海南风光第五章电路的暂态分析 (1)
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编本课作业
7
5-4
5-5
5-8
5-14
英 7题第五章 电路的暂态分析
(电路的过渡过程 )
§ 5.1 概述
§ 5.2 换路定理
§ 5.3 一阶电路过渡过程的分析
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路旧稳态 新稳态过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
U
+
_ Cu
§ 5.1 概述电路处于新稳态
R
U+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,?
产生过渡过程的电路及原因?
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程。
U
t
Cu
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量,其大小为：
R-C电路
2
0 2
1
cui d tuW
t
C
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在过渡过程。
U
K R
+
_ C
uC
R-L电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，
其大小为：
2
0 2
1
LidtuiW
t
L
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在过渡过程。
K R
U
+
_
t=0
iL
t
Li
R
U
5.2.1 换路定理换路,电路状态的改变。如：
§ 5.2 换路定理
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
…………..
换路定理,在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以
*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CuWc?
*
若
cu
发生突变，
dt
du c
i
不可能 ！
一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
duRCuiRU
K 闭合后，列回路电压方程：
)(
dt
duCi C?
5.2.2 初始值的确定求解要点,换路定理
1.
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
例 1：
V0)0()0( Cc uu
则根据换路定理：
设：
V0)0(cu
R
U
R
u
i R
)0()0(
)0(Ru UuU C )0(
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)(
)(
i
u C
U
0
在 t=0+时，电容相当于短路在 t=?时，电容相当于断路例 2：
K R1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=2k?
R2=4k?
C=1?F
)0(cu
V8
42
4
12
21
2?
RR
R
U
根据换路定理：
V8)0()0( cc uu
)0(Ci mA2
4
8)0(
2
R
u C 0)(
0)(
C
C
i
u
在 t=0+时，
电容相当于一个恒压源例 3
换路时电压方程,
)0()0(
)0()0(
LL
LR
uRi
uuU
根据换路定理
A 0)0()0( LL ii
解,
V20020
)0()0(
RiUu LL
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
已知,R=1kΩ,
L=1H,U=20 V、
A 0?Li
设 时开关闭合0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
)(Li?)(Lu
已知,
电压表内阻
H1k1V20 LRU,、
k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求,K打开的瞬间,电压表两端的电压。
换路前
mA20
1
20)0(
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( LL ii
例 4
K
.
U
L
V
R
iL
mA20)0()0( LL ii
VLV Riu
)0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
注意,实际使用中要加保护措施
K
U
L
V
R
iL
uV
小结
1,换路瞬间，
LC iu,
不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 IiL
电感相当于恒流源
3,换路瞬间，
0)0(Li,电感相当于断路；
2,换路瞬间，若,0)0(
Cu
电容相当于短路；
，0)0( 0 Uu C 电容相当于恒压源若
C
C
C udt
du
RCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
§ 5.3 一阶电路过渡过程的分析
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
5.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法,用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法,求 初始值稳态值时间常数
……………...
本节重点一,经典法
Uu
dt
duRC
C
C
一阶常系数线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
方程的特解
Cu'
对应齐次方程的通解
Cu"
即：
CCC uutu "')(
1,一阶 R-C电路的充电过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
Uutu' CC )()(
)(?Cu
作特解，故此特解也称为 稳态分量 或 强在电路中,通常取换路后的新稳态值制分量 。所以该电路的特解为：
1,求特解 ——
Cu'
Uu
dt
duRC
C
C
将此特解代入方程，成立
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Cu"
2,求齐次方程的通解 ——
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 自由分量 或暂态分量 。
其形式为指数。设：
RC
t
C Aeu
"
A为积分常数其中,
求 A:?
RC
t
CCC AeUu"u'tu
)(
UA
所以代入该电路的起始条件
0)0(Cu
0)0( 0 AUAeUu C
得,
)1()( / RCtRC
t
C eUUeUtu
时间常数?
)1(
)1()(
t
RC
t
C
eU
eUtu
RC
时间常数
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
002.63)( Uu C?
t当 时,
Cu
t
U
t 02?3?4?5?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
)1()(?
t
C eUtu
过渡过程曲线
2?
/)()( tR e
R
U
R
tuti
/)()( t
CR UetuUtu
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)1()( / t
t
C eUUeUtu
t
U
R
U
uC
uRi
过渡过程曲线
t
U
0.632U
1? 2? 3?
越大,过渡过程曲线变化越慢,uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
t
C UeUtu
)(
1?
2?
3?
321
2,一阶 R-L电路的过渡过程
（“充电”过程）
Uuu LR
UuRi LL
dt
diLu L
L?
U
dt
diLRi L
L
)1( /?tL e
R
Ui
R
L
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
/t
L Ueu
0)0()0( LL ii
R
Ui
L )(
iLU
0 t
RU u
L
uR
3,一阶 R-C电路的放电过程
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uuu CC )0()0(
0)(Cu
0 CR uu
dt
du
CiuRi CC,0
0 CC u
dt
duRC
/t
C Ueu
/t
CR
Ue
uu
RC
/tR e
R
U
R
ui
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
/t
C Ueu
/t
R Ueu
RC
/te
R
U
i
一阶 R-C电路的放电过程曲线
R
U?
U?
U
Cu
Ru
i t0
放电
4,一阶 R-L电路的过渡过程（“放电”过程）
1
)0()0(
R
Uii
LL
0)(Li
02
dt
diLRi L
L
+
-
U
R1
L uL
iL
t=0
R2
2Ru
/
1
t
L eR
U
i
2R
L
/
2
1
t
L eRR
U
u
21 RR
U?
1R
U
Li
Lu
t0
3,非 0起始态的 R-C电路的过渡过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C?
0)0( Uu C?
根据换路定理
Uu C )(
叠加方法状态为 0，即 U0=0
t
C UeUu
1
输入为 0，即 U=0
/
02
t
C eUu
/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
时间常数
0)0( Uu C?
Uu C )(
/
0 )(
t
C eUUUu
/)()0()( tCCC euuu
初始值 稳态值稳态值一般形式：
/)()0()()( teffftf
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
二、分析一阶电路过渡过程的三要素法
teffftf )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
其中三要素为,
)(?f稳态值 ----初始值 ---- )0(?f
时间常数 ----?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。式中三要素法求解过渡过程要点：
)0()]0()([6 3 2.0 fff
终点 )(?f
起点
)0(?f
t
分别求初始值、稳态值、时间常数将以上结果代入过渡过程通用表达式画出过渡过程曲线（ 由初始值?稳态值 ）?
例 1
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
)0()0( CC uu V6
32
310
21
2?
RR
RU
V10)( Uu C
S102101102 3631 CR?
/)()0()( tCCCC euuuu
V41010610 500102/ 3 tt ee
“三要素法”例题
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
V410 5 0 0 tC eu
4V
6V
10V
0 t
uC
V4 5 0 01 tCR euUu
uR1
mA2
2
4 5 0 05 0 0
1
1 t
t
R
C e
e
R
ui 2mA
iC
例 2 t=0
R1=
5k? R2=
5k?I=2mA
Cu
C=1?F
)0()0( CC uu V10521IR
V5)5//5(2)//()( 21 RRIu C
S105.2)//( 321 CRRRC?
RC,R为去掉 C后的有源二端网络的等效电阻
/)()0()( tCCCC euuuu
V55)510(5 400t-105.2 3 ee
t
uC
5
10
0 t
求,电感电压
)(tu L
例 3 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=03A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
第一步,求起始值 )0(?
Lu
A23
21
2
)0()0(
LL ii
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
2?1
2
V4
]//)[0()0( 321
RRRiu LL
t=0+时等效电路，电感相当于一个 2A的恒流源
2A Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t=0+时的等效电路第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H Lu
R1
R2
R3
第三步,求时间常数?
s)(5.0
2
1
R
L?
321 || RRRR
t=03A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H LR2
R3R1
LR
第四步,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
第五步,画过渡过程曲线（由初始值?稳态值）
V4)( 2 tL etu
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
求,titu
C,
例 4
3
+
_
U1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
U2
5V
1k
2
R3
0)0(Cu
解,第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
V000 CC uu mA30
1
1
R
U
i
R1
+
_U1 3V R2
i
Cu
初始值
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
0)0(Cu
稳态值第一阶段（ K,3?1）
V21
21
2
U
RR
Ru
C
mA1
21
1
RR
U
i
R1
+
_U
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
时间常数
k
3
2//
21 RRR d
ms2 CR d?
第一阶段（ K,3?1）
R1
+
_U1 3V R2
i
Cu
C
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
teffftf )()0()()(
)V(000 CC uu
)V(21
21
2
U
RR
Ru
C
)(ms2 CR d?
V 22)( 2tc etu
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms）电压过渡过程方程：
teffftf )()0()()(
mA21 2teti
mA30
1
1
R
Ui
mA1
21
1?
RR
Ui
ms2 CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流过渡过程方程：
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5?＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为电路已基本达到稳态。
下一阶段的起点 下一阶段的起点起始值
V2)ms20(
)ms20(
C
C
u
u
第二阶段,20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
RR
uU
i
c
（ K由 1?2）
+
_ U2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
稳态值第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
E
RRR
R
u
c
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
时间常数
k1//)( 231 RRRR d
ms3 CR d?
第二阶段,(K:1?2)
_ Cu
C
+ U
2
R1
R3
R2
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
第二阶段 （ 20ms ~） 电压过渡过程方程
V 5.05.2)( 3
20?
t
C etu
ms3 CR d?
V2)ms20(Cu
V5.2)(Cu
ms 20?t
第二阶段 （ 20ms ~） 电流过渡过程方程
mA 25.025.1)( 3
20
t
eti
mA5.1)ms20(i
mA25.1)(i
ms3 CR d?
ms 20?t
V 22)( 2tc etu
第一阶段,
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
V 5.05.2)( 3
20
t
c etu
第二阶段,
ms 20?t
ms 200 t
第一阶段,
mA 25.025.1)( 3
20
t
eti
3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms
mA 21)( 2teti
第二阶段,
ms 20?t
ms 200 t
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编本课作业
7
5-4
5-5
5-8
5-14
英 7题第五章 电路的暂态分析
(电路的过渡过程 )
§ 5.1 概述
§ 5.2 换路定理
§ 5.3 一阶电路过渡过程的分析
§ 5.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 5.5 含有多个储能元件的一阶电路旧稳态 新稳态过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
U
+
_ Cu
§ 5.1 概述电路处于新稳态
R
U+_
Cu
“稳态,与,暂态,的概念,?
产生过渡过程的电路及原因?
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，
不存在过渡过程。
U
t
Cu
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量,其大小为：
R-C电路
2
0 2
1
cui d tuW
t
C
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电容的电路存在过渡过程。
U
K R
+
_ C
uC
R-L电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，
其大小为：
2
0 2
1
LidtuiW
t
L
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电感的电路存在过渡过程。
K R
U
+
_
t=0
iL
t
Li
R
U
5.2.1 换路定理换路,电路状态的改变。如：
§ 5.2 换路定理
1,电路接通、断开电源
2,电路中电源的升高或降低
3,电路中元件参数的改变
…………..
换路定理,在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路?0
0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( CC uu
)0()0( LL ii
则：
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以
*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CuWc?
*
若
cu
发生突变，
dt
du c
i
不可能 ！
一般电路则所以电容电压不能突变从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
duRCuiRU
K 闭合后，列回路电压方程：
)(
dt
duCi C?
5.2.2 初始值的确定求解要点,换路定理
1.
)0()0(
)0()0(
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时的大小。
例 1：
V0)0()0( Cc uu
则根据换路定理：
设：
V0)0(cu
R
U
R
u
i R
)0()0(
)0(Ru UuU C )0(
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)(
)(
i
u C
U
0
在 t=0+时，电容相当于短路在 t=?时，电容相当于断路例 2：
K R1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=2k?
R2=4k?
C=1?F
)0(cu
V8
42
4
12
21
2?
RR
R
U
根据换路定理：
V8)0()0( cc uu
)0(Ci mA2
4
8)0(
2
R
u C 0)(
0)(
C
C
i
u
在 t=0+时，
电容相当于一个恒压源例 3
换路时电压方程,
)0()0(
)0()0(
LL
LR
uRi
uuU
根据换路定理
A 0)0()0( LL ii
解,
V20020
)0()0(
RiUu LL
求,
)0(
),0(
L
L
u
i
已知,R=1kΩ,
L=1H,U=20 V、
A 0?Li
设 时开关闭合0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
)(Li?)(Lu
已知,
电压表内阻
H1k1V20 LRU,、
k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求,K打开的瞬间,电压表两端的电压。
换路前
mA20
1
20)0(
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( LL ii
例 4
K
.
U
L
V
R
iL
mA20)0()0( LL ii
VLV Riu
)0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
注意,实际使用中要加保护措施
K
U
L
V
R
iL
uV
小结
1,换路瞬间，
LC iu,
不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 IiL
电感相当于恒流源
3,换路瞬间，
0)0(Li,电感相当于断路；
2,换路瞬间，若,0)0(
Cu
电容相当于短路；
，0)0( 0 Uu C 电容相当于恒压源若
C
C
C udt
du
RCuRiU
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
§ 5.3 一阶电路过渡过程的分析
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
5.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法,用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法,求 初始值稳态值时间常数
……………...
本节重点一,经典法
Uu
dt
duRC
C
C
一阶常系数线性微分方程由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成：
方程的特解
Cu'
对应齐次方程的通解
Cu"
即：
CCC uutu "')(
1,一阶 R-C电路的充电过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
Uutu' CC )()(
)(?Cu
作特解，故此特解也称为 稳态分量 或 强在电路中,通常取换路后的新稳态值制分量 。所以该电路的特解为：
1,求特解 ——
Cu'
Uu
dt
duRC
C
C
将此特解代入方程，成立
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Cu"
2,求齐次方程的通解 ——
0 CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 自由分量 或暂态分量 。
其形式为指数。设：
RC
t
C Aeu
"
A为积分常数其中,
求 A:?
RC
t
CCC AeUu"u'tu
)(
UA
所以代入该电路的起始条件
0)0(Cu
0)0( 0 AUAeUu C
得,
)1()( / RCtRC
t
C eUUeUtu
时间常数?
)1(
)1()(
t
RC
t
C
eU
eUtu
RC
时间常数
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
002.63)( Uu C?
t当 时,
Cu
t
U
t 02?3?4?5?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
)1()(?
t
C eUtu
过渡过程曲线
2?
/)()( tR e
R
U
R
tuti
/)()( t
CR UetuUtu
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)1()( / t
t
C eUUeUtu
t
U
R
U
uC
uRi
过渡过程曲线
t
U
0.632U
1? 2? 3?
越大,过渡过程曲线变化越慢,uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
t
C UeUtu
)(
1?
2?
3?
321
2,一阶 R-L电路的过渡过程
（“充电”过程）
Uuu LR
UuRi LL
dt
diLu L
L?
U
dt
diLRi L
L
)1( /?tL e
R
Ui
R
L
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
/t
L Ueu
0)0()0( LL ii
R
Ui
L )(
iLU
0 t
RU u
L
uR
3,一阶 R-C电路的放电过程
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uuu CC )0()0(
0)(Cu
0 CR uu
dt
du
CiuRi CC,0
0 CC u
dt
duRC
/t
C Ueu
/t
CR
Ue
uu
RC
/tR e
R
U
R
ui
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
/t
C Ueu
/t
R Ueu
RC
/te
R
U
i
一阶 R-C电路的放电过程曲线
R
U?
U?
U
Cu
Ru
i t0
放电
4,一阶 R-L电路的过渡过程（“放电”过程）
1
)0()0(
R
Uii
LL
0)(Li
02
dt
diLRi L
L
+
-
U
R1
L uL
iL
t=0
R2
2Ru
/
1
t
L eR
U
i
2R
L
/
2
1
t
L eRR
U
u
21 RR
U?
1R
U
Li
Lu
t0
3,非 0起始态的 R-C电路的过渡过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C?
0)0( Uu C?
根据换路定理
Uu C )(
叠加方法状态为 0，即 U0=0
t
C UeUu
1
输入为 0，即 U=0
/
02
t
C eUu
/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
时间常数
0)0( Uu C?
Uu C )(
/
0 )(
t
C eUUUu
/)()0()( tCCC euuu
初始值 稳态值稳态值一般形式：
/)()0()()( teffftf
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
二、分析一阶电路过渡过程的三要素法
teffftf )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
其中三要素为,
)(?f稳态值 ----初始值 ---- )0(?f
时间常数 ----?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。式中三要素法求解过渡过程要点：
)0()]0()([6 3 2.0 fff
终点 )(?f
起点
)0(?f
t
分别求初始值、稳态值、时间常数将以上结果代入过渡过程通用表达式画出过渡过程曲线（ 由初始值?稳态值 ）?
例 1
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
)0()0( CC uu V6
32
310
21
2?
RR
RU
V10)( Uu C
S102101102 3631 CR?
/)()0()( tCCCC euuuu
V41010610 500102/ 3 tt ee
“三要素法”例题
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
V410 5 0 0 tC eu
4V
6V
10V
0 t
uC
V4 5 0 01 tCR euUu
uR1
mA2
2
4 5 0 05 0 0
1
1 t
t
R
C e
e
R
ui 2mA
iC
例 2 t=0
R1=
5k? R2=
5k?I=2mA
Cu
C=1?F
)0()0( CC uu V10521IR
V5)5//5(2)//()( 21 RRIu C
S105.2)//( 321 CRRRC?
RC,R为去掉 C后的有源二端网络的等效电阻
/)()0()( tCCCC euuuu
V55)510(5 400t-105.2 3 ee
t
uC
5
10
0 t
求,电感电压
)(tu L
例 3 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=03A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
第一步,求起始值 )0(?
Lu
A23
21
2
)0()0(
LL ii
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
2?1
2
V4
]//)[0()0( 321
RRRiu LL
t=0+时等效电路，电感相当于一个 2A的恒流源
2A Lu
R1
R2
R3
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t=0+时的等效电路第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)(Lu
t=03A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H Lu
R1
R2
R3
第三步,求时间常数?
s)(5.0
2
1
R
L?
321 || RRRR
t=03A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H LR2
R3R1
LR
第四步,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0(Lu
0)(Lu
s5.0
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
第五步,画过渡过程曲线（由初始值?稳态值）
V4)( 2 tL etu
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
求,titu
C,
例 4
3
+
_
U1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
U2
5V
1k
2
R3
0)0(Cu
解,第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
V000 CC uu mA30
1
1
R
U
i
R1
+
_U1 3V R2
i
Cu
初始值
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
0)0(Cu
稳态值第一阶段（ K,3?1）
V21
21
2
U
RR
Ru
C
mA1
21
1
RR
U
i
R1
+
_U
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
时间常数
k
3
2//
21 RRR d
ms2 CR d?
第一阶段（ K,3?1）
R1
+
_U1 3V R2
i
Cu
C
K
+
_U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
teffftf )()0()()(
)V(000 CC uu
)V(21
21
2
U
RR
Ru
C
)(ms2 CR d?
V 22)( 2tc etu
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms）电压过渡过程方程：
teffftf )()0()()(
mA21 2teti
mA30
1
1
R
Ui
mA1
21
1?
RR
Ui
ms2 CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流过渡过程方程：
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5?＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为电路已基本达到稳态。
下一阶段的起点 下一阶段的起点起始值
V2)ms20(
)ms20(
C
C
u
u
第二阶段,20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
RR
uU
i
c
（ K由 1?2）
+
_ U2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
稳态值第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
E
RRR
R
u
c
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
时间常数
k1//)( 231 RRRR d
ms3 CR d?
第二阶段,(K:1?2)
_ Cu
C
+ U
2
R1
R3
R2
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
第二阶段 （ 20ms ~） 电压过渡过程方程
V 5.05.2)( 3
20?
t
C etu
ms3 CR d?
V2)ms20(Cu
V5.2)(Cu
ms 20?t
第二阶段 （ 20ms ~） 电流过渡过程方程
mA 25.025.1)( 3
20
t
eti
mA5.1)ms20(i
mA25.1)(i
ms3 CR d?
ms 20?t
V 22)( 2tc etu
第一阶段,
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
V 5.05.2)( 3
20
t
c etu
第二阶段,
ms 20?t
ms 200 t
第一阶段,
mA 25.025.1)( 3
20
t
eti
3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms
mA 21)( 2teti
第二阶段,
ms 20?t
ms 200 t
