第 10章 线性系统的多项式矩阵描述
10.1 多项式矩阵描述
前已讲过，多项式矩阵描述（ PMD）
P(s)?(s)=Q(s)u(s)
y(s)=R(s)?(s)+W(s)u(s)
它是系统的 内部描述,是最一般的描述。
不可简约 PMD
{P(s),Q(s)}左互质，且 {P(s),R(s)}右互质
不可简约 PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
由可简约 PMD求不可简约 PMD
（ 1） {P(s),Q(s)}非左互质,{P(s),R(s)}右互质此时,P(s),Q(s)有非单模的 gcld,设为 H(s),非奇则
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(2) P(s),Q(s)左互质,P(s),R(s)非右互质
P(s),R(s)有非单模的 gcrd,设为 F(s),必非奇
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（ 3）前两种情况的组合
P(s),Q(s)非左互质，消去其 gcld H(s),得即为不可简约即做代换的和再消去
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10.2 PMD的状态空间实现一,定义给定 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述
{A,B,C,E(p)}，使
实现不唯一，有 维数最小的一类实现,称为最小实现。最小实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。
二,算法：以构造观测器形实现为最简便已知,{P(s),Q(s),R(s),W(s)},求实现
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的实现为给定则称 P MDpECBA
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思路：
– 前面已讲过的 MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，
严格真；
– 在 P(s)?(s)=Q(s)u(s)中，先求 的实现。
步骤：
– 先把 化成满足左 MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约,严格真；
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– 对 求观测器形实现（利用上节方法），
得 必有
– 总之
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– 实现为三,最小实现当且仅当 PMD为不可简约时，其维数为 n=deg detP(s)
的任何实现均为最小实现。
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10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
互质性与能控性、能观性的等价性
1,给定 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为 n=deg detP(s)=dim A的一个实现为 {A,B,C,E(p)}，则
{P(s),Q(s)}左互质?{A,B}能控
{P(s),R(s)}右互质?{A,C}能观
2,对右 MFD，
能控类实现,{A,B,C,E},dim A=deg detD(s)
则,{D(s),N(s)}右互质?{A,C}能观 （已经能控）
对左 MFD，
能观类实现：
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能控右互质则
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3,对 {A,B,C,E(p)},
{A,B}能控?{sI-A,B}左互质
{A,C}能观?{sI-A,C}右互质此即为 PBH秩判据的结论。
4,SISO系统 {A,b,c}，
则
{系统完全能控且能观 }?g(s)无零极点相消
{系统完全能控 }?adj(sI-A)b和?(s)无零极对消现象
{系统完全能观 }?c adj(sI-A)和?(s)无零极对消现象
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10.4 系统的零极点
一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
同一系统，其 PMD为 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是 det P(s)=0的根状态空间描述为 {A,B,C,E}
系统极点是 det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的 解耦零点 。
1,输入解耦零点 (input decoupling zero)
若 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}中,P(s),Q(s)存在非单模的 gcld H(s)，
即可见,H(s)中的 gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。
定义,det H(s)=0的根为输入解耦零点。
意义,这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。
由于所以，输入零点又等于使 [P(s) Q(s)]行降秩的 s值。
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2,输出解耦零点 (output decoupling zero)
若 P(s)和 R(s)存在非单模的 gcrd F(s)
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分状态不完全反映到系统输出中去。
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值降秩的所有使输出解耦零点又等同于同前的根为输出解耦零点定义被消去了可见则
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3,输入输出解耦零点若 P(s)和 Q(s)存在非单模的左公因子 L(s),(不一定 gcld)
同时 P(s)和 R(s)也存在非单模的右公因子 L(s)
即显然,L(s)的零点都是解耦点，并且既是 i.d.z.,又是 o.d.z.
这样的 L(s) 的零点称为输入输出解耦零点,i.o.d.z
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则
注：
– 求传递函数矩阵时，应消去 P(s)与 Q(s)的左公因子和
P(s)和 R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。
– 若记 P和 Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点
Ps和零点 Zs分别为
zdoizdozdiZZ
zdoizdozdiPP
s
s
.......
.......
传递矩阵的零极点
O.d.z
I.o.d.z
I.d.z
输入 输出
– 以系统矩阵表示的零极点同时使系统矩阵行降秩和列降秩的 s值。
– 若 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约，即为最小阶系统，
它不存在解耦零点。此时系统的零极点与传递矩阵的零极点完全一致。
值使其列降秩的值使其行降秩的
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考试复习要求
第 5章及以后的内容
课堂讲述的内容为准
10.1 多项式矩阵描述
前已讲过，多项式矩阵描述（ PMD）
P(s)?(s)=Q(s)u(s)
y(s)=R(s)?(s)+W(s)u(s)
它是系统的 内部描述,是最一般的描述。
不可简约 PMD
{P(s),Q(s)}左互质，且 {P(s),R(s)}右互质
不可简约 PMD不唯一
{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约
{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
由可简约 PMD求不可简约 PMD
（ 1） {P(s),Q(s)}非左互质,{P(s),R(s)}右互质此时,P(s),Q(s)有非单模的 gcld,设为 H(s),非奇则
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(2) P(s),Q(s)左互质,P(s),R(s)非右互质
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（ 3）前两种情况的组合
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10.2 PMD的状态空间实现一,定义给定 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述
{A,B,C,E(p)}，使
实现不唯一，有 维数最小的一类实现,称为最小实现。最小实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。
二,算法：以构造观测器形实现为最简便已知,{P(s),Q(s),R(s),W(s)},求实现
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的实现为给定则称 P MDpECBA
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思路：
– 前面已讲过的 MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约，
严格真；
– 在 P(s)?(s)=Q(s)u(s)中，先求 的实现。
步骤：
– 先把 化成满足左 MFD求实现的条件，即 P(s)化为行既约,严格真；
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10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
互质性与能控性、能观性的等价性
1,给定 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为 n=deg detP(s)=dim A的一个实现为 {A,B,C,E(p)}，则
{P(s),Q(s)}左互质?{A,B}能控
{P(s),R(s)}右互质?{A,C}能观
2,对右 MFD，
能控类实现,{A,B,C,E},dim A=deg detD(s)
则,{D(s),N(s)}右互质?{A,C}能观 （已经能控）
对左 MFD，
能观类实现：
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3,对 {A,B,C,E(p)},
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10.4 系统的零极点
一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
同一系统，其 PMD为 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是 det P(s)=0的根状态空间描述为 {A,B,C,E}
系统极点是 det(sI-A)=0的根以上二者是等同的。
系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递函数矩阵时可能发生零极对消。
对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系统的 解耦零点 。
1,输入解耦零点 (input decoupling zero)
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即可见,H(s)中的 gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这导致了零极点对消。
定义,det H(s)=0的根为输入解耦零点。
意义,这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。
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3,输入输出解耦零点若 P(s)和 Q(s)存在非单模的左公因子 L(s),(不一定 gcld)
同时 P(s)和 R(s)也存在非单模的右公因子 L(s)
即显然,L(s)的零点都是解耦点，并且既是 i.d.z.,又是 o.d.z.
这样的 L(s) 的零点称为输入输出解耦零点,i.o.d.z
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注：
– 求传递函数矩阵时，应消去 P(s)与 Q(s)的左公因子和
P(s)和 R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极点不包含解耦零点。
– 若记 P和 Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点
Ps和零点 Zs分别为
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传递矩阵的零极点
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输入 输出
– 以系统矩阵表示的零极点同时使系统矩阵行降秩和列降秩的 s值。
– 若 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约，即为最小阶系统，
它不存在解耦零点。此时系统的零极点与传递矩阵的零极点完全一致。
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