第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
能控性
– 状态点的能控性对 t0,x0，
存在 t1>t0 和容许控制 u(t),t属于 [t0,t1],
使系统状态从 x0→ x(t1)=0
称此 x0在 t0时刻能控。
– 系统的能控性状态空间中的所有 x0,在 t0时刻都能控，则称系统在 t0时刻完全能控。
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在 t0时刻不能控，则称系统在
t0时刻不完全能控。
能观测性能观测性研究 x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据
1 线性定常系统的能控性判据
0
,
0
},{},{
121 c
c
c BB
A
AA
PAPA
BABA
,0
0)()(
..
0
00
0
0
11
12
P
BPAIPPBPAIP
ei
AI
BAAI
BAI
，
A
c
cc
c
则构造行向量反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵 P，使设 λ为 的特征值，则存在行向量 β,满足
cA
。。
nBAIr a n k
BAI
B
AIPAI
P
反设不成立与已知矛盾
0
0
0)(0)(
,0
1
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
K=n时,Qk即为能控性判别矩阵。
有时，在 k<n时,Qk的秩就已经是 n了。
称使 rank Qk=n的 k的最小正整数 μ 为系统的能控性指数。 [系统综合时用到 ]
p
ppppn
BAABBQ
1
要满秩，须 μ P>=n.故又若 rank B =r<=p
pnnp
BABAABB
r
rr a n k
12?
向量线性无关个线性无关的列列向量与左边的其中至少有一个
1
11
rnpn，
rnnr
综上注：
单输入系统 p=1,系统的能控性指数为 n.
简化计算能控性判别矩阵。不必计算到 A的 (n-1)次幂乘以 B。最多只需计算到 (n-r)次幂。
能控性指数集
线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据
3.4 对偶性原理
与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
系统完全能控时,rank Qc=n; 系统完全能观测时，
rank Qo=n.
从中必可找出 n个线性无关的列或行。
不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案以从 Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控,rank Qc=n.Qc中有且最多仅有 n个线性无关的列。
如何找出它们？用格栅图表示。
方案 I 列搜索
），。（，
，
个线性无关列已找到至此的线性组合能表示成直到然后开始从
11
1
1
2
1
1
1
11
1
1
2
1
1
1
},,,{
,,,,
1
11
bAbAbAb
bAbAbAbAb
），（
，，
，n
个线性无关列已找到至此的线性组合能表示成直到选若
21
2
1
2
1
21
1
1
1
1
22
1
2
2
2
1
21
},,；,,{
,,,,,
21
22
bAbAbbAbAb
bAbAbAbAb
},,；；,,；,,{
.
,,,,,
11
2
1
2
1
21
1
1
1
1
21
3
1
3
2
3
1
321
21
3
rrr
r
r，，，
，n，
n
，n
bAbAbbAbAbbAbAb
bAbAbAb
即个线性无关的列已找到至此直至继续选若该搜索方法的特点是,是其左边的向量的线性组合。iibA?
方案 II 行搜索
iibA?
}，；；，；，{
][
],,,[
1
2
1
221
1
11
21
21
21
rrr
p
p
r，，，，，，
，
。n；，，，；
bAAbbbAAbbbAAbb
AbAbAb
bbb
再排列成如下形式找够后个线性无关列直到找够中的线性无关列再找中的线性无关列先找注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列都线性相关。
性质：如果说 与它的前面的列线性相关，则 亦必是这样。
jkbA jk bA 1?
2 旺纳姆 (Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与之对偶）
按方案 I搜索 Qc中的 n个线性无关列，得根据上述这种搜索方法的特点，有根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
,表达”
相似变换
i
ni
i
i
n
n
nnnn
n
n
n
n
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Aeeee
AeAeeAeee
eeeT
ATAT
ATTA
c
1
c
2
1
21
21
21
22221
11211
21
21
即变换后的矩阵的第 i列是 Aei这个向量相应于新的基 T的表达。
对式（ 3.184)
类似于 SISO系统（ 3.166)利用凯莱 -哈密尔顿定理，此处利用
c 的各列是 Aei关于新的基的表达。?
0
0
0
0
0;;
11
2111211
111111
111
2
1111
1
1111
1
1
1
1
l
lvllv
v
v
j
j
j
v
eeeeee
eb
bbbAbAAe
1
11
1
1
11211
112
3
1121
2
11
1
12
v
e
v
j
j
j
v
ee
bbbAbAAe
1111
1111
1
11111
1112111
1131213
vvvv
vvvv
v
eeAe
eeAe
eeAe
所以，与 v1以后的基向量无关，故 A中第 v1列之前,v1行以下均为 0。
对式（ 3.186)
0
0
0;;
21
2111211
221
1
112
1 1
221
1
1121122
1
22
2 1
221
1
1121122212
1
2221
1
1
2 1 1
2
2 1 1
2
l
lvllv
v
j
jj
v
j
v
j
v
j
jjjj
j
j
v
v
j
v
j
v
j
jjjj
j
j
v
eeeeee
ber
bererbAbA
bererbbAbAAe
22222122 veeAe
只有 Ae21与前面的基向量有关，其余 Ae22,…,Ae 2v2只与本组基向量有关。故它们对新的基的表达为同理，对（ 3.187)-(3.190)
只有 Ae31,…,Ae l1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。
所以可确定 A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
T
v
lvllv
c
c
c
e
eeeeee
B
BBT
BTB
l
000;；100
,b1B
。;;
iBi
1
1
11
2111211
1
所以其表达为就是列的第而的表达列关于新的基的第列是的第即
余类推。
所以,Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。
线性定常系统按能控性的结构分解
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1,计算
2,从中任意选取 k个线性无关的列
3,选取 n-k个列向量,使下列矩阵满秩
4,取,即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
。
k，qqqqAq，Aq
qqAq，Aq
kBAABBr a n kr a n k Q
AqAqAqAq
Aqqqq
qqqqQAQA
BBQAQAQ
qqqqQ
nkkk
kk
n
c
nkk
nkk
nkk
nkk
式即为规范表达式中的形行以下都为从第的表达中对故的线性组合都是所以因的表达的各列关于的各列是变换关系
01|,,
,,,,
][
|
|
|
|
111
11
1
11
11
11
11
对 B同理。
Notes:
线性定常系统按能观测性的分解
线性定常系统结构的规范分解不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
3.1 能控性和能观测性的定义
能控性
– 状态点的能控性对 t0,x0，
存在 t1>t0 和容许控制 u(t),t属于 [t0,t1],
使系统状态从 x0→ x(t1)=0
称此 x0在 t0时刻能控。
– 系统的能控性状态空间中的所有 x0,在 t0时刻都能控，则称系统在 t0时刻完全能控。
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在 t0时刻不能控，则称系统在
t0时刻不完全能控。
能观测性能观测性研究 x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据
1 线性定常系统的能控性判据
0
,
0
},{},{
121 c
c
c BB
A
AA
PAPA
BABA
,0
0)()(
..
0
00
0
0
11
12
P
BPAIPPBPAIP
ei
AI
BAAI
BAI
，
A
c
cc
c
则构造行向量反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵 P，使设 λ为 的特征值，则存在行向量 β,满足
cA
。。
nBAIr a n k
BAI
B
AIPAI
P
反设不成立与已知矛盾
0
0
0)(0)(
,0
1
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
K=n时,Qk即为能控性判别矩阵。
有时，在 k<n时,Qk的秩就已经是 n了。
称使 rank Qk=n的 k的最小正整数 μ 为系统的能控性指数。 [系统综合时用到 ]
p
ppppn
BAABBQ
1
要满秩，须 μ P>=n.故又若 rank B =r<=p
pnnp
BABAABB
r
rr a n k
12?
向量线性无关个线性无关的列列向量与左边的其中至少有一个
1
11
rnpn，
rnnr
综上注：
单输入系统 p=1,系统的能控性指数为 n.
简化计算能控性判别矩阵。不必计算到 A的 (n-1)次幂乘以 B。最多只需计算到 (n-r)次幂。
能控性指数集
线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据
3.4 对偶性原理
与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
系统完全能控时,rank Qc=n; 系统完全能观测时，
rank Qo=n.
从中必可找出 n个线性无关的列或行。
不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案以从 Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控,rank Qc=n.Qc中有且最多仅有 n个线性无关的列。
如何找出它们？用格栅图表示。
方案 I 列搜索
），。（，
，
个线性无关列已找到至此的线性组合能表示成直到然后开始从
11
1
1
2
1
1
1
11
1
1
2
1
1
1
},,,{
,,,,
1
11
bAbAbAb
bAbAbAbAb
），（
，，
，n
个线性无关列已找到至此的线性组合能表示成直到选若
21
2
1
2
1
21
1
1
1
1
22
1
2
2
2
1
21
},,；,,{
,,,,,
21
22
bAbAbbAbAb
bAbAbAbAb
},,；；,,；,,{
.
,,,,,
11
2
1
2
1
21
1
1
1
1
21
3
1
3
2
3
1
321
21
3
rrr
r
r，，，
，n，
n
，n
bAbAbbAbAbbAbAb
bAbAbAb
即个线性无关的列已找到至此直至继续选若该搜索方法的特点是,是其左边的向量的线性组合。iibA?
方案 II 行搜索
iibA?
}，；；，；，{
][
],,,[
1
2
1
221
1
11
21
21
21
rrr
p
p
r，，，，，，
，
。n；，，，；
bAAbbbAAbbbAAbb
AbAbAb
bbb
再排列成如下形式找够后个线性无关列直到找够中的线性无关列再找中的线性无关列先找注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列都线性相关。
性质：如果说 与它的前面的列线性相关，则 亦必是这样。
jkbA jk bA 1?
2 旺纳姆 (Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与之对偶）
按方案 I搜索 Qc中的 n个线性无关列，得根据上述这种搜索方法的特点，有根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
,表达”
相似变换
i
ni
i
i
n
n
nnnn
n
n
n
n
a
a
a
aaa
aaa
aaa
Aeeee
AeAeeAeee
eeeT
ATAT
ATTA
c
1
c
2
1
21
21
21
22221
11211
21
21
即变换后的矩阵的第 i列是 Aei这个向量相应于新的基 T的表达。
对式（ 3.184)
类似于 SISO系统（ 3.166)利用凯莱 -哈密尔顿定理，此处利用
c 的各列是 Aei关于新的基的表达。?
0
0
0
0
0;;
11
2111211
111111
111
2
1111
1
1111
1
1
1
1
l
lvllv
v
v
j
j
j
v
eeeeee
eb
bbbAbAAe
1
11
1
1
11211
112
3
1121
2
11
1
12
v
e
v
j
j
j
v
ee
bbbAbAAe
1111
1111
1
11111
1112111
1131213
vvvv
vvvv
v
eeAe
eeAe
eeAe
所以，与 v1以后的基向量无关，故 A中第 v1列之前,v1行以下均为 0。
对式（ 3.186)
0
0
0;;
21
2111211
221
1
112
1 1
221
1
1121122
1
22
2 1
221
1
1121122212
1
2221
1
1
2 1 1
2
2 1 1
2
l
lvllv
v
j
jj
v
j
v
j
v
j
jjjj
j
j
v
v
j
v
j
v
j
jjjj
j
j
v
eeeeee
ber
bererbAbA
bererbbAbAAe
22222122 veeAe
只有 Ae21与前面的基向量有关，其余 Ae22,…,Ae 2v2只与本组基向量有关。故它们对新的基的表达为同理，对（ 3.187)-(3.190)
只有 Ae31,…,Ae l1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。
所以可确定 A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
T
v
lvllv
c
c
c
e
eeeeee
B
BBT
BTB
l
000;；100
,b1B
。;;
iBi
1
1
11
2111211
1
所以其表达为就是列的第而的表达列关于新的基的第列是的第即
余类推。
所以,Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。
线性定常系统按能控性的结构分解
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1,计算
2,从中任意选取 k个线性无关的列
3,选取 n-k个列向量,使下列矩阵满秩
4,取,即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
。
k，qqqqAq，Aq
qqAq，Aq
kBAABBr a n kr a n k Q
AqAqAqAq
Aqqqq
qqqqQAQA
BBQAQAQ
qqqqQ
nkkk
kk
n
c
nkk
nkk
nkk
nkk
式即为规范表达式中的形行以下都为从第的表达中对故的线性组合都是所以因的表达的各列关于的各列是变换关系
01|,,
,,,,
][
|
|
|
|
111
11
1
11
11
11
11
对 B同理。
Notes:
线性定常系统按能观测性的分解
线性定常系统结构的规范分解不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
