不是一阶电路。如：
判断含多个储能元件的电路,是否为一阶电路的方法,
R1
R2
C1
C2
C2R1 R2C1R C
R1
R2
C1
C2
U
该电路是一阶电路因为该电路是一阶电路，所以过渡过程可以用“三要素
”法求解。
U
RR
R
u C
21
2
2
稳态值：（ 1）
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
)(2?tu C
求以下电路的过渡过程
21
21
21
2121 //// CCRR
RR
CCRR?
时间常数：（ 2）
C2 R1R2C1
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
初始值：（ 3）
假设 C1,C2两电容换路前均未充电。即：
若根据换路定理,t > 0+时应有：
V0)0()0( 21 CC uu
0)0()0( 21 CC uu
根据克氏定律应有：
U)0()0( 21 CC uu
两式矛盾，
换路定理在此不能用 !
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路不能用换路定理的原因,在于此电路的特殊性和换路定理的局限性。
一般电路中不能提供无穷大的电流，所以换路定理是对的。而在该电路中，换路瞬间两电容将电源直接短路，若将电源视为理想的，电路中将会有无穷大的电流冲击。因此,换路定理在此不能用。
换路定理的依据是，
在换路瞬间电容上的电压不能突变，否则电流
dt
du
Ci C
。
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路求初始值的依据有两条：
Uuu CC 00 21
（ 1）克氏定律
（ 2）换路瞬间，两电容电荷的变化量一样。即：
]00[]00[ 222111 CCCC uuCuuC
Q1?Q2
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
0000 222111 CCCC uuCuuC
若,
000 21 CC uu
00 2211 CC uCuC则,（ 1）
（ 1）、（ 2）联立可得：
U
CC
Cu
C
21
1
2 0
（ 2）
Uuu CC 00 21
U
CC
Cu
C
21
2
1 0
三要素：
U
CC
Cu
C
21
1
2 0
21
21
21 CC
RR
RR?
U
RR
Ru
C
21
2
2
/
21
2
21
1
21
2
2 )(
t
C UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
过渡过程方程：
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
5.5.3 脉冲分压器电路的分析该电路常用于电子测量仪器中和,然后令其单独作用。
将方波信号 分解为用迭加法。
'ui "u
i
iu
t
iu
T
U
t
'ui U
t"ui
-U
R1
C1ui
C2
R2
uo
(一 ) 单独作用
'ui
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
根据前面分析，该电路过渡过程方程为：
t
'ui U
'uo
C1
C2
R2
R1
+
-
K
'ui
单独作用时输出波形和电路参数的关系
'ui
U
RR
R
21
2
参数配置：
21
2
21
1
RR
R
CC
C
时：当
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
'uo
tt
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
当 时：
U
CC
C
21
1
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
t
'ui
U
U
RR
R
21
2
'uo
t
21
2
21
1
RR
R
CC
C
当 时：
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
U
RR
R
21
2
U
CC
C
21
1
'uo
tt
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
结论只有
21
2
21
1
RR
R
CC
C
时，输出和输入波形才相似，否则将产生失真。
'uo
t
U
RR
R
21
2
/
21
2
21
1
21
2
)(
t
o
eU
RR
R
CC
C
U
RR
R
tu
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
t
'ui
U
(二 ) 单独作用
"ui
/)(
21
2
21
1
21
2 )()( Tt
o eURR
R
CC
C
U
RR
R
Tt"u
根据前面分析，该电路过渡过程方程为：
t"ui
-U
T
"uo
C1
C2
R2
R1
+
- "ui
K
单独作用时，输出波形和输入波形的关系。
"ui
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
U
RR
R
21
2
t
"uo
Tt"ui
-U
T
'ui
"ui
T
U
t
iu
(三 ) 和 共同作用的结果,
"ui'ui "u'uu ooo
21
1
CC
CC
21
2
RR
RR
令,ou
T
t"uo
'uo
t
C=?R
U
RR
R
21
2
U
RR
R
21
2
C >?R?C<?R
脉冲分压器的应用
---示波器测脉冲电压
iu C0寄生电容
C1
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
01
1
RR
R
CC
C
21
2
01
1
RR
R
CC
C
ou
R1
iu R2
CO
Y
例,C1
C2uC1
uC2U R
C1 =2000P
C2 =3000P
U=10V
R=20k? 0)0(
0)0(
2
1
C
C
u
u
0)0(,0)0( 21 CC uu?
V6)0(
21
2
1
U
CC
Cu
C V4)0(
21
1
2
U
CC
Cu
C
ms1.0)( 21 CCR?
)(1Cu
U=10V 0
V410)106(10)( //1 ttC eetu
V4)04(0)( //2 ttC eetu
)(2Cu
uC1
uC2
10
6
4
0
u（ V）
t（ ms）?
(脉冲激励下的 RC电路含有多个储能元件的一阶电路 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路第 5章 电路的暂态分析本课作业
8
5-16
5-17
5-20
5-22
英 8题
tC Uetu)(
上节课内容复习
00Cu
/)( t
R Uetu
Cu tu
R
U
Uu C0
tC UeUtu)(
/)( t
R Uetu
Cu
tuR
U
-U
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
RC
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
问题：在 t<0时电路已处于稳定状态,。在 t=0时，开关 K由 2合向 1，在 t=T时，
开关 K由 1合向 2。求 t?0的
uC和 uR。设 T>5?,?=RC
tC UeUtu)(t=0 ~T：
t=T ~?：
)()( Tt
C Uetu
Cu
t
U
-U T
Cu tu
R
U
Cu
tuR
U
-U
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
Cu tu
R
U
t=0 ~T,?/)( t
R Uetu
t=T ~?,?/)()( Tt
R Uetu
Ru
U
-U
tTCu t
uR
U
-U
Cu
t
U
-U
T
Ru
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
CRiu ou
tT
U
iu
RK
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
tC UeUtu)(
)()( Tt
C Uetu
t
U
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t=0 ~T：
t=T ~?：
设 T>5?,?=RC
uC
单个脉冲激励下的
R
C
电路
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U
iu
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C
R
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RK
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_ C CuU
uR
1
2
iu
/)()( Tt
R Uetu
/)( t
R Uetu
t=0 ~T：
t=T ~?：
设 T>5?,?=RC
U
-U
tT u
R
单个脉冲激励下的
R
C
电路条件,如果 T >>τ
此电路称为微分电路电路的输出近似为输入信号的微分微分电路
C
R
iu ou
dt
duRCiRu C
R
CRCi uuuuT,?当
dt
duRC i?T
tU
iu
t
ou
uC
输入上跳，输出产生正脉冲输入下跳，输出产生负脉冲
C
R
iu ou
T >>τ
T 2T 3T 4T
U
2U
-U
练习
ui
uo
请问 uC的波形如何？
条件,τ>> T积分电路电路的输出近似为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
C
R
iu
ou
C
R
iu
ou
序列脉冲激励下的 RC电路
T
U
iu
t2T
-U 设 T>5?,?=RC
uC
uR
Cu
t
U
-U
T
Ru
tT
U
iu
T<5 τ 设 T= τ
U
-U
T 2T
0.63U
0.63U -0.63?0.63U
uo
uR-0.63U
如果 ui是连续脉冲,uo和 uR的波形如何?
ui
C
R
iu ou
uR
t
iu U
2TT 3T 4T 5T
Cu
U
ou
U
( 稳定后 )
U 2
CR
iu
ou
T<5 τ
Cu
ou
U 2
t
t
以横轴上下对称,以 0.5 U上下对称，
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
5? >> T时稳定后的波形
U
三要素方程：
TteUtu
TeUUUtu
Tt
t
2T
t0
22
11
Cu U 2
t
U
U2
U1
T 2T0
)(2 tu
)(1 tu
两式联立求解得：
/2/
/
1 11 TT
T
e
U
U
e
eU
U
(2)
/
212 )2(
TeUUTu
当 t=2T时：
---------
(1)
/
121 )()(
TeUUUUTu
当 t=T时：
---
标记页仅供参考，不做要求。
Uu
dt
duRC
dt
udLC
C
CC
2
2
一般情况下，电路中若包含 多个 储能元件，所列微分方程 不是一阶 的，属高阶过渡过程。这种电路不能简单用三要素法求解。如：
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路
+
_
C
RU
i
L
有些情况，电路中虽然含有多个储能元件，但仍是一阶电路，仍可用三要素法求解。本节主要讨论这种电路。
Uuuu CLR
dt
duCi C?
2
2
)( dt udLCdtduCdtdLdtdiLu CCL
含有多个储能元件的电路，其中储能元件若能通过串并联关系用一个等效，则该电路仍为一阶电路
。如：
5.5.1 多个储能元件可串并联的一阶电路
+
_ U
C+
_ U
C1
C2 C
3
132
132
CCC
CCCC
）（该电路求解方法仍可用三要素法
5.5.2 初始值不独立的一阶电路有的时候，多个储能元件虽不能通过串并联关系等效成一个储能元件，但所列方程仍是一阶的，所以仍是一阶电路。如：
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1Cu
2Cu
i
证明
(2)U u u
c c2 1
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1
(1)
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
整理后得,
2
1
21
1
21 )
11()(
R
Uu
RRdt
duCC
C
C
此方程为一阶微分方程，所以该电路是一阶电路。
dt
duC
R
uU
dt
duC
R
u CCCC 1
2
2
11
1
1
1
将 (2)代入 (1)得,
U u uc c2 1
(2)
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1
(1)
去除电路中的独立源（电压源短路、电流源开路），
然后判断电路中的储能元件能否等效为一个。若能，
则为一阶电路 ; 反之不是一阶电路。如：
判断含多个储能元件的电路,是否为一阶电路的方法,
R1
R2
C1
C2
C2R1 R2C1R C
R1
R2
C1
C2
U
该电路是一阶电路因为该电路是一阶电路，所以过渡过程可以用“三要素
”法求解。
U
RR
R
u C
21
2
2
稳态值：（ 1）
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
)(2?tu C
求以下电路的过渡过程
21
21
21
2121 //// CCRR
RR
CCRR?
时间常数：（ 2）
C2 R1R2C1
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
初始值：（ 3）
假设 C1,C2两电容换路前均未充电。即：
若根据换路定理,t > 0+时应有：
V0)0()0( 21 CC uu
0)0()0( 21 CC uu
根据克氏定律应有：
U)0()0( 21 CC uu
两式矛盾，
换路定理在此不能用 !
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路不能用换路定理的原因,在于此电路的特殊性和换路定理的局限性。
一般电路中不能提供无穷大的电流，所以换路定理是对的。而在该电路中，换路瞬间两电容将电源直接短路，若将电源视为理想的，电路中将会有无穷大的电流冲击。因此,换路定理在此不能用。
换路定理的依据是，
在换路瞬间电容上的电压不能突变，否则电流
dt
du
Ci C
。
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路求初始值的依据有两条：
Uuu CC 00 21
（ 1）克氏定律
（ 2）换路瞬间，两电容电荷的变化量一样。即：
]00[]00[ 222111 CCCC uuCuuC
Q1?Q2
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
0000 222111 CCCC uuCuuC
若,
000 21 CC uu
00 2211 CC uCuC则,（ 1）
（ 1）、（ 2）联立可得：
U
CC
Cu
C
21
1
2 0
（ 2）
Uuu CC 00 21
U
CC
Cu
C
21
2
1 0
三要素：
U
CC
Cu
C
21
1
2 0
21
21
21 CC
RR
RR?
U
RR
Ru
C
21
2
2
/
21
2
21
1
21
2
2 )(
t
C UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
过渡过程方程：
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
5.5.3 脉冲分压器电路的分析该电路常用于电子测量仪器中和,然后令其单独作用。
将方波信号 分解为用迭加法。
'ui "u
i
iu
t
iu
T
U
t
'ui U
t"ui
-U
R1
C1ui
C2
R2
uo
(一 ) 单独作用
'ui
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
根据前面分析，该电路过渡过程方程为：
t
'ui U
'uo
C1
C2
R2
R1
+
-
K
'ui
单独作用时输出波形和电路参数的关系
'ui
U
RR
R
21
2
参数配置：
21
2
21
1
RR
R
CC
C
时：当
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
'uo
tt
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
当 时：
U
CC
C
21
1
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
t
'ui
U
U
RR
R
21
2
'uo
t
21
2
21
1
RR
R
CC
C
当 时：
/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu
U
RR
R
21
2
U
CC
C
21
1
'uo
tt
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
结论只有
21
2
21
1
RR
R
CC
C
时，输出和输入波形才相似，否则将产生失真。
'uo
t
U
RR
R
21
2
/
21
2
21
1
21
2
)(
t
o
eU
RR
R
CC
C
U
RR
R
tu
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
t
'ui
U
(二 ) 单独作用
"ui
/)(
21
2
21
1
21
2 )()( Tt
o eURR
R
CC
C
U
RR
R
Tt"u
根据前面分析，该电路过渡过程方程为：
t"ui
-U
T
"uo
C1
C2
R2
R1
+
- "ui
K
单独作用时，输出波形和输入波形的关系。
"ui
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
21
1
RR
R
CC
C
U
RR
R
21
2
t
"uo
Tt"ui
-U
T
'ui
"ui
T
U
t
iu
(三 ) 和 共同作用的结果,
"ui'ui "u'uu ooo
21
1
CC
CC
21
2
RR
RR
令,ou
T
t"uo
'uo
t
C=?R
U
RR
R
21
2
U
RR
R
21
2
C >?R?C<?R
脉冲分压器的应用
---示波器测脉冲电压
iu C0寄生电容
C1
21
2
21
1
RR
R
CC
C
21
2
01
1
RR
R
CC
C
21
2
01
1
RR
R
CC
C
ou
R1
iu R2
CO
Y
例,C1
C2uC1
uC2U R
C1 =2000P
C2 =3000P
U=10V
R=20k? 0)0(
0)0(
2
1
C
C
u
u
0)0(,0)0( 21 CC uu?
V6)0(
21
2
1
U
CC
Cu
C V4)0(
21
1
2
U
CC
Cu
C
ms1.0)( 21 CCR?
)(1Cu
U=10V 0
V410)106(10)( //1 ttC eetu
V4)04(0)( //2 ttC eetu
)(2Cu
uC1
uC2
10
6
4
0
u（ V）
t（ ms）?
