1海南风光第三章非正弦周期交流电路
2
非正弦周期交流电路第三章
§ 3.1 概述
§ 3.2 非正弦周期交流 信号的分解
§ 3.3 非正弦周期交流电路 的分析和计算
§ 3.4 非正弦周期交流 信号的平均值、有效值、平均功率的计算
3
非正弦周期交流信号的特点
不是正弦波
按周期规律变化
§ 3.1 概述
4
半波整流电路的输出信号非正弦周期交流信号举例
5
示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波
6
交直流共存电路
+V
Es
7
计算机内的脉冲信号
T t
8
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
2 2t
)1 t
=
)
1
0
w
A m ++
++ sin(
2
f
w
m
+
fwsin(
)(
A
Atf
…..
)s i n (
1
0?
=
++=
k
kkm tkAA fw
§ 3.2 非正弦周期交流 信号的分解
9
=
=
+?+=?
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
周期函数
)()(
1
0 k
k
km tkS inAtf A?ww +?+=?
=
tkCtkB
tkAtkA
tktkA
tkA
kmkm
kkmkkm
kkkm
kkm
+?=
+?=
+?=
+?
ww
w?w?
w?w
w
c o ss in
c o ss ins inc o s
)s inc o sc o s( s in
)s in (
10
=
=
=
www
www
ww
2
0
2
0
2
0
0
)(c o s)(
1
)(s in)(
1
)()(
2
1
ttdktfC
ttdktfB
tdtfA
km
km
=
=
+?+=
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
求出 A0,Bkm,Ckm便可得到原函数 )( tf w 的展开式。 (参见教材 P203 例 5-1)
11
周期性方波的分解 t
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波例
12
基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波
13
频谱图时域
)ts i nts i nt( s i nUU m?+++= www
5
5
13
3
14
时域周期性函数频域离散谱线
w
0
4 UU m =
U
mU
T
频域
w
3
0U
w3
5
0U
w5
t
14
§ 3.3 非正弦周期交流电路 的分析和计算 要点
2,利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别计算。
（ 注意,对交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
1,利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
3,将以上计算结果，用 瞬时值迭加 。
15
例 1,方波信号激励的电路。
已知：
STI
CLR
m?28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
==
==?=
、
、、
求：
u
t
T/2 T
Si
mI
计算举例
R
L
C u
Si
16
第一步,将激励信号展开为傅里叶级数
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mO
IdtI
T
dtti
T
I ===
直流分量：
谐波分量：
=?=
=?
w
www
k
Itk
k
I
tdtktiB
m
m
Km
2
0
)c o s
1
(
)(s i n)(
1
0
2
0
K为偶数
K为奇数
17
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
=?=
=?
w
www
tk
k
I
tdtktiC
m
km
k
IBCBA m
KmKmKmKm
222 ==+=
（ K为奇数）
01 ==?
Km
Km
K B
C
tg?
18
si
的最后展开式为：
tt
II
tkAIi
mm
K
K
KmS
ww
w
3s i n
3
1
( s i n
2
2
)s i n (
1
0
++=
++=?
=
）?++ tws i n
5
1
t
T/2 T
Si
mI
19
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
++++= tttIIi mmS www
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si 5s
i
20
直流分量
μ A5.78
2
157
20
=== m
I
I
μ A1 0 0
14.3
57.122
1 =
==
m
m
II
基波最大值
sT
I m
μ28.6
,μ A1 5 7
=
=
代入已知数据,得：
21
r a d / s10
1028.6
14.322 6
6
=
==
T
w
μ A20
5
1
μ A3.33
3
1
15
13
==
==
mm
mm
II
II
三次谐波最大值五次谐波最大值角频率
22
A10s i n1 0 0 61?ti s =
A103s i n
3
1 0 0 6
3?ti s?=
A5.780?=SI
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
电流源 各频率的谐波分量为：
t
T/2 T
Si
mI
23mV57.1
105.7820
6
00
=
=
=
S
RIU
第二步 对 各种频率的谐波分量单独计算：
1,直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：
u0
IS0
20Ω
R
LC
A5.780?=SI
24
2,基波 作用 ti s 61 10s i n1 0 0= Aμ
=?=
=
=
k11010
k1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
w
w
==?
+
+
=
k50
)(
)()(
)(
1
RC
L
R
XX
XXjR
jXjXR
Z
CL
CL
CL
w
RX L
20Ω
R
C
1si
u1
pF1 0 0 0
mH1
=
=
C
L
L
/sr ad10 6=w
25
K Ω50)( 1 =wZ
mV
2
5 0 0 0
50
2
101 0 0
(
6
111
=
=?=
）wZIU
20Ω
R
LC
1si
u1 A10s i n100 61 μti s =
26
3,三次谐波 作用
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= A?
20Ω
R
LC
3si
u3
=
+
+
=
19.895.3 7 4
)(
))((
)3(
33
33
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
Ωk310103
33.0
101 0 0 0103
11
36
3
126
3
==
=
=
L
K
C
w
w
27
=?19.895.3 7 4)3( 1wZ
19.895.374
2
10
3.33
)3(
6
133
=
=
wZIU
S
mV2.89
2
47.12=
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= Aμ
28
4,五次谐波 作用
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
=
+
+
=
53.893.2 0 8
)5(
))((
)5(
55
55
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
20Ω
R
LC
3si
u3
Ωk510105
)ΩK(2.0
101 0 0 0105
11
36
5
126
5
==
=
=
L
C
w
w
29
mV53.89
2
1 6 6.4
53.893.2 0 8
2
10
20
)5(
6
155
=
=
= wZIU
s
=?53.893.208)5( 1wZ
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
30
第三步 各 谐波分量计算结果 瞬时值 迭加：
mV)53.895s i n (166.4
)2.893s i n (47.12
s i n500057.1
5310
+
+
+?
+++=
t
t
t
uuuUu
w
w
w
mV57.10 =U mV2.89
2
47.12
3
=U?
mV
2
5 0 0 0
1 =U
mV53.89
2
166.4
5
=U
31
例 2,交、直流共存的电路。
求：
？
？
=
=
4
1
u
i
已知：
mV1 0 0 0s in240 te =
E=12 V
E1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
解题要点：交、直流分别计算；
直流和交流瞬时值结果迭加。
32
m A )(2.1
10
12
'
321
1
1
==
++
=
RRR
E
I
V0' 4 =U
(1) 直流电源作用 (E1作用,e 短路 )
E
1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
直流通道
33
(2) 交流电源作用 （ e 作用,E1 短路）
=
==
1 0 0
10101 0 0 0
1
621 CC
XX
R3>>XC2?
（ C2称旁路电容）
223 )/ / ( CC jXjXR
u4"
i1"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
以下介绍 近似计算法
34
（ C1称藕合电容）
C2也可视为短路
R2>>XC2?
i1"
u4"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+ 441 RRjX C?+?
R4>>XC1?
同理
35
u4"
i1"
R4
4k
R1
R2
C1
e
4k
2k
_
+
简化后的交流通道
mV1 0 0 0s in220
2
1"
4
t
eu
=
=
对交流通道进行简化后的计算
A 1 0 0 0s i n25
1
"
4"
1
t
R
u
i
=
=
36
最后结果：交、直流迭加
mV 1 0 0 0s i n220
"' 4 44
t
uuu
=
+=
直流分量交流分量
i1
t
A 1000s i n251200
"' 1 11
t
iii
=
+=
37
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
1,最后结果只能是瞬时值迭加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
2,不同频率对应的 XC,XL不同。
++++? 5310 www UUUUU
...
38
§ 3.4,非正弦周期交流 信号的平均值、有效值、平均功率的计算
39
数学预备知识
1,正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
三角函数的正交性
=
=
ww
ww
2
0
2
0
0)(c o s
0)(s in
ttdk
ttdk
k
（ 为整数）
40
ww
ww
=
=
)(c o s
)(s in
2
0
2
2
0
2
ttdk
ttdk
2,在一个周期内的积分为 。2 2cos,sin?
k
（ 为整数）
41
3,三角函数的正交性
0)(s ins in
0)(c o sc o s
0)(s inc o s
2
0
2
0
2
0
=?
=?
=?
tdtptk
ttdptk
ttdptk
www
www
www
pk?
42
一、非正弦周期函数的平均值若
)(s in)(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
0
2
0
)(
2
1
UtdtuU AV ==?
ww
则其平均值为,(直流分量 )
正弦量的平均值为 0
43
二、非正弦周期函数的有效值
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
若则有效值,
)(s i n
2
1
)(
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
tdtkUU
tdtuU
k
kkm
w?w
ww
++=
=
=
44
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
0
+++=
+=?
=
UUU
U
UU
k
km
结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
教材 p207
(5-12)式利用三角函数的正交性得：
45
三、非正弦周期交流电路平均功率的计算
=
T
dtiu
T
P
0
1
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
)s in ()(
1
0 kk
k
km tkIItiww?++=?
=
46
结论：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
..,.,.
)( c o s
210
1
00
+++=
=+=?
=
PPP
IUIUP
kikukkk
k
k
利用三角函数的正交性，整理后得：
2
非正弦周期交流电路第三章
§ 3.1 概述
§ 3.2 非正弦周期交流 信号的分解
§ 3.3 非正弦周期交流电路 的分析和计算
§ 3.4 非正弦周期交流 信号的平均值、有效值、平均功率的计算
3
非正弦周期交流信号的特点
不是正弦波
按周期规律变化
§ 3.1 概述
4
半波整流电路的输出信号非正弦周期交流信号举例
5
示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波
6
交直流共存电路
+V
Es
7
计算机内的脉冲信号
T t
8
基波（和原函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量高次谐波
2 2t
)1 t
=
)
1
0
w
A m ++
++ sin(
2
f
w
m
+
fwsin(
)(
A
Atf
…..
)s i n (
1
0?
=
++=
k
kkm tkAA fw
§ 3.2 非正弦周期交流 信号的分解
9
=
=
+?+=?
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
周期函数
)()(
1
0 k
k
km tkS inAtf A?ww +?+=?
=
tkCtkB
tkAtkA
tktkA
tkA
kmkm
kkmkkm
kkkm
kkm
+?=
+?=
+?=
+?
ww
w?w?
w?w
w
c o ss in
c o ss ins inc o s
)s inc o sc o s( s in
)s in (
10
=
=
=
www
www
ww
2
0
2
0
2
0
0
)(c o s)(
1
)(s in)(
1
)()(
2
1
ttdktfC
ttdktfB
tdtfA
km
km
=
=
+?+=
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
求出 A0,Bkm,Ckm便可得到原函数 )( tf w 的展开式。 (参见教材 P203 例 5-1)
11
周期性方波的分解 t
t
t
t
基波直流分量三次谐波五次谐波 七次谐波例
12
基波直流分量直流分量 +基波三次谐波直流分量 +基波 +三次谐波
13
频谱图时域
)ts i nts i nt( s i nUU m?+++= www
5
5
13
3
14
时域周期性函数频域离散谱线
w
0
4 UU m =
U
mU
T
频域
w
3
0U
w3
5
0U
w5
t
14
§ 3.3 非正弦周期交流电路 的分析和计算 要点
2,利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别计算。
（ 注意,对交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于开路,L相于短路。）
1,利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；
3,将以上计算结果，用 瞬时值迭加 。
15
例 1,方波信号激励的电路。
已知：
STI
CLR
m?28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
==
==?=
、
、、
求：
u
t
T/2 T
Si
mI
计算举例
R
L
C u
Si
16
第一步,将激励信号展开为傅里叶级数
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mO
IdtI
T
dtti
T
I ===
直流分量：
谐波分量：
=?=
=?
w
www
k
Itk
k
I
tdtktiB
m
m
Km
2
0
)c o s
1
(
)(s i n)(
1
0
2
0
K为偶数
K为奇数
17
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
=?=
=?
w
www
tk
k
I
tdtktiC
m
km
k
IBCBA m
KmKmKmKm
222 ==+=
（ K为奇数）
01 ==?
Km
Km
K B
C
tg?
18
si
的最后展开式为：
tt
II
tkAIi
mm
K
K
KmS
ww
w
3s i n
3
1
( s i n
2
2
)s i n (
1
0
++=
++=?
=
）?++ tws i n
5
1
t
T/2 T
Si
mI
19
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
++++= tttIIi mmS www
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si 5s
i
20
直流分量
μ A5.78
2
157
20
=== m
I
I
μ A1 0 0
14.3
57.122
1 =
==
m
m
II
基波最大值
sT
I m
μ28.6
,μ A1 5 7
=
=
代入已知数据,得：
21
r a d / s10
1028.6
14.322 6
6
=
==
T
w
μ A20
5
1
μ A3.33
3
1
15
13
==
==
mm
mm
II
II
三次谐波最大值五次谐波最大值角频率
22
A10s i n1 0 0 61?ti s =
A103s i n
3
1 0 0 6
3?ti s?=
A5.780?=SI
A105s i n
5
1 0 0 6
5?ti s?=
电流源 各频率的谐波分量为：
t
T/2 T
Si
mI
23mV57.1
105.7820
6
00
=
=
=
S
RIU
第二步 对 各种频率的谐波分量单独计算：
1,直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
对直流，电容相当于断路；电感相当于短路。所以输出的直流分量为：
u0
IS0
20Ω
R
LC
A5.780?=SI
24
2,基波 作用 ti s 61 10s i n1 0 0= Aμ
=?=
=
=
k11010
k1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
w
w
==?
+
+
=
k50
)(
)()(
)(
1
RC
L
R
XX
XXjR
jXjXR
Z
CL
CL
CL
w
RX L
20Ω
R
C
1si
u1
pF1 0 0 0
mH1
=
=
C
L
L
/sr ad10 6=w
25
K Ω50)( 1 =wZ
mV
2
5 0 0 0
50
2
101 0 0
(
6
111
=
=?=
）wZIU
20Ω
R
LC
1si
u1 A10s i n100 61 μti s =
26
3,三次谐波 作用
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= A?
20Ω
R
LC
3si
u3
=
+
+
=
19.895.3 7 4
)(
))((
)3(
33
33
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
Ωk310103
33.0
101 0 0 0103
11
36
3
126
3
==
=
=
L
K
C
w
w
27
=?19.895.3 7 4)3( 1wZ
19.895.374
2
10
3.33
)3(
6
133
=
=
wZIU
S
mV2.89
2
47.12=
ti s 63 103s i n
3
1 0 0?= Aμ
28
4,五次谐波 作用
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
=
+
+
=
53.893.2 0 8
)5(
))((
)5(
55
55
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
20Ω
R
LC
3si
u3
Ωk510105
)ΩK(2.0
101 0 0 0105
11
36
5
126
5
==
=
=
L
C
w
w
29
mV53.89
2
1 6 6.4
53.893.2 0 8
2
10
20
)5(
6
155
=
=
= wZIU
s
=?53.893.208)5( 1wZ
A105s i n
5
100 6
5?ti s?=
30
第三步 各 谐波分量计算结果 瞬时值 迭加：
mV)53.895s i n (166.4
)2.893s i n (47.12
s i n500057.1
5310
+
+
+?
+++=
t
t
t
uuuUu
w
w
w
mV57.10 =U mV2.89
2
47.12
3
=U?
mV
2
5 0 0 0
1 =U
mV53.89
2
166.4
5
=U
31
例 2,交、直流共存的电路。
求：
？
？
=
=
4
1
u
i
已知：
mV1 0 0 0s in240 te =
E=12 V
E1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
解题要点：交、直流分别计算；
直流和交流瞬时值结果迭加。
32
m A )(2.1
10
12
'
321
1
1
==
++
=
RRR
E
I
V0' 4 =U
(1) 直流电源作用 (E1作用,e 短路 )
E
1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
直流通道
33
(2) 交流电源作用 （ e 作用,E1 短路）
=
==
1 0 0
10101 0 0 0
1
621 CC
XX
R3>>XC2?
（ C2称旁路电容）
223 )/ / ( CC jXjXR
u4"
i1"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
以下介绍 近似计算法
34
（ C1称藕合电容）
C2也可视为短路
R2>>XC2?
i1"
u4"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+ 441 RRjX C?+?
R4>>XC1?
同理
35
u4"
i1"
R4
4k
R1
R2
C1
e
4k
2k
_
+
简化后的交流通道
mV1 0 0 0s in220
2
1"
4
t
eu
=
=
对交流通道进行简化后的计算
A 1 0 0 0s i n25
1
"
4"
1
t
R
u
i
=
=
36
最后结果：交、直流迭加
mV 1 0 0 0s i n220
"' 4 44
t
uuu
=
+=
直流分量交流分量
i1
t
A 1000s i n251200
"' 1 11
t
iii
=
+=
37
计算非正弦周期交流电路应注意的问题
1,最后结果只能是瞬时值迭加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
2,不同频率对应的 XC,XL不同。
++++? 5310 www UUUUU
...
38
§ 3.4,非正弦周期交流 信号的平均值、有效值、平均功率的计算
39
数学预备知识
1,正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
三角函数的正交性
=
=
ww
ww
2
0
2
0
0)(c o s
0)(s in
ttdk
ttdk
k
（ 为整数）
40
ww
ww
=
=
)(c o s
)(s in
2
0
2
2
0
2
ttdk
ttdk
2,在一个周期内的积分为 。2 2cos,sin?
k
（ 为整数）
41
3,三角函数的正交性
0)(s ins in
0)(c o sc o s
0)(s inc o s
2
0
2
0
2
0
=?
=?
=?
tdtptk
ttdptk
ttdptk
www
www
www
pk?
42
一、非正弦周期函数的平均值若
)(s in)(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
0
2
0
)(
2
1
UtdtuU AV ==?
ww
则其平均值为,(直流分量 )
正弦量的平均值为 0
43
二、非正弦周期函数的有效值
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
若则有效值,
)(s i n
2
1
)(
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
tdtkUU
tdtuU
k
kkm
w?w
ww
++=
=
=
44
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
0
+++=
+=?
=
UUU
U
UU
k
km
结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。
教材 p207
(5-12)式利用三角函数的正交性得：
45
三、非正弦周期交流电路平均功率的计算
=
T
dtiu
T
P
0
1
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu?ww ++=?
=
)s in ()(
1
0 kk
k
km tkIItiww?++=?
=
46
结论：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
..,.,.
)( c o s
210
1
00
+++=
=+=?
=
PPP
IUIUP
kikukkk
k
k
利用三角函数的正交性，整理后得：
