第二章 系统模型和定量分析概述状态空间法中第 1,2章内容，
兼复习本科阶段该部分内容一、总的框架
模型 分析 综合（即设计）
1,模型部分
– 不同表达领域模型间的转换
如何由物理系统得到状态空间表达
由输入 /输出描述得到状态空间表达（ SISO）
– 能控规范形描述
– 能观测规范形描述
– 对角形（单极点）
由状态空间描述得到 I/O描述
– 理论计算公式 DBAsICsG 1)()(
– 实用计算公式两边右乘 α(s)(sI-A)
比较 s同次幂的系数，得
– 状态空间表达之间的变换（坐标变换）
使系统的性质更加明显
几个性质
化为能控、能观标准形（ SISO已学过）
化为约当标准形（对角形已学过）
组合系统
– 化为约当规范形 *
2,系统分析
定量分析：即第 2章的内容，给定初始状态和输入激励，求输出；
– 关键是状态转移矩阵的计算，本科已学过几种计算方法，如直接用定义计算、
拉氏变换法、利用凯莱 -哈密尔顿定理,sylvester展开、利用对角形等。
– 为了向时变线性系统推广，定义了一般形式的状态转移矩阵，见 P50。要仔细看。
定性分析：分析系统的 能控性和能观测性 （第 3章）、稳定性（第 4章）；
3,系统综合
各种综合方法，第 5章重点讲述的内容二、关于化一般状态空间表达为约当规范形
给定系统 {A,B,C,D}，当 A的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，
可化为对角形；
当 A的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。
例 1
1}{ 1 IAra n k?由于,故可以找到两个线性无关的相应于 λ1的 列向量
[1 0 0]‘,[0 1 0]’，相应于特征值 2的特征向量为 [-1 0 1]‘，故变换矩阵为
100
010
101
Q
变换后的矩阵为例 2：如果 A具有 4重特征值 λ1和 1重特征值 λ2
可能的约当形为对角上的分块矩阵称为约当块。一个多重特征值对应几个约当块，各约当块重数是多少，依赖于 A的特性，要做深入研究才能确定。
1、约当形的一般形式
2、几个重要的概念
特征值的代数重数设 λi 为矩阵 A的一个特征值，且则称 σ i为 λi的代数重数。
几何重数若则称 αi为 λi的几何重数。
零空间零空间也就是方程 Ax=0的所有解的集合。很明显，它是一个线性空间。
如果零空间的维数为 0，则该空间仅包含一个零向量。如果维数为 k,则方程 Ax=0有 k个线性无关的向量解。
比较几何重数的定义，可见，几何重数就是（ A-λiI)的零空间的维数。
广义特征向量
广义特征向量链
3、化为约当形的变换矩阵的构成
32)2(3)1( 3)2( 2)1( 2)4(1)3(1)2(1)1(1 vvvvvvvvvvQ iiiiiiii?
32)2(3)1( 3)2( 2)1( 2)4(1)3(1)2(1)1(1 vvvvvvvvvvQ iiiiiiii?
第三章 系统运动的稳定性（书中第 4章）
对定常系统外部描述 内部描述稳定性 外部稳定性 内部稳定性能控能观时
3.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
– 有许多外部稳定性的定义，常用 BIBO稳定
– 松驰系统称为 BIBO稳定的，当且仅当对任何有界输入，
其输出有界。
判据
– 线性时变系统
线性定常系统
3.2 李亚普诺夫第二方法的主要定理研究内部稳定性的充分条件
对非线性时变系统稳定性的判别定理
对非线性定常系统稳定性的判别定理以上定理的变形也要熟悉。
3.3 线性系统的情形作业
Chap1:
– 1.11(i),1.15,1.16,1.17,1.19
Chap2:
– 2.3,2.5,2.7,2.10
Chap4:
– 4.1,4.3,4.8,4.11
兼复习本科阶段该部分内容一、总的框架
模型 分析 综合（即设计）
1,模型部分
– 不同表达领域模型间的转换
如何由物理系统得到状态空间表达
由输入 /输出描述得到状态空间表达（ SISO）
– 能控规范形描述
– 能观测规范形描述
– 对角形（单极点）
由状态空间描述得到 I/O描述
– 理论计算公式 DBAsICsG 1)()(
– 实用计算公式两边右乘 α(s)(sI-A)
比较 s同次幂的系数，得
– 状态空间表达之间的变换（坐标变换）
使系统的性质更加明显
几个性质
化为能控、能观标准形（ SISO已学过）
化为约当标准形（对角形已学过）
组合系统
– 化为约当规范形 *
2,系统分析
定量分析：即第 2章的内容，给定初始状态和输入激励，求输出；
– 关键是状态转移矩阵的计算，本科已学过几种计算方法，如直接用定义计算、
拉氏变换法、利用凯莱 -哈密尔顿定理,sylvester展开、利用对角形等。
– 为了向时变线性系统推广，定义了一般形式的状态转移矩阵，见 P50。要仔细看。
定性分析：分析系统的 能控性和能观测性 （第 3章）、稳定性（第 4章）；
3,系统综合
各种综合方法，第 5章重点讲述的内容二、关于化一般状态空间表达为约当规范形
给定系统 {A,B,C,D}，当 A的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，
可化为对角形；
当 A的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。
例 1
1}{ 1 IAra n k?由于,故可以找到两个线性无关的相应于 λ1的 列向量
[1 0 0]‘,[0 1 0]’，相应于特征值 2的特征向量为 [-1 0 1]‘，故变换矩阵为
100
010
101
Q
变换后的矩阵为例 2：如果 A具有 4重特征值 λ1和 1重特征值 λ2
可能的约当形为对角上的分块矩阵称为约当块。一个多重特征值对应几个约当块，各约当块重数是多少，依赖于 A的特性，要做深入研究才能确定。
1、约当形的一般形式
2、几个重要的概念
特征值的代数重数设 λi 为矩阵 A的一个特征值，且则称 σ i为 λi的代数重数。
几何重数若则称 αi为 λi的几何重数。
零空间零空间也就是方程 Ax=0的所有解的集合。很明显，它是一个线性空间。
如果零空间的维数为 0，则该空间仅包含一个零向量。如果维数为 k,则方程 Ax=0有 k个线性无关的向量解。
比较几何重数的定义，可见，几何重数就是（ A-λiI)的零空间的维数。
广义特征向量
广义特征向量链
3、化为约当形的变换矩阵的构成
32)2(3)1( 3)2( 2)1( 2)4(1)3(1)2(1)1(1 vvvvvvvvvvQ iiiiiiii?
32)2(3)1( 3)2( 2)1( 2)4(1)3(1)2(1)1(1 vvvvvvvvvvQ iiiiiiii?
第三章 系统运动的稳定性（书中第 4章）
对定常系统外部描述 内部描述稳定性 外部稳定性 内部稳定性能控能观时
3.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
– 有许多外部稳定性的定义，常用 BIBO稳定
– 松驰系统称为 BIBO稳定的，当且仅当对任何有界输入，
其输出有界。
判据
– 线性时变系统
线性定常系统
3.2 李亚普诺夫第二方法的主要定理研究内部稳定性的充分条件
对非线性时变系统稳定性的判别定理
对非线性定常系统稳定性的判别定理以上定理的变形也要熟悉。
3.3 线性系统的情形作业
Chap1:
– 1.11(i),1.15,1.16,1.17,1.19
Chap2:
– 2.3,2.5,2.7,2.10
Chap4:
– 4.1,4.3,4.8,4.11
