第六章 数学基础：多项式矩阵理论
§ 一些基本概念（ 6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6)
多项式：
多项式矩阵,元为多项式的矩阵注 1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不封闭；
注 2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分工域，
记为 R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。
多项式首变量
11
0)(d e g
)(,
)( 0111
m
m
i
m
m
m
m
d
dmsd
CsRd
dsdsdsdsd?
奇异和非奇异：对方多项式而言,Q(s)
线性相关和线性无关：
对象是有理分式域中的一组多项式向量
.,)(d e t;0;)(0)(d e t;)(0)(d e t
可能为零对某此的多项式是为有理分式域上的零元此处非奇异奇异
sssQ
sQsQ
sQsQ
).0)((,
.)(,),(),(
,0)()](,),(),([,0)(
21
21
成立即等式仅对称其为线性无关否则线性相关则称成立使当且仅当存在
s
sqsqsq
ssqsqsqs
p
p
注意：
.,,
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:
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2211
2121
21
2211
21
22
21
21
的值域必须指明讨论线性相关和无关时故线性无关按定义时则仅当限定为实数若线性相关按定义则取例上线性相关不一定在上线性相关在取为多项式线性相关或无关时讨论的值域
sqsq
ssss
sqsq
sqssqs
sss
ssssqsssq
RsRsRsR
ssqsqsq
s
pp
p
秩：与通常矩阵秩的定义相同
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pqsr a n k QsQ
rsQrsr a n k Q
pqsr a n k QsQ
ppqq
pq
pp
即其秩不变式矩阵前乘或后乘非奇异多项奇异非奇异满秩线性无关行个列有且仅有非零
单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵方阵，非奇异方多项式矩阵 Q(s)，若 detQ(s)是独立于 s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。
性质：
（ 1） Q(s)为单模阵?Q(s)的逆也是多项式矩阵；
（ 2） Q(s)为单模阵?Q(s)非奇异；
（ 3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；
（ 4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。
初等变换：
（ 1）行（列）交换；
（ 2）用一非零实或复数乘以某行或列；
（ 3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。
注：
（ 1）初等行（列）变换?初变换的矩阵 Q(s)左乘（右乘）
初等矩阵；
（ 2）初等矩阵都是单模矩阵；
（ 3）对 Q(s)进行一系列初等变换，相当于 Q(s)左乘和
（或）右乘单模矩阵；
（ 4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，
初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。
6.7埃尔米特形多项式矩阵的规范形之一。
Hermite形的特征，见书；
化为 Hermite的算法：
只通过一系列的行初等运算即可化为行 Hermite形，即
性质：
对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其 Hermite形为单模矩阵)(
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sV
sQsVsQ H?
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形相同的行和则若形相同的列和则若
H e r m itesAsAsAsUsA
H e r m itesDsDsUsDsD
6.8公因子和最大公因子一,公因子的定义
相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子 (是多项式矩阵 ).假定 N(s)和 D(s)列数相同,若则 R(s)称为 N(s)和 D(s)的右公因子,
相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子 (是多项式矩阵 ).假定 B(s)和 A(s)行数相同,若则 Q(s)称为 B(s)和 A(s)的左公因子,
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sRsNsN
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sAsQsA
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二,gcd(最大公因子 )的定义
gcrd:
(1)R(s)是 N(s)和 D(s)的一个右公因子 ;
(2)R (s)是 N(s)和 D(s)的任一个其它右公因子 R1(s)的左倍式,即 R(s)=W(s)R1(s)
则称 R(s)是 N(s)和 D(s)的 gcrd.
gcld:
(1)Q(s)是 B(s)和 A(s)的一个左公因子 ;
(2)Q (s)是 B(s)和 A(s)的任一个其它左公因子 R1(s)的右倍式,即 Q(s)=Q1(s)V(s)
则称 Q(s)是 B(s)和 A(s)的 gcld.
三,如何求 gcd
以 gcrd为例,
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g c r dsNsDsR
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pp
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的一个和即为则变成形如进行一系列行初等变换即对求法则可以定义右公因子列数相同和若单模矩阵
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11
11
1
21
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2221
12111
2221
12111
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sR
sNsDsR
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sR
sVsV
sVsVsR
sU
sN
sD
sV
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sVsV
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则任一右公因子最大吗一个右公因子和是所以则都是多项式矩阵也是单模矩阵设
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11121111
1211
2221
1211
依定义的左倍式是任一故得而由
sRsR
sRsW
sRsNsUsDsU
sRsNsUsRsDsU
sNsUsDsUsR
sR
sN
sD
sUsU
sUsU
sN
sD
sU
三,Gcd 的性质以 gcrd为例
(1)gcrd不唯一,
若 R(s)是 D(s)和 N(s)的 gcrd,W(s)是单模矩阵,
则 W(s)R(s)也是 D(s)和 N(s)的 gcrd.
Why:
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sRsWsR
I
sW
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I
sW
sU 也是单模阵构造
(2)D(s),N(s)的所有 gcrd在非奇异性和单模性上相同,即若 R1(s)是 D(s),N(s)的一个 gcrd
R2(s)也 是 D(s),N(s)的一个 gcrd
则 R1(s)非奇异?R2(s)非奇异
R1(s)单模?R2(s)单模
(3)
(4)gcrd R(s)可表示为 R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)
(5)gcrd的多项式元的次数可以高于 D(s),N(s)元多项式的次数,
.,)( )( 都是非奇异的其所有列满秩时 g c r dsN sD
6.9 互质性一,右互质和左互质
D(s)和 N(s)列数相同,可以定义 gcrd.
若 gcrd为单模阵,则称 D(s)和 N(s)右互质,
A(s)和 B(s)行数相同,可以定义 gcld.
若 gcld为单模阵,则称 A(s)和 B(s)左互质,
二,右互质判据
判据 1:贝佐特等式判据
D(s),N(s)右互质?存在 X(s),Y(s)多项式矩阵使 X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I
证明,
必要性,已知 D(s),N(s)右互质，证等式成立充分性,等式成立，证 D(s),N(s)右互质令 R(s)为 D(s),N(s)的一个 gcrd.只要证 R(s)单模。
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sRsNsUsDsU
sR
sR
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11
1
1211
故单模右互质
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1
是单模阵故也是多项式矩阵代入等式
sR
sNsYsDsXsR
IsRsNsYsDsX
sRsNsNsRsDsD
判据 2：秩判据
判据 3：非右互质判据
CspsN sDr a n ksNsD
,
)(
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.
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是约去公因子后的结果必有公因子则而即若为多项式若性类似两个多项式的互质且使存在非右互质
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sB
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sA
sB
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三,Gcrd构造关系式的一个性质
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1
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1211
sUsDsNsD
sUsUsDsNsU
sUsU
sD
sR
sN
sD
sUsU
sUsU
sN
sD
sU
当且仅当为右互质且非奇异左互质则成立非奇异设
6.10 列次数和行次数一,次数
多项式的次数：
多项式向量的次数：所有元多项式中,s的最高幂次。
多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。
.,
0,)( 0111
称为多项式的次数的最高幂次为则 ms
ddsdsdsdsd mmmmm
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个列向量的次数第列的次数第
isMksM
i
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如个行向量的次数第行的次数第
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j
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021
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)(
21
321
3
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kk
kkk
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ssss
sM
二,多项式矩阵的列（行）次表示式
1.列次表示式上例中的 M(s)可表示为一般地，
001
0121
021
311
)(
)(,
3
s
s
s
s
sM
s
sM
次数幂次大小等于所在列的幂次的对角阵关于的列数维数为方阵的各项次数低于有为方阵时当
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sM
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2.行次表示式
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3121
020
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3
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s
ssM
的各项次数低于有为方阵时当一般地
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ri
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21
6.11 既约性一,既约性的定义此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。
M(s)列既约：
M(s)行既约：
注：
列既约和行既约之间无必然的联系；
M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。
二,既约性判据
如果已求出 detM(s),则可利用定义判断；
利用列（行）次表示式
p
i
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p
i
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sMsM
sMsM
1
1
)()(d e td e g
)()(d e td e g
三,非既约矩阵的既约化通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
实质：降低行或列的次数含义：在初等运算下,degdetM(s)不变。
实现既约化以后，次数不能被降低了。
非奇异行次系数矩阵行既约非奇异列次系数矩阵列既约
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MsM
MsM
6.12 Smith形一,史密斯形的特征
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)(
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特征：
二,Smith形的求法见书。
三,对 Smith形的一些讨论
（ 1）对给定的多项式矩阵 Q(s)，其 Smith形唯一。
（变换 U(s),V(s)不唯一）
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11
的不变因子称为可以整除即多项式的首是非其余块阵为左上角的块阵对角形
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s
s
i
iiii
i
(2)若 Q1(s)和 Q2(s)具相同的 Smith形，则称其在初等行和列运算下等价，记为具有反身性，自反性，传递性等性质。
(3)?存在单模矩阵 P(s),T(s)，使
(4)若 A,B同维，则四,Smith形的应用之一 —— 判断互质性
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形为的左互质形为的右互质
证明：
右互质的情况
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右互质单模充分性形为即则单模右互质必要性
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§ 一些基本概念（ 6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6)
多项式：
多项式矩阵,元为多项式的矩阵注 1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不封闭；
注 2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分工域，
记为 R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。
多项式首变量
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奇异和非奇异：对方多项式而言,Q(s)
线性相关和线性无关：
对象是有理分式域中的一组多项式向量
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可能为零对某此的多项式是为有理分式域上的零元此处非奇异奇异
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即其秩不变式矩阵前乘或后乘非奇异多项奇异非奇异满秩线性无关行个列有且仅有非零
单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵方阵，非奇异方多项式矩阵 Q(s)，若 detQ(s)是独立于 s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。
性质：
（ 1） Q(s)为单模阵?Q(s)的逆也是多项式矩阵；
（ 2） Q(s)为单模阵?Q(s)非奇异；
（ 3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵；
（ 4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。
初等变换：
（ 1）行（列）交换；
（ 2）用一非零实或复数乘以某行或列；
（ 3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。
注：
（ 1）初等行（列）变换?初变换的矩阵 Q(s)左乘（右乘）
初等矩阵；
（ 2）初等矩阵都是单模矩阵；
（ 3）对 Q(s)进行一系列初等变换，相当于 Q(s)左乘和
（或）右乘单模矩阵；
（ 4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，
初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。
6.7埃尔米特形多项式矩阵的规范形之一。
Hermite形的特征，见书；
化为 Hermite的算法：
只通过一系列的行初等运算即可化为行 Hermite形，即
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形相同的行和则若形相同的列和则若
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6.8公因子和最大公因子一,公因子的定义
相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子 (是多项式矩阵 ).假定 N(s)和 D(s)列数相同,若则 R(s)称为 N(s)和 D(s)的右公因子,
相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子 (是多项式矩阵 ).假定 B(s)和 A(s)行数相同,若则 Q(s)称为 B(s)和 A(s)的左公因子,
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二,gcd(最大公因子 )的定义
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(1)R(s)是 N(s)和 D(s)的一个右公因子 ;
(2)R (s)是 N(s)和 D(s)的任一个其它右公因子 R1(s)的左倍式,即 R(s)=W(s)R1(s)
则称 R(s)是 N(s)和 D(s)的 gcrd.
gcld:
(1)Q(s)是 B(s)和 A(s)的一个左公因子 ;
(2)Q (s)是 B(s)和 A(s)的任一个其它左公因子 R1(s)的右倍式,即 Q(s)=Q1(s)V(s)
则称 Q(s)是 B(s)和 A(s)的 gcld.
三,如何求 gcd
以 gcrd为例,
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三,Gcd 的性质以 gcrd为例
(1)gcrd不唯一,
若 R(s)是 D(s)和 N(s)的 gcrd,W(s)是单模矩阵,
则 W(s)R(s)也是 D(s)和 N(s)的 gcrd.
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(2)D(s),N(s)的所有 gcrd在非奇异性和单模性上相同,即若 R1(s)是 D(s),N(s)的一个 gcrd
R2(s)也 是 D(s),N(s)的一个 gcrd
则 R1(s)非奇异?R2(s)非奇异
R1(s)单模?R2(s)单模
(3)
(4)gcrd R(s)可表示为 R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)
(5)gcrd的多项式元的次数可以高于 D(s),N(s)元多项式的次数,
.,)( )( 都是非奇异的其所有列满秩时 g c r dsN sD
6.9 互质性一,右互质和左互质
D(s)和 N(s)列数相同,可以定义 gcrd.
若 gcrd为单模阵,则称 D(s)和 N(s)右互质,
A(s)和 B(s)行数相同,可以定义 gcld.
若 gcld为单模阵,则称 A(s)和 B(s)左互质,
二,右互质判据
判据 1:贝佐特等式判据
D(s),N(s)右互质?存在 X(s),Y(s)多项式矩阵使 X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I
证明,
必要性,已知 D(s),N(s)右互质，证等式成立充分性,等式成立，证 D(s),N(s)右互质令 R(s)为 D(s),N(s)的一个 gcrd.只要证 R(s)单模。
IsNsUsRsDsUsR
sRsNsUsDsU
sR
sR
sN
sD
sUsNsD
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12
1
)(
11
1
1211
故单模右互质
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1
是单模阵故也是多项式矩阵代入等式
sR
sNsYsDsXsR
IsRsNsYsDsX
sRsNsNsRsDsD
判据 2：秩判据
判据 3：非右互质判据
CspsN sDr a n ksNsD
,
)(
)()(),( 右互质
.
)(
)(
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)(d e td e g)(d e td e g
,0
)(
)(
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,)(,)()(),(
是约去公因子后的结果必有公因子则而即若为多项式若性类似两个多项式的互质且使存在非右互质
sA
sB
sDsNsDsA
sNsAsDsB
sA
sB
sD
sN
sDsN
sDsA
sN
sD
sAsBsNsAsDsB
sAsBsNsD
qqpq
三,Gcrd构造关系式的一个性质
)(d e td e g)(d e td e g,)(),()3(
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,)(
0
)(
)(
)(
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)(
)(
)(
22
21
1
22
1
22
2122
2221
1211
sUsDsNsD
sUsUsDsNsU
sUsU
sD
sR
sN
sD
sUsU
sUsU
sN
sD
sU
当且仅当为右互质且非奇异左互质则成立非奇异设
6.10 列次数和行次数一,次数
多项式的次数：
多项式向量的次数：所有元多项式中,s的最高幂次。
多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。
.,
0,)( 0111
称为多项式的次数的最高幂次为则 ms
ddsdsdsdsd mmmmm
},,2,1),({ d e gm a x)( piss ii
个列向量的次数第列的次数第
isMksM
i
cici )()(
:
如个行向量的次数第行的次数第
jsMksM
j
rjrj )()(
:
3,3
,1,3,1
021
3121
)(
21
321
3
2
rr
ccc
kk
kkk
ss
ssss
sM
二,多项式矩阵的列（行）次表示式
1.列次表示式上例中的 M(s)可表示为一般地，
001
0121
021
311
)(
)(,
3
s
s
s
s
sM
s
sM
次数幂次大小等于所在列的幂次的对角阵关于的列数维数为方阵的各项次数低于有为方阵时当
ci
k
hc
kkk
c
lcchc
ksMsM
sM
sssd i a gsH
sMsHMsM
ci
cpcc
)( d e t)(d e t
,)(
},,,{)(
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21?
2.行次表示式
001
3121
020
010
)( 3
3
s
sss
s
ssM
的各项次数低于有为方阵时当一般地
ri
k
hr
kkk
r
lrhrr
ksMsM
sM
sssd i a gsH
sMMsHsM
ri
rqrr
)( d e t)(d e t
,)(
},,,{)(
)()()(
21
6.11 既约性一,既约性的定义此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。
M(s)列既约：
M(s)行既约：
注：
列既约和行既约之间无必然的联系；
M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。
二,既约性判据
如果已求出 detM(s),则可利用定义判断；
利用列（行）次表示式
p
i
ri
p
i
ci
sMsM
sMsM
1
1
)()(d e td e g
)()(d e td e g
三,非既约矩阵的既约化通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
实质：降低行或列的次数含义：在初等运算下,degdetM(s)不变。
实现既约化以后，次数不能被降低了。
非奇异行次系数矩阵行既约非奇异列次系数矩阵列既约
)()(
)()(
hr
hc
MsM
MsM
6.12 Smith形一,史密斯形的特征
0
)(
)(
)(
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),m in (0,)(,)(
2
1
s
s
s
ssVsQsU
pqrrsr a n k QsQ
r
pq
特征：
二,Smith形的求法见书。
三,对 Smith形的一些讨论
（ 1）对给定的多项式矩阵 Q(s)，其 Smith形唯一。
（变换 U(s),V(s)不唯一）
.)()()4(
);()(),(|)()3(;10)()2(;0,)()1(
11
的不变因子称为可以整除即多项式的首是非其余块阵为左上角的块阵对角形
sQs
ssss
s
s
i
iiii
i
(2)若 Q1(s)和 Q2(s)具相同的 Smith形，则称其在初等行和列运算下等价，记为具有反身性，自反性，传递性等性质。
(3)?存在单模矩阵 P(s),T(s)，使
(4)若 A,B同维，则四,Smith形的应用之一 —— 判断互质性
)(~)( 21 sQsQ
)(~)( 21 sQsQ
)()()()( 12 sTsQsPsQ?
.,)(~)( 相似BABsIAsI
0)()()(),()2(
0)(
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IS m i t hsBsAsBsA
I
S m i t h
sN
sD
sDsN
形为的左互质形为的右互质
证明：
右互质的情况
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0
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)(
)(
)(
0
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)(
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:
0
,
0
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)(
)(
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00
)(
)(
)(
)(
1
1
1
右互质单模充分性形为即则单模右互质必要性
sV
sV
sN
sD
sU
I
sV
sN
sD
sU
I
S m i t h
I
sR
sN
sD
sU
sRsNsD
sR
IsR
sN
sD
sU
