海南风光直流电路习题课第二章 正弦交流电路
2.1正弦量的特征值及表示方法
2.1.1正弦量的特征值
2.1.2正弦量的表示方法
2.2正弦交流电路的分析与计算
2.2.1 单一参数的正弦交流电路清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编直流电路习题课例 1：
有源网络 V
UO
如图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为
100k?的电压表测得开路电压为 50V，求该网络的戴维南等效电路。
解：
US =（ 30/50） RS +30
US =（ 50/100） RS +50
UO
US
RS
R
RS =200 k?
US =150V
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知：
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求：
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无源网络 UO
IS
设解：
SSO IKUKU 21
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 KK
V1OU
当 US =1V,IS=1A 时，
)1(......011 21 KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时，
)2(......1010 21 KKU O
用叠加原理例 2：
SSO IUU 1.01.0
US =0 V,IS=10A 时，
例 3：求 I1,I2之值。
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
使所有恒流源不起作用
I1 ′ = I2 ′= 0 A
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理使所有恒压源不起作用
A,D
B,C
1?
I1? I2?
1A 1A 1?
I1?=1A I2?= – 1A
I1 ′ = I2 ′= 0 A
I1?=1A,I2?= – 1A
I1=1A,I2= – 1A
交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就重复变化一次，则此种电流,电压称为周期性交流电流或电压 。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
第 2章 正弦交流电路
T
u
t
u
T
t
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路
t
i
正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的正方向
i
u R
用小写字母表示交流瞬时值
2.1.1 正弦波的特征量
tIi m s i n
t?
i
mI
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
特征量,
tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
正弦波特征量之一
-- 幅度在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
最大值电量名称必须大写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
T
dti
T
I
0
21
（均方根值）
可得
2
mII?当时，
tIi m s i n
dtRi
T 2
0?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当有效值电量必须大写，如,U,I
有效值概念交流电流 i通过电阻 R在一个周期 T内产生的热量与一直流电流 I通过同一电阻在同一时间 T内产生的热量相等，则称 I的数值为 i的有效值可得
2
mII?当 时，
tIi m s i n
i=? 2 I sin(?t+?)i可写为：
同理,u= Um sin(?t+?)
2
mUU?
u=? 2 U sin(?t+?)u可写为：
问题与讨论电器~ 220V 最高耐压
=300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值,所以 不能用 。
2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压描述变化周期的几种方法
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,.
T
f 1? fT?
22
正弦波特征量之二
-- 角频率
3,角频率 ω,每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
2,频率 f,每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,..
i
t?
T
tIi s i n2
正弦波特征量之三
-- 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
i
t?
）（t
：正弦波的相位角或相位
2121 tt
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
222
111
s i n
s i n
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
t
>0
=0
<0
两种正弦信号的相位关系同相位
1i
1?
2?
21
t
2i
021
落后于
2i1i2i
t
1?
相位落后
2?
1i
领先于
1i 2i
2i相位领先
1i
1? 2?
021
t
相位差为 0
1i 2i
与 同相位可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu如：
结论,
因角频率（?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初相位的变化。
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化频率不变例幅度：
A7 0 7.0
2
1
A 1 II m
301 0 0 0s i n ti
已知：
Hz159
2
1000
2
r a d / s 1000
f
频率：
30?
初相位：
A
2190（?90?）? 180
1i 2i
t
22 11 sin
sin
90
tIi
tIi
m
m
90?
如果相位差为 +180?或?180?,称为 两波形反相例,
3.2.2 正弦波的相量表示方法
瞬时值表达式
301 0 0 0s i n ti
相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
i
t?
正弦波的表示方法：
重点概念,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。
正弦波的相量表示法矢量长度 =
mU
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
tUu m s i n
mU
t?
ω
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若 其幅度用最大值表示,则用符号：
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
mU mI
U I
3,相量符号 U,I包含幅度与相位信息。
mU U或
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu
正弦波的相量表示法举例例 1：将 u1,u2 用相量表示相位：
幅度：相量大小
12 UU?
12
设,1?
2?
U1
U2
相位哪一个领先？
哪一个落后？
U2 U1领先于
同频率正弦波的相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
U2
1?
U1
U
u= u1 +u2 =
222
1
sin2
tUu
11sin2tUu
sin2tU
21 UUU
2?
U2
1?
U1
U
2? 1?
–?=
=180o –?
用余弦定理求 U：
U2=U12+U22 –2U1U2cos?
U2
U1
U
用正弦定理求?角：
sin?
U U2
sin?=
=? 1+?
sin2tUu=
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算相量的复数表示
a
b
tg
baU
1
22
将相量 放到复平面上，可如下表示：U
a
b U
j
+1
U
sincos jUUjbaU
a,b分别为 U在实轴和虚轴上的投影
j
ee
ee
jj
jj
2
s i n
2
c o s
欧拉公式
U
eU j
代数式指数式极坐标形式
jU
jbaU
)sin(cos
a
b U
j
+1
U
设 a,b为正实数
jeUjbaU
在第一象限
在第四象限?jeUjbaU
jeUjbaU
在第二象限
jeUjbaU
在第三象限
在一、二象限，一般?取值,180° 0 °
在三、四象限，一般?取值,0° -180 °
j
+1
U1
1=60°
2=120°
U2
U3
3= -120°
计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：
)9126s i n (25 tu?43 jU
)9126s i n (25 tu?43 jU
43 jU )153s i n (25 tu?
)153s i n (25 tu?43 jU
例：
相量的复数运算
1,复数 加,减运算
222
111
jbaU
jbaU
设：
jUe
bbjaa
UUU
±?±?
±?
)()( 2121
21
则：
2,复数 乘、除 法 运算
)(
21
21
21
jeAA
AAA乘法：
2
1
22
11
j
j
eAA
eAA
设,
21
2
1
2
1 je
A
A
A
A除法：
± j称为 90° 旋转因子乘以 +j使相量逆时针转 90°
乘以 -j使相量顺时针转 90°
说明：
设：任一相量 A
则,?±
90eA j A)( j±
jje j 90s i n90c o s90
复数符号法应用举例例 1:已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
314s in1.311
A
6
314s in4.141
tu
ti 求：
i,u 的相量解,
A506.86301003024.141 jI
V5.190110602206021.311 jU
求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
ti
ti
解,
6 2 8 01 0 0 022 f srad
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
A10
A60100
30
2
1
jeI
I
波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法
tUu m s i n
T
mI
t?
i
UeUjbaU j
U I
符号说明瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U
最大值 --- 大写 +下标
mU
一,电阻电路
u i R根据 欧姆定律
iRu?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
设则
2.2.1 单一参数的正弦交流电路
tItRURui
tUu
sin2sin2
sin2
1,频率相同
2,相位相同
3,有效值关系,
IRU?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系
0UU
RIU?
UI
5.相量图
0II
0UU?0IR RI?
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
RuiRiup /22
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写 =2UIsin2? t
2,（耗能元件）
0?p
结论：
1,随时间变化
p
ω tu
i
p
ω t
电阻的瞬时功率波形图
p=2UIsin2? t
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
s i n2
s i n2
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
0
0
2
)2c o s1(
1
s in2
1
大写
u
i
R
P=UI
U=IR
=I2R=U2/R
二,电感电路
dt
diLu?基本 关系式,
tIi?si n2?设
cos2 tLIdtdiLu则
i
u L
)90sin(2 tU?
)90sin(2 tI?XL
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90sin(2 tUu?
tIi?s i n2?
i
u
t?
90
设,其中：
U=IXL,XL=?L
3,有效值感抗 （ Ω ）LX
L
定义：
LXIU?
4,相量关系
)90s i n (2 tUu?
tIi?s i n2?
0 II设：
9090 IUU X
L?
0
= I j XL 或 I=U/ j XL
5,相量图
0 II
90UU
U= I j XL
I=U/ j XL
复数符号,LXIU?有效值：
I=U/ XL
U
I
电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息
LXjIU?
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tUI
ttUIuip
2s i n
c o ss i n2
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存能量
P <0
释放能量
+
P >0
P <0
可逆的能量转换过程
tUIuip?2s i n
u
i
u
i
u
i
u
i
+
P
P >0 t?
u i
t?
i
u L
电压电流实际方向
p为正弦波，频率加倍
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s i n
1
1
0
0
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐）
tUIuip?2s i n
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip?2s i n
基本关系式,
dt
du
Ci?
设,tUu?s i n2?
三、电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
tCU
tUC
dt
du
Ci
则：
1,频率相同
2,相位相差 90° （ i 领先 u 90° ）
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
iu
t?
90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI I
C
U
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
1?定义：
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
I
CXIU?
则：
CX
U
I?
4,相量关系设：
0 UU
90 II
I?
U?
)90s i n (2 tIi?
tUu?s i n2?
00 CIXUU?
则：
IjXU C
IjX
IXIX
C
CC
9090900
CXIU?
IjXU C
电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
tUu
tIi
tIUuip?2s i n
1,瞬时功率 p
tIUuip?2s i n
充电
p 放电放电
P < 0
释放能量充电
P > 0
储存能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
T
T
dttIU
T
dtP
T
P
0
0
0)2s i n(
1
1
2,平均功率 P
tIUuip?2s i n
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ
tUIp?2s i n
单位,var，乏
1,单一参数电路中的基本关系电路参数
LjjX L
dt
diLu?
基本关系复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
1
复阻抗电路参数
dt
duCi?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu?
复阻抗 R U?
I?
小 结在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。
IU、
CL jXCjXLRR,,
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律电阻电路
RIU )( LXjIU
电感电路
)( CXjIU
电容电路复数形式的欧姆定律单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图
（正方向）
复数阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功率有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设则
tUu?s in2?
tIi?s in2?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
Lj
jXL
cj
C
j
jXC
1
1
设则
tIi?sin2?
)90s i n (
2
t
LIu
设则
tUu?s in2?
)90s i n (
12
t
C
Ui
LX
IXU
L
L
CX
IXU
C
C
1?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
LjXIU
CjXIU
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
基本关系本课作业
1-11 用叠加原理
1-19
1-21
2-1
2-2（ 3）
3
2.1正弦量的特征值及表示方法
2.1.1正弦量的特征值
2.1.2正弦量的表示方法
2.2正弦交流电路的分析与计算
2.2.1 单一参数的正弦交流电路清华大学电机系电工学教研室 唐庆玉编直流电路习题课例 1：
有源网络 V
UO
如图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为
100k?的电压表测得开路电压为 50V，求该网络的戴维南等效电路。
解：
US =（ 30/50） RS +30
US =（ 50/100） RS +50
UO
US
RS
R
RS =200 k?
US =150V
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知：
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求：
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无源网络 UO
IS
设解：
SSO IKUKU 21
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 KK
V1OU
当 US =1V,IS=1A 时，
)1(......011 21 KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时，
)2(......1010 21 KKU O
用叠加原理例 2：
SSO IUU 1.01.0
US =0 V,IS=10A 时，
例 3：求 I1,I2之值。
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
使所有恒流源不起作用
I1 ′ = I2 ′= 0 A
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理使所有恒压源不起作用
A,D
B,C
1?
I1? I2?
1A 1A 1?
I1?=1A I2?= – 1A
I1 ′ = I2 ′= 0 A
I1?=1A,I2?= – 1A
I1=1A,I2= – 1A
交流电的概念如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就重复变化一次，则此种电流,电压称为周期性交流电流或电压 。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
第 2章 正弦交流电路
T
u
t
u
T
t
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路
t
i
正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向交流电路进行计算时，首先要规定物理量的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
实际方向和假设方向一致实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的正方向
i
u R
用小写字母表示交流瞬时值
2.1.1 正弦波的特征量
tIi m s i n
t?
i
mI
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
特征量,
tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
正弦波特征量之一
-- 幅度在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
最大值电量名称必须大写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
T
dti
T
I
0
21
（均方根值）
可得
2
mII?当时，
tIi m s i n
dtRi
T 2
0?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当有效值电量必须大写，如,U,I
有效值概念交流电流 i通过电阻 R在一个周期 T内产生的热量与一直流电流 I通过同一电阻在同一时间 T内产生的热量相等，则称 I的数值为 i的有效值可得
2
mII?当 时，
tIi m s i n
i=? 2 I sin(?t+?)i可写为：
同理,u= Um sin(?t+?)
2
mUU?
u=? 2 U sin(?t+?)u可写为：
问题与讨论电器~ 220V 最高耐压
=300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值,所以 不能用 。
2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压描述变化周期的几种方法
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,.
T
f 1? fT?
22
正弦波特征量之二
-- 角频率
3,角频率 ω,每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
2,频率 f,每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,..
i
t?
T
tIi s i n2
正弦波特征量之三
-- 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点，
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
i
t?
）（t
：正弦波的相位角或相位
2121 tt
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
222
111
s i n
s i n
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
t
>0
=0
<0
两种正弦信号的相位关系同相位
1i
1?
2?
21
t
2i
021
落后于
2i1i2i
t
1?
相位落后
2?
1i
领先于
1i 2i
2i相位领先
1i
1? 2?
021
t
相位差为 0
1i 2i
与 同相位可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu如：
结论,
因角频率（?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初相位的变化。
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化频率不变例幅度：
A7 0 7.0
2
1
A 1 II m
301 0 0 0s i n ti
已知：
Hz159
2
1000
2
r a d / s 1000
f
频率：
30?
初相位：
A
2190（?90?）? 180
1i 2i
t
22 11 sin
sin
90
tIi
tIi
m
m
90?
如果相位差为 +180?或?180?,称为 两波形反相例,
3.2.2 正弦波的相量表示方法
瞬时值表达式
301 0 0 0s i n ti
相量必须小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
波形图
i
t?
正弦波的表示方法：
重点概念,一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。
正弦波的相量表示法矢量长度 =
mU
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
tUu m s i n
mU
t?
ω
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若 其幅度用最大值表示,则用符号：
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
mU mI
U I
3,相量符号 U,I包含幅度与相位信息。
mU U或
222
111
s i n2
s i n2
tUu
tUu
正弦波的相量表示法举例例 1：将 u1,u2 用相量表示相位：
幅度：相量大小
12 UU?
12
设,1?
2?
U1
U2
相位哪一个领先？
哪一个落后？
U2 U1领先于
同频率正弦波的相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
U2
1?
U1
U
u= u1 +u2 =
222
1
sin2
tUu
11sin2tUu
sin2tU
21 UUU
2?
U2
1?
U1
U
2? 1?
–?=
=180o –?
用余弦定理求 U：
U2=U12+U22 –2U1U2cos?
U2
U1
U
用正弦定理求?角：
sin?
U U2
sin?=
=? 1+?
sin2tUu=
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算相量的复数表示
a
b
tg
baU
1
22
将相量 放到复平面上，可如下表示：U
a
b U
j
+1
U
sincos jUUjbaU
a,b分别为 U在实轴和虚轴上的投影
j
ee
ee
jj
jj
2
s i n
2
c o s
欧拉公式
U
eU j
代数式指数式极坐标形式
jU
jbaU
)sin(cos
a
b U
j
+1
U
设 a,b为正实数
jeUjbaU
在第一象限
在第四象限?jeUjbaU
jeUjbaU
在第二象限
jeUjbaU
在第三象限
在一、二象限，一般?取值,180° 0 °
在三、四象限，一般?取值,0° -180 °
j
+1
U1
1=60°
2=120°
U2
U3
3= -120°
计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：
)9126s i n (25 tu?43 jU
)9126s i n (25 tu?43 jU
43 jU )153s i n (25 tu?
)153s i n (25 tu?43 jU
例：
相量的复数运算
1,复数 加,减运算
222
111
jbaU
jbaU
设：
jUe
bbjaa
UUU
±?±?
±?
)()( 2121
21
则：
2,复数 乘、除 法 运算
)(
21
21
21
jeAA
AAA乘法：
2
1
22
11
j
j
eAA
eAA
设,
21
2
1
2
1 je
A
A
A
A除法：
± j称为 90° 旋转因子乘以 +j使相量逆时针转 90°
乘以 -j使相量顺时针转 90°
说明：
设：任一相量 A
则,?±
90eA j A)( j±
jje j 90s i n90c o s90
复数符号法应用举例例 1:已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
314s in1.311
A
6
314s in4.141
tu
ti 求：
i,u 的相量解,
A506.86301003024.141 jI
V5.190110602206021.311 jU
求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
ti
ti
解,
6 2 8 01 0 0 022 f srad
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为：
A10
A60100
30
2
1
jeI
I
波形图瞬时值相量图复数符号法小结：正弦波的四种表示法
tUu m s i n
T
mI
t?
i
UeUjbaU j
U I
符号说明瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U
最大值 --- 大写 +下标
mU
一,电阻电路
u i R根据 欧姆定律
iRu?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
s i n2s i n2
s i n2
设则
2.2.1 单一参数的正弦交流电路
tItRURui
tUu
sin2sin2
sin2
1,频率相同
2,相位相同
3,有效值关系,
IRU?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系
0UU
RIU?
UI
5.相量图
0II
0UU?0IR RI?
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
RuiRiup /22
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积小写 =2UIsin2? t
2,（耗能元件）
0?p
结论：
1,随时间变化
p
ω tu
i
p
ω t
电阻的瞬时功率波形图
p=2UIsin2? t
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
s i n2
s i n2
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
0
0
2
)2c o s1(
1
s in2
1
大写
u
i
R
P=UI
U=IR
=I2R=U2/R
二,电感电路
dt
diLu?基本 关系式,
tIi?si n2?设
cos2 tLIdtdiLu则
i
u L
)90sin(2 tU?
)90sin(2 tI?XL
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90sin(2 tUu?
tIi?s i n2?
i
u
t?
90
设,其中：
U=IXL,XL=?L
3,有效值感抗 （ Ω ）LX
L
定义：
LXIU?
4,相量关系
)90s i n (2 tUu?
tIi?s i n2?
0 II设：
9090 IUU X
L?
0
= I j XL 或 I=U/ j XL
5,相量图
0 II
90UU
U= I j XL
I=U/ j XL
复数符号,LXIU?有效值：
I=U/ XL
U
I
电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息
LXjIU?
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
tUu
tIi
tUI
ttUIuip
2s i n
c o ss i n2
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存能量
P <0
释放能量
+
P >0
P <0
可逆的能量转换过程
tUIuip?2s i n
u
i
u
i
u
i
u
i
+
P
P >0 t?
u i
t?
i
u L
电压电流实际方向
p为正弦波，频率加倍
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s i n
1
1
0
0
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量交换（能量的吞吐）
tUIuip?2s i n
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip?2s i n
基本关系式,
dt
du
Ci?
设,tUu?s i n2?
三、电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
tCU
tUC
dt
du
Ci
则：
1,频率相同
2,相位相差 90° （ i 领先 u 90° ）
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
iu
t?
90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI I
C
U
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
1?定义：
)90s i n (2 tCUi
tUu?s i n2?
I
CXIU?
则：
CX
U
I?
4,相量关系设：
0 UU
90 II
I?
U?
)90s i n (2 tIi?
tUu?s i n2?
00 CIXUU?
则：
IjXU C
IjX
IXIX
C
CC
9090900
CXIU?
IjXU C
电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
tUu
tIi
tIUuip?2s i n
1,瞬时功率 p
tIUuip?2s i n
充电
p 放电放电
P < 0
释放能量充电
P > 0
储存能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
T
T
dttIU
T
dtP
T
P
0
0
0)2s i n(
1
1
2,平均功率 P
tIUuip?2s i n
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ
tUIp?2s i n
单位,var，乏
1,单一参数电路中的基本关系电路参数
LjjX L
dt
diLu?
基本关系复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
1
复阻抗电路参数
dt
duCi?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu?
复阻抗 R U?
I?
小 结在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。
IU、
CL jXCjXLRR,,
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律电阻电路
RIU )( LXjIU
电感电路
)( CXjIU
电容电路复数形式的欧姆定律单一参数正弦交流电路的分析计算小结电路参数电路图
（正方向）
复数阻抗电压、电流关系瞬时值 有效值 相量图 相量式功率有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设则
tUu?s in2?
tIi?s in2?
IRU? RIU
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
Lj
jXL
cj
C
j
jXC
1
1
设则
tIi?sin2?
)90s i n (
2
t
LIu
设则
tUu?s in2?
)90s i n (
12
t
C
Ui
LX
IXU
L
L
CX
IXU
C
C
1?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
LjXIU
CjXIU
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
基本关系本课作业
1-11 用叠加原理
1-19
1-21
2-1
2-2（ 3）
3
