第 9章 传递函数矩阵的状态空间实现
9.1 实现的基本概念和属性
1,实现：线性定常系统，给定 G(s)
寻求状态空间描述 {A,B,C,E}
使则称 {A,B,C,E}是 G(s)的一个实现。
2,实现的不唯一性,(a)维数可不同 (b)同维的参数也可不同
3,实现的存在性,(a)G(s)真 (b)元传递函数的分子分母多项式的系数均为实数
4,最小实现（不可简约实现）
给定 G(s)，一定存在一类维数最低的实现，即为最小实现；
最小实现一定是既能控、又能观的（不可简约）；
所有最小实现都是代数等价的。
)()( 1 sGEBAsIC
5,最小实现是获得被控对象动态方程的重要途径
复杂情况下，直接用物理定律建立动态方程是困难的；
I/O描述 G(s)容易通过实验获得；
一般被控对象都是既能控又能观的。
6,最小实现的维数
SISO系统,g(s)分子分母互质，严格真
{A,b,c }是 g(s)的最小实现?
g(s)的分母等于 A的特征多项式,?(s)=det (sI-A)
或,dim A = deg g(s)
MIMO系统：
G(s)的特征多项式：不可简约矩阵分式描述为
det D(s) 或 det A(s) 都可定义为 G(s)的特征多项式，正则有理矩阵 G(s)的所有子式的最小公分母也可定义为 G(s)的特征多项式，它们之间差一常数。
)()()()()( 11 sBsAsDsNsG
若定义成首 1多项式，则唯一确定。
{A,B,C}是 G(s)的最小实现?
G(s)的特征多项式等于 A的特征多项式?(s)
或,dim A=G(s)的不可简约 MFD的次数等价于书中所述标准形中的分母项是 Mc m il la nS m iths
sn
i
r
i
i

)(
)(d e g
1
m i n
9.2 标量传递函数的一些典型实现
能控规范形实现
能观测规范形实现
并联形实现（约当形实现）
串联形实现有的已学过，有的要自学
9.3 有理分式传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
.
,
][
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
)(
,)()(;,2,1;,2,1)],([)(
01
1
1
01
1
1
子的系数变成了矩阵只不过分系统的传递函数形式上类似于可表为则记为的最小公分母为令
S I S O
PsPsP
sd
sP
sd
sG
sG
ssssd
sgsd
pjqisgsG
k
k
k
k
k
ij
ij





一,能控形实现形式上与 SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵,它一定是能控的,但不一定是能观的,
由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解,
kpqk
p
pkp
pkpp
p
p
ppp
kpkp
PPPC
I
B
III
I
I
I
A


],,,[
0
0
0
,
0
0
0
110
110


例,









11
12
,
11
24
,3,2
2,2,2
11
24
11
12
23
1
)1()1(
)2()2(2
23
1
)(
23)2)(1()(,
2
1
2
1
1
1
1
2
)(
1010
2
2
2
PP
kpq
s
ss
ss
ss
ss
sG
sssssd
ss
ss
sG

系统不能观系统可控计算可知
,2
,4,
1111
1224
,
10
01
00
00
,
3020
0302
1000
0100
0
221220
2222
44





o
c
r a n k Q
r a n k Q
CB
II
I
A


0221
1311
1000
0100
,
0010
0001
1111
1224
,,2
]1111[
]1224[
,
:
1
11
21
2
1
TT
hh
h
h
Q
o
组成变换矩阵线性无关行与另外再选中选取两个线性无关行在作结构分解
.
10
01
,
11
12
,
20
01
,
0010
0001
00
00
11
12
,
0221
1311
0020
0001
111111
1
11
11
1
111
是最小实现显然




CBA
CTC
BTBATTA
二,能观测形实现一定能观,但不一定能控,按能控性进行结构分解,
可求最小实现,
注意,维数与能控性实现可能不同,
kqqq
k
k
pkq
qkq
q
qq
qqq
kqkq
IC
P
P
P
P
B
II
I
II
I
A
],0,,0,0[
,
0
000
1
2
1
0
1
1
0
9.4 基于 MFD的典型实现一,构造控制器形实现观测器形实现行既约左控制器形实现列既约右严格真
,)()()()(:
,)()()()(:
)(
1
1
sAsBsAsGM F D
sDsDsNsGM F D
sG pq
nk
s
s
sS
sNsN
sDsSDsD
piksDsDsDsNsG
p
i
i
k
k
lc
lchc
ici
p



1
1
,)(
)()(
)()()(
,,2,1,)(,)(,)()()(
1
列既约严格真

1
1
)(
1
1
1
s
s
s
s
s
p
k
k







1
1
21044
25400
01
10
)(
2,1:)(
5,,5)(d e td e g3,2:)(
)2()2(
)254(00
)()()(
:
2
3
2
21
21
1
2
23
2
1
s
s
s
s
s
sD
sN
nsDsD
ss
sss
ss
s
sDsNsG
cc
cc
严格真列既约例


1
1
00101
00001
)(
2
s
s
s
sN
)(
)(?)(?
)(?)(
)()(?
)(
)(
)()(?
)(?)(
)(
)(?)(
)()(
)(
)(
)()(?
)(?)(
)]()([
)(?)(
)(
)(
)()(?)()()(?
0
11
0
0
0
11
)(?
)(?
1
0
0
外围核








syNsy
suDssDDsu
sssy
sussS
suDssDDssS
ssNsy
sussDsSD
sussD
ssNsusDsNsy
lc
hclchc
hclchc
su
sy
lc
lchc



lcN)()(
1 sSs
lchc DD 1?
)(?0 su )(?0 sy
1?hcD
)(? su )(? sy
)(?
)(
)(
)(?
)(
)(
)(
)(
)(
,
)(
)()(?
)(?)(
)(
:
.,)()(
0
1
0
1
1
0
0
1
11
su
ss
ss
su
s
s
s
s
s
s
s
sssy
sussS
sSs
p
k
k
p
k
k
p
pp



核后面就只是代数运算了的实现只要构造出
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
)(?
1
1
1
1
2
1
1
1
0
1
1
s
ss
s
ss
s
s
s
s
s
s
s
sy
p
p
k
k
p
k
k
pp
000
0
0
)1(
1
)1(
1
0
)(
)(
2
)(
1
0
,
1
2
1
xCxIy
yxu
cn
p
k
p
k
k
p
k
k
p
p

取推出必完全能控},{
0
0
1
0
0
1
01
01
0
01
01
0
00
000
0
0
0000
)(
)(
2
)(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
)(
)1(
1
)(
1
0
2
1
11
cc
cn
cc
k
p
k
k
p
k
p
k
p
k
p
k
BA
xCxIy
uBxAx
x
p
pp




lcN
lchc DD 1?
)(0 tu
)(0 ty
1?hcD
)(tu )(ty
0cB
0cA
0cC
0x0x?
方框图化简后得
lcN
lchccc DDBA 100
10?hcc DB
)(tu )(ty
故最终实现为特征：
不为零的 **行的数值：
Ac的第 i个 *行等于 的第 i行
Bc的第 i个 *行等于 的第 i行
lcc
hccc
lchcccc
NC
DBB
DDBAA

10
100
.324,
,,
10100
00
页所示的形式必如书的特殊形式由于
PDBBDDBAA
BA
hccclchcccc
cc

lchc DD 1
1?hcD
接前例不一定完全能观，故不一定是最小实现。
若右 MFD是不可简约时，是维数为 deg detD(s)=n的实现，控制器形实现是最小实现。（列既约时即为列次数之和）




00101
00001
00
00
01
00
10
,
01000
00100
25400
00001
21044
25400
21044
,
01
10
11
c
cc
lchchc
C
BA
DDD
二,构造观测器形实现
形式上对偶，自学。
9.6 不可简约 MFD的最小实现
不可简约右 MFD的最小实现结论：给定 q*p的严格真右 MFD,当且仅当为不可简约时，其维数为 n=deg detD(s)的所有实现均是最小实现。
附加列既约或行既约是求状态空间实现的方法所要求的。
不可简约左 MFD的最小实现与上类同作业,9.2(ii) 9.3 9.6(i) 9.7(i)
)()( 1 sDsN? )()( 1 sDsN?