海南风光第二章正弦交流电路
(串联谐振 并联谐振 转移函数 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉 编
2.3 电路中的谐振
2.3.1 串联谐振
2.3.2 并联谐振
2.4 网络的频率特性 — 转移函数
2.4.1 转移函数的幅频特性和相频特性
2.4.2 低通电路、高通电路
2.4.3 波特图本课作业
5
2-18
2-22
2-23
2-29
英 5题含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。
谐振概念,
2.3 电路中的谐振
2.3.1 串联谐振
R
XX
tgXXR
ZXXjRZ
CL
CL
CL
122
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU,同相若令：
CL XX?
0?
则：
谐振
CL XX?
串联谐振的条件是：
fCC
XfLLX CL
2
11 2
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
CL XX?
LC
1
0
LC
f
2
1
0?
串联谐振的特点
01
R
XXtg CL?U,I 同相谐振时电流最大?
R
U
Z
U
I0
CL XX?
RXXjRZ CL )(
阻性注：串联谐振也被称为 电压谐振
RXX CL
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000
UC,UL将大于电源电压 U
串联谐振时的相量图：
LU?
CU?
I?
UUR
IRUU
UU
R
CL
品质因素 —— Q 值定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压与总电压之比。
R
X
R
X
U
U
U
UQ CLCL
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI?
0
谐振电流
LC
f
2
1
0?
谐振频率下限截止频率上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
通频带
22 )(
CL XXR
U
I
fCC
X
fLLX
C
L
2
11
2
R
UI?
0
LC
1
0
22 )(
CL XXR
UI
电路参数对谐振曲线的影响
(a) 不变，
0?
0I
变小。
0?
0I
I
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
R变大通频带?f
如何变?
f
I
(a)R变大
(b)L或 C变小
C变小结论,Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐，选择特性好。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦，选择特性差。
Q
f
L
R
f 0
2
可以证明：
可见 与 Q 相关。f?
通频带
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
22 )(
CL XXR
UI
CU?
R
L
C
U?
RU?
rLU
I?
r
解：
Hz
LC
f 3 5 6
102101 0 02
1
2
1
630
mAArR UI 15015.01010 30
6.2 2 3
6.2 2 32 0
LC
L
XX
LfX?
2.11
1010
6.223?
rR
XQ L
R,L,C串联电路，已知 R=10?,r=10? （ r是电感线圈的电阻）,L=100mH,C=2?F,U=3V
求：谐振时 f0,I0,XL,XC,Q,UR,UL,UC,?f,
rLU
例：
VRIU R 5.11015.00
VrIU r 5.11015.00
CU?
R
L
C
U?
RU?
rLU
I?
r
VXIUU LLC 5.336.2 2 315.00
VUUU LrrL 6.335.335.1 2222
Hz
L
rRf 8.31
2
串联谐振应用举例收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知：
20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
222
1
Lf
C
pF15010250108202
1
623
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题,
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
2.3.2 并联谐振当 时领先于 (容性 )
CL II?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振当 时
CL II?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容并联。
当 时落后于 (感性 )
CL II?
I? U?
U?
LI?
CI?
I?
I?
U?
LI? CI?
L C
CL X
U
X
U?
C
L
0
0
1
LC
1
0 LC
f
2
1
0?
或
LI?
U?
CI?
CL II?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI? CI?
L C
I?
U?
LI? CI?
L C
L=100mH,C=2?F，
U=3V
Hz
LC
f 356
2
1
0
A
Lf
UII
CL 013.02
0
并联谐振又称为 电流谐振
0?I
UCj
jX
U
I
LjR
U
jXR
U
I
C
C
L
RL
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III
非理想情况下的并联谐振
UI,同相时则谐振
U?
I?
RLI?
CI?
R
L
C
UC
LR
L
j
LR
R
UCj
LjR
2222
1
虚部实部则,同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
CRL III
一、非理想情况下并联谐振条件
U?
I?
RLI?
CI?
R
L
C
002
0
2
0
C
LR
L
由上式虚部并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
0
1
L
R
LC
得：
或直接这样推导：
)//()( CL jXjXRZ
令虚部为 0
LC
1
0
当 R=0时并联谐振的特点
I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下谐振时, m a x0 ZZI?
总阻抗：
RC
LZZ
m a x0
UC
LR
L
j
LR
R
I
2222
得：
I
RC
LU
2
2
0
1
L
R
LC
代入并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
ULR
RI
22
什么性质?
并联谐振电路总阻抗：
RC
L
ZZ m a x0
0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
并联谐振特性曲线
Z
I
0?
思考,时为什么是感性？ 0
容性感性阻性
f
I
0?
问：在串联谐振电路中，何时电路呈感性、阻性、
容性？
读图练习：六管超外差式晶体管收音机 2002.4.7
T1 T2 T3 T4
T5
T6
R1
R2 R3
R4
R5 RWR6
R7
R8 R9
R10
R11
R12 R13
R14
R15
R16
R17
6V
D
线路图输入电路高放变频中放 检波 低放 功放
T1 T
2 T3 D T4 T5 T6
方框图
2.4 网络的频率特性 ---转移函数概念,网络的频率特性是研究正弦交流电路中电压、
电流随频率变化的关系（即频域分析）。
iU?
oU?
网络
i
O
U
U
jT?
)?（
转移函数：
网络的传递函数：
i
o
U
U
jT?
)()( jT
U
U
jT
i
o
其中
)(?jT
称为幅频特性
)(
称为相频特性频率特性一、低通滤波器
OU?iU?
R
C
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
io
U
Cj
R
Cj
U
1
1
T
CRtg
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
i
o
1
2
1
1
1
1
1
1
OU?iU
R
C
低通滤波器的传递函数
90
45
相频特性
RCtg 1）（
幅频特性
21
1
RC
T
）（
低通滤波器的频率特性
1
RC
1
0
21
T
0
0?
0 ~,带宽0
：截止频率
2
0
1
1
分贝数定义：
i
o
U
U
jTdB lg20(lg20
3分贝点：
当 时，
2
1
i
o
U
U
dB3
2
1
lg20lg20
i
o
U
U
0
幅频特性上 时，叫 3 分贝点 。
1
RC
1
0
2
1
T
三分贝点
OU?iU?
R
C
二、高通滤波器滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
高通滤波器的传递函数
CRj
CRj
Cj
R
R
U
U
jT
i
o
11?
高通滤波器的频率特性
CRj
CRj
Cj
R
R
U
U
jT
i
o
11?
幅频特性相频特性
RCtg 190）（
1
RC
1
0
21
T
90
45
2
01
1
)(
T
三、带通滤波器
RC 串并联网络
iU?
oU?
R
R
CjX?
CjX?iu
ou
R
C
RC
c
c
c
jXR
jXR
CRZ
jXRCRZ
)(
)(
)(
2
1
并联串联令：
io UZZ
Z
U
21
2
则：
iO UZZ
Z
U
21
2
i
c
c
c
c
c
O
U
jXR
jXR
jXR
jXR
jXR
U
)(
)(
)(
iU
CR
CRj
)
1
(3
1
iO U
CR
CRj
U
)
1
(3
1
22 )1(3
1
)(
CR
CR
jT
幅频特性 )(?jT
RC
1
0
3
1
1/10 1 10 100 …...
0?
0
lg
-1 0 1 2 …...
T
Tlg20
0.001 0.01 0.1 0.707 1 10 100
-60 -40 -20 -3 0 20 40
对于变化范围较宽的频率特性，为展 宽视野，其特性横坐标改用 对数坐标，表示归一 化频率 ；纵坐标用（ 分贝 ）表示，便构成波特图。
波特图用归一化频率表示的低通滤波器传递函数令：
RC
1
0
0
1
2
0
1
1
tgjT
则：
RCtg
RC
jT?
1
21
1?
知：
低通波特图
2
0
1
1
jT
-20dB/十倍频幅频特性
40?
210? 110? 1 10 210
20?
3?
0?
jT
（分贝）
90
210? 110? 1 10 210
45
0
0?
0
1
tg
相频特性传递函数典型的网络函数低通 高通 带通 带阻电路举例
RCj
jT
1
1
0?
OU?iU?
RC
j
jT
1
1
1
0?
OU?iU?
C
LjR
C
Lj
jT
1
1
1? 2?
OU?iU?
C
LjR
R
jT
1
1? 2?
OU?
iU?
正弦交流电路综合举例例 1,移相电路
R R
1
R C
iU?
oU?
已知：
02 UU
i
iU?
当 R1由 0变化时，
oU?
的有效值不变，
oU?
和 之间的相位差由 变化180 o? 0 o
证明：
解法 1
02 UU
i
已知：
RRo UUU 1
复数运算 R R
1
R CiU
oU?
1RU?
RU?
CRj
CRjU
CRj
R
R
UU i
iR
1
1
1
1
1
1
1
)(
1?
iR UU
2
1?
解：
UCRtg
U
CRtgCR
CRtgCRU
CRj
CRj
U
U
CjR
CRjU
UUU
i
i
i
i
i
RRo
)2180(
2
)(1
)180()(1
2
)1(2
1
2
1
1
)
1
1
1
12
1
1
12
1
1
1
1
1
1
（
当,R1=0 时? =180o
R1=?时? =0°
解法 2 画相量图
CU?
1RU?
oU?
02 UU
i
已知：
当,R1=0 时? =180°
R1=?时? =0°
（ 2）
oU?
的幅度为圆的半径，其值为 UU
i?
2
1（ 1）
iU?
RU?
iU?
R R
1
R C
oU?
1RU?
RU?
本课作业
5
2-18
2-22
2-23
2-29
英 5题
(串联谐振 并联谐振 转移函数 )
清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉 编
2.3 电路中的谐振
2.3.1 串联谐振
2.3.2 并联谐振
2.4 网络的频率特性 — 转移函数
2.4.1 转移函数的幅频特性和相频特性
2.4.2 低通电路、高通电路
2.4.3 波特图本课作业
5
2-18
2-22
2-23
2-29
英 5题含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同相，
便称此电路处于谐振状态。
谐振串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用非常广泛。
谐振概念,
2.3 电路中的谐振
2.3.1 串联谐振
R
XX
tgXXR
ZXXjRZ
CL
CL
CL
122
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU,同相若令：
CL XX?
0?
则：
谐振
CL XX?
串联谐振的条件是：
fCC
XfLLX CL
2
11 2
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
CL XX?
LC
1
0
LC
f
2
1
0?
串联谐振的特点
01
R
XXtg CL?U,I 同相谐振时电流最大?
R
U
Z
U
I0
CL XX?
RXXjRZ CL )(
阻性注：串联谐振也被称为 电压谐振
RXX CL
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000
UC,UL将大于电源电压 U
串联谐振时的相量图：
LU?
CU?
I?
UUR
IRUU
UU
R
CL
品质因素 —— Q 值定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压与总电压之比。
R
X
R
X
U
U
U
UQ CLCL
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI?
0
谐振电流
LC
f
2
1
0?
谐振频率下限截止频率上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
通频带
22 )(
CL XXR
U
I
fCC
X
fLLX
C
L
2
11
2
R
UI?
0
LC
1
0
22 )(
CL XXR
UI
电路参数对谐振曲线的影响
(a) 不变，
0?
0I
变小。
0?
0I
I
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
R变大通频带?f
如何变?
f
I
(a)R变大
(b)L或 C变小
C变小结论,Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐，选择特性好。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦，选择特性差。
Q
f
L
R
f 0
2
可以证明：
可见 与 Q 相关。f?
通频带
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
22 )(
CL XXR
UI
CU?
R
L
C
U?
RU?
rLU
I?
r
解：
Hz
LC
f 3 5 6
102101 0 02
1
2
1
630
mAArR UI 15015.01010 30
6.2 2 3
6.2 2 32 0
LC
L
XX
LfX?
2.11
1010
6.223?
rR
XQ L
R,L,C串联电路，已知 R=10?,r=10? （ r是电感线圈的电阻）,L=100mH,C=2?F,U=3V
求：谐振时 f0,I0,XL,XC,Q,UR,UL,UC,?f,
rLU
例：
VRIU R 5.11015.00
VrIU r 5.11015.00
CU?
R
L
C
U?
RU?
rLU
I?
r
VXIUU LLC 5.336.2 2 315.00
VUUU LrrL 6.335.335.1 2222
Hz
L
rRf 8.31
2
串联谐振应用举例收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知：
20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
222
1
Lf
C
pF15010250108202
1
623
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题,
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
2.3.2 并联谐振当 时领先于 (容性 )
CL II?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振当 时
CL II?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容并联。
当 时落后于 (感性 )
CL II?
I? U?
U?
LI?
CI?
I?
I?
U?
LI? CI?
L C
CL X
U
X
U?
C
L
0
0
1
LC
1
0 LC
f
2
1
0?
或
LI?
U?
CI?
CL II?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI? CI?
L C
I?
U?
LI? CI?
L C
L=100mH,C=2?F，
U=3V
Hz
LC
f 356
2
1
0
A
Lf
UII
CL 013.02
0
并联谐振又称为 电流谐振
0?I
UCj
jX
U
I
LjR
U
jXR
U
I
C
C
L
RL
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III
非理想情况下的并联谐振
UI,同相时则谐振
U?
I?
RLI?
CI?
R
L
C
UC
LR
L
j
LR
R
UCj
LjR
2222
1
虚部实部则,同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
CRL III
一、非理想情况下并联谐振条件
U?
I?
RLI?
CI?
R
L
C
002
0
2
0
C
LR
L
由上式虚部并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
0
1
L
R
LC
得：
或直接这样推导：
)//()( CL jXjXRZ
令虚部为 0
LC
1
0
当 R=0时并联谐振的特点
I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下谐振时, m a x0 ZZI?
总阻抗：
RC
LZZ
m a x0
UC
LR
L
j
LR
R
I
2222
得：
I
RC
LU
2
2
0
1
L
R
LC
代入并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
ULR
RI
22
什么性质?
并联谐振电路总阻抗：
RC
L
ZZ m a x0
0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
并联谐振特性曲线
Z
I
0?
思考,时为什么是感性？ 0
容性感性阻性
f
I
0?
问：在串联谐振电路中，何时电路呈感性、阻性、
容性？
读图练习：六管超外差式晶体管收音机 2002.4.7
T1 T2 T3 T4
T5
T6
R1
R2 R3
R4
R5 RWR6
R7
R8 R9
R10
R11
R12 R13
R14
R15
R16
R17
6V
D
线路图输入电路高放变频中放 检波 低放 功放
T1 T
2 T3 D T4 T5 T6
方框图
2.4 网络的频率特性 ---转移函数概念,网络的频率特性是研究正弦交流电路中电压、
电流随频率变化的关系（即频域分析）。
iU?
oU?
网络
i
O
U
U
jT?
)?（
转移函数：
网络的传递函数：
i
o
U
U
jT?
)()( jT
U
U
jT
i
o
其中
)(?jT
称为幅频特性
)(
称为相频特性频率特性一、低通滤波器
OU?iU?
R
C
滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。
io
U
Cj
R
Cj
U
1
1
T
CRtg
RC
RCj
Cj
R
Cj
U
U
jT
i
o
1
2
1
1
1
1
1
1
OU?iU
R
C
低通滤波器的传递函数
90
45
相频特性
RCtg 1）（
幅频特性
21
1
RC
T
）（
低通滤波器的频率特性
1
RC
1
0
21
T
0
0?
0 ~,带宽0
：截止频率
2
0
1
1
分贝数定义：
i
o
U
U
jTdB lg20(lg20
3分贝点：
当 时，
2
1
i
o
U
U
dB3
2
1
lg20lg20
i
o
U
U
0
幅频特性上 时，叫 3 分贝点 。
1
RC
1
0
2
1
T
三分贝点
OU?iU?
R
C
二、高通滤波器滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。
高通滤波器的传递函数
CRj
CRj
Cj
R
R
U
U
jT
i
o
11?
高通滤波器的频率特性
CRj
CRj
Cj
R
R
U
U
jT
i
o
11?
幅频特性相频特性
RCtg 190）（
1
RC
1
0
21
T
90
45
2
01
1
)(
T
三、带通滤波器
RC 串并联网络
iU?
oU?
R
R
CjX?
CjX?iu
ou
R
C
RC
c
c
c
jXR
jXR
CRZ
jXRCRZ
)(
)(
)(
2
1
并联串联令：
io UZZ
Z
U
21
2
则：
iO UZZ
Z
U
21
2
i
c
c
c
c
c
O
U
jXR
jXR
jXR
jXR
jXR
U
)(
)(
)(
iU
CR
CRj
)
1
(3
1
iO U
CR
CRj
U
)
1
(3
1
22 )1(3
1
)(
CR
CR
jT
幅频特性 )(?jT
RC
1
0
3
1
1/10 1 10 100 …...
0?
0
lg
-1 0 1 2 …...
T
Tlg20
0.001 0.01 0.1 0.707 1 10 100
-60 -40 -20 -3 0 20 40
对于变化范围较宽的频率特性，为展 宽视野，其特性横坐标改用 对数坐标，表示归一 化频率 ；纵坐标用（ 分贝 ）表示，便构成波特图。
波特图用归一化频率表示的低通滤波器传递函数令：
RC
1
0
0
1
2
0
1
1
tgjT
则：
RCtg
RC
jT?
1
21
1?
知：
低通波特图
2
0
1
1
jT
-20dB/十倍频幅频特性
40?
210? 110? 1 10 210
20?
3?
0?
jT
（分贝）
90
210? 110? 1 10 210
45
0
0?
0
1
tg
相频特性传递函数典型的网络函数低通 高通 带通 带阻电路举例
RCj
jT
1
1
0?
OU?iU?
RC
j
jT
1
1
1
0?
OU?iU?
C
LjR
C
Lj
jT
1
1
1? 2?
OU?iU?
C
LjR
R
jT
1
1? 2?
OU?
iU?
正弦交流电路综合举例例 1,移相电路
R R
1
R C
iU?
oU?
已知：
02 UU
i
iU?
当 R1由 0变化时，
oU?
的有效值不变，
oU?
和 之间的相位差由 变化180 o? 0 o
证明：
解法 1
02 UU
i
已知：
RRo UUU 1
复数运算 R R
1
R CiU
oU?
1RU?
RU?
CRj
CRjU
CRj
R
R
UU i
iR
1
1
1
1
1
1
1
)(
1?
iR UU
2
1?
解：
UCRtg
U
CRtgCR
CRtgCRU
CRj
CRj
U
U
CjR
CRjU
UUU
i
i
i
i
i
RRo
)2180(
2
)(1
)180()(1
2
)1(2
1
2
1
1
)
1
1
1
12
1
1
12
1
1
1
1
1
1
（
当,R1=0 时? =180o
R1=?时? =0°
解法 2 画相量图
CU?
1RU?
oU?
02 UU
i
已知：
当,R1=0 时? =180°
R1=?时? =0°
（ 2）
oU?
的幅度为圆的半径，其值为 UU
i?
2
1（ 1）
iU?
RU?
iU?
R R
1
R C
oU?
1RU?
RU?
本课作业
5
2-18
2-22
2-23
2-29
英 5题
