高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十一讲 无穷小量的比较脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第六节 无穷小量的比较一,无穷小量比较的概念二,关于等阶无穷小的性质和定理设?,? 是同一个极限过程中的两个无穷小量,
则称? 是? 的若
,0l i m?
记为,)(o高阶无穷小,
此时,,lim
也可称? 是? 的低阶无穷小,
若
0lim CC,
为常数,
记为则称? 与? 是同阶无穷小,
,)(O
若
0,0lim kCCk,
为常数,
则称? 为? 的 k 阶无穷小,记为
,)(O k
,,是同阶无穷小与此时 k
则称? 是? 的若
,1lim?
记为,~等阶无穷小,
等价无穷小必是同阶无穷小,
但反之不真,
不存在,但又不是无穷大,若
lim
则称? 与? 是不能比较的无穷小,
x? 0 时的几个无穷小量的比较：
).0( )(o,0lim )1( 2
2
0
xxx
x
x
x
x
xx
x
2s i nl i m )2(
0
,32lims i nlim
00
x
x
x
x
xx
)O(2s i n xxx )0(?x
例 1
x
x
x 20 s i n
c o s1l i m )3(?
2
1
s i n
2
s i n2
lim
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
)0( )( s i nOc o s1 2 xxx
1s i nlim )4(
0
x
x
x
)0( ~s i n xxx
x
x
x 2
2
0 s in
2
s in2
lim
)0,0( ln~1 axaxa x证明
1
ln
1 li m
0
ax
a x
x
即要证
,1 xay令
a
yyx
a ln
)1l n ()1(l o g
ax
a x
x ln
1lim
0
故
)0( ln~1 xaxa x从而且时则,0,0 yx
)1ln (
lim
0 y
y
y 1
)1ln (
1
lim 1
0
y
y
y
有何想法？
例 2
证
).0( ~)1l n (
,
xxx
得到由该例的证明过程
,21co s1l i m 2
0
x
x
x
因为所以 1? cos x = O( x2 ) ( x? 0 ),
)0(
2
1~c o s1 2 xxx还有例 3
xx
x
x
xx
1
s i n li m
1
s i n
li m
00
x? 0 时,
x
x 1si n
不可比较的无穷小,
不存在,但不是无穷大,
与 x 是例 4
二,关于等阶无穷小的性质和定理
1,定理定理 设在某一极限过程中,
,) ( lim 或为若 a
,l i ml i m则
,~,~
证综上所述,
,lim 则设 a
,limlimlimlimlimlim a
,0,0lim,lim 的情形即则设 a
,l i m,0l i m 故于是
,limlim
限过程中的第三个变量,
2,定理
z 是该极设在某极限过程中,,~
limlim zz
( 或为? ),则若
,lim az
定理
zz lim lim,a?
由定理 1,得
0
1lim?
z?
,故 lim? z =?,
综上所述,
设 则,l i m az
z l iml im
则设
,0 1lim z?,lim z?
,limlim zz
证设在某极限过程中,? ~?,? ~?,则? ~?,
3,定理传递性定理无穷小量可以用其等价无穷小量替代,
定理告诉我们,
在计算只含有乘、除法的极限时,
例
,21s i nt anl i m 3
0
x
xx
x
直接计算可得如果在加减法中用等价无穷小量替代,
则会产生错误,
,0lims i nt anlim 3
030
x
xx
x
xx
xx
),~s i n ;~tan,0 ( xxxxx 时?
将常用的等阶无穷小列举如下,
xx ~sin xx ~tan
2
~c o s1
2x
x?
xx ~)1ln (?
m
xxm ~11
2~11
xxnxx n ~1)1(
xe x ~1?
axa x ln~1?
2~s int a n
3x
xx?
xx ~a rc s i n
xx ~a rc t a n
,0,,, aNnm其中当 x? 0 时
x
x
x 5
3lim
0?
5
3?
x
x
x 5s i n
3t a nl i m
0?
x
x
x 5s i n
3t a nlim
0?
求例 5
解
x
x
x
1s i nlim 2
x
x
x
1s i nlim 2
求
xxx
1lim 2
xxlim
例 6
解
x
xx
x t a n
s in21lnlim
0
x
x
x
2
1
li m
0?
x
xx
x t a n
s in21lnlim
0
求
x
x
x t a n
)1ln (
2
1
lim
0
x
x
x t a n
s i n2l i m
0?
x
x
x
2lim
0?
2
12?
例 7
解
3
2 21lnlim
x
x
x
02lim
xx
3
2 21lnlim
x
x
x
求
3
2 2l i m
x
x
x
例 8
解
2
)(
c o s2
lim
0 xba
e bx
x
1
2
)(
)(
lim
2
1
0
xba
xba
x
。,babxax ee
bxax
x
s ins in
lim
0
求
bxax
ee bxax
x s ins in
lim
0
2
)(
s i n
2
)(
c o s2
)1(
lim
)(
0 xbaxba
ee xbabx
x
2
)(
s i n
1
l i m
)(
0 xba
e xba
x?
和差化积例 9
解此题也可先在分子处加 1 减 1
x
bxax nm
x
11l im
0
x
bx
x
ax n
x
m
x
11l im11l im
00
n
b
m
a
x
bx
n
x
ax
m
xx
1
lim
1
lim
00
x
bxax nm
x
)11()11(lim
0
x
bxax nm
x
11l im
0
求例 10
解证明,若在某极限过程中0,0,
,0lim
在某极限过程中,若? ~?,则
1limlim 011l i m1
且 0,则? ~? 的充要条件是例 11
证反之,,0lim若 则
lim )(l i m 101lim1
故,~
55,0 3 32 的几阶无穷小量是时当 xxxx
,55 55 33 32 32 xxxx
由于,555lim55 lim 33
0
3
0 32
3
2
x
x
xx
xx
,32 55,0 3 32 阶无穷小量的是时故 xxxx
)O(55 323 32 xxx
例 12
解
)(lim Cx xf k?
解例 13,)122( lim xxxxx求
,0,,1 于是时则令 yxyx
y
yy
y
11221lim
0
原式
y
y
y
y
y
)11(2121l i m
0
y
y
y
y
yy
11l i m2121l i m
00
,011
变量代换四则运算等价无穷小解例 14,)2co s1co s (1lim 40 x xx求
),0( 2~c o s1
2
得由 xxx
4
2
040 2
)2c o s1(l i m )2c o s1c o s (1l i m
x
x
x
x
xx
,2
8
)2(
l i m
2
2
)2(
l i m 4
4
04
22
0
x
x
x
x
xx
连续两次使用等价无穷小替代,
等价无穷小替代解例 15,)s i n1(lim c o s1
1
2
0
xx
x
xe?
求
x
xexe x
x
xx
x c o s1
)s in1ln (lime x p)s in1(lim 2
0
c o s1
1
2
0
,)0( 2~c o s1,~)1l n (
2
得由 xxxxx
2
2
0
s in 2li me x p
x
xe x
x
,s inli m2li m e x p 22
2
00
ex xe
x
x
x
函数的性质等价无穷小替代重要极限也可再用等价无穷小替代这样做行不行
,~s i n 0,,1s i nl i m 222
2
0
xxexx xe x
x
x
时所以由于
)(1l i m)s i n1(l i m c o s1
1
2
0
c o s1
1
2
0
x
x
xx
x
xxe?
故
,)1(l i m 2
2
2
0
2 ex x
x
) )0(,21~co s1 ( 2 xxx
请看下面的定理,
定理
,等价无穷小量为某极限过程中的两个和设
,)1l i m (,)(lim,)( ax x又在该极限过程中
,)1l i m ()1l i m ( )()( axx则有证 )1l i m ( )1l n ()(l i m)1l n (l i m)( )( xx ee x
)(lim)(lim xx ee
)()1l n (lim)1l n ()(lim xee x
,)1l i m( )( x
).1l n (~)1l n (
,~,
则若还可得到等价无穷小替代解例 16,)( )s in1(
)s in1()s in1)(s in1(li m
1
3
2
Nnx xxx n
n
x
求
,)0( ~11 故由于 xmxxm
x
x
x
x
x
x n
x s in1
s in1
s in1
s in1
s in1
s in1li m 3
2
原式
x
x
x
x
x
x n
x s in1
1)1( s in1
s in1
1)1( s in1
s in1
1)1( s in1li m 3
2
,! 113121 nn 利用初等方法进行变化,使之能用等价无穷小替代,
解例 17,c o sln
c o slim 2
0 x
xe x
x
求
))1( co s1l n (
co s1
))1( co s1l n (
1l i m 2
0 x
x
x
e x
x
原式
))1( c o s1l n (
c o s1l i m
0
x
x
x ))1( c o s1l n (
1lim 2
0
x
e x
x
1c o slim
2
0?
x
x
x 1co s
co s1lim
0?
x
x
x
.~)1l n ( ;2~c o s1,0 2 xxxxx 时
3
解例 18 0),,(,lim 21
11
2
1
1
n
xnx
n
xx
x
aaan aaa求
}lnl i m{ e x p 11211 n aaanx xnxxx原式
11lnl i m ex p
11
2
1
1
n
aaanx xnxx
x
1l i m e x p
11
2
1
1
n
aaanx xnxx
x
)]}1()1()1([l i mex p { 11211 xnxxx axaxax?
,}lnlne x p { l n 2121 nn aaaaaa
axa
xx
x
x ln~1
~)1ln (
0
时解例 19,),co s1(~1)1(,0 3
1
2 axaxx 求常数时已知
,2~c o s1 ;~1,0
2
得时由 xxnxxx n
,
3
2
2
3 l i m
c o s1
1)1(l i m1
2
2
0
3
1
2
0
a
x
ax
x
ax
xx
.23?a故判别级数?
1
)co s1(
n n
x的敛散性,( x > 0为常数 )
由于
2
1
c o s1
l im
n
n
x
n
)0( 02
2
xx?
而?
1
2
1
n n
是 n = 2 的 P 级数,它是收敛的,
解即
,)co s1(
1
收敛?
n n
x故 原级数
，
21
2lim
2
2
2
2
x
n
n
x
n
例 20
解例 21 ).(l i m
2
1
12s i n)(1
l i m,)(l i m
0
300
xf
e
xxf
xf
x
xxx
求且存在已知
,0 )(,)(l i m 0 时有界当故函数存在由于 xxfxfx
02s i n)(l i m 0 得由 xxfx
)0( 2s i n)(21~12s i n)(1 xxxfxxf
从而
,
3
)(l i m
3
2s i n)(
2
1
l i m
1
12s i n)(1 l i m2
0030
xf
x
xxf
e
xxf
xxxx
,6)(lim 0 xfx故,~1,~si n,0 xexxx x 时
.21~11,0 xxx 时
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十一讲 无穷小量的比较脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第六节 无穷小量的比较一,无穷小量比较的概念二,关于等阶无穷小的性质和定理设?,? 是同一个极限过程中的两个无穷小量,
则称? 是? 的若
,0l i m?
记为,)(o高阶无穷小,
此时,,lim
也可称? 是? 的低阶无穷小,
若
0lim CC,
为常数,
记为则称? 与? 是同阶无穷小,
,)(O
若
0,0lim kCCk,
为常数,
则称? 为? 的 k 阶无穷小,记为
,)(O k
,,是同阶无穷小与此时 k
则称? 是? 的若
,1lim?
记为,~等阶无穷小,
等价无穷小必是同阶无穷小,
但反之不真,
不存在,但又不是无穷大,若
lim
则称? 与? 是不能比较的无穷小,
x? 0 时的几个无穷小量的比较：
).0( )(o,0lim )1( 2
2
0
xxx
x
x
x
x
xx
x
2s i nl i m )2(
0
,32lims i nlim
00
x
x
x
x
xx
)O(2s i n xxx )0(?x
例 1
x
x
x 20 s i n
c o s1l i m )3(?
2
1
s i n
2
s i n2
lim
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
)0( )( s i nOc o s1 2 xxx
1s i nlim )4(
0
x
x
x
)0( ~s i n xxx
x
x
x 2
2
0 s in
2
s in2
lim
)0,0( ln~1 axaxa x证明
1
ln
1 li m
0
ax
a x
x
即要证
,1 xay令
a
yyx
a ln
)1l n ()1(l o g
ax
a x
x ln
1lim
0
故
)0( ln~1 xaxa x从而且时则,0,0 yx
)1ln (
lim
0 y
y
y 1
)1ln (
1
lim 1
0
y
y
y
有何想法？
例 2
证
).0( ~)1l n (
,
xxx
得到由该例的证明过程
,21co s1l i m 2
0
x
x
x
因为所以 1? cos x = O( x2 ) ( x? 0 ),
)0(
2
1~c o s1 2 xxx还有例 3
xx
x
x
xx
1
s i n li m
1
s i n
li m
00
x? 0 时,
x
x 1si n
不可比较的无穷小,
不存在,但不是无穷大,
与 x 是例 4
二,关于等阶无穷小的性质和定理
1,定理定理 设在某一极限过程中,
,) ( lim 或为若 a
,l i ml i m则
,~,~
证综上所述,
,lim 则设 a
,limlimlimlimlimlim a
,0,0lim,lim 的情形即则设 a
,l i m,0l i m 故于是
,limlim
限过程中的第三个变量,
2,定理
z 是该极设在某极限过程中,,~
limlim zz
( 或为? ),则若
,lim az
定理
zz lim lim,a?
由定理 1,得
0
1lim?
z?
,故 lim? z =?,
综上所述,
设 则,l i m az
z l iml im
则设
,0 1lim z?,lim z?
,limlim zz
证设在某极限过程中,? ~?,? ~?,则? ~?,
3,定理传递性定理无穷小量可以用其等价无穷小量替代,
定理告诉我们,
在计算只含有乘、除法的极限时,
例
,21s i nt anl i m 3
0
x
xx
x
直接计算可得如果在加减法中用等价无穷小量替代,
则会产生错误,
,0lims i nt anlim 3
030
x
xx
x
xx
xx
),~s i n ;~tan,0 ( xxxxx 时?
将常用的等阶无穷小列举如下,
xx ~sin xx ~tan
2
~c o s1
2x
x?
xx ~)1ln (?
m
xxm ~11
2~11
xxnxx n ~1)1(
xe x ~1?
axa x ln~1?
2~s int a n
3x
xx?
xx ~a rc s i n
xx ~a rc t a n
,0,,, aNnm其中当 x? 0 时
x
x
x 5
3lim
0?
5
3?
x
x
x 5s i n
3t a nl i m
0?
x
x
x 5s i n
3t a nlim
0?
求例 5
解
x
x
x
1s i nlim 2
x
x
x
1s i nlim 2
求
xxx
1lim 2
xxlim
例 6
解
x
xx
x t a n
s in21lnlim
0
x
x
x
2
1
li m
0?
x
xx
x t a n
s in21lnlim
0
求
x
x
x t a n
)1ln (
2
1
lim
0
x
x
x t a n
s i n2l i m
0?
x
x
x
2lim
0?
2
12?
例 7
解
3
2 21lnlim
x
x
x
02lim
xx
3
2 21lnlim
x
x
x
求
3
2 2l i m
x
x
x
例 8
解
2
)(
c o s2
lim
0 xba
e bx
x
1
2
)(
)(
lim
2
1
0
xba
xba
x
。,babxax ee
bxax
x
s ins in
lim
0
求
bxax
ee bxax
x s ins in
lim
0
2
)(
s i n
2
)(
c o s2
)1(
lim
)(
0 xbaxba
ee xbabx
x
2
)(
s i n
1
l i m
)(
0 xba
e xba
x?
和差化积例 9
解此题也可先在分子处加 1 减 1
x
bxax nm
x
11l im
0
x
bx
x
ax n
x
m
x
11l im11l im
00
n
b
m
a
x
bx
n
x
ax
m
xx
1
lim
1
lim
00
x
bxax nm
x
)11()11(lim
0
x
bxax nm
x
11l im
0
求例 10
解证明,若在某极限过程中0,0,
,0lim
在某极限过程中,若? ~?,则
1limlim 011l i m1
且 0,则? ~? 的充要条件是例 11
证反之,,0lim若 则
lim )(l i m 101lim1
故,~
55,0 3 32 的几阶无穷小量是时当 xxxx
,55 55 33 32 32 xxxx
由于,555lim55 lim 33
0
3
0 32
3
2
x
x
xx
xx
,32 55,0 3 32 阶无穷小量的是时故 xxxx
)O(55 323 32 xxx
例 12
解
)(lim Cx xf k?
解例 13,)122( lim xxxxx求
,0,,1 于是时则令 yxyx
y
yy
y
11221lim
0
原式
y
y
y
y
y
)11(2121l i m
0
y
y
y
y
yy
11l i m2121l i m
00
,011
变量代换四则运算等价无穷小解例 14,)2co s1co s (1lim 40 x xx求
),0( 2~c o s1
2
得由 xxx
4
2
040 2
)2c o s1(l i m )2c o s1c o s (1l i m
x
x
x
x
xx
,2
8
)2(
l i m
2
2
)2(
l i m 4
4
04
22
0
x
x
x
x
xx
连续两次使用等价无穷小替代,
等价无穷小替代解例 15,)s i n1(lim c o s1
1
2
0
xx
x
xe?
求
x
xexe x
x
xx
x c o s1
)s in1ln (lime x p)s in1(lim 2
0
c o s1
1
2
0
,)0( 2~c o s1,~)1l n (
2
得由 xxxxx
2
2
0
s in 2li me x p
x
xe x
x
,s inli m2li m e x p 22
2
00
ex xe
x
x
x
函数的性质等价无穷小替代重要极限也可再用等价无穷小替代这样做行不行
,~s i n 0,,1s i nl i m 222
2
0
xxexx xe x
x
x
时所以由于
)(1l i m)s i n1(l i m c o s1
1
2
0
c o s1
1
2
0
x
x
xx
x
xxe?
故
,)1(l i m 2
2
2
0
2 ex x
x
) )0(,21~co s1 ( 2 xxx
请看下面的定理,
定理
,等价无穷小量为某极限过程中的两个和设
,)1l i m (,)(lim,)( ax x又在该极限过程中
,)1l i m ()1l i m ( )()( axx则有证 )1l i m ( )1l n ()(l i m)1l n (l i m)( )( xx ee x
)(lim)(lim xx ee
)()1l n (lim)1l n ()(lim xee x
,)1l i m( )( x
).1l n (~)1l n (
,~,
则若还可得到等价无穷小替代解例 16,)( )s in1(
)s in1()s in1)(s in1(li m
1
3
2
Nnx xxx n
n
x
求
,)0( ~11 故由于 xmxxm
x
x
x
x
x
x n
x s in1
s in1
s in1
s in1
s in1
s in1li m 3
2
原式
x
x
x
x
x
x n
x s in1
1)1( s in1
s in1
1)1( s in1
s in1
1)1( s in1li m 3
2
,! 113121 nn 利用初等方法进行变化,使之能用等价无穷小替代,
解例 17,c o sln
c o slim 2
0 x
xe x
x
求
))1( co s1l n (
co s1
))1( co s1l n (
1l i m 2
0 x
x
x
e x
x
原式
))1( c o s1l n (
c o s1l i m
0
x
x
x ))1( c o s1l n (
1lim 2
0
x
e x
x
1c o slim
2
0?
x
x
x 1co s
co s1lim
0?
x
x
x
.~)1l n ( ;2~c o s1,0 2 xxxxx 时
3
解例 18 0),,(,lim 21
11
2
1
1
n
xnx
n
xx
x
aaan aaa求
}lnl i m{ e x p 11211 n aaanx xnxxx原式
11lnl i m ex p
11
2
1
1
n
aaanx xnxx
x
1l i m e x p
11
2
1
1
n
aaanx xnxx
x
)]}1()1()1([l i mex p { 11211 xnxxx axaxax?
,}lnlne x p { l n 2121 nn aaaaaa
axa
xx
x
x ln~1
~)1ln (
0
时解例 19,),co s1(~1)1(,0 3
1
2 axaxx 求常数时已知
,2~c o s1 ;~1,0
2
得时由 xxnxxx n
,
3
2
2
3 l i m
c o s1
1)1(l i m1
2
2
0
3
1
2
0
a
x
ax
x
ax
xx
.23?a故判别级数?
1
)co s1(
n n
x的敛散性,( x > 0为常数 )
由于
2
1
c o s1
l im
n
n
x
n
)0( 02
2
xx?
而?
1
2
1
n n
是 n = 2 的 P 级数,它是收敛的,
解即
,)co s1(
1
收敛?
n n
x故 原级数
，
21
2lim
2
2
2
2
x
n
n
x
n
例 20
解例 21 ).(l i m
2
1
12s i n)(1
l i m,)(l i m
0
300
xf
e
xxf
xf
x
xxx
求且存在已知
,0 )(,)(l i m 0 时有界当故函数存在由于 xxfxfx
02s i n)(l i m 0 得由 xxfx
)0( 2s i n)(21~12s i n)(1 xxxfxxf
从而
,
3
)(l i m
3
2s i n)(
2
1
l i m
1
12s i n)(1 l i m2
0030
xf
x
xxf
e
xxf
xxxx
,6)(lim 0 xfx故,~1,~si n,0 xexxx x 时
.21~11,0 xxx 时
