引 言
系统的研究方法
——经验法
——理论法：依据数学理论
建模（对真实系统的抽象）
建立数学描述
分析
设计
本课程的研究范围
——对象：线性动态系统，数学模型已知
——工具：数学
——主要分支：
状态空间法几何法代数理论多变量频域理论频域设计方法：英国学派
Rosenbrock,MacFarlane
多项式矩阵理论,Rosenbrock,Wolovich
——本课程的主要内容：
状态空间法多项式矩阵理论第一章 系统的数学描述
主要的数学描述形式
——传递函数矩阵描述
——状态空间描述
——矩阵分式描述
——系统矩阵描述一,传递函数矩阵描述视系统为,black box”,只描述输入 /输出间的关系即时系统（零记忆系统）,t1时刻的输出只依赖于 t1
时刻的输入动力学系统,t1时刻的输出依赖于
——t1 时刻的输入
——t1之前和（或）之后的输入
System
1?pu 1?qy
对动力学系统，若初始状态未知，或 t1 之前的输入未知，则
),[),[
11
tt
yu
不一一对应,
这样对研究系统的关键性质 无 用。
假定：系统是初始松驰的，输出只由此后的输入唯一地确定工程上，常假定系统在负无穷时间是松驰的在松驰性的假定下,有
H 为某一算子或函数称在负无穷时初始松驰的系统为松驰系统。
线性,
因果性
松驰性
时不变性
Huy?
线性：一松驰系统，当且仅当对任何输入 1
u
和 2
u
及任意实数 1
,2
，均有
22112211
)( HuHuuuH
则称其为线性的，否则称为非线性的。
利用脉冲函数
)( t?
，定义脉冲响应
)(),( tHg
，容易导出，单变量、松驰系统在时刻 t 的输出为
dutgty )(),()(
对多变量系统 （ p 个输入,q 个输出），有
dutGty )(),()(
其中
),(?tG
pq? 为系统的脉冲响应矩阵
因果性：系统在时刻 t 的输出，仅取决于时刻 t 和 t 之前的输入，不取决于在 t 之后的输入若松驰系统满足因果律，则有
],(
)(
t
uHty
线性、松驰、因果的系统，其输入输出描述可写为
t
dutGty )(),()(
松驰性：仅当系统在 时松驰，
uHy?
成立。
推广之。
定义,当且仅当系统输出
),[
0
t
y
唯一地只由 ),[ 0?t
u
激励产生时，称系统在时刻 0
t
是松驰的。
若系统在
0
t
时松驰，则其 I/ O 描述可写为
),[
),[ 0
0
t
t
uHy
对松驰的线性系统，其 I/ O 关系可写为
0
)(),()(
t
dutGty
综上，线性、因果、
0
t
时松驰的系统，其 I/ O 描述为
t
t
dutGty
0
)(),()(
时不变性：系统特性不随时间改变定义一平移算子，其作用如图所示。数学上即
uQu
当且仅当对所有 t,有
)()( tutu
或
)()( tutu
定义 时不变性,松驰系统是时不变的，当且仅当
uHQuHQ
对任意的
u,?
均成立，否则称为时变的。
松驰、线性、时不变系统
),())((
)()(),(
gtH
tHQtHQgQ
故 （代入
t
）
),(),( tgtg
取
，则
)0,(),( tgtg
——物理意义：脉冲响应只依赖于
,t
之差对多变量系统，有
)()0,(),( tGtGtG
线性、因果、时不变,0
t
时松驰的系统，其 I/ O 描述为
t
t
dutGty
0
)()()(
对时不变系统，不失一般性，选取
0
0
t
，则
tt
dtuGdutGty
00
)()()()()(
传递函数矩阵,利用 L a pl a c e 变换，将时域中的卷积积分转换为频率域中的代数运算对输出进行 L a pl a c e 变换可得
)()()( susGsy?
其中?
0
)()( dtetGsG
st
为系统的 传递函数矩阵注意：——传递函数矩阵是 I/ O 描述
——系统必须松驰传递函数矩阵的真和严格真二,状态空间描述
状态,
系统在 t0时刻的状态是 t0时刻的一种信息量,它与此后的输入一起,唯一地确定系统在 t>=t0时的行为,
完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组,
注意,状态的选择不是唯一的,状态是辅助量,可以有 明确的物理意义,也可以没有,
状态空间,
状态向量取值的空间是有限维的实向量空间 (Rn,R),称为状态空间,
动态方程,
----描述输入输出和状态之间唯一关系的方程组,
----动态方程都是因果的,
---可容的输入 -状态 -输出对
---线性：
),,()(
)(),,()( 00.
tt
ttt
uxgy
xxuxfx
)},(),,({)}(),,({ 0000 tttt yxxu
– 如果则
– 由定义
– 线性时不变系统的动力学方程
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},0{ t odue r e s p o n s e}0),({ t odue r e s p o n s e
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0
0
t
t
utx
utx
三,矩阵分式描述传递函数模型的自然扩展,但因矩阵相乘无交换率,故 MFD分为左 MFD和右 MFD.
右 MFD
左 MFD
给定 q*p 的传递函数矩阵 G （ s ），一定存在 q*p 和 p*p 的多项式矩阵 N ( s ) 和 D ( s ),满足
)()()( 1 sDsNsG,称 )()( 1 sDsN? 为 G ( s ) 的一个右 M F D 。
给定 q*p 的传递函数矩阵 G （ s ），一定存在 q*q 和 q*p 的多项式矩阵 A ( s ) 和 B ( s ),满足
)()()( 1 sBsAsG,称 )()(1 sBsA? 为 G ( s ) 的一个左 M F D 。
MFD的次数,定义为其分母矩阵的行列式的次数 (同 SISO)
MFD不唯一,次数也不唯一
最小阶 MFD:在 G(s)的所在 MFD中,次数最小的称为最小阶 MFD.也不唯一,
四,系统矩阵描述
一般形式后者不但适用于描述线性定常系统，也适用于线性时变系统。
微分算子描述。
学习过程
郑大钟,线性系统理论,1-4章自学；
重点讲述第五章及以后的频域理论。
参考书目
– Chi-Tsong Chen,Linear system theory and design
系统的研究方法
——经验法
——理论法：依据数学理论
建模（对真实系统的抽象）
建立数学描述
分析
设计
本课程的研究范围
——对象：线性动态系统，数学模型已知
——工具：数学
——主要分支：
状态空间法几何法代数理论多变量频域理论频域设计方法：英国学派
Rosenbrock,MacFarlane
多项式矩阵理论,Rosenbrock,Wolovich
——本课程的主要内容：
状态空间法多项式矩阵理论第一章 系统的数学描述
主要的数学描述形式
——传递函数矩阵描述
——状态空间描述
——矩阵分式描述
——系统矩阵描述一,传递函数矩阵描述视系统为,black box”,只描述输入 /输出间的关系即时系统（零记忆系统）,t1时刻的输出只依赖于 t1
时刻的输入动力学系统,t1时刻的输出依赖于
——t1 时刻的输入
——t1之前和（或）之后的输入
System
1?pu 1?qy
对动力学系统，若初始状态未知，或 t1 之前的输入未知，则
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11
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不一一对应,
这样对研究系统的关键性质 无 用。
假定：系统是初始松驰的，输出只由此后的输入唯一地确定工程上，常假定系统在负无穷时间是松驰的在松驰性的假定下,有
H 为某一算子或函数称在负无穷时初始松驰的系统为松驰系统。
线性,
因果性
松驰性
时不变性
Huy?
线性：一松驰系统，当且仅当对任何输入 1
u
和 2
u
及任意实数 1
,2
，均有
22112211
)( HuHuuuH
则称其为线性的，否则称为非线性的。
利用脉冲函数
)( t?
，定义脉冲响应
)(),( tHg
，容易导出，单变量、松驰系统在时刻 t 的输出为
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对多变量系统 （ p 个输入,q 个输出），有
dutGty )(),()(
其中
),(?tG
pq? 为系统的脉冲响应矩阵
因果性：系统在时刻 t 的输出，仅取决于时刻 t 和 t 之前的输入，不取决于在 t 之后的输入若松驰系统满足因果律，则有
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)(
t
uHty
线性、松驰、因果的系统，其输入输出描述可写为
t
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松驰性：仅当系统在 时松驰，
uHy?
成立。
推广之。
定义,当且仅当系统输出
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激励产生时，称系统在时刻 0
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是松驰的。
若系统在
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时松驰，则其 I/ O 描述可写为
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uHy
对松驰的线性系统，其 I/ O 关系可写为
0
)(),()(
t
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综上，线性、因果、
0
t
时松驰的系统，其 I/ O 描述为
t
t
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0
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时不变性：系统特性不随时间改变定义一平移算子，其作用如图所示。数学上即
uQu
当且仅当对所有 t,有
)()( tutu
或
)()( tutu
定义 时不变性,松驰系统是时不变的，当且仅当
uHQuHQ
对任意的
u,?
均成立，否则称为时变的。
松驰、线性、时不变系统
),())((
)()(),(
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故 （代入
t
）
),(),( tgtg
取
，则
)0,(),( tgtg
——物理意义：脉冲响应只依赖于
,t
之差对多变量系统，有
)()0,(),( tGtGtG
线性、因果、时不变,0
t
时松驰的系统，其 I/ O 描述为
t
t
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对时不变系统，不失一般性，选取
0
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传递函数矩阵,利用 L a pl a c e 变换，将时域中的卷积积分转换为频率域中的代数运算对输出进行 L a pl a c e 变换可得
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其中?
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)()( dtetGsG
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为系统的 传递函数矩阵注意：——传递函数矩阵是 I/ O 描述
——系统必须松驰传递函数矩阵的真和严格真二,状态空间描述
状态,
系统在 t0时刻的状态是 t0时刻的一种信息量,它与此后的输入一起,唯一地确定系统在 t>=t0时的行为,
完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组,
注意,状态的选择不是唯一的,状态是辅助量,可以有 明确的物理意义,也可以没有,
状态空间,
状态向量取值的空间是有限维的实向量空间 (Rn,R),称为状态空间,
动态方程,
----描述输入输出和状态之间唯一关系的方程组,
----动态方程都是因果的,
---可容的输入 -状态 -输出对
---线性：
),,()(
)(),,()( 00.
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)},(),,({)}(),,({ 0000 tttt yxxu
– 如果则
– 由定义
– 线性时不变系统的动力学方程
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utx
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三,矩阵分式描述传递函数模型的自然扩展,但因矩阵相乘无交换率,故 MFD分为左 MFD和右 MFD.
右 MFD
左 MFD
给定 q*p 的传递函数矩阵 G （ s ），一定存在 q*p 和 p*p 的多项式矩阵 N ( s ) 和 D ( s ),满足
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给定 q*p 的传递函数矩阵 G （ s ），一定存在 q*q 和 q*p 的多项式矩阵 A ( s ) 和 B ( s ),满足
)()()( 1 sBsAsG,称 )()(1 sBsA? 为 G ( s ) 的一个左 M F D 。
MFD的次数,定义为其分母矩阵的行列式的次数 (同 SISO)
MFD不唯一,次数也不唯一
最小阶 MFD:在 G(s)的所在 MFD中,次数最小的称为最小阶 MFD.也不唯一,
四,系统矩阵描述
一般形式后者不但适用于描述线性定常系统，也适用于线性时变系统。
微分算子描述。
学习过程
郑大钟,线性系统理论,1-4章自学；
重点讲述第五章及以后的频域理论。
参考书目
– Chi-Tsong Chen,Linear system theory and design
