高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
绪论 —— 微积分的历史简介脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民聊聊天微积分的产生 —— 17,18,19世纪的微积分,
很久很久以前,
在很远很远的一块古老的土地上,
有一群智者 ……
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、
格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、
牛顿、莱布尼茨,……,
任何研究工作的开端,几乎都是极不完美的尝试,且通常并不成功 。 每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理,唯有一一尝试,方能觅得捷径 。 也只有甘愿冒险,才能将正确的途径示以他人 。 …… 可以这样说,为了寻找真理,我们是注定要经历挫折和失败的 。
—— 狄德罗十七世纪的微积分任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前,函数的概念也是如此 。 直到 17世纪,人们对函数才有了明确的理解 。 函数概念的提出,与伽利略和格雷戈里有关 。 格雷戈里将函数定义为这样一个量：
它是其他的量经过一系列代数运算而得到的,
或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的 。
因为这个定义太窄,所以很快就被遗忘了,并被陆续出现的其它关于函数的定义替代 。 但即使是最简单的函数也会涉及到实数 。 而无理数在 17世纪时并不被人们充分了解,于是,人们在处理数值时就跳过逻辑,对函数也是如此 。 在 1650年以前,无理数就一直被人们随心所欲地使用着 。
紧接着函数概念的采用,产生了微积分,它是继欧几里德几何之后,全部数学中的一个最伟大的创造 。 虽然在某种程度上,它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答,但是,微积分的创立,首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的 。
哪些主要的科学问题呢?
有四种主要类型的问题,
Archimedes
第一类问题已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,
求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离 。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化 。 例如,计算瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻,移动的距离和所用的时间都是 0,而
0 / 0 是无意义的 。 但根据物理学,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,是不容怀疑的 。
第一类问题求曲线的切线 。
这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题,光学中研究光线通过透镜的通道问题,运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等 。
第二类问题第二类问题困难在于：曲线的,切线,的定义本身就是一个没有解决的问题 。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为,与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线,。 这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了 。
第三类问题求函数的最大最小值问题。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
45
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第三类问题第四类问题求曲线的长度,曲线所围成的面积,曲面所围成的体积,物体的重心,一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力 。
困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积,尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法,但也必须添加许多技巧,因为这个方法缺乏一般性,而且经常得不到数值的解答 。
穷竭法先是被逐步修改,后来由微积分的创立而被根本修改了 。
第四类问题欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法 。 它的思想虽然古老,但很重要,阿基米德用得相当熟练,我们就用他的一个例子来说明一下这种方法 。
看一下阿基米德在证明两个圆的面积比等于其直径平方比所作的工作 。Archimedes
阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被圆内接多边形穷竭。
在圆里面内接一个正方形,其面积大于圆面积的 1/2 （ 因为它大于圆外切正方形面积的
1/2,而外切正方形的面积大于圆的面积 。 ）
A B
ED C
设 AB 是内接正方形的一边，平分弧 AB 于点
C 处并连接 AC 与 CB 。
作 C 处的切线，并作 AD
及 BE 垂直于切线。
12
||||21321 BC
。故 // ABDE
一半的三角形 ABC 的面积大于弓形 ACB面积的一半 。
对正方形的每边都这样做,得到一个正八边形 。
3
从而,ABED是一个矩形,
其面积大于弓形 ACB的面积 。 因此,等于矩形面积
8 边形所得到的八边形不仅包含正方形且包含圆与正方形面积之差的一半以上 。
在八边形的每边上也可按照在 AB 上作三角形 ABC 那样地作一个三角形,从而得 到一 个正 十六 边形 。
16边形
32边形 64边形
16边形这个正十六边形不仅包含八边形且包含圆与八边形面积之差的一半以上 。
这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圆与某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小。
希腊数学的重大成就之一,是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的公设或公理 。 即熟知的几何公理和算术法则,它们支配着如整数,几何点这样一些基本对象之间的关系 。
这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的 。
各项公理,或因从哲学观点看可以认为是,显然,
的,或仅仅因其非常有说服力,而被不加证明地予以接受 。
这可靠吗？
已定型的数学结构就建立在这些公理的基础之上 。 在后来的许多世纪中,公理化的欧几里德数学曾被认为是数学体系的典范,甚至为其他学科所努力效仿 。 （ 例如,像笛卡尔,斯宾诺沙等哲学家,就曾试图把他们的学说用公理方式,或者如他们所说,,更加几何化,地提出来,以便使之更有说服力 。 ）
经过中世纪的停滞时期后,数学同自然科学一起,在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发展,这时公理化的方法才被人们遗弃了 。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的先驱们,并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自己,因此,在十七世纪,逐渐广泛地采用直观证据来代替演绎的证明 。 一些第一流的数学家在确实感到结论无误地情况下,运用了一些新的概念,有时甚至运用一些神秘的联想 。 由于对微积分新方法的全面威力的信念,促使研究者们走得很远 （ 如果束缚于严格的限制的框架上,这将是不可能的 ） 。
不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免发生大错 。
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程 。
这两种过程的一些特殊的情况,甚至在古代就已经有人考虑过 （ 在阿基米德工作中达到高峰 ）,而在十六世纪和十七世纪,更是越来越受到人们的重视 。 然而,微积分的系统发展是在十七世纪才开始的,通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造 。 这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程,实际上是彼此互逆的联系着 。
公正的历史评价,是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的 。 许多人,
例如,费马,伽利略,开普勒,巴罗等都曾为科学中的这些具有革命性的新思想所鼓舞,对微积分的奠基作出过贡献 。
事实上,牛顿的老师巴罗,就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系 。 牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想 。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时刻,用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时间,就得到这一间隔中小球的平均速度 。 我们可以计算从第四秒起,间隔为 1/2 秒,1/4 秒,1/8 秒,……
内的平均速度 。 显然,时间间隔越短,计算出来的平均速度就越接近第四秒时的速度 。 这就是说,我们有了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度,
然后研究当时间间隔越来越小时,它们会趋近于哪一个数 。 这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速度 。
费马研究的一个问题假设一个小球正向地面落去,我们想知道下落后第 4 秒时小球的速度 （ 瞬时速度 ） 。
小球下落的运动状态可用下面的公式描述：
)( 16 2 英尺td? 费马所在时代用的是英制单位,2 5 6416 4 2 dt 时，当设任意一个时间增量是 h,在第（ 4 + h） 秒时，
小球会下降 256 英尺加上距离增量 k,
16128256)4(16256 22 hhhk
即 16128 2hhk
在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为
161 2 8161 2 8
2
hh hhhk
幸好费马作了这个现在看来并不合理的除法运算,……
令 h = 0,得到小球在第四秒时的下落速度
128d ) ( 是牛顿发明的记号?d
费马推导的问题所在
0 的运算。同除以时，才能对方程两边作只有当 hh?
161 2 8161 2 8
2
hh hhhk即 0 时才正确。只有当?h
这样就不能令 h = 0 而得出结论。此外,对于 16 2td?
这样简单的函数,可以进行上述化简工作,而对于更为复杂的函数,就不一定可以进行这样的化简工作了,一般只能导出如下的关系式,h
hf
h
k )(?
,这样，当 h = 0
时,k / h 就是 0 / 0 了，这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些,也没有把这项工作非常深入地进行下去,但他坚信最终可以得到一个合理的几何证明 。
尽管如此,事实上我们必须承认他是微积分学的创始人之一 。
费马推导的问题所在这里的问题是,当把非均匀变化的问题看成均匀变化时,能表示为两个量的商的形式,则此时处理非均匀变化问题,可以采用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。
它是微分学的问题。
古希腊人研究过的面积问题
2 轴与坐标轴计算抛物线 xxy?
O x
y
1
2xy?
S
10 间所围成的面积。在 x
O x
y
2x
2xy?
h h
2y
1x
hyhyS 21*
*SS?
1y
O x
y
3x
2xy?
h
3y
h h1x 2x
hyhyhyS 321*
*SS?
1y
2y
O x
y
nx
2xy?
h
ny
hyhyhyhyS nn 121*?
*SS?
ix
iy
直观地看,
小矩形越多,其面积和就越接近于所求曲线下的面积 。
如何求此面积的精确值
？
17世纪的数学家们解决这个问题的方法是让 n 变成无穷大 。 然而,无穷大的含义本身就不清楚 。 它是一个数吗？ 如果是,怎么对它进行计算呢？ 如果它不是一个数,那它又是什么呢？
费马在推导求面积的公式时,发现当 n 为无穷大时,包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计 。
卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称之为不可分量 （ 牛顿称之为终结不可分量 ） 的总和 。 这个终结不可分量到底是什么？ 当时没有人能将它说清楚 。 牛顿后来甚至重申他已经放弃了终结不可分量,而卡瓦列里只是说,把一块面积分割为越来越小的小矩形时,最终就会得到终结不可分量,面积就是由这些终结不可分量组成的 。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
用什么方法？我们以后再慢慢讲。
它是积分学的问题。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形式，则此时处理非均匀变化问题，可以采用 ……？？？
牛顿与莱布尼茨实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前,微积分的大量知识已经积累起来了 。 甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法,两个函数的积和商的微分定理,x 的幂的微分,求曲线的长度,
定积分中的变量代换,隐函数的微分定理等等 。
牛顿与莱布尼茨于是人们惊问,在主要的新结果方面,还有什么有待于发现呢？ 问题的回答是,方法的较大普遍性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普遍性 。
牛顿与莱布尼茨数学的真正划分不是分为几何和算术,而是分成普遍的和特殊的 。 这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家,牛顿和莱布尼茨提供的 。
1,牛顿（ Newton）
数学和科学中的巨大进展,几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的 。 需要有一个人来走那最高和最后的一步,这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法,有足够想象力地把这些碎片重新组织起来,并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划 。 在微积分中,这个人就是牛顿 。
牛顿 （ 1642~1727年 ）,英国数学家,
物理学家,天文学家,自然哲学家 。 生于英格兰 林肯郡伍尔索普 的一个小村庄里 。 他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄,他父亲是在他出生前两个月去世的 。
少年时期,牛顿在一个低标准的地方学校接受教育,而且是一个除了对机械有兴趣以外,没有特殊才华的青年人 。
1661年他进入了剑桥大学的三一学院,安静而没有阻力地学习着自然哲学 。 1665年牛顿刚结束他的大学课程,学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭 。 他离开剑桥,回到家乡,在那里开始了他在机械,数学和光学上的伟大工作,于 1665-
1666年间做出流数术,万有引力和光的分析三大发明,年仅 23岁 。
1667年牛顿回到剑桥,获得硕士学位,成为三一学院的研究员 。 1669年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位,担任 卢卡斯数学教授 。 他不是一个成功的教师,听他课的学生很少 。
他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注意,只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大,并给他以鼓励 。 牛顿涉猎的学科很多,知识面很广 。
他从事过光学,天体力学,数学,化学,流体静力学,流体动力学,物理学方面的研究工作,还自己动手制作实验装臵,甚至自己制作了两台反射望远镜 （ 制作出做架子用的合金,浇铸框架,做底座,
磨光镜头等 。 ）
他在数学上以创建微积分而著称,其流数法 （ 即物质的变化率 ） 始于 1665年,系统叙述于,流数法和无穷级数,（ 1671年完成,1736年出版 ）,首先发表在,自然哲学之数学原理,（ 1687） 中 。 其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论,并创用字母上加一点的符号表示流动变化率 （ 即导数符号 ） 。
讨论的基本问题是：已知流量间的关系,求它们的流数的关系以及逆运算,确立了微分与积分这两类运算的互逆关系,即微积分基本定理 。 他用级数处理微分和积分,已对级数的收敛和发散有所认识 。 他也研究微分方程,隐函数微分,曲线切线,曲线曲率,
曲线的拐点和曲线长度等 。
此外他还论述了有理指数的二项定理 （ 1664年 ）
以及数论,解析几何,曲线分类,变分法等中的有关问题 。
他在物理学上发现了万有引力定律 （ 1666-1684
年 ）,并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因 。 1666
年用三棱镜实验光的色散现象,1668年发明并亲手制作了第一架反射望远镜 。
他在哲学上深信物质,运动,空间和时间的客观存在性,坚持用观察和实验方法发现自然界的规律,
力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象,其科学研究方法支配后世近 300年的物理学研究 。
晚年的牛顿变得消沉,精神几乎崩溃 。 他放弃研究工作,于 1695年接受任命,担任大英造币厂监察 。 1705年,封为爵士,享年 85岁 。 牛顿对于他一生的成就,一直是十分谦虚的 。
2,莱布尼茨 （ Leibniz）
莱布尼茨 （ 1646~1716年 ） 是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家 。 他研究法律,在答辩了关于逻辑的论文后,得到哲学学士学位 。 1666年以论文,论组合的艺术,获得阿尔特道夫大学哲学博士学位,同时获得该校的教授席位 。
1671年,他制造了他的计算机 。 1672年 3月作为梅因兹的选帝侯大使,政治出差导巴黎 。 这次访问使他同数学家和科学家有了接触,激起了他对数学的兴趣 。 可以说,在此之前 （ 1672年前 ） 莱布尼茨基本上不懂数学 。
1673年他到伦敦,遇到另一些数学家和科学家,促使他更加深入地钻研数学 。 虽然莱布尼茨靠做外交官生活,卷入各种政治活动,但他的科学研究工作领域是广泛的,他的业余生活的活动范围是庞大的 。
除了是外交官外,莱布尼茨还是哲学家,法学家,历史学家,语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学,力学,数学,流体静力学,气体学,航海学和计算机方面做了重要工作 。 虽然他的教授席位是法学的,但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中 。 他用通信保持和人们的接触,最远的到锡兰 （ Ceylon） 和中国 。
他于 1669年提议建立德国科学院,从事对人类有益的力学中的发明和化学,生理学方面的发现 （ 1700
年柏林科学院成立 ） 。
莱布尼茨从 1684年开始发表论文,但他的许多成果以及他的思想的发展,实际上都包含在他从 1673年起写的,但从未发表过的成百的笔记本中 。 从这些笔记本中人们可以看到,他从一个课题跳到另一个课题,并随着他的思想的发展而改变他所用的记号 。 有些是它在研究格雷戈里,费马,帕斯卡,巴罗的书和文章时,或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想 。
1714年莱布尼茨写了,微分学的历史和起源,,
在这本书中,他给出了一些关于自己思想发展的记载,由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名,所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载 。 不管他的笔记本多么混乱,都揭示了一个最伟大的才智,怎样为了达到理解和创造而奋斗 。
特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到,微分与积分 （ 看作是和 ） 必定是相反的过程； 1676年 6
月 23日的手稿中,他意识到求切线的最好方法是求
dy/dx,其中 dy,dx 是变量的差,dy/dx 是差的商 。 莱布尼茨的工作,虽然富于启发性而且意义深远,但它是十分零乱不全的,以致几乎不能理解 。 幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工,并做了大量的发展工作 。
1716年，他无声无息地死去。
微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍的方法,这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人 。 经过他们的工作,微积分不再是古希腊几何的附庸和延展,而是一门独立的科学,用来处理较以前更为广泛的问题 。
任何一件新事物出现时,一般不可能是十分完美的 。 如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数 —— 而这却是一般情形 —— 那么微分学就决不会被创造出来 。
—— 毕卡创建微积分优先权的争论牛顿从 1665年到 1687年把结果通知了他的朋友,特别是把他的短文,分析学,送给了巴罗,但他于 1687年以前,并没有正式公开发表过微积分方面的任何工作 。
创建微积分优先权的争论虽然莱布尼茨于 1672年访问巴黎,1673年访问伦敦时,和一些知道牛顿工作的人通信 。 然而,他直到
1684年才正式公开发表微积分的著作 。 于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题 。 莱布尼茨被指责为剽窃者 。
在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。
创建微积分优先权的争论这件事的结果是,英国的和大陆的数学家停止了思想交换 。 因为牛顿在微积分方面的主要工作是以几何为工具的,所以在他死后近一百年中,英国人继续以几何为主要工具研究微积分 。 而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法,使它发展并不断进行改善 。 这件事的影响非常巨大,它不仅使英国的数学家落在后面,而且使数学学科损失了一批最有才能的人所应作出的贡献 。
创建微积分优先权的争论十八世纪的微积分因此,看来现代的数学家们象从事科学的人们那样,在应用他们的原理方面费的心血比在了解这些原理方面多得多 。
—— 贝克莱 主教十七世纪最伟大的成就就是微积分 。 由此起源产生了数学的一些主要的新分支,如微分方程,无穷级数,微分几何,变分法,复变函数等等 。 其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就已经出现了 。 十八世纪,人们大量地致力于这些分析分支的发展 。 但是在这一发展完成之前,首先必须扩展微积分本身 。
十八世纪的微积分牛顿和莱布尼茨创造了基本方法,但也留下了许多要做的事情：必须清楚地认识或造出许多新的一元函数和多元函数；微分和积分的技巧必须推广到某些已经存在或别的有待引入的函数；此外还缺少微积分的逻辑基础 。 当然,第一目标是扩展微积分的主要内容 。
十八世纪的微积分十八世纪,人们的确扩展了微积分,并创立了一些新的分析分支 。 数学家们对微积分以及随后产生的分析分支做了纯形式的处理 。 在这个经受了挫折,错误,不完全和混乱的处理过程中,虽然他们的技巧是很高超的,但却不是由明确的数学思想指导的,而是由直观和物理见解指引的 。 这些形式的努力经受了后来的批判性检查的考验,并产生了伟大的思想线索 。
人们深深感受到,数学新领域的征服有时超过军事上的征服 。 它大胆地闯入敌人的领土,攻占要塞,然后,就必须由更广阔,更彻底,更谨慎的行动来扩大和支持这些入侵,以保卫那些仅仅暂时地,不牢固地控制了的东西 。
十八世纪试图在微积分中注入严密性十八世纪的数学家和思想家们,没有意识到需要极限的概念 。 又因为他们没有看出使用无穷级数而产生的问题,所以他们天真地认为微积分只是代数的推广 。 对于即使稍微复杂一点的代数函数,基本的积分法还是把函数表示成级数形式 （ 沿用牛顿的方法 ）,再逐项积分 。 数学家们只是将积分技巧从一种有限形式发展到另一种有限形式,仅把积分当作导数或微分的的逆运算 。 他们从来就不问一个积分的存在性 。 好在十八世纪出现的大部分应用问题中,积分都能被明确地求出来,因而也就不会发生积分存在与否的问题 。
在十八世纪初期,就已经出现了两个和三个变量的函数的微积分 （ 多元函数的微积分 ） 。 通常的导数与偏导数的区别在一开始并未被人们明确地认识,因而对两者使用相同的记号 。 而物理意义又要求人们在多个自变量的函数中,考虑只有一个自变量变化的导数 。
两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动力来自偏微分方程方面的工作 。 偏导数的演算是由欧拉研究流体力学问题的一系列文章提供的 。 达朗贝尔在 1744年前后,推广了偏导数的演算 。
在十八世纪,虽然数学家们致力于在微积分中注入严密性,但由于时代的局限性,这项工作显得十分混乱 。 其中比较有代表性的思想是达朗贝尔的工作 。
他在一篇论文中说道：,极限,极限论是微积分的真正抽象 ……,它决不是微分学中的无穷小量的一个问题：它独特地是有限量的极限问题 。 这样,无穷大量和无穷小量相互间较大,较小的空谈,对微分学来说是全然无用的 。,无穷小量仅仅是一种说法,用以避免冗长的极限术语的描述 。 事实上,达朗贝尔给出了极限正确定义的一个极好的近似：一个变量趋近一个固定量,趋近的程度小于任何给定量 。 可惜他没有能结合并利用他的基本准正确思想作出微积分形式的阐述 。
告诫学习微积分的学生们：
坚持,你就会有信心,
达朗贝尔评语尽管几乎十八世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力,或至少表示了他们的看法,其中也有一,两个走对了路的,但他们所有的努力都是没有多大用处的 。 任何棘手的问题都被有意避开或是漠然视之,人们很难区别很大的数与无穷数,数学家们在有限与无限之间随意通行 。 微积分被称为
,计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术,。 尤其是欧拉,拉格朗日这样的大师对微积分微积分严格化的努力的最终结果,是误导了他们的同代人以及后来者,并且搞乱了他们的思想 。 总的来说,他们那么明目张胆地犯错误,以致于人们对数学家能否能清楚他们涉及到的逻辑感到绝望 。
十八世纪的思想家们所采取的论据的一个奇怪地特点是他们求助于,形而上学,,用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系,虽然这个真理体系究竟是什么还不清楚,但如果需要的话,可以用它来检验人们所做的工作 。 莱布尼茨,欧拉等数学家都曾借助于形而上学得出过错误的结论 。 例如,
莱布尼茨曾证明过级数 的和为 1/2,
实际上,该级数无和 。
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一般说来,当十七,十八世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时,他们就惯于说这其中的理由是形而上学的 。 因此,在十八世纪结束之际,微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中 。 可以说,
1800年微积分基础方面的状况比 1700年的更差 。 数学巨匠,尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础 。 因为他们是权威,他们的许多同事接受了并不加批判地重复这些观点,甚至将它们进一步发展 。 他们被引上了一条错误的路 。
十九世纪的微积分噢，上帝，为什么二加二等于四？
—— 亚历山大 · 蒲柏历史进入十九世纪,数学陷入更加自相矛盾的处境 。 虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成功远远超过人们的预料,但是,正如十八世纪的人所指出的那样,大量的数学结构没有逻辑基础,因此不能保证数学是正确无误的 。 尽管这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半叶,但并不影响许多数学家在开始研究的自然科学的一些新领域中成绩斐然 。
十九世纪的微积分分析 （ 微积分 ） 中的错误在十九世纪继续发展,这方面的例子不胜枚举 。 我们举一个例子：直观上连续函数可以用一条不间断的 （ 连续 ） 曲线来表示,而函数的导数的几何意义就是曲线上点 P 处的切线的斜率 。
十九世纪早期的数学家们都致力于尽可能地运用逻辑方法证明,一个连续函数中任何一点处都有导数存在 。,实际上,这就是要证明,一条连续曲线上,任何一点处的切线均存在 。,只要看下面的图形,就可以知道要证明的东西是错误的 。
此处无切线这样的严重错误在今天对一个大学生来说也是不可原谅的,然而犯错误的却是当时的伟人 —— 傅立叶,柯西,伽罗瓦,勒让德,高斯,还有其他一些名声稍逊,但也成就斐然的数学家 。
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
傅立叶 高斯从 1605年至今,数学分析一直是人们研究的主要对象,连续性和可微性是分析的基本概念,而数学家们对这些基本概念竟然如此模糊不清,对此你就不能不感到震惊 。
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
1890—— 1894年就读于剑桥三一学院的罗素在他的著作,我的哲学发展,中就曾写道：,那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念,就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩 。,
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误 。
—— 柯西波尔查诺,柯西,魏尔斯特拉斯和其它一些人的工作给分析提供了严密性 。 这些工作将微积分及其推广从几何概念,运动和直觉了解的完全依赖中解放出来 。 这些研究一开始就造成了巨大轰动 。 在一次科学会议上,柯西提出了级数收敛性理论,会后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来,直到查完他的
,天体力学,中所用到的级数为止 （ 幸亏他用到的级数都是收敛的 ） 。 当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知时,其影响更为显著 。 但是,分析的严密化并不证明就是基础研究的终结,恰恰相反,
它是新的,更深入的问题研究的开始 。 例如,实数系的逻辑基础是什么？ …… 。
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
绪论 —— 微积分的历史简介脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民聊聊天微积分的产生 —— 17,18,19世纪的微积分,
很久很久以前,
在很远很远的一块古老的土地上,
有一群智者 ……
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、
格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、
牛顿、莱布尼茨,……,
任何研究工作的开端,几乎都是极不完美的尝试,且通常并不成功 。 每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理,唯有一一尝试,方能觅得捷径 。 也只有甘愿冒险,才能将正确的途径示以他人 。 …… 可以这样说,为了寻找真理,我们是注定要经历挫折和失败的 。
—— 狄德罗十七世纪的微积分任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前,函数的概念也是如此 。 直到 17世纪,人们对函数才有了明确的理解 。 函数概念的提出,与伽利略和格雷戈里有关 。 格雷戈里将函数定义为这样一个量：
它是其他的量经过一系列代数运算而得到的,
或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的 。
因为这个定义太窄,所以很快就被遗忘了,并被陆续出现的其它关于函数的定义替代 。 但即使是最简单的函数也会涉及到实数 。 而无理数在 17世纪时并不被人们充分了解,于是,人们在处理数值时就跳过逻辑,对函数也是如此 。 在 1650年以前,无理数就一直被人们随心所欲地使用着 。
紧接着函数概念的采用,产生了微积分,它是继欧几里德几何之后,全部数学中的一个最伟大的创造 。 虽然在某种程度上,它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答,但是,微积分的创立,首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的 。
哪些主要的科学问题呢?
有四种主要类型的问题,
Archimedes
第一类问题已知物体移动的距离表为时间的函数的公式,
求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离 。
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化 。 例如,计算瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬刻,移动的距离和所用的时间都是 0,而
0 / 0 是无意义的 。 但根据物理学,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,是不容怀疑的 。
第一类问题求曲线的切线 。
这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题,光学中研究光线通过透镜的通道问题,运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等 。
第二类问题第二类问题困难在于：曲线的,切线,的定义本身就是一个没有解决的问题 。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为,与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线,。 这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了 。
第三类问题求函数的最大最小值问题。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。
研究行星运动也涉及最大最小值问题。
45
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。
第三类问题第四类问题求曲线的长度,曲线所围成的面积,曲面所围成的体积,物体的重心,一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力 。
困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积,尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法,但也必须添加许多技巧,因为这个方法缺乏一般性,而且经常得不到数值的解答 。
穷竭法先是被逐步修改,后来由微积分的创立而被根本修改了 。
第四类问题欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法 。 它的思想虽然古老,但很重要,阿基米德用得相当熟练,我们就用他的一个例子来说明一下这种方法 。
看一下阿基米德在证明两个圆的面积比等于其直径平方比所作的工作 。Archimedes
阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被圆内接多边形穷竭。
在圆里面内接一个正方形,其面积大于圆面积的 1/2 （ 因为它大于圆外切正方形面积的
1/2,而外切正方形的面积大于圆的面积 。 ）
A B
ED C
设 AB 是内接正方形的一边，平分弧 AB 于点
C 处并连接 AC 与 CB 。
作 C 处的切线，并作 AD
及 BE 垂直于切线。
12
||||21321 BC
。故 // ABDE
一半的三角形 ABC 的面积大于弓形 ACB面积的一半 。
对正方形的每边都这样做,得到一个正八边形 。
3
从而,ABED是一个矩形,
其面积大于弓形 ACB的面积 。 因此,等于矩形面积
8 边形所得到的八边形不仅包含正方形且包含圆与正方形面积之差的一半以上 。
在八边形的每边上也可按照在 AB 上作三角形 ABC 那样地作一个三角形,从而得 到一 个正 十六 边形 。
16边形
32边形 64边形
16边形这个正十六边形不仅包含八边形且包含圆与八边形面积之差的一半以上 。
这种做法你想做多少次就可以做多少次。可以肯定，圆与某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何预先给定的量还要小。
希腊数学的重大成就之一,是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的公设或公理 。 即熟知的几何公理和算术法则,它们支配着如整数,几何点这样一些基本对象之间的关系 。
这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的 。
各项公理,或因从哲学观点看可以认为是,显然,
的,或仅仅因其非常有说服力,而被不加证明地予以接受 。
这可靠吗？
已定型的数学结构就建立在这些公理的基础之上 。 在后来的许多世纪中,公理化的欧几里德数学曾被认为是数学体系的典范,甚至为其他学科所努力效仿 。 （ 例如,像笛卡尔,斯宾诺沙等哲学家,就曾试图把他们的学说用公理方式,或者如他们所说,,更加几何化,地提出来,以便使之更有说服力 。 ）
经过中世纪的停滞时期后,数学同自然科学一起,在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发展,这时公理化的方法才被人们遗弃了 。
曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的先驱们,并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自己,因此,在十七世纪,逐渐广泛地采用直观证据来代替演绎的证明 。 一些第一流的数学家在确实感到结论无误地情况下,运用了一些新的概念,有时甚至运用一些神秘的联想 。 由于对微积分新方法的全面威力的信念,促使研究者们走得很远 （ 如果束缚于严格的限制的框架上,这将是不可能的 ） 。
不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免发生大错 。
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。
微分与积分是分析中的两种基本的极限过程 。
这两种过程的一些特殊的情况,甚至在古代就已经有人考虑过 （ 在阿基米德工作中达到高峰 ）,而在十六世纪和十七世纪,更是越来越受到人们的重视 。 然而,微积分的系统发展是在十七世纪才开始的,通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造 。 这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程,实际上是彼此互逆的联系着 。
公正的历史评价,是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议的灵感的 。 许多人,
例如,费马,伽利略,开普勒,巴罗等都曾为科学中的这些具有革命性的新思想所鼓舞,对微积分的奠基作出过贡献 。
事实上,牛顿的老师巴罗,就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关系 。 牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想 。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时刻,用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时间,就得到这一间隔中小球的平均速度 。 我们可以计算从第四秒起,间隔为 1/2 秒,1/4 秒,1/8 秒,……
内的平均速度 。 显然,时间间隔越短,计算出来的平均速度就越接近第四秒时的速度 。 这就是说,我们有了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度,
然后研究当时间间隔越来越小时,它们会趋近于哪一个数 。 这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速度 。
费马研究的一个问题假设一个小球正向地面落去,我们想知道下落后第 4 秒时小球的速度 （ 瞬时速度 ） 。
小球下落的运动状态可用下面的公式描述：
)( 16 2 英尺td? 费马所在时代用的是英制单位,2 5 6416 4 2 dt 时，当设任意一个时间增量是 h,在第（ 4 + h） 秒时，
小球会下降 256 英尺加上距离增量 k,
16128256)4(16256 22 hhhk
即 16128 2hhk
在 h 秒内（时间间隔）的平均速度为
161 2 8161 2 8
2
hh hhhk
幸好费马作了这个现在看来并不合理的除法运算,……
令 h = 0,得到小球在第四秒时的下落速度
128d ) ( 是牛顿发明的记号?d
费马推导的问题所在
0 的运算。同除以时，才能对方程两边作只有当 hh?
161 2 8161 2 8
2
hh hhhk即 0 时才正确。只有当?h
这样就不能令 h = 0 而得出结论。此外,对于 16 2td?
这样简单的函数,可以进行上述化简工作,而对于更为复杂的函数,就不一定可以进行这样的化简工作了,一般只能导出如下的关系式,h
hf
h
k )(?
,这样，当 h = 0
时,k / h 就是 0 / 0 了，这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些,也没有把这项工作非常深入地进行下去,但他坚信最终可以得到一个合理的几何证明 。
尽管如此,事实上我们必须承认他是微积分学的创始人之一 。
费马推导的问题所在这里的问题是,当把非均匀变化的问题看成均匀变化时,能表示为两个量的商的形式,则此时处理非均匀变化问题,可以采用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。
它是微分学的问题。
古希腊人研究过的面积问题
2 轴与坐标轴计算抛物线 xxy?
O x
y
1
2xy?
S
10 间所围成的面积。在 x
O x
y
2x
2xy?
h h
2y
1x
hyhyS 21*
*SS?
1y
O x
y
3x
2xy?
h
3y
h h1x 2x
hyhyhyS 321*
*SS?
1y
2y
O x
y
nx
2xy?
h
ny
hyhyhyhyS nn 121*?
*SS?
ix
iy
直观地看,
小矩形越多,其面积和就越接近于所求曲线下的面积 。
如何求此面积的精确值
？
17世纪的数学家们解决这个问题的方法是让 n 变成无穷大 。 然而,无穷大的含义本身就不清楚 。 它是一个数吗？ 如果是,怎么对它进行计算呢？ 如果它不是一个数,那它又是什么呢？
费马在推导求面积的公式时,发现当 n 为无穷大时,包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计 。
卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称之为不可分量 （ 牛顿称之为终结不可分量 ） 的总和 。 这个终结不可分量到底是什么？ 当时没有人能将它说清楚 。 牛顿后来甚至重申他已经放弃了终结不可分量,而卡瓦列里只是说,把一块面积分割为越来越小的小矩形时,最终就会得到终结不可分量,面积就是由这些终结不可分量组成的 。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
用什么方法？我们以后再慢慢讲。
它是积分学的问题。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形式，则此时处理非均匀变化问题，可以采用 ……？？？
牛顿与莱布尼茨实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之前,微积分的大量知识已经积累起来了 。 甚至在巴罗的一本书里就能看到求切线的方法,两个函数的积和商的微分定理,x 的幂的微分,求曲线的长度,
定积分中的变量代换,隐函数的微分定理等等 。
牛顿与莱布尼茨于是人们惊问,在主要的新结果方面,还有什么有待于发现呢？ 问题的回答是,方法的较大普遍性以及从特殊问题里已建立起来的东西中认识其普遍性 。
牛顿与莱布尼茨数学的真正划分不是分为几何和算术,而是分成普遍的和特殊的 。 这普遍的东西是由两个包罗万象的思想家,牛顿和莱布尼茨提供的 。
1,牛顿（ Newton）
数学和科学中的巨大进展,几乎总是建立在几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上的 。 需要有一个人来走那最高和最后的一步,这个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理出前人的有价值的想法,有足够想象力地把这些碎片重新组织起来,并且能足够大胆地制定一个宏伟的计划 。 在微积分中,这个人就是牛顿 。
牛顿 （ 1642~1727年 ）,英国数学家,
物理学家,天文学家,自然哲学家 。 生于英格兰 林肯郡伍尔索普 的一个小村庄里 。 他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄,他父亲是在他出生前两个月去世的 。
少年时期,牛顿在一个低标准的地方学校接受教育,而且是一个除了对机械有兴趣以外,没有特殊才华的青年人 。
1661年他进入了剑桥大学的三一学院,安静而没有阻力地学习着自然哲学 。 1665年牛顿刚结束他的大学课程,学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭 。 他离开剑桥,回到家乡,在那里开始了他在机械,数学和光学上的伟大工作,于 1665-
1666年间做出流数术,万有引力和光的分析三大发明,年仅 23岁 。
1667年牛顿回到剑桥,获得硕士学位,成为三一学院的研究员 。 1669年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位,担任 卢卡斯数学教授 。 他不是一个成功的教师,听他课的学生很少 。
他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注意,只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大,并给他以鼓励 。 牛顿涉猎的学科很多,知识面很广 。
他从事过光学,天体力学,数学,化学,流体静力学,流体动力学,物理学方面的研究工作,还自己动手制作实验装臵,甚至自己制作了两台反射望远镜 （ 制作出做架子用的合金,浇铸框架,做底座,
磨光镜头等 。 ）
他在数学上以创建微积分而著称,其流数法 （ 即物质的变化率 ） 始于 1665年,系统叙述于,流数法和无穷级数,（ 1671年完成,1736年出版 ）,首先发表在,自然哲学之数学原理,（ 1687） 中 。 其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论,并创用字母上加一点的符号表示流动变化率 （ 即导数符号 ） 。
讨论的基本问题是：已知流量间的关系,求它们的流数的关系以及逆运算,确立了微分与积分这两类运算的互逆关系,即微积分基本定理 。 他用级数处理微分和积分,已对级数的收敛和发散有所认识 。 他也研究微分方程,隐函数微分,曲线切线,曲线曲率,
曲线的拐点和曲线长度等 。
此外他还论述了有理指数的二项定理 （ 1664年 ）
以及数论,解析几何,曲线分类,变分法等中的有关问题 。
他在物理学上发现了万有引力定律 （ 1666-1684
年 ）,并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因 。 1666
年用三棱镜实验光的色散现象,1668年发明并亲手制作了第一架反射望远镜 。
他在哲学上深信物质,运动,空间和时间的客观存在性,坚持用观察和实验方法发现自然界的规律,
力求用数学定量方法表述的定律说明自然现象,其科学研究方法支配后世近 300年的物理学研究 。
晚年的牛顿变得消沉,精神几乎崩溃 。 他放弃研究工作,于 1695年接受任命,担任大英造币厂监察 。 1705年,封为爵士,享年 85岁 。 牛顿对于他一生的成就,一直是十分谦虚的 。
2,莱布尼茨 （ Leibniz）
莱布尼茨 （ 1646~1716年 ） 是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家 。 他研究法律,在答辩了关于逻辑的论文后,得到哲学学士学位 。 1666年以论文,论组合的艺术,获得阿尔特道夫大学哲学博士学位,同时获得该校的教授席位 。
1671年,他制造了他的计算机 。 1672年 3月作为梅因兹的选帝侯大使,政治出差导巴黎 。 这次访问使他同数学家和科学家有了接触,激起了他对数学的兴趣 。 可以说,在此之前 （ 1672年前 ） 莱布尼茨基本上不懂数学 。
1673年他到伦敦,遇到另一些数学家和科学家,促使他更加深入地钻研数学 。 虽然莱布尼茨靠做外交官生活,卷入各种政治活动,但他的科学研究工作领域是广泛的,他的业余生活的活动范围是庞大的 。
除了是外交官外,莱布尼茨还是哲学家,法学家,历史学家,语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学,力学,数学,流体静力学,气体学,航海学和计算机方面做了重要工作 。 虽然他的教授席位是法学的,但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中 。 他用通信保持和人们的接触,最远的到锡兰 （ Ceylon） 和中国 。
他于 1669年提议建立德国科学院,从事对人类有益的力学中的发明和化学,生理学方面的发现 （ 1700
年柏林科学院成立 ） 。
莱布尼茨从 1684年开始发表论文,但他的许多成果以及他的思想的发展,实际上都包含在他从 1673年起写的,但从未发表过的成百的笔记本中 。 从这些笔记本中人们可以看到,他从一个课题跳到另一个课题,并随着他的思想的发展而改变他所用的记号 。 有些是它在研究格雷戈里,费马,帕斯卡,巴罗的书和文章时,或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想 。
1714年莱布尼茨写了,微分学的历史和起源,,
在这本书中,他给出了一些关于自己思想发展的记载,由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名,所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载 。 不管他的笔记本多么混乱,都揭示了一个最伟大的才智,怎样为了达到理解和创造而奋斗 。
特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到,微分与积分 （ 看作是和 ） 必定是相反的过程； 1676年 6
月 23日的手稿中,他意识到求切线的最好方法是求
dy/dx,其中 dy,dx 是变量的差,dy/dx 是差的商 。 莱布尼茨的工作,虽然富于启发性而且意义深远,但它是十分零乱不全的,以致几乎不能理解 。 幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工,并做了大量的发展工作 。
1716年，他无声无息地死去。
微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍的方法,这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人 。 经过他们的工作,微积分不再是古希腊几何的附庸和延展,而是一门独立的科学,用来处理较以前更为广泛的问题 。
任何一件新事物出现时,一般不可能是十分完美的 。 如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数 —— 而这却是一般情形 —— 那么微分学就决不会被创造出来 。
—— 毕卡创建微积分优先权的争论牛顿从 1665年到 1687年把结果通知了他的朋友,特别是把他的短文,分析学,送给了巴罗,但他于 1687年以前,并没有正式公开发表过微积分方面的任何工作 。
创建微积分优先权的争论虽然莱布尼茨于 1672年访问巴黎,1673年访问伦敦时,和一些知道牛顿工作的人通信 。 然而,他直到
1684年才正式公开发表微积分的著作 。 于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题 。 莱布尼茨被指责为剽窃者 。
在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。
创建微积分优先权的争论这件事的结果是,英国的和大陆的数学家停止了思想交换 。 因为牛顿在微积分方面的主要工作是以几何为工具的,所以在他死后近一百年中,英国人继续以几何为主要工具研究微积分 。 而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法,使它发展并不断进行改善 。 这件事的影响非常巨大,它不仅使英国的数学家落在后面,而且使数学学科损失了一批最有才能的人所应作出的贡献 。
创建微积分优先权的争论十八世纪的微积分因此,看来现代的数学家们象从事科学的人们那样,在应用他们的原理方面费的心血比在了解这些原理方面多得多 。
—— 贝克莱 主教十七世纪最伟大的成就就是微积分 。 由此起源产生了数学的一些主要的新分支,如微分方程,无穷级数,微分几何,变分法,复变函数等等 。 其中某些工作的萌芽确实在牛顿和莱布尼茨的工作中就已经出现了 。 十八世纪,人们大量地致力于这些分析分支的发展 。 但是在这一发展完成之前,首先必须扩展微积分本身 。
十八世纪的微积分牛顿和莱布尼茨创造了基本方法,但也留下了许多要做的事情：必须清楚地认识或造出许多新的一元函数和多元函数；微分和积分的技巧必须推广到某些已经存在或别的有待引入的函数；此外还缺少微积分的逻辑基础 。 当然,第一目标是扩展微积分的主要内容 。
十八世纪的微积分十八世纪,人们的确扩展了微积分,并创立了一些新的分析分支 。 数学家们对微积分以及随后产生的分析分支做了纯形式的处理 。 在这个经受了挫折,错误,不完全和混乱的处理过程中,虽然他们的技巧是很高超的,但却不是由明确的数学思想指导的,而是由直观和物理见解指引的 。 这些形式的努力经受了后来的批判性检查的考验,并产生了伟大的思想线索 。
人们深深感受到,数学新领域的征服有时超过军事上的征服 。 它大胆地闯入敌人的领土,攻占要塞,然后,就必须由更广阔,更彻底,更谨慎的行动来扩大和支持这些入侵,以保卫那些仅仅暂时地,不牢固地控制了的东西 。
十八世纪试图在微积分中注入严密性十八世纪的数学家和思想家们,没有意识到需要极限的概念 。 又因为他们没有看出使用无穷级数而产生的问题,所以他们天真地认为微积分只是代数的推广 。 对于即使稍微复杂一点的代数函数,基本的积分法还是把函数表示成级数形式 （ 沿用牛顿的方法 ）,再逐项积分 。 数学家们只是将积分技巧从一种有限形式发展到另一种有限形式,仅把积分当作导数或微分的的逆运算 。 他们从来就不问一个积分的存在性 。 好在十八世纪出现的大部分应用问题中,积分都能被明确地求出来,因而也就不会发生积分存在与否的问题 。
在十八世纪初期,就已经出现了两个和三个变量的函数的微积分 （ 多元函数的微积分 ） 。 通常的导数与偏导数的区别在一开始并未被人们明确地认识,因而对两者使用相同的记号 。 而物理意义又要求人们在多个自变量的函数中,考虑只有一个自变量变化的导数 。
两个或多个变量的函数的偏导数研究的主要动力来自偏微分方程方面的工作 。 偏导数的演算是由欧拉研究流体力学问题的一系列文章提供的 。 达朗贝尔在 1744年前后,推广了偏导数的演算 。
在十八世纪,虽然数学家们致力于在微积分中注入严密性,但由于时代的局限性,这项工作显得十分混乱 。 其中比较有代表性的思想是达朗贝尔的工作 。
他在一篇论文中说道：,极限,极限论是微积分的真正抽象 ……,它决不是微分学中的无穷小量的一个问题：它独特地是有限量的极限问题 。 这样,无穷大量和无穷小量相互间较大,较小的空谈,对微分学来说是全然无用的 。,无穷小量仅仅是一种说法,用以避免冗长的极限术语的描述 。 事实上,达朗贝尔给出了极限正确定义的一个极好的近似：一个变量趋近一个固定量,趋近的程度小于任何给定量 。 可惜他没有能结合并利用他的基本准正确思想作出微积分形式的阐述 。
告诫学习微积分的学生们：
坚持,你就会有信心,
达朗贝尔评语尽管几乎十八世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力,或至少表示了他们的看法,其中也有一,两个走对了路的,但他们所有的努力都是没有多大用处的 。 任何棘手的问题都被有意避开或是漠然视之,人们很难区别很大的数与无穷数,数学家们在有限与无限之间随意通行 。 微积分被称为
,计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术,。 尤其是欧拉,拉格朗日这样的大师对微积分微积分严格化的努力的最终结果,是误导了他们的同代人以及后来者,并且搞乱了他们的思想 。 总的来说,他们那么明目张胆地犯错误,以致于人们对数学家能否能清楚他们涉及到的逻辑感到绝望 。
十八世纪的思想家们所采取的论据的一个奇怪地特点是他们求助于,形而上学,,用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系,虽然这个真理体系究竟是什么还不清楚,但如果需要的话,可以用它来检验人们所做的工作 。 莱布尼茨,欧拉等数学家都曾借助于形而上学得出过错误的结论 。 例如,
莱布尼茨曾证明过级数 的和为 1/2,
实际上,该级数无和 。
1111
一般说来,当十七,十八世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时,他们就惯于说这其中的理由是形而上学的 。 因此,在十八世纪结束之际,微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中 。 可以说,
1800年微积分基础方面的状况比 1700年的更差 。 数学巨匠,尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础 。 因为他们是权威,他们的许多同事接受了并不加批判地重复这些观点,甚至将它们进一步发展 。 他们被引上了一条错误的路 。
十九世纪的微积分噢，上帝，为什么二加二等于四？
—— 亚历山大 · 蒲柏历史进入十九世纪,数学陷入更加自相矛盾的处境 。 虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成功远远超过人们的预料,但是,正如十八世纪的人所指出的那样,大量的数学结构没有逻辑基础,因此不能保证数学是正确无误的 。 尽管这种自相矛盾的情况一直存在于十九世纪上半叶,但并不影响许多数学家在开始研究的自然科学的一些新领域中成绩斐然 。
十九世纪的微积分分析 （ 微积分 ） 中的错误在十九世纪继续发展,这方面的例子不胜枚举 。 我们举一个例子：直观上连续函数可以用一条不间断的 （ 连续 ） 曲线来表示,而函数的导数的几何意义就是曲线上点 P 处的切线的斜率 。
十九世纪早期的数学家们都致力于尽可能地运用逻辑方法证明,一个连续函数中任何一点处都有导数存在 。,实际上,这就是要证明,一条连续曲线上,任何一点处的切线均存在 。,只要看下面的图形,就可以知道要证明的东西是错误的 。
此处无切线这样的严重错误在今天对一个大学生来说也是不可原谅的,然而犯错误的却是当时的伟人 —— 傅立叶,柯西,伽罗瓦,勒让德,高斯,还有其他一些名声稍逊,但也成就斐然的数学家 。
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
傅立叶 高斯从 1605年至今,数学分析一直是人们研究的主要对象,连续性和可微性是分析的基本概念,而数学家们对这些基本概念竟然如此模糊不清,对此你就不能不感到震惊 。
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
1890—— 1894年就读于剑桥三一学院的罗素在他的著作,我的哲学发展,中就曾写道：,那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念,就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩 。,
17,18,19世纪，逻辑问题一直困扰着数学家。
如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然,那会是一个严重的错误 。
—— 柯西波尔查诺,柯西,魏尔斯特拉斯和其它一些人的工作给分析提供了严密性 。 这些工作将微积分及其推广从几何概念,运动和直觉了解的完全依赖中解放出来 。 这些研究一开始就造成了巨大轰动 。 在一次科学会议上,柯西提出了级数收敛性理论,会后拉普拉斯急忙赶回家并隐居起来,直到查完他的
,天体力学,中所用到的级数为止 （ 幸亏他用到的级数都是收敛的 ） 。 当魏尔斯特拉斯的工作通过演讲为人们所知时,其影响更为显著 。 但是,分析的严密化并不证明就是基础研究的终结,恰恰相反,
它是新的,更深入的问题研究的开始 。 例如,实数系的逻辑基础是什么？ …… 。
