海南风光第二章正弦交流电路
(RLC串联电路 交流电路的分析方法功率因数的提高 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉 编正弦交流电路的分析计算2.2
2.2.2 R-L-C串联交流电路
2.2.3 交流 电路的 一般分析方法
2.2.4 功率因数的提高本课作业
4
2-8
2-10
2-14
2-16
2-21
英 4题
dt
di
LiR
uuu
LR
1,R-L串联 电路
uL
i
uRu R
L
2.2.2 R-L-C串联交流电路
(1) 瞬时值关系
)s i n (2
)s i n (2
)s i n (2
)c o ss i n(2
c o s2s i n2
22
tU
tZI
tXRI
tXtRI
tIXtRIu
L
L
L
设,tIi?s i n2?
dt
di
LiR
uuu
LR
则,
其中,
R
Xtg L122
LXRZZIU?
(1) R-L串联电路瞬时值关系
u领先 i?角
22
2222
)()(
LR
LL
UU
IXIRXRI
ZIU
tIi?s i n2?
)s i n (2 tUu
R
Xtg L1
ZIU?
22
LXRZ
Z?称为复数阻抗的模
(2) R-L串联电路有效值关系
(3)R-L串联电路 相量式表示
U?
I?
LU?
RU?
R
X
tg
XRZ
ZjXRZ
ZIjXRIUUU
L
L
L
LLR
1
22
)
（
R
L
I?
U?
RU?
LU?
Z复数阻抗
Z?称为复数阻抗的模
阻抗角,电压领先电流的相位角
0II?设,
ZI?
LR UUU
RIU R IjXU LL
(4)R-L串联电路的 功率
22
LR UUU
两边都乘以 I
2222 )()( QPIUIUUIS
LR
S=UI 视在功率，单位,VA
P=URI 有功功率，单位,W
Q=ULI 无功功率，单位,var
LR UUU
U?
I?
LU?
RU?
向量图
U U
L
UR
|Z| X
L
R
S Q
P
电压三角形 阻抗三角形 功率三角形
22 LR UUU
22
LXRZ
22 QPS
cos cosUI S P cos?称为功率因数电压三角形、阻抗三角形功率三角形
2,R-C串联 电路
i d t
C
iR
uuu
CR
1
(1) 瞬时值关系
uC
i
uRu R
C
i d tCudtduCi CC 1,
(2) R-C串联电路中电压电流的向量式关系
IjXU
IRU
II
CC
R
0设：
UC
I
URU R
C
IZ
IZIjXRUUU CCR
）（
R
Xtg C 1?其中,<0
CjXRZ
CR UUU
(3) R-C串联电路中电压电流的相量图以 I为参考相量I
UR
UC U
CR UUU
向量关系,
ZIUUU CR 22
有效值关系,
22
CXRZ
R
Xtg C 1? <0
3,R-L-C串联交流电路
id t
Cdt
di
LiR
uuuu
CLR
1
一,电流、电压的瞬时关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
ZIXXjRI
jXIjXIRIU
CL
CL
CLR UUUU
相量方程式：
则
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
0II?设 （参考相量）
)( CL XXjRZ
ZIXXjRI
jXIjXIRIU
CL
CL
)( CL XXjRZ Z
22 )(
CL XXRZ
R
XXtg CL 1?
ZIU
当 时,表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX? 0
CL XX? 0
当 时,表示 u,i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX? 0
当 时,表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
R
XXtg CL 1?
ZIU
R-L-C串联交流电路 —— 相量图先画出参考相量
CU?
U?
LU?
I?
RU?
CL UUR
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
相量表达式：
CLR UUUU
Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗 容抗感抗
ZIU
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
)( CL XXjRZ
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。 Z在方程式中只是一个运算工具 。
Z
说明：
CL XXjRZ
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
ZXXjRZ CL )(
R
XX
tg
XXRZ
CL
CL
1
22
)(
Z
R
CL XXX
阻抗三角形阻抗三角形和电压三角形的关系
Z
R
CL XXX
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
ZIU?
有效值,
22 )(
CL XXRZ
IZU?
CLCL IXIXUU
IRU R? 222 )( CLR UUUU
IZU?
CLCL IXIXUU
IRU R?
电压三角形和功率三角形的关系
UIS?
s inUI
QQQ CL
c o sUIIUP R
cos? 称为功率因数
IUQ
IUQ
CC
LL
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 L,C 不消耗能量,
但存在能量吞吐,吞吐的规模用无功功率来表示。
一,简单串并联电路
3.3.3 交流电路的一般分析方法
Z1
Z2
I?
iU? o
U?
oiO uU
ZZ
Z
U?
21
2
i
Z1
Z2iu ou
iO U
ZZ
Z
U
21
2
sr a d
jZ
jZ
VU
i
/1000
1010
20
60100
2
1
45210101021 jZZ
452102Z
301 0 0
601 0 0901
601 0 0
45210
45210
O
U?
Vtu o )301 0 0 0s i n (21 0 0
复数符号法
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图二、一般正弦交流电路的解题步骤
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、
公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A,UO 的读数解题方法有两种,1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
解法 1,利用复数进行相量运算已知,I1=10A、
UAB =100V，
A452101010551002 jjI
则：
A1090101 jI
A01021 III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数即,V0100U
AB
设,为参考相量，
ABU?
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
A01021 III
V1 0 0)101 jjIU C （
V452100
1001001
jUUU ABCo
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1CU?
ABU?
OU?
V0100U AB
例 2
已知：
)1s i n ( tIi ms
)2s i n ( tUu m
R1,R2,L,C
求：各支路电流的大小
ei
si
L
C
Li
2Ri
1R
2R
u
将电路中的电压电流都用相量表示，
并用复数表示相量；电阻电感电容都用复数阻抗表示相量模型原始电路
ei
si
L
C
Li
2Ri
1R
2R
u
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
解,节点电位法
A
C
jjX
LjjX
U
U
I
I
C
L
m
m
S
1
2
2
2
1
已知参数：
CL
C
S
A
jXRjX
jX
U
I
V
111
2
节点方程
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
e
C
A
e
R
A
R
L
L
A
L
i
jX
UV
I
i
R
V
I
i
jX
V
I
2
2
2
由节点电位便求出各支路电流：
A
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
解：
2RjXZ L?
)R（j XIU LSS 2
用戴维南定理求 ie
B
A
eI?
CjX?
U?
Z
SU?
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
)( C
S
e
jXZ
UU
I
问题的提出,日常生活中很多负载为感性的，
其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
COS? I当 U,P 一定时，?
希望将 COS? 提高
2.2.4 功率因数的提高
U?
I?
RU?
LU?
P = PR = UICOS?
其中消耗的有功功率为：
负载
i
u
说明,由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。
cos
功率因数 和电路参数的关系）（?C O S
R
XX
tg CL
1?
R
CL XX?
Z
例 40W白炽灯
1C O S
40W日光灯
5.0C O S
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
U
P
I
发电与供电设备的容量要求较大供电局一般要求用户的,
否则受处罚。
85.0C O S
A182.0
220
40
U
PI?c o sUIP?
纯电阻电路
)0(1C O S
10C O SR-L-C串联电路
)9090(
纯电感电路或纯电容电路 0C O S )90(
电动机 空载满载
3.0~2.0C O S
9.0~7.0C O S
日光灯
（ R-L-C串联电路） 6.0~5.0C O S
常用电路的功率因数提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压 U和负载的有功功率 P不变。
提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并电容
C
并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P,?为已知）
iC
iRL
L?
U?
CI?
RLI?
I?
分析依据：补偿前后 P,U 不变。
由相量图可知：
s i ns i n III LRLC
LRLUIP?c o s
c o sUIP?
CUXUI
CC
s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
L?
U?
CI?
RLI?
I?
)(2
tgtg
U
P
C L
s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
i
u
R
L
Ru
Lu
C
P=40W,U=220V,f=50Hz，
cos?L=0.5,cos?=1
并联电容 C=4.5?F
并联电容前 I=0.36A
并联电容后 I=0.18A
呈电容性。
1c o s
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s
0
U?
I?
CI?
RLI?
0
CI?
U?
I?
RLI?
问题与讨论功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况,
功率因素补偿问题（一）
1c o s
呈电阻性
0
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s
过补偿欠补偿
RLI?
U?
I?
CI?
U?
I?
CI'?
RLI?
本课作业
4
2-8
2-10
2-14
2-16
2-21
英 4题
(RLC串联电路 交流电路的分析方法功率因数的提高 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉 编正弦交流电路的分析计算2.2
2.2.2 R-L-C串联交流电路
2.2.3 交流 电路的 一般分析方法
2.2.4 功率因数的提高本课作业
4
2-8
2-10
2-14
2-16
2-21
英 4题
dt
di
LiR
uuu
LR
1,R-L串联 电路
uL
i
uRu R
L
2.2.2 R-L-C串联交流电路
(1) 瞬时值关系
)s i n (2
)s i n (2
)s i n (2
)c o ss i n(2
c o s2s i n2
22
tU
tZI
tXRI
tXtRI
tIXtRIu
L
L
L
设,tIi?s i n2?
dt
di
LiR
uuu
LR
则,
其中,
R
Xtg L122
LXRZZIU?
(1) R-L串联电路瞬时值关系
u领先 i?角
22
2222
)()(
LR
LL
UU
IXIRXRI
ZIU
tIi?s i n2?
)s i n (2 tUu
R
Xtg L1
ZIU?
22
LXRZ
Z?称为复数阻抗的模
(2) R-L串联电路有效值关系
(3)R-L串联电路 相量式表示
U?
I?
LU?
RU?
R
X
tg
XRZ
ZjXRZ
ZIjXRIUUU
L
L
L
LLR
1
22
)
（
R
L
I?
U?
RU?
LU?
Z复数阻抗
Z?称为复数阻抗的模
阻抗角,电压领先电流的相位角
0II?设,
ZI?
LR UUU
RIU R IjXU LL
(4)R-L串联电路的 功率
22
LR UUU
两边都乘以 I
2222 )()( QPIUIUUIS
LR
S=UI 视在功率，单位,VA
P=URI 有功功率，单位,W
Q=ULI 无功功率，单位,var
LR UUU
U?
I?
LU?
RU?
向量图
U U
L
UR
|Z| X
L
R
S Q
P
电压三角形 阻抗三角形 功率三角形
22 LR UUU
22
LXRZ
22 QPS
cos cosUI S P cos?称为功率因数电压三角形、阻抗三角形功率三角形
2,R-C串联 电路
i d t
C
iR
uuu
CR
1
(1) 瞬时值关系
uC
i
uRu R
C
i d tCudtduCi CC 1,
(2) R-C串联电路中电压电流的向量式关系
IjXU
IRU
II
CC
R
0设：
UC
I
URU R
C
IZ
IZIjXRUUU CCR
）（
R
Xtg C 1?其中,<0
CjXRZ
CR UUU
(3) R-C串联电路中电压电流的相量图以 I为参考相量I
UR
UC U
CR UUU
向量关系,
ZIUUU CR 22
有效值关系,
22
CXRZ
R
Xtg C 1? <0
3,R-L-C串联交流电路
id t
Cdt
di
LiR
uuuu
CLR
1
一,电流、电压的瞬时关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
ZIXXjRI
jXIjXIRIU
CL
CL
CLR UUUU
相量方程式：
则
CC
LL
R
jXIU
jXIU
RIU
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
0II?设 （参考相量）
)( CL XXjRZ
ZIXXjRI
jXIjXIRIU
CL
CL
)( CL XXjRZ Z
22 )(
CL XXRZ
R
XXtg CL 1?
ZIU
当 时,表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX? 0
CL XX? 0
当 时,表示 u,i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX? 0
当 时,表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
R
XXtg CL 1?
ZIU
R-L-C串联交流电路 —— 相量图先画出参考相量
CU?
U?
LU?
I?
RU?
CL UUR
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
相量表达式：
CLR UUUU
Z：复数阻抗实部为阻虚部为抗 容抗感抗
ZIU
R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
)( CL XXjRZ
是一个复数，但并不是正弦交流量，上面 不能加点 。 Z在方程式中只是一个运算工具 。
Z
说明：
CL XXjRZ
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
ZXXjRZ CL )(
R
XX
tg
XXRZ
CL
CL
1
22
)(
Z
R
CL XXX
阻抗三角形阻抗三角形和电压三角形的关系
Z
R
CL XXX
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU
I?
ZIU?
有效值,
22 )(
CL XXRZ
IZU?
CLCL IXIXUU
IRU R? 222 )( CLR UUUU
IZU?
CLCL IXIXUU
IRU R?
电压三角形和功率三角形的关系
UIS?
s inUI
QQQ CL
c o sUIIUP R
cos? 称为功率因数
IUQ
IUQ
CC
LL
在 R,L,C 串联的电路中,储能元件 L,C 不消耗能量,
但存在能量吞吐,吞吐的规模用无功功率来表示。
一,简单串并联电路
3.3.3 交流电路的一般分析方法
Z1
Z2
I?
iU? o
U?
oiO uU
ZZ
Z
U?
21
2
i
Z1
Z2iu ou
iO U
ZZ
Z
U
21
2
sr a d
jZ
jZ
VU
i
/1000
1010
20
60100
2
1
45210101021 jZZ
452102Z
301 0 0
601 0 0901
601 0 0
45210
45210
O
U?
Vtu o )301 0 0 0s i n (21 0 0
复数符号法
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
jXCjXLRR CL
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图二、一般正弦交流电路的解题步骤
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、
公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
例 1 下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A,UO 的读数解题方法有两种,1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
解法 1,利用复数进行相量运算已知,I1=10A、
UAB =100V，
A452101010551002 jjI
则：
A1090101 jI
A01021 III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数即,V0100U
AB
设,为参考相量，
ABU?
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
A01021 III
V1 0 0)101 jjIU C （
V452100
1001001
jUUU ABCo
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数已知,I1=10A、
UAB =100V，
2I?
A
1I?
A BC2
5j5
UO
C1
10j
I?
1CU?
ABU?
OU?
V0100U AB
例 2
已知：
)1s i n ( tIi ms
)2s i n ( tUu m
R1,R2,L,C
求：各支路电流的大小
ei
si
L
C
Li
2Ri
1R
2R
u
将电路中的电压电流都用相量表示，
并用复数表示相量；电阻电感电容都用复数阻抗表示相量模型原始电路
ei
si
L
C
Li
2Ri
1R
2R
u
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
解,节点电位法
A
C
jjX
LjjX
U
U
I
I
C
L
m
m
S
1
2
2
2
1
已知参数：
CL
C
S
A
jXRjX
jX
U
I
V
111
2
节点方程
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
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C
A
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R
A
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L
A
L
i
jX
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I
i
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jX
V
I
2
2
2
由节点电位便求出各支路电流：
A
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
解：
2RjXZ L?
)R（j XIU LSS 2
用戴维南定理求 ie
B
A
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CjX?
U?
Z
SU?
sI?
LI? 2RI? eI
LjX
CjX?
1R
2R
U?
)( C
S
e
jXZ
UU
I
问题的提出,日常生活中很多负载为感性的，
其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
COS? I当 U,P 一定时，?
希望将 COS? 提高
2.2.4 功率因数的提高
U?
I?
RU?
LU?
P = PR = UICOS?
其中消耗的有功功率为：
负载
i
u
说明,由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。
cos
功率因数 和电路参数的关系）（?C O S
R
XX
tg CL
1?
R
CL XX?
Z
例 40W白炽灯
1C O S
40W日光灯
5.0C O S
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
U
P
I
发电与供电设备的容量要求较大供电局一般要求用户的,
否则受处罚。
85.0C O S
A182.0
220
40
U
PI?c o sUIP?
纯电阻电路
)0(1C O S
10C O SR-L-C串联电路
)9090(
纯电感电路或纯电容电路 0C O S )90(
电动机 空载满载
3.0~2.0C O S
9.0~7.0C O S
日光灯
（ R-L-C串联电路） 6.0~5.0C O S
常用电路的功率因数提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压 U和负载的有功功率 P不变。
提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并电容
C
并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P,?为已知）
iC
iRL
L?
U?
CI?
RLI?
I?
分析依据：补偿前后 P,U 不变。
由相量图可知：
s i ns i n III LRLC
LRLUIP?c o s
c o sUIP?
CUXUI
CC
s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
L?
U?
CI?
RLI?
I?
)(2
tgtg
U
P
C L
s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
i
u
R
L
Ru
Lu
C
P=40W,U=220V,f=50Hz，
cos?L=0.5,cos?=1
并联电容 C=4.5?F
并联电容前 I=0.36A
并联电容后 I=0.18A
呈电容性。
1c o s
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s
0
U?
I?
CI?
RLI?
0
CI?
U?
I?
RLI?
问题与讨论功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况,
功率因素补偿问题（一）
1c o s
呈电阻性
0
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s
过补偿欠补偿
RLI?
U?
I?
CI?
U?
I?
CI'?
RLI?
本课作业
4
2-8
2-10
2-14
2-16
2-21
英 4题
