第 5章线性反馈系统的时间域综合
5.1 引 言
分析：
已知系统结构、参数,u，研究 x,y的定性行为和定量变化规律；
综合：
对象（结构、参数）已知，目标确定（期望的 x,y），求 u,反馈系统模型
（结构和参数）
x
u
y
提法：
对象目标：满足给定的性能指标,即控制要求 （ 任务 ）
渐近稳定性 —— 镇定问题
期望闭环极点 —— 极点配置问题
解耦控制
跟踪控制
最优控制求,u —— u一般依赖于系统的实际响应
（ 状态反馈 u=-Kx+v,输出反馈 u= -Fy+v）
Cxy
txxBuAxx
0,)0(,0
.
思路
完成任务的可行性 —— 可综合条件
具体实现步骤 —— 算法
5.2 状态反馈和输出反馈
构成形式状态反馈,{A,B,C}—— {A-BK,B,C}
输出反馈,{A,B,C}—— {A-BFC,B,C}
比较：
两种反馈构成形式都可以改变系统矩阵 。 状态反馈在改变系统结构属性和实现性能指标方面优于输出反馈 。 输出反馈可以达到的,必可找到相应的状态反馈来实现,反之则不然,因为 FC=K的解 F常不存在 。
性质
1,状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可改变其能观测性 。
证明：
（ 1）能控性保持不变
{A-BK,B}能控的充要条件是
BAsIr a n kBBKAsIr a n k
IK
I
BAsIBBKAsI
p
n
,,
0
,,
CsnBBKAsIr a n k,
（ 2）能观测性可以改变可举反例说明。
2,输出反馈的引入，不改变系统的能控性和能观测性。
证明：
（ 1）能控性保持不变任一输出反馈都可等价于一状态反馈
（ 2）能观测性保持不变
AsI
C
r a n k
BFCAsI
C
r a n k
AsI
C
IBF
I
BFCAsI
C
n
q
0
5.3 极点配置问题：可配置条件和算法一,问题的提法已知,
期望性能指标,期望闭环极点要求,
构造 u=-Kx+v,(即求 K),使满足研究,什么条件下可任意配置闭环极点如何配置
Cxy
txxBuAxx
0,)0(,0
.
**2*1,,,n
niBKA ii,,2,1,)( *
二,可配置条件相关的数学基础循环矩阵,如果系统矩阵 A的特征多项式等同于其最小多项式,则称其为循环矩阵。
[满足?（ A） =0的次数最低的首 1多项式，称为 A的最小多项式 ]
如果 A是循环矩阵，必存在一向量度 b，使 {A,b}能控。
判据：
（ 1） A为循环矩阵?A的约当形中每个不同的特征值仅有一个约当块
（ 2） A的特征值两两相异,A必是循环矩阵（充分条件）
综合中用到的两个重要性质：
（ 1）若 {A,B}能控,A循环，则几乎对任意的 p*1实向量?,{A,B?}能控
（ 2）若 {A,B}能控,A不循环，则几乎对任意 p*n常阵 K,(A-BK)循环可配置条件：
线性定常系统可通过状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是，记该系统完全能控。
证明：
（ 1）必要性：反证法设 {A,B}不完全能控，结构分解?
0
0
121
c
c
c
B
PBB
A
AA
P A PA
],[
)d e t ()d e t (
0
d e t
)d e t ()d e t (
],[
21
1
1
2121
1
21
KKKPK
AsIKBAsI
AsI
KBAKBAsI
KPBAsIBKAsI
KKK
ccc
c
ccc
（ 2）充分性：
SISO：若 {A,b}能控，则可任意配置（ A-bk）的极点。
01
1
1
1
1210
1
)d e t ()(
]1,0,0[
1000
0100
0010
},{},{
1
sssAsIs
bPb
APPA
bAbA
n
n
n
T
n
xPx
现引入状态反馈期望特征多项式为选取则
vxkvxkPvkxu
*
0
*
1
1
1
*
1
** )()(
sssss
n
n
i
n
n
i?
],,,[ 1* 11*10*0 nnk
*
1
*
2
*
1
*
0
1000
0100
0010
n
kbA
即 具有期望的特征值，
从而 具有期望的特征值。
由 可得，
MIMO：
若 A非循环，则引入由于 {A,B}能控，总可选择,使 循环。
因此，现在 即可控,又循环再引入
bkA?
kbA?
kpk? 1 Pkk
BwxBKAx
wxKu
)( 1
.
1
1K 1BKA?
BwxAx.
1BKAA
vxKw 2
取根据循环矩阵性质，总能找到?，使 能控。
问题转化为，对 SISO系统 设计 k,使其极点配置到期望位置。
A
CB
1K
uwv
2K
x-- y
BvxkBABvxBKAx
kK np
np
)()( 2
.
*11*2 *
},{?BA
},{?BA
因 能控，故其极点可任意配置。
亦即 的极点可任意配置。
的极点可任意配置。
最终：
三,算法
（ 1） SISO：
（ 2） MIMO：有多种方法，本书三种。
算法 I：已知 {A,B}能控，
求 K，使
},{?BA
2BKA?
)( 2121 KKBABKBKA
KxvxKKvu )( 21
},,,{ *2*1* n
niBKA ii,,2,1,)( *
A循环？
记 AA?
选取,使循环
1K
1BKAA
选取?，使能控，记
},{?BA
Bb?
对 利用
SISO方法，求 k
},{ bA
A
A循环？
Y
N
kK 1KkK
Y N
算法 II：利用 Luenberger能控规范形
（ 1）将 {A,B}化为 Luenberger能控规范形
（ 2）适当选择,使 的特征值为期望特征值
（ 3）求出变换矩阵
（ 4）
算法 III：前提是
（ 1）任选 n*n常值矩阵 F，使
（ 2）选取 p*n常阵,使 {F,}能观
（ 3）求解矩阵方程,求出 n*n矩阵 T
（ 4）如 T非奇异，则如 T奇异，返回（ 1）重选 F，或返回（ 2）重选
},{ BA
K KBA?
1?S
1 SKK
niA ii,,2,1,)( *
*)( ii F
K K
KBTFAT
1 TKK
K
论证,T非奇异。
只要 F与 A无公共特征值，就可任意选取 F，所以几乎能任意配置
A-BK的特征值。
四,状态反馈对传递函数矩阵零点的影响
SISO:状态反馈不影响传递函数的零点（无零极对消时）
MIMO：也不影响传递函数矩阵的零点。
G(s)的零点不等于每个元传递函数的零点。
1
11
T F TBKA
T F TTKBA
KBTFAT
五,输出反馈的极点配置问题
（ 1）非动态输出反馈 u=-Fy+v不能任意配置系统的全部极点
SISO根轨迹：
（ 2）若 {A,B,C}能控、能观，
输出反馈 u=-Fy+v可对 min{n,p+q-1}个闭环极点进行“任意接近”式配置。
（ 3）动态输出反馈可达到和状态反馈同样的效果
qr a n k Cpr a n k B,
0)()(]
)(
)(
1)[(
])(1)[(
])(d e t [)d e t (
)])()(d e t [ ()d e t ()(
)()(
1
1
1
1
sfs
s
s
fs
bAsIfcs
b f cAsIIAsI
b f cAsIIAsIb f cAsIs
bb f cAsIcsg
f
f
5.4 镇定问题
镇定：以渐近稳定为目标引入 u=-Kx+v,使 渐近稳定，则称对原系统实现了状态反馈镇定。
完全能控的系统，当然可以镇定。（充分条件）
可镇定条件：
充要条件：不能控部分渐近稳定。
算法：对能控的部分用极点配置方法
BvxBKAx )(.
{A,B}结构分解,变换矩阵记为 P；
化为约当形
极点配置,使
求出特点：只把不稳定极点调整到左半平面，实用上，
能控时，作为极点配置问题处理。
},{ cc BA
},{ cc BA },{ ~~ cc BA
pn
pn
B
B
BQB
A
A
A
QAQA
cc
icc
*2
*1
2
11
2
2
11
~
~
~
0)
~
(Re,~
0
0
~
~
1
~K
0)~~~( 111 KBAi?
PQKK 11 ]0,~[
5.1 引 言
分析：
已知系统结构、参数,u，研究 x,y的定性行为和定量变化规律；
综合：
对象（结构、参数）已知，目标确定（期望的 x,y），求 u,反馈系统模型
（结构和参数）
x
u
y
提法：
对象目标：满足给定的性能指标,即控制要求 （ 任务 ）
渐近稳定性 —— 镇定问题
期望闭环极点 —— 极点配置问题
解耦控制
跟踪控制
最优控制求,u —— u一般依赖于系统的实际响应
（ 状态反馈 u=-Kx+v,输出反馈 u= -Fy+v）
Cxy
txxBuAxx
0,)0(,0
.
思路
完成任务的可行性 —— 可综合条件
具体实现步骤 —— 算法
5.2 状态反馈和输出反馈
构成形式状态反馈,{A,B,C}—— {A-BK,B,C}
输出反馈,{A,B,C}—— {A-BFC,B,C}
比较：
两种反馈构成形式都可以改变系统矩阵 。 状态反馈在改变系统结构属性和实现性能指标方面优于输出反馈 。 输出反馈可以达到的,必可找到相应的状态反馈来实现,反之则不然,因为 FC=K的解 F常不存在 。
性质
1,状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可改变其能观测性 。
证明：
（ 1）能控性保持不变
{A-BK,B}能控的充要条件是
BAsIr a n kBBKAsIr a n k
IK
I
BAsIBBKAsI
p
n
,,
0
,,
CsnBBKAsIr a n k,
（ 2）能观测性可以改变可举反例说明。
2,输出反馈的引入，不改变系统的能控性和能观测性。
证明：
（ 1）能控性保持不变任一输出反馈都可等价于一状态反馈
（ 2）能观测性保持不变
AsI
C
r a n k
BFCAsI
C
r a n k
AsI
C
IBF
I
BFCAsI
C
n
q
0
5.3 极点配置问题：可配置条件和算法一,问题的提法已知,
期望性能指标,期望闭环极点要求,
构造 u=-Kx+v,(即求 K),使满足研究,什么条件下可任意配置闭环极点如何配置
Cxy
txxBuAxx
0,)0(,0
.
**2*1,,,n
niBKA ii,,2,1,)( *
二,可配置条件相关的数学基础循环矩阵,如果系统矩阵 A的特征多项式等同于其最小多项式,则称其为循环矩阵。
[满足?（ A） =0的次数最低的首 1多项式，称为 A的最小多项式 ]
如果 A是循环矩阵，必存在一向量度 b，使 {A,b}能控。
判据：
（ 1） A为循环矩阵?A的约当形中每个不同的特征值仅有一个约当块
（ 2） A的特征值两两相异,A必是循环矩阵（充分条件）
综合中用到的两个重要性质：
（ 1）若 {A,B}能控,A循环，则几乎对任意的 p*1实向量?,{A,B?}能控
（ 2）若 {A,B}能控,A不循环，则几乎对任意 p*n常阵 K,(A-BK)循环可配置条件：
线性定常系统可通过状态反馈任意配置其全部极点的充分必要条件是，记该系统完全能控。
证明：
（ 1）必要性：反证法设 {A,B}不完全能控，结构分解?
0
0
121
c
c
c
B
PBB
A
AA
P A PA
],[
)d e t ()d e t (
0
d e t
)d e t ()d e t (
],[
21
1
1
2121
1
21
KKKPK
AsIKBAsI
AsI
KBAKBAsI
KPBAsIBKAsI
KKK
ccc
c
ccc
（ 2）充分性：
SISO：若 {A,b}能控，则可任意配置（ A-bk）的极点。
01
1
1
1
1210
1
)d e t ()(
]1,0,0[
1000
0100
0010
},{},{
1
sssAsIs
bPb
APPA
bAbA
n
n
n
T
n
xPx
现引入状态反馈期望特征多项式为选取则
vxkvxkPvkxu
*
0
*
1
1
1
*
1
** )()(
sssss
n
n
i
n
n
i?
],,,[ 1* 11*10*0 nnk
*
1
*
2
*
1
*
0
1000
0100
0010
n
kbA
即 具有期望的特征值，
从而 具有期望的特征值。
由 可得，
MIMO：
若 A非循环，则引入由于 {A,B}能控，总可选择,使 循环。
因此，现在 即可控,又循环再引入
bkA?
kbA?
kpk? 1 Pkk
BwxBKAx
wxKu
)( 1
.
1
1K 1BKA?
BwxAx.
1BKAA
vxKw 2
取根据循环矩阵性质，总能找到?，使 能控。
问题转化为，对 SISO系统 设计 k,使其极点配置到期望位置。
A
CB
1K
uwv
2K
x-- y
BvxkBABvxBKAx
kK np
np
)()( 2
.
*11*2 *
},{?BA
},{?BA
因 能控，故其极点可任意配置。
亦即 的极点可任意配置。
的极点可任意配置。
最终：
三,算法
（ 1） SISO：
（ 2） MIMO：有多种方法，本书三种。
算法 I：已知 {A,B}能控，
求 K，使
},{?BA
2BKA?
)( 2121 KKBABKBKA
KxvxKKvu )( 21
},,,{ *2*1* n
niBKA ii,,2,1,)( *
A循环？
记 AA?
选取,使循环
1K
1BKAA
选取?，使能控，记
},{?BA
Bb?
对 利用
SISO方法，求 k
},{ bA
A
A循环？
Y
N
kK 1KkK
Y N
算法 II：利用 Luenberger能控规范形
（ 1）将 {A,B}化为 Luenberger能控规范形
（ 2）适当选择,使 的特征值为期望特征值
（ 3）求出变换矩阵
（ 4）
算法 III：前提是
（ 1）任选 n*n常值矩阵 F，使
（ 2）选取 p*n常阵,使 {F,}能观
（ 3）求解矩阵方程,求出 n*n矩阵 T
（ 4）如 T非奇异，则如 T奇异，返回（ 1）重选 F，或返回（ 2）重选
},{ BA
K KBA?
1?S
1 SKK
niA ii,,2,1,)( *
*)( ii F
K K
KBTFAT
1 TKK
K
论证,T非奇异。
只要 F与 A无公共特征值，就可任意选取 F，所以几乎能任意配置
A-BK的特征值。
四,状态反馈对传递函数矩阵零点的影响
SISO:状态反馈不影响传递函数的零点（无零极对消时）
MIMO：也不影响传递函数矩阵的零点。
G(s)的零点不等于每个元传递函数的零点。
1
11
T F TBKA
T F TTKBA
KBTFAT
五,输出反馈的极点配置问题
（ 1）非动态输出反馈 u=-Fy+v不能任意配置系统的全部极点
SISO根轨迹：
（ 2）若 {A,B,C}能控、能观，
输出反馈 u=-Fy+v可对 min{n,p+q-1}个闭环极点进行“任意接近”式配置。
（ 3）动态输出反馈可达到和状态反馈同样的效果
qr a n k Cpr a n k B,
0)()(]
)(
)(
1)[(
])(1)[(
])(d e t [)d e t (
)])()(d e t [ ()d e t ()(
)()(
1
1
1
1
sfs
s
s
fs
bAsIfcs
b f cAsIIAsI
b f cAsIIAsIb f cAsIs
bb f cAsIcsg
f
f
5.4 镇定问题
镇定：以渐近稳定为目标引入 u=-Kx+v,使 渐近稳定，则称对原系统实现了状态反馈镇定。
完全能控的系统，当然可以镇定。（充分条件）
可镇定条件：
充要条件：不能控部分渐近稳定。
算法：对能控的部分用极点配置方法
BvxBKAx )(.
{A,B}结构分解,变换矩阵记为 P；
化为约当形
极点配置,使
求出特点：只把不稳定极点调整到左半平面，实用上，
能控时，作为极点配置问题处理。
},{ cc BA
},{ cc BA },{ ~~ cc BA
pn
pn
B
B
BQB
A
A
A
QAQA
cc
icc
*2
*1
2
11
2
2
11
~
~
~
0)
~
(Re,~
0
0
~
~
1
~K
0)~~~( 111 KBAi?
PQKK 11 ]0,~[
