7,传递函数矩阵的矩阵分式描述一,基本概念
MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数。
因此，一个已知的 G(s)，其 MFD表达不唯一，其次数也不唯一。
在 G(s)的所有 MFD中，次数最小的 MFD称为最小阶
MFD，它也不唯一。
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pppqpq
sBsA
sDsNsG


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1
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1
11
M F DsGsWsDsWsN
sDsNsGM F DsGsDsN
的一个右也是则即的一个右为若

在 中,若 N(s),D(s)是右互质的,则它是最小阶的,反之亦成立,
若 N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶 MFD.
对 N(s),D(s)已互质的最小阶 MFD,最大公因子是单模阵,
其行列式为非零常数,不影响 G(s)的阶次,
也是最小阶的,故最小阶 MFD也不唯一,但次数不变,
对互质的 MFD(也称为不可简约分式描述 )最感兴趣,要着重研究,
只有正则的 G(s)是物理可实现的,因而着重研究正则有理矩阵 G(s)的不可简约矩阵分工描述,
对非正则的情形,即
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多项式矩阵严格正则总有类似于非正则
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11
1
sQsDsRsDsNsG
S I S OsDsNsG



二,不可简约矩阵分式描述
G(s)的右互质和左互质 MFD,统称为 G(s)的不可简约 MFD.
1,性质
(1)不可简约 MFD不唯一。所有左（或右）不可简约 MFD
之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广义唯一的。
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21
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11
为单模矩阵则不可简约设即
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12
22
22
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1
2
1
1
221
1
22
1
11
是单模矩阵故为多项式矩阵可得右互质由同理是多项式矩阵代入将有由贝佐特等式判据右互质已知都是多项式矩阵即证为单模矩阵只要证设证明
sU
sUsDsN
sNsYsDsXsU
IsUsNsYsDsX
sUsNsNsUsDsD
IsNsYsDsX
sDsN
sUsU
sUsUsDsD
sDsDsNsN
sDsNsDsN






(2)所有的可简约 MFD,如 都可通过不可简约的 MFD如 得到。即总有多项式矩阵 T(s)
（不是单模矩阵）,使说明,可简约，其最大公因子 R(s)不是单模矩阵，但非奇。提出并约去 R(s)，可得一互质的，
即不可简约的 MFD。这样得到的不可简约的 MFD很可能不同于给定的,但其只差一个单模矩阵
U(s)，由此单模矩阵和 R(s)即可构造出 T(s)=U(s)R(s).
(3)所有的不可简约 MFD，
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)()( 1 sDsN?
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sTsNsN
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具有相同的不变多项式分母不变多项式相同形具有相同的分子
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)(,2,1),(
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isD
S m i t hisN
isDsNsG
i
i
ii
说明：
前面讨论的是右 MFD，对左 MFD有相似的结论，形式上对偶。
也可照书可按相同的方法证对形相同所以
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1
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sD
s m i t h
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j
j
j
jj

2,求不可简约矩阵分式描述算法 1：由一个可简约的 MFD 求不可简约的 MFD
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sDsN
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sRsDsDsRsNsNg c r d
sR
sR
sD
sN
sU
g c r dsDsN
M F DsDsNsG
就是一个不可简约由此一定是右互质的故有的定义由但非奇异非单模可用构造定理求出其非右互质为任一可简约的设



算法 2：由一个可简约的 MFD 求不可简约的 MFD
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2111
21
11
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1
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M F DsVsVsG
sRsVsNsRsVsD
sRsV
sRsVsR
sVsV
sVsV
sR
sV
sR
sU
sN
sD
sR
sR
sN
sD
sU
sDsNsDsNsG
是一个不可简约的右故有但非奇异非单模非右互质设

算法 3：由一个可简约的 右 MFD 求不可简约的 左 MFD
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11
1
M F DsBsAsG
sBsAsBsAs t e p
sBsAsG
sBsA
sN
sD
sAsBs t e p
即左不可简约得再求左互质由求出多项项矩阵解由矩阵方程


3,规范形 MFD
史密斯 --麦克米伦标准形形态特征：将多项式矩阵的 smith形推广应用到有理分式矩阵 G(s)
得到 Smith-McMillan形

00
)(
)(
0
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1
1
s
s
s
s
sMsVsGsU
r
r
左上角为 r*r对角阵，余为 0，且 互质。
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s
i
i
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1
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1
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1
1
11
特征由特征的公因子消掉初等变换列通过行形化为再将可表为



ss
sd
s
s
s
sd
sVsGsU
s m i t hsN
sN
sd
sGsG
ssss
ii
i
r
iiii


几点讨论：
（ 1） Smith-Mcmillan形对给定的 G(s)唯一，但 {U(s),V(s)}不唯一。
（ 2）若 G(s)为方阵，且非奇异，则
（ 3） M(s)可表为
r
i i
i
s
ssG
1 )(
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)(
1
1
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1
1
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1
1
1
1
111
111
11
1
右互质单模的最大公因子也是故单模右互质由互质性的秩判据为何互质无疑是的不可简约是必为右互质
sDsNsRsRsDsN
sN
sD
sU
ssU
ssV
sU
s
s
sU
sV
sU
sV
sU
sR
sR
sR
s
s
sU
ss
M F D
M F DsGsDsNsDsN
sDsNssVssU
sVsssU
sVsMsUsG
sssMsVsGsU







作业,7.8,7.13