8,传递函数矩阵的零极点
8.1 极点和零点
SISO系统：
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1
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的极点作为的根的零点作为的根以
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定义：零点 —— 当输入 u为有限值时，使输出 y(s)为 0的那些 s值。
极点 —— 当输入 u为有限值时，使输出 y(s)为?的那些 s值。
显然，零点是使 G(s)的模为 0的那些 s值；
极点是使 G(s)的模为? 的那些 s值。
对 MIMO系统，则要复杂得多。
一,Rosenbrock对零极点的定义给定定义,G(s)的极点为 M(s)中 的根,i=1,2,…,r
G(s)的零点为 M(s)中 的根,i=1,2,…,r
形为其 M c m i l l a nS m i t hpqrsr a n k GsG pq ),,m i n ()(,)(
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例如所以，零点,s=0处有三个零点；
极点,s=-1处有两个零点；
s=-2处有三个极点。
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形二,其它对零极点的定义
1,不可简约矩阵分式描述
G(s)的极点,detD(s)=0的根，或,detA(s)=0的根
G(s)的零点：使 N(s)或 B(s)降秩的 s值。
该定义等价于 Rosenbrock定义。
证：设 G(s)的 Smith-Mcmillan标准形为 M(s),则
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则值降秩的使值降秩的使的根的零点定义由故中描述另一不可简约矩阵分式为右不可简约
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而对左不可简约 MFD有同样的结论。
2,G(s)严格真时，对应的状态空间描述 {A,B,C}能控，能观则的根的根的根的极点
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值降秩的使的零点的根的极点
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3,方便计算的定义
（ 1） G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是 G(s)的极点多项式，记为 p(s),p(s)=0的根，即为 G(s)的极点。
（ 2）当 G(s)的 r阶子式，以 p(s)为共同分母时，其分子的首 1最大公因式，即为 G(s)的零点多项式 z(s),z(s)=0的根，即为
G(s)的零点。
注：各阶子式必须化为不可简约形式。
例：
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（ 1）求极点
G(s)的一阶子式即为其各个元素
G(s)的二阶子式为
（ 2）求零点上边的 2阶子式以 p(s)为分母，则有
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分母的首 1最大公因式为 (s-1)，故 z(s)=s-1,G(s)的零点为 -1。
几点讨论：
（ 1）传递函数矩阵 G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时，
可以不形成对消。例
（ 2）由定义 3可知，传递函数矩阵 G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之,G(s)的某个元素的极点，也是 G(s)的极点。“一致性”
2
1
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3
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（ 3）对零点，不存在如（ 2）所述的“一致性”，尽管有时相同。
（ 4）若 s=?是 G(s)的零点，则必有但不一定 rankG(s=?)<rankG(s).
如：
G(s)的零点为 s=-2,rankG(-2)=rankG(s)
因此，不能误把 rankG(s)降秩与否作为判断 G(s)零点的依据。
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三,传递函数矩阵的零极点的性质
1,关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数 g(s)及不可简约实现
— {A,b,c,d}的单变量系统定理：数?是 g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态,使得系统的零输入响应证明：
必要性：由?是 g(s)的极点
是 g(s)的极点,,?是 A的特征值设 v是与?相关联的特征向量，即
（?I-A） v=0
0x
为非零常数rtrety t,0,)(
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则（ sI-A)v=(sI-A)v-(?I-A)v=(s-?)v
系统输出
r=cv是不为 0的常数？！
{A,c}能观：由 PBH秩判据，等价于 [sI-A’,c’]满秩,?s?C
对非零向量 v，应有但已有（?I-A） v=0，故 cv?0
必要性得证。
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时故当取
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充分性：由 导出?是 g(s)的极点。
定理的意义：
若?是 g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态而不必施加任何输入；
若?不是 g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生的唯一途径是在输入端施加
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对 MIMO系统，有相同的结论。
即：考虑具有正则传递矩阵 G(s)及不可简约实现 {A,B,C,D}
的多变量系统。数?是 G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 x0，使得系统输出端的零输入响应为
，其中 r为非零向量。
2,关于零点证明见书
G(s)<<>>{A,B,C}
满足
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恒为输出的一类输入系统对的
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阻塞传输性。
所以，前面定义的零点也叫传输零点。
8.2 结构指数
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定义：
则 是 G(s)的有限极点和零点的集合。
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处的结构指数在为称是一个非降序列可知由在内的整数为包括可表为
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几点讨论
（ 1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。
（ 2）零极点的重数在 s=?处的极点重数 ={ }中负指数之和取绝对值在 s=?处的零点重数 ={ }中正指数之和也无极点处既无零点在处有极点在处有零点在
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8.3 无穷远处的零极点一,无穷远处零极点的定义
SISO系统,s时，若 G(s)趋于 0，则在?处有零点；
若 G(s)趋于?,则在?处有极点（非真时）
MIMO系统,在 G(s)中，以 代入，化成 H(?)有理分式矩阵，对应的 Smith-Mcmillan标准形为则：
只需确定无穷远处零极点的个数。
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的零根中处的零点在的零根中处的极点在
例：
无穷远处的极点,?=0,2个
无穷远处的零点,?=0,1个
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8.1 极点和零点
SISO系统：
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定义：零点 —— 当输入 u为有限值时，使输出 y(s)为 0的那些 s值。
极点 —— 当输入 u为有限值时，使输出 y(s)为?的那些 s值。
显然，零点是使 G(s)的模为 0的那些 s值；
极点是使 G(s)的模为? 的那些 s值。
对 MIMO系统，则要复杂得多。
一,Rosenbrock对零极点的定义给定定义,G(s)的极点为 M(s)中 的根,i=1,2,…,r
G(s)的零点为 M(s)中 的根,i=1,2,…,r
形为其 M c m i l l a nS m i t hpqrsr a n k GsG pq ),,m i n ()(,)(
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例如所以，零点,s=0处有三个零点；
极点,s=-1处有两个零点；
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形二,其它对零极点的定义
1,不可简约矩阵分式描述
G(s)的极点,detD(s)=0的根，或,detA(s)=0的根
G(s)的零点：使 N(s)或 B(s)降秩的 s值。
该定义等价于 Rosenbrock定义。
证：设 G(s)的 Smith-Mcmillan标准形为 M(s),则
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则值降秩的使值降秩的使的根的零点定义由故中描述另一不可简约矩阵分式为右不可简约
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而对左不可简约 MFD有同样的结论。
2,G(s)严格真时，对应的状态空间描述 {A,B,C}能控，能观则的根的根的根的极点
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值降秩的使的零点的根的极点
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3,方便计算的定义
（ 1） G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是 G(s)的极点多项式，记为 p(s),p(s)=0的根，即为 G(s)的极点。
（ 2）当 G(s)的 r阶子式，以 p(s)为共同分母时，其分子的首 1最大公因式，即为 G(s)的零点多项式 z(s),z(s)=0的根，即为
G(s)的零点。
注：各阶子式必须化为不可简约形式。
例：
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（ 1）求极点
G(s)的一阶子式即为其各个元素
G(s)的二阶子式为
（ 2）求零点上边的 2阶子式以 p(s)为分母，则有
1,2,2,1)(
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分母的首 1最大公因式为 (s-1)，故 z(s)=s-1,G(s)的零点为 -1。
几点讨论：
（ 1）传递函数矩阵 G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时，
可以不形成对消。例
（ 2）由定义 3可知，传递函数矩阵 G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之,G(s)的某个元素的极点，也是 G(s)的极点。“一致性”
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（ 3）对零点，不存在如（ 2）所述的“一致性”，尽管有时相同。
（ 4）若 s=?是 G(s)的零点，则必有但不一定 rankG(s=?)<rankG(s).
如：
G(s)的零点为 s=-2,rankG(-2)=rankG(s)
因此，不能误把 rankG(s)降秩与否作为判断 G(s)零点的依据。
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三,传递函数矩阵的零极点的性质
1,关于极点
SISO系统：考虑具有正则传递函数 g(s)及不可简约实现
— {A,b,c,d}的单变量系统定理：数?是 g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态,使得系统的零输入响应证明：
必要性：由?是 g(s)的极点
是 g(s)的极点,,?是 A的特征值设 v是与?相关联的特征向量，即
（?I-A） v=0
0x
为非零常数rtrety t,0,)(
trety)(
则（ sI-A)v=(sI-A)v-(?I-A)v=(s-?)v
系统输出
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{A,c}能观：由 PBH秩判据，等价于 [sI-A’,c’]满秩,?s?C
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必要性得证。
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定理的意义：
若?是 g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态而不必施加任何输入；
若?不是 g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生的唯一途径是在输入端施加
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对 MIMO系统，有相同的结论。
即：考虑具有正则传递矩阵 G(s)及不可简约实现 {A,B,C,D}
的多变量系统。数?是 G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 x0，使得系统输出端的零输入响应为
，其中 r为非零向量。
2,关于零点证明见书
G(s)<<>>{A,B,C}
满足
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恒为输出的一类输入系统对的
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阻塞传输性。
所以，前面定义的零点也叫传输零点。
8.2 结构指数
rank G(s)=r
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则 是 G(s)的有限极点和零点的集合。
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处的结构指数在为称是一个非降序列可知由在内的整数为包括可表为
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几点讨论
（ 1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。
（ 2）零极点的重数在 s=?处的极点重数 ={ }中负指数之和取绝对值在 s=?处的零点重数 ={ }中正指数之和也无极点处既无零点在处有极点在处有零点在
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8.3 无穷远处的零极点一,无穷远处零极点的定义
SISO系统,s时，若 G(s)趋于 0，则在?处有零点；
若 G(s)趋于?,则在?处有极点（非真时）
MIMO系统,在 G(s)中，以 代入，化成 H(?)有理分式矩阵，对应的 Smith-Mcmillan标准形为则：
只需确定无穷远处零极点的个数。
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例：
无穷远处的极点,?=0,2个
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