高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第五讲 常数项级数的概念和性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N

念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第四节 常数项级数的概念和性质一,无穷级数的概念二,级数收敛的必要条件三,无穷级数的基本性质一,无穷级数的概念
1.无穷级数的定义设有数列 {un},u1,u2,…,un,…


n
n
n uuuu 21
1
为一个无穷级数,简称为级数,
称 un 为级数的一般项或通项,
则称表达 式
,
,
1
数则称该级数为常数项级均为常数的每一项若级数 n
n
n uu?

,
)( ),(,
1
数项级数为函则称级数函数一个变量的若级数的每一项均为同

n
nnn xuxuu
下列各式均为常数项级数; 21412121
1


n
n
n; 21
1


nn
n; )1(1111)1( 1
1
1

n
n
n
,co s2co s1co sco s
1


nn
n
例 1
下列各式均为函数项级数
,)1(1)1( 112
1
11

nn
n
nn xxxx
.Rx?
,2210
0


n
n
n
n
n xaxaxaaxa,1||?x
,s i n2s i ns i ns i n
1


nxxxnx
n
.Rx?
例 2
2,级数的敛散性定义无穷级数?

1n
nu 的前 n 项之和：
,21
1
n
n
k
kn uuuuS
称为级数的部分和,
若
SS nnlim
存在,则称级数?

1n
nu 收敛,
S 称为级数的和,,
1
Su
n
n

若 n
n Slim
不存在 ( 包括为?),

1n
nu 发散,则称级数讨论等比级数 的敛散性,?

1
1
n
nar
等比级数的部分和为：

n
k
k
n arS
1
1
当公比 | r | < 1 时, rraS
n
nnn 1
)1(l i ml i m
此时等比级数收敛,其和为：
。 1 raS
解

r
rara n
1
1
r
ra n
1
)1(
,1 ra?
例 3
当公比 | r | > 1 时,,1 )1(l i ml i m
r
raS n
nnn
当公比 r =1时,,l i ml i m
naS nnn
Sn=
a,n为奇数
0,n为偶数当公比 | r | < 1 时,等比级数收敛；
当公比 r =?1时,
当公比 | r |? 1 时,等比级数发散,
综上所述,
,l i m,不存在故 nn S
讨论级数 的敛散性,?

1 )12)(12(
1
n nn
12 112 121)12)(12( 1 nnnn











12
1
12
1
2
1
7
1
5
1
2
1
5
1
3
1
2
1
3
11
2
1
nnS n?


12
11
2
1
n
解
75 153 131 1
例 4
而
12
11
2
1l i ml i m
nS nnn
故 21)12)(12( 1
1


n nn
2
1
即该级数收敛,其和为,21?S
21 )12)(12( 175 153 131 1 nn
二,级数收敛的必要条件若级数?

1n
nu 收敛,则必有,0lim?
nn u
定理
)(l i ml i m 1 nnnnn SSu
1l i ml i m nnnn SS
0 SS
证 设,
1
Su
n
n

,lim SS nn则由于
,1 1)1( lim ||lim
1

n
nu n
nnn
故该级数发散,
,0lim nn u
解例 5,1)1( 1
1 的敛散性判别级数?

n
n
n
n
证明调和级数是发散的,
调和级数的部分和有：
,11?S
，211122 SS






4
1
3
1
2
11
224 SS
证
2
1
2
11?


,
2
21
201?
例 6
,
,
111
2
1
调和中项的与为则称若
cab
bca




1
,1312111
n nn

328 SS
2
31








8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
11
2
1
2
1
2
11?



212 kS k
由数学归纳法,得
，212 kS k
k = 0,1,2,?
而



2
1lim k
k
故 n
n Slim
不存在,即调和级数发散,
三,无穷级数的基本性质有相同的敛散性,且,
11


n
n
n
n uccu
若 c? 0 为常数,则?

1n
ncu?

1n
nu 与
1,性质 1
证?

1n
nu 的部分和为
，?
n
k
kn uS
1

1n
ncu 的部分和为,
11
n
n
k
k
n
k
kn cSuccuS

故 n
nnnnn SccSS limlimlim
同时收敛或同时发散,即 与?

1n
nu?

1n
ncu
且有,
11


n
n
n
n uccu
2,性质 2
,,21
11
SSvu
n
n
n
n 和其和分别为收敛与若


且也收敛则级数,)(
1

n
nn vu
21
1
)( SSvu
n
nn

,
11



n
n
n
n vu
证?

1
)(
n
nn vu 的部分和为：

n
k
kkn vuS
1
)(
)()( 2121 nn vvvuuu
故 )(l i ml i m 21 nnnnn SSS
nn SS 21?
)()()( 2211 nn vuvuvu
2121 l i ml i m SSSS nnnn
即 级数?

1
)(
n
nn vu 收敛,且
21
111
)( SSvuvu
n
n
n
n
n
nn



因为等比级数,31 21
11
收敛与


n
n
n
n
所以级数,3121
1
也收敛?




n
nn
例 7
问 题一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？
是发散的问 题两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？
不一定
,)1( )1(
1
1
1
之和与看看



n
n
n
n
但对收敛级数来说,它的和将改变,
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同,
3,性质 3
kmmmk uuuS21
kmmmm uuuuuu 2121 )(
mkm SS
证
)( 21 muuu
设级数?

1n
nu 的部分和为 Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数?

1mk
ku 的部分和为,kS?
mkmkkk SSS limlim
由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数?

1n
nu 与级数?

1mk
ku
,有相同的敛散性级数仍然收敛,且其和不变,
对收敛的级数加括号后所得到的新在级数运算中,不能随意加上或去掉括号,因为这样做可能改变级数的敛散性,
4,性质 4
问 题收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
不一定
)11()11( 看看问 题发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？
不一定
1111 看看问 题如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？
原级数也发散加括号可引起收敛,
去括号可引起发散,