高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第六讲 常数项级数的审敛法脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第五节 常数项级数的审敛法一,正项级数的审敛法二,任意项级数的敛散性常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数一,正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法
1.正项级数的定义若级数?
1n
nu
则称之为正项级数,
定义 满足
,),2,1( 0 nu n
实质上应是非负项级数收敛
1
n
nu
2.正项级数收敛的充要条件正项级数
{Sn} 有界,
定理
它的部分和数列正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限在某极限过程中有极限的量必界级数 是否收敛？
1 12
1
n
n
该级数为正项级数,又有
nn 2
1
12
1?
(n =1,2,…)
故 当 n? 1 时,有
n
k
k
n
k
knS
11 2
1
12
1
即其部分和数列 {Sn} 有界,从而,级数,12 1
1
收敛?
n
n
解
2
1
1
2
1
1
2
1
n
1211 n
例 1
3,正项级数敛散性的比较判别法且 0? un? vn ( n = 1,2,… )
,
11
n
n
n
n vu 与设有正项级数
,,( 1 )
11
收敛则收敛若
n
n
n
n uv
,,( 2 )
11
发散则发散若
n
n
n
n vu
大收小收,小发大发,
记,
1
n
k
kn uS,
1
n
k
kn vG
0? un? vn (n = 1,2,…)
0? Sn? Gn
证 (1)
,,
1
有界则部分和收敛若 n
n
n Gv?
,
1
也有界的部分和从而 n
n
n Su?
,
1
收敛故级数?
n
nu
记
,
1
n
k
kn uS,
1
n
k
kn vG
0? un? vn (n = 1,2,…)
0? Sn? Gn
,,
11
n
nn
n
n vSu 从而无界则部分和发散若
,,
1
发散故级数也无界的部分和?
n
nn vG
证 (2)
判断级数?
1 3
s in2
n
n
n x的敛散性,( 0 < x < 3? )
由于
,
3
2
3
2
3
s i n20 xxx
n
n
n
n
n?
又,3
2
3
2
11
n
n
n
n
xx
由等比级数的敛散性可知,原级数收敛,
解例 2
讨论 P 级数?
1
1
n
pn ( p > 0 ) 的敛散性,
当 p＝ 1时,P 级数为调和级数,,1
1
n n
它是发散的,
当 0 < p < 1 时,有
,110 p
nn
由比较判别法,P 级 数此时是发散的,
解
,,1 级数是发散的时故 Pp?
例 3
当 p >1 时,按 1,2,22,23,…,2 n,… 项
7 15 14 13 12 111
1
ppppp
n
pn?
而 12 12 12 13 12 1 ppppp
对 P 级数加括号,不影响其敛散性：
ppp 15
1
9
1
8
1
pppp 4
1
4
1
4
1
4
1
ppp 7
1
5
1
4
1?
ppp 15
1
9
1
8
1?
ppp 8
1
8
1
8
1?
……………………………………
2
11 2
1
4
1
pp
3
11 2
1
8
1
pp
故当 p >1 时,P 级数收敛,
综上所述,
当 p > 1 时,P 级数收敛,
当 p? 1 时,P 级数发散,
,数的每一项均级数加括号后生成的级于是 P
,12 1 1 应项为公比的等比级数的相小于以pr
4.比较判别法的极限形式;,2,1( 0, nv n且设和为两个正项级数
,lim ),0 则若开始或从某一项
n
n
n v
uN
,,0 ) 1(
11
具有相同的敛散性与时
n
n
n
n vu?
.,0 )2(
11
收敛收敛时
n
n
n
n uv?
.,)3(
11
发散发散时
n
n
n
n uv?
由于
n
n
n v
ulim ( 0 <?< +? )
故 > 0,? N > 0,当 n >N 时,
成立，即
n
n
v
u
nnn vuv )()(
不妨取
，2
nnn vuv 2
3
2
运用比较判别法可知,
11
n
n
n
n vu 与 具有相同的敛散性,
证 (1)
,,00 时当则 NnN
当 0 <? < +? 时,
由于
0lim?
n
n
n v
u (?= 0 )
取? =1 时,? N > 0,当 n > N 时,,1 即?
n
n
v
u
故由比较判别法,当? = 0 时,
,
11
收敛收敛
n
n
n
n uv
证 (2)
,0 nn vu
由于
n
n
n v
ulim (? = )
M > 0 (不妨取 M > 1),
1 M
v
u
n
n
即由比较判别法,
发散
1
n
nv
证 (3)
故
发散
1
n
nu
N > 0,当 n > N 时,
当?= 时,
0? vn < un
判别级数?
1
22
1
n an
的敛散性 ( a > 0 为常数 ).
因为 1
1
1
l i m
22
n
an
n
( 即? = 1 为常数 )
又?
1
1
n n
是调和级数,它是发散的,
1
22
1
n an
发散,
解原级数故例 4
,! )2( ! ! 2! 1
1
的敛散性判别级数?
n n
n?
解 ! )2( )! ( ! )2( ! ! 2! 1 nnnn nu n
)12()2)(1(2
1
nnn? nvnn )2)(1(2
1
,
2
1
1
)2)(1(2
1
l i m
2
n
nn
n
而
,210即由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
,,)2)(1(2 1
11
从而原级数收敛收敛
n
n
n
vnn
例 5
5.达朗贝尔比值判别法
,l i m,1
1
则存在极限为正项级数设
n
n
nn n u
uu
(1)? < 1时,级数收敛；
(2)? > 1 ( 包括? = ) 时,级数发散；
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
利用级数本身来进行判别,
判别级数?
1
2
2
n
n
n
x 的敛散性,其中,x? 0 为常数,
2
2
2
)1(2
1 )1(limlim
n
x
n
x
u
u
n
n
n
n
n
n
即? = x2,由达朗贝尔判别法：
解 记
，2
2
n
xu n
n?
则
2
2
22
)1(l im xn
xn
n
需要讨论 x 的取值范围例 6
当 0 < | x | < 1 时,? < 1,级数收敛,
当 | x | > 1 时,? > 1,级数发散,
当 | x | =1 时,? = 1,但原级数此时为
1
2
1
2
2 1
nn
n
nn
x
这是 n = 2 的 P 级数,是收敛的,
综上所述,当 0 < | x |? 1 时,原级数收敛,
当 | x | > 1 时,原级数发散,
)0(,!
1
xn nx
n
n
n
的敛散性判别级数解 这是一个正项级数,),0( ! xn nxu nnn
! )1(
! )1(l i ml i m
1
1
1
nx
n
n
nx
u
u
n
n
n
n
nn
n
n
,
1
1
lim
e
x
n
x
nn?
1)( ;,0原级数收敛时当 ex
1)( ;,原级数发散时当 xe
,1)( 时当ex
,,}{ 1 euu n 又故,,0l i m,原级数发散从而?
nn u
单调增加有上界,
以 e 为极限,
1,
1
1
e1
n
n
n
n
u
u
例 7
,2lim n
n
n
求
,2,2
1
而为正项级数则级数令?
n
nnn
nnu
1 ),21 ( 212 2 )1(limlim 11
即n
n
nn
n
n n
n
u
u
由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛,
由级数收敛的必要条件得
,02lim?
nn
n
利用级数知识求某些数列得极限,
例 8
解达朗贝尔 ( D’Aiember Jean Le Rond )是法国物理学家、数学家。 1717年 11月生于巴黎，
1783年 10月卒于巴黎。
达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。
达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。
达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。 1741年 24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。 1754年成为法国科学院终身院士。
达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。
达朗贝尔的研究工作偏向于应用。 1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的,作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。 1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。 1752年首先用微分方程表示场。
达朗贝尔终身未婚。 1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。
6,柯西根值判别法
,l i m,
1
则存在极限为正项级数设 n n
nn n
uu
(1)? < 1 时,级数收敛；
(2)? > 1 ( 包括? = )时,级数发散；
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
)0(,1
1
2
aaa
n
n
n
的敛散性判别级数解,,21,1
1
显然是发散的原级数为时当?
n
a
,11lim1lim,10 22
aaaaaa n n
n
n
n
n
n
时当
,1
1
1
1
1
l i m
1
l i m,1
22
a
a
a
a
a
a n
n
n
n
n
n
n
n
时当
,,1 0 原级数收敛时且故 aa
例 10
判别?
1n
n
a
x 的敛散性,( x > 0,a > 0 为常数 )
记 则,
n
n a
xu?
n
n
n
n
nn a
xu?
limlim解 axax
n
l i m
即,,由柯西根值判别法ax
当 x > a 时,.,1 级数发散
a
x?
当 0 < x < a 时,.,1 级数收敛
a
x?
当 x = a 时,? = 1,但
ax
n
nnn a
xu
limlim 11lim
n
故此时原级数发散,（级数收敛的必要条件）
例 11
当 0 < x < a 时,原级数收敛 ;
当 x? a 时,原级数发散,
综上所述,
二,任意项级数的敛散性
1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,
nn uuuuu 14321 )1(
或
nn uuuuu )1(4321
其中,un? 0 ( n = 1,2,… ).
它的一般形式为定义
(莱布尼兹判别法 )
1
1)1(
n
n
n u满足条件,
(1)
(2) un? un+1 ( n =1,2,… )
则交错级数收敛,且其和 S 的值小于 u1,
0l i m nn u
(级数收敛的必要条件 )
定理若交错级数
(单调减少 )
12212432112 mmmm uuuuuuuS?
122 mm uS
0 (由已知条件 )
证明的关键在于它的极限是否存在？
只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在,
mS2
证 1) 取交错级前 2m 项之和
mmm uuuuuuS 21243212
)()()( 2124321 mm uuuuuu
由条件 (2),得 S2m? 及
)()( 543212 uuuuuS m
121222 )( uuuu mmm
由极限存在准则,.,l i m 12 uSSS m
m 且存在
un? un+1,un? 0,
2) 取交错级数的前 2m +1 项之和
12212432112 mmmm uuuuuuuS?
由条件 1),
故,0l i m nn u
)(l i ml i m 12212 mmmmm uSS
综上所述,有 。，且 l i m 1uSSS n
n
122 mm uS
SuS mmmm 122 l i ml i m
讨论级数?
1
)1(
n
n
n 的敛散性,
这是一个交错级数：
nu n
1?
又
01l i ml i m
n
u
nnn
11
11
nn unnu
由莱布尼兹判别法,该级数是收敛,
解例 12
,!! )2( !! )12()1(
1
1 的敛散性判别级数?
n
n
n
n
解 !! )2)(22( !! )12)(12(!! )2( !! )12(1 nn nnnnu n,!! )2( !! )12( nunn
,)0( 11 可得又由不等式 abbaba
2
1
4
3
6
5
22
32
2
12
n
n
n
nu
n
12
2
n
n
3
2
5
4
7
6
12
22
n
n
!! )1(2
!! )2(
n
n
)12(
1
nu n
,012 1l i m,12 10
nn
u
nn
且从而由莱布尼茨判别法,原级数收敛,
,0lim nn u故例 13
微积分学的创始人之一数学大师莱布尼茨
Friedrich,Leibniz
(1646~1716年 )
莱布尼茨（ Leibniz）
莱布尼茨 (1646~1716年 ) 是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家 。 他研究法律,在答辩了关于逻辑的论文后,得到哲学学士学位 。 1666年以论文,论组合的艺术,获得阿尔特道夫大学哲学博士学位,同时获得该校的教授席位 。
1671年,他制造了他的计算机 。 1672 年 3月作为梅因兹的选帝侯大使,政治出差导巴黎 。 这次访问使他同数学家和科学家有了接触,激起了他对数学的兴趣 。 可以说,在此之前 （ 1672年前 ） 莱布尼茨基本上不懂数学 。
1673年他到伦敦,遇到另一些数学家和科学家,促使他更加深入地钻研数学 。 虽然莱布尼茨靠做外交官生活,卷入各种政治活动,但他的科学研究工作领域是广泛的,他的业余生活的活动范围是庞大的 。
除了是外交官外,莱布尼茨还是哲学家,法学家,历史学家,语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学,力学,数学,流体静力学,气体学,航海学和计算机方面做了重要工作 。 虽然他的教授席位是法学的,但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中 。 他用通信保持和人们的接触,最远的到锡兰 （ Ceylon） 和中国 。
他于 1669年提议建立德国科学院,从事对人类有益的力学中的发明和化学,生理学方面的发现 （ 1700 年柏林科学院成立 ） 。
莱布尼茨从 1684年开始发表论文,但他的许多成果以及他的思想的发展,实际上都包含在他从 1673年起写的,但从未发表过的成百的笔记本中 。 从这些笔记本中人们可以看到,他从一个课题跳到另一个课题,并随着他的思想的发展而改变他所用的记号 。 有些是它在研究格雷戈里,费马,帕斯卡,巴罗的书和文章时,或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想 。
1714年莱布尼茨写了,微分学的历史和起源,,在这本书中,他给出了一些关于自己思想发展的记载,由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名,所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载 。 不管他的笔记本多么混乱,都揭示了一个最伟大的才智,怎样为了达到理解和创造而奋斗 。
特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到,微分与积分
（ 看作是和 ） 必定是相反的过程； 1676 年 6月 23日的手稿中,
他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx,其中 dy,dx 是变量的差,dy/dx 是差的商 。 莱布尼茨的工作,虽然富于启发性而且意义深远,但它是十分零乱不全的,以致几乎不能理解 。 幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工,并做了大量的发展工作 。
1716年，他无声无息地死去。
2.任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对敛和条件收敛定义
,,||
11
是绝对收敛的则称原级数收敛若级数
n
n
n
n uu
,
,||,
111
是条件收敛的则称原级数发散但收敛若级数
n
n
n
n
n
n uuu
定理
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
证? un? | un |
||2||0 nnn uuu
,||
1
收敛已知?
n
nu,)||(
1
收敛故?
n
nn uu
从而,]||)||([
11
收敛
n
nnn
n
n uuuu
,,||
11
必收敛则级数收敛若
n
n
n
n uu
(1)? < 1 时,级数绝对收敛,
(2)? > 1 (包括? = ) 时,级数发散,
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
定理 (达朗贝尔判别法 )
则存在若设有级数,|| ||lim,1
1
n
n
nn n u
uu
解 33 1co s||
nn
xu
n
由 P 级数的敛散性,,1
1
3 收敛?
n n
,||
1
收敛故?
n
nu即原级数绝对收敛,
判别级数?
1
3
c o s
n n
x的敛散性,
为常数）（ x例 14
记
n
n
n x
xu
1
|)1(|
|)1(|l i m
||
||l i m
1
1
1
nn
nn
n
n
n
n xx
xx
u
u
1||,1
1 ||,||
1
lim 1
1
x
xx
x
xx
n
n
n
解判别?
1 1n
n
n
x
x 的敛散性,其中,x1
为常数,
例 15
当 | x | < 1 时,?= | x | < 1,原级数绝对收敛,
当 | x | > 1 时,?= 1,此时不能判断其敛散性,
由达朗贝尔判别法：
但 | x | > 1 时,
01
1
lim||lim
n
n
nnn x
x
u
原级数发散,
级数?
1
1
1
1)1(
n
n
n是否绝对收敛?
1
1
1
1)1( 1
nn
n解由调和级数的发散性可知,,11
1
发散?
n n
故?
1
1
1
1)1(
n
n
n发散,
1
1
n
例 16
但原级数是一个交错级数,且满足：
,1)1( 12111 1 nn unnnu
故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的,
由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛,
,0lim nn u
(2) 绝对收敛级数的性质性质 1,任意交换绝对收敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变,
性质 2,两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积,
(3) 任意项级数敛散性的一个判别法
(狄利克雷判别法 )定理其中,M > 0 为与 n 无关的常数,
单调递减趋于零部分和有界
,1,
1
有若对任意的设有级数
nvu
n
nn; 0l i m 1 nnnn uuu 且
,,2,1,||
1
nMv
n
n又
,
1
收敛则级数?
n
nn vu
判别级数?
1
c o s
n n
nx的敛散性,
其中,x? 2k?,k?Z,
11
11
nn unnu
01limlim
n
u
nnn
解 则记,co s,1 nxvnu nn
,,2,1n
单调递减趋于零例 17
又
c o s2s i n2)21s i n ()21s i n ( kxxxkxk
xxxx c o s2s i n2)211s i n ()211s i n (
xxxx 2c o s2s i n2)212s i n ()212s i n (
xxxx 3c o s2s i n2)213s i n ()213s i n (
nxxxnxn c o s2s i n2)21s i n ()21s i n (
而 x? 2k?,k?Z,于是,02s in?x
且
，
2
s in2
2
1
s in)
2
1
s in (
c o s
1 x
xxn
kx
n
k
故 |c o s|||
11
n
k
n
k
k kxv
由狄利克雷判别法,?
1
c o s
n n
nx( x? 2k?,k?Z ) 收敛,
,
|
2
s in|
1 M
x
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第六讲 常数项级数的审敛法脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第五节 常数项级数的审敛法一,正项级数的审敛法二,任意项级数的敛散性常数项级数正项级数交错级数任意项级数一般项级数一,正项级数的审敛法正项级数收敛的充要条件比较判别法达朗贝尔比值判别法柯西根值判别法
1.正项级数的定义若级数?
1n
nu
则称之为正项级数,
定义 满足
,),2,1( 0 nu n
实质上应是非负项级数收敛
1
n
nu
2.正项级数收敛的充要条件正项级数
{Sn} 有界,
定理
它的部分和数列正项级数的部分和数列是单调增加的单调有界的数列必有极限在某极限过程中有极限的量必界级数 是否收敛？
1 12
1
n
n
该级数为正项级数,又有
nn 2
1
12
1?
(n =1,2,…)
故 当 n? 1 时,有
n
k
k
n
k
knS
11 2
1
12
1
即其部分和数列 {Sn} 有界,从而,级数,12 1
1
收敛?
n
n
解
2
1
1
2
1
1
2
1
n
1211 n
例 1
3,正项级数敛散性的比较判别法且 0? un? vn ( n = 1,2,… )
,
11
n
n
n
n vu 与设有正项级数
,,( 1 )
11
收敛则收敛若
n
n
n
n uv
,,( 2 )
11
发散则发散若
n
n
n
n vu
大收小收,小发大发,
记,
1
n
k
kn uS,
1
n
k
kn vG
0? un? vn (n = 1,2,…)
0? Sn? Gn
证 (1)
,,
1
有界则部分和收敛若 n
n
n Gv?
,
1
也有界的部分和从而 n
n
n Su?
,
1
收敛故级数?
n
nu
记
,
1
n
k
kn uS,
1
n
k
kn vG
0? un? vn (n = 1,2,…)
0? Sn? Gn
,,
11
n
nn
n
n vSu 从而无界则部分和发散若
,,
1
发散故级数也无界的部分和?
n
nn vG
证 (2)
判断级数?
1 3
s in2
n
n
n x的敛散性,( 0 < x < 3? )
由于
,
3
2
3
2
3
s i n20 xxx
n
n
n
n
n?
又,3
2
3
2
11
n
n
n
n
xx
由等比级数的敛散性可知,原级数收敛,
解例 2
讨论 P 级数?
1
1
n
pn ( p > 0 ) 的敛散性,
当 p＝ 1时,P 级数为调和级数,,1
1
n n
它是发散的,
当 0 < p < 1 时,有
,110 p
nn
由比较判别法,P 级 数此时是发散的,
解
,,1 级数是发散的时故 Pp?
例 3
当 p >1 时,按 1,2,22,23,…,2 n,… 项
7 15 14 13 12 111
1
ppppp
n
pn?
而 12 12 12 13 12 1 ppppp
对 P 级数加括号,不影响其敛散性：
ppp 15
1
9
1
8
1
pppp 4
1
4
1
4
1
4
1
ppp 7
1
5
1
4
1?
ppp 15
1
9
1
8
1?
ppp 8
1
8
1
8
1?
……………………………………
2
11 2
1
4
1
pp
3
11 2
1
8
1
pp
故当 p >1 时,P 级数收敛,
综上所述,
当 p > 1 时,P 级数收敛,
当 p? 1 时,P 级数发散,
,数的每一项均级数加括号后生成的级于是 P
,12 1 1 应项为公比的等比级数的相小于以pr
4.比较判别法的极限形式;,2,1( 0, nv n且设和为两个正项级数
,lim ),0 则若开始或从某一项
n
n
n v
uN
,,0 ) 1(
11
具有相同的敛散性与时
n
n
n
n vu?
.,0 )2(
11
收敛收敛时
n
n
n
n uv?
.,)3(
11
发散发散时
n
n
n
n uv?
由于
n
n
n v
ulim ( 0 <?< +? )
故 > 0,? N > 0,当 n >N 时,
成立，即
n
n
v
u
nnn vuv )()(
不妨取
，2
nnn vuv 2
3
2
运用比较判别法可知,
11
n
n
n
n vu 与 具有相同的敛散性,
证 (1)
,,00 时当则 NnN
当 0 <? < +? 时,
由于
0lim?
n
n
n v
u (?= 0 )
取? =1 时,? N > 0,当 n > N 时,,1 即?
n
n
v
u
故由比较判别法,当? = 0 时,
,
11
收敛收敛
n
n
n
n uv
证 (2)
,0 nn vu
由于
n
n
n v
ulim (? = )
M > 0 (不妨取 M > 1),
1 M
v
u
n
n
即由比较判别法,
发散
1
n
nv
证 (3)
故
发散
1
n
nu
N > 0,当 n > N 时,
当?= 时,
0? vn < un
判别级数?
1
22
1
n an
的敛散性 ( a > 0 为常数 ).
因为 1
1
1
l i m
22
n
an
n
( 即? = 1 为常数 )
又?
1
1
n n
是调和级数,它是发散的,
1
22
1
n an
发散,
解原级数故例 4
,! )2( ! ! 2! 1
1
的敛散性判别级数?
n n
n?
解 ! )2( )! ( ! )2( ! ! 2! 1 nnnn nu n
)12()2)(1(2
1
nnn? nvnn )2)(1(2
1
,
2
1
1
)2)(1(2
1
l i m
2
n
nn
n
而
,210即由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
,,)2)(1(2 1
11
从而原级数收敛收敛
n
n
n
vnn
例 5
5.达朗贝尔比值判别法
,l i m,1
1
则存在极限为正项级数设
n
n
nn n u
uu
(1)? < 1时,级数收敛；
(2)? > 1 ( 包括? = ) 时,级数发散；
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
利用级数本身来进行判别,
判别级数?
1
2
2
n
n
n
x 的敛散性,其中,x? 0 为常数,
2
2
2
)1(2
1 )1(limlim
n
x
n
x
u
u
n
n
n
n
n
n
即? = x2,由达朗贝尔判别法：
解 记
，2
2
n
xu n
n?
则
2
2
22
)1(l im xn
xn
n
需要讨论 x 的取值范围例 6
当 0 < | x | < 1 时,? < 1,级数收敛,
当 | x | > 1 时,? > 1,级数发散,
当 | x | =1 时,? = 1,但原级数此时为
1
2
1
2
2 1
nn
n
nn
x
这是 n = 2 的 P 级数,是收敛的,
综上所述,当 0 < | x |? 1 时,原级数收敛,
当 | x | > 1 时,原级数发散,
)0(,!
1
xn nx
n
n
n
的敛散性判别级数解 这是一个正项级数,),0( ! xn nxu nnn
! )1(
! )1(l i ml i m
1
1
1
nx
n
n
nx
u
u
n
n
n
n
nn
n
n
,
1
1
lim
e
x
n
x
nn?
1)( ;,0原级数收敛时当 ex
1)( ;,原级数发散时当 xe
,1)( 时当ex
,,}{ 1 euu n 又故,,0l i m,原级数发散从而?
nn u
单调增加有上界,
以 e 为极限,
1,
1
1
e1
n
n
n
n
u
u
例 7
,2lim n
n
n
求
,2,2
1
而为正项级数则级数令?
n
nnn
nnu
1 ),21 ( 212 2 )1(limlim 11
即n
n
nn
n
n n
n
u
u
由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛,
由级数收敛的必要条件得
,02lim?
nn
n
利用级数知识求某些数列得极限,
例 8
解达朗贝尔 ( D’Aiember Jean Le Rond )是法国物理学家、数学家。 1717年 11月生于巴黎，
1783年 10月卒于巴黎。
达朗贝尔是私生子，出生后被母亲遗弃在巴黎一教堂附近，被一宪兵发现，临时用该教堂的名字作为婴儿的名字。后被生父找回，寄养在一工匠家里。
达朗贝尔少年时就读于一个教会学校，对数学特别感兴趣。
达朗贝尔没有受过正规的大学教育，靠自学掌握了牛顿等大科学家的著作。 1741年 24岁的达朗贝尔因研究工作出色进入法国科学院工作。 1754年成为法国科学院终身院士。
达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。
达朗贝尔的研究工作偏向于应用。 1743年提出了被称之为达朗贝尔原理的,作用于一个物体的外力与动力的反作用之和为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精力学问题的一般方法。 1747年在研究弦振动问题时得到了一维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。 1752年首先用微分方程表示场。
达朗贝尔终身未婚。 1776年由于工作不顺利，加之好友勒皮纳斯小姐去世，使他陷入极度悲伤和失望中。达朗贝尔去世后，由于他反宗教的表现，巴黎市政府拒绝为他举行葬礼。
6,柯西根值判别法
,l i m,
1
则存在极限为正项级数设 n n
nn n
uu
(1)? < 1 时,级数收敛；
(2)? > 1 ( 包括? = )时,级数发散；
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
)0(,1
1
2
aaa
n
n
n
的敛散性判别级数解,,21,1
1
显然是发散的原级数为时当?
n
a
,11lim1lim,10 22
aaaaaa n n
n
n
n
n
n
时当
,1
1
1
1
1
l i m
1
l i m,1
22
a
a
a
a
a
a n
n
n
n
n
n
n
n
时当
,,1 0 原级数收敛时且故 aa
例 10
判别?
1n
n
a
x 的敛散性,( x > 0,a > 0 为常数 )
记 则,
n
n a
xu?
n
n
n
n
nn a
xu?
limlim解 axax
n
l i m
即,,由柯西根值判别法ax
当 x > a 时,.,1 级数发散
a
x?
当 0 < x < a 时,.,1 级数收敛
a
x?
当 x = a 时,? = 1,但
ax
n
nnn a
xu
limlim 11lim
n
故此时原级数发散,（级数收敛的必要条件）
例 11
当 0 < x < a 时,原级数收敛 ;
当 x? a 时,原级数发散,
综上所述,
二,任意项级数的敛散性
1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数,
nn uuuuu 14321 )1(
或
nn uuuuu )1(4321
其中,un? 0 ( n = 1,2,… ).
它的一般形式为定义
(莱布尼兹判别法 )
1
1)1(
n
n
n u满足条件,
(1)
(2) un? un+1 ( n =1,2,… )
则交错级数收敛,且其和 S 的值小于 u1,
0l i m nn u
(级数收敛的必要条件 )
定理若交错级数
(单调减少 )
12212432112 mmmm uuuuuuuS?
122 mm uS
0 (由已知条件 )
证明的关键在于它的极限是否存在？
只需证级数部分和 Sn 当 n 时极限存在,
mS2
证 1) 取交错级前 2m 项之和
mmm uuuuuuS 21243212
)()()( 2124321 mm uuuuuu
由条件 (2),得 S2m? 及
)()( 543212 uuuuuS m
121222 )( uuuu mmm
由极限存在准则,.,l i m 12 uSSS m
m 且存在
un? un+1,un? 0,
2) 取交错级数的前 2m +1 项之和
12212432112 mmmm uuuuuuuS?
由条件 1),
故,0l i m nn u
)(l i ml i m 12212 mmmmm uSS
综上所述,有 。，且 l i m 1uSSS n
n
122 mm uS
SuS mmmm 122 l i ml i m
讨论级数?
1
)1(
n
n
n 的敛散性,
这是一个交错级数：
nu n
1?
又
01l i ml i m
n
u
nnn
11
11
nn unnu
由莱布尼兹判别法,该级数是收敛,
解例 12
,!! )2( !! )12()1(
1
1 的敛散性判别级数?
n
n
n
n
解 !! )2)(22( !! )12)(12(!! )2( !! )12(1 nn nnnnu n,!! )2( !! )12( nunn
,)0( 11 可得又由不等式 abbaba
2
1
4
3
6
5
22
32
2
12
n
n
n
nu
n
12
2
n
n
3
2
5
4
7
6
12
22
n
n
!! )1(2
!! )2(
n
n
)12(
1
nu n
,012 1l i m,12 10
nn
u
nn
且从而由莱布尼茨判别法,原级数收敛,
,0lim nn u故例 13
微积分学的创始人之一数学大师莱布尼茨
Friedrich,Leibniz
(1646~1716年 )
莱布尼茨（ Leibniz）
莱布尼茨 (1646~1716年 ) 是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家 。 他研究法律,在答辩了关于逻辑的论文后,得到哲学学士学位 。 1666年以论文,论组合的艺术,获得阿尔特道夫大学哲学博士学位,同时获得该校的教授席位 。
1671年,他制造了他的计算机 。 1672 年 3月作为梅因兹的选帝侯大使,政治出差导巴黎 。 这次访问使他同数学家和科学家有了接触,激起了他对数学的兴趣 。 可以说,在此之前 （ 1672年前 ） 莱布尼茨基本上不懂数学 。
1673年他到伦敦,遇到另一些数学家和科学家,促使他更加深入地钻研数学 。 虽然莱布尼茨靠做外交官生活,卷入各种政治活动,但他的科学研究工作领域是广泛的,他的业余生活的活动范围是庞大的 。
除了是外交官外,莱布尼茨还是哲学家,法学家,历史学家,语言学家和先驱的地质学家,他在逻辑学,力学,数学,流体静力学,气体学,航海学和计算机方面做了重要工作 。 虽然他的教授席位是法学的,但他在数学和哲学方面的著作被列于世界上曾产生过的最优秀的著作中 。 他用通信保持和人们的接触,最远的到锡兰 （ Ceylon） 和中国 。
他于 1669年提议建立德国科学院,从事对人类有益的力学中的发明和化学,生理学方面的发现 （ 1700 年柏林科学院成立 ） 。
莱布尼茨从 1684年开始发表论文,但他的许多成果以及他的思想的发展,实际上都包含在他从 1673年起写的,但从未发表过的成百的笔记本中 。 从这些笔记本中人们可以看到,他从一个课题跳到另一个课题,并随着他的思想的发展而改变他所用的记号 。 有些是它在研究格雷戈里,费马,帕斯卡,巴罗的书和文章时,或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想 。
1714年莱布尼茨写了,微分学的历史和起源,,在这本书中,他给出了一些关于自己思想发展的记载,由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名,所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载 。 不管他的笔记本多么混乱,都揭示了一个最伟大的才智,怎样为了达到理解和创造而奋斗 。
特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到,微分与积分
（ 看作是和 ） 必定是相反的过程； 1676 年 6月 23日的手稿中,
他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx,其中 dy,dx 是变量的差,dy/dx 是差的商 。 莱布尼茨的工作,虽然富于启发性而且意义深远,但它是十分零乱不全的,以致几乎不能理解 。 幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工,并做了大量的发展工作 。
1716年，他无声无息地死去。
2.任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对敛和条件收敛定义
,,||
11
是绝对收敛的则称原级数收敛若级数
n
n
n
n uu
,
,||,
111
是条件收敛的则称原级数发散但收敛若级数
n
n
n
n
n
n uuu
定理
( 即绝对收敛的级数必定收敛 )
证? un? | un |
||2||0 nnn uuu
,||
1
收敛已知?
n
nu,)||(
1
收敛故?
n
nn uu
从而,]||)||([
11
收敛
n
nnn
n
n uuuu
,,||
11
必收敛则级数收敛若
n
n
n
n uu
(1)? < 1 时,级数绝对收敛,
(2)? > 1 (包括? = ) 时,级数发散,
(3)? = 1 时,不能由此断定级数的敛散性,
定理 (达朗贝尔判别法 )
则存在若设有级数,|| ||lim,1
1
n
n
nn n u
uu
解 33 1co s||
nn
xu
n
由 P 级数的敛散性,,1
1
3 收敛?
n n
,||
1
收敛故?
n
nu即原级数绝对收敛,
判别级数?
1
3
c o s
n n
x的敛散性,
为常数）（ x例 14
记
n
n
n x
xu
1
|)1(|
|)1(|l i m
||
||l i m
1
1
1
nn
nn
n
n
n
n xx
xx
u
u
1||,1
1 ||,||
1
lim 1
1
x
xx
x
xx
n
n
n
解判别?
1 1n
n
n
x
x 的敛散性,其中,x1
为常数,
例 15
当 | x | < 1 时,?= | x | < 1,原级数绝对收敛,
当 | x | > 1 时,?= 1,此时不能判断其敛散性,
由达朗贝尔判别法：
但 | x | > 1 时,
01
1
lim||lim
n
n
nnn x
x
u
原级数发散,
级数?
1
1
1
1)1(
n
n
n是否绝对收敛?
1
1
1
1)1( 1
nn
n解由调和级数的发散性可知,,11
1
发散?
n n
故?
1
1
1
1)1(
n
n
n发散,
1
1
n
例 16
但原级数是一个交错级数,且满足：
,1)1( 12111 1 nn unnnu
故原级数是条件收敛,不是绝对收敛的,
由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛,
,0lim nn u
(2) 绝对收敛级数的性质性质 1,任意交换绝对收敛级数中各项的位置,其敛散性不变,其和也不变,
性质 2,两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数,且其和等于原来两个级数的和之积,
(3) 任意项级数敛散性的一个判别法
(狄利克雷判别法 )定理其中,M > 0 为与 n 无关的常数,
单调递减趋于零部分和有界
,1,
1
有若对任意的设有级数
nvu
n
nn; 0l i m 1 nnnn uuu 且
,,2,1,||
1
nMv
n
n又
,
1
收敛则级数?
n
nn vu
判别级数?
1
c o s
n n
nx的敛散性,
其中,x? 2k?,k?Z,
11
11
nn unnu
01limlim
n
u
nnn
解 则记,co s,1 nxvnu nn
,,2,1n
单调递减趋于零例 17
又
c o s2s i n2)21s i n ()21s i n ( kxxxkxk
xxxx c o s2s i n2)211s i n ()211s i n (
xxxx 2c o s2s i n2)212s i n ()212s i n (
xxxx 3c o s2s i n2)213s i n ()213s i n (
nxxxnxn c o s2s i n2)21s i n ()21s i n (
而 x? 2k?,k?Z,于是,02s in?x
且
，
2
s in2
2
1
s in)
2
1
s in (
c o s
1 x
xxn
kx
n
k
故 |c o s|||
11
n
k
n
k
k kxv
由狄利克雷判别法,?
1
c o s
n n
nx( x? 2k?,k?Z ) 收敛,
,
|
2
s in|
1 M
x
