高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第四讲 数列极限收敛准则、
无穷小量、极限运算脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第二节 数列极限收敛准则第三节 数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用
1.单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限,
单调增加有上界的数列必有极限,
一、数列极限收敛准则通常说成：单调有界的数列必有极限,
,11 收敛证明数列
n
n
证 由中学的牛顿二项式展开公式
32 1! 3 )2)(1(1! 2 )1(1! 1111 nnnnnnnnnnx
n
n
nnn
nnnn 1
!
))1(()1(
nnn 2111! 3111 2111 ！
,112111! 1 nnnnn?
例 1
类似地,有
1
1 1
11?
n
n nx
111121111! 1 nnnnn?
11121111! )1( 1 n nnnn?
121111! 31111 2111 nnn！
除前面的展开式可以看出与比较,1?nn xx
并且的对应项的每一项都小于两项外,,1?nn xx
因此一项还多了最后的大于零的,1?nx
1 nn xx
,}{ 是单调增加的即 nx
nnnx n 2111! 3111 2111 ！
112111! 1 nnnnn?
又
!
1
! 3
1
! 2
111
n
12 2
1
2
1
2
111
n?
,3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1 1
n
n
等比数列求和放大不等式
,}{ 有界从而 nx
每个括号小于 1,
综上所述,数列 {xn}是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为 e,即
,11l i m en
n
n
e 称为欧拉常数,
5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
,ln,,,xye?记为称为自然对数为底的对数以
! !
1
! 3
1
! 2
1
! 1
11
nnn
e
e
的计算公式为
,10,其中欧拉一身经历坎坷。他于 1707年生于瑞士巴塞尔,20年后却永远离开了祖国。在他 76年的生命历程中，还有 25年住在德国柏林（ 1741
－ 1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。
欧拉 31岁时右眼失明,59岁时双目失明。
他的寓所和财产曾被烈火烧尽（ 1771年），与他共同生活 40年的结发之妻先他 10年去世。
欧拉声誉显赫。 12次获巴黎科学院大奖（ 1738－ 1772年）
曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。
欧拉成就卓著。生前就出版了 560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书和约 400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。
欧拉聪明早慧,13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从 18岁开始就一直从事数学研究工作。
欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（ D,F,J,Arago,1786－ 1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”
有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第 17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。
为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。
欧拉创用 a,b,c 表示三角形的三条边，用 A,B,C
表示对应的三个角 ( 1748 )；创用? 表示求和符号 ( 1755 )；
提倡用?表示圆周率（ 1736）； 1727年用 e 表示自然对数的底；还用?y 表示差分等等。
十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，
如他在 1748年出版的,无穷分析引论,。
2.数列极限的夹逼定理设数列 { xn},{ yn},{ zn} 满足下列关系,
(2),limlim azy n
nnn
则 ax n
nlim
(1) yn? xn? zn,n? Z+ (或从某一项开始 ) ;
想想：如何证明夹逼定理?
,limlim 所以因为 azy nnnn
,||,,0,0 1 ayNnN n时当
,||,,0,0 22 azNnN n时当
,},,m a x { 21 有时则当取 NnNNN
,||,|| azay nn
故有或从某一项开始已知 ),( Znzxy nnn
)( Nnazxya nnn
,,由极限定义得有时即当 axNn n
.lim ax nn
解
,12111 l i m 222
nnnnn
求
1
1
2
1
1
1
22222 n
n
nnnnnn
n?
,1lim 2 nn nn而 11lim 2 n nn
由于
112111 l i m 222 nnnnn?故例 2
想得通吧？
解
.,! lim?
Znnn n
n
求
,11 321! 0 nnnnnnnnnn n由于
1,1,,3,2 均小于nnnn,00l i m,01l i m nn n而
,0! lim?
nn n
n故例 3
,)321(l i m
1
nnn
n
求
1
3
2
3
13)321(
1
1 nnn
nnn
,3132311
nn
而
,33)321(3
11
nnnn故
,3)33(lim
1
n
n
又
,3)321(l i m,
1
nnn
n
得由夹逼定理夹逼定理例 4
解例 5,
221l i m
2
n
n nn
求解,1 时当?n
221 2nn
,12122121 2
nnn
nnnn
故
,121l i m,21l i m 22 enen
n
n
n
n
而
,221l i m 22 enn
n
故 夹逼定理请自己做 !
n11,121)1( 221 nnnn
有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列,
.,}{ bxax nn有界设数列
].,[,}{
,],[
11 bax
ba
n 记为的无穷多项含有数列间则其中至少有一个小区二等分将区间
].,[
,],[
22
11
ba
ba
多项的新的小区间无穷又可得到一个含有数列二等分再将
,,
,
含前一个小区间内且每一个小区间都被包区间无穷多项的小可得到无穷多个含数列如此下去定理
[ ]
a b
[
1a 1b
]
2a 2b
[
3a 3b
na nb
],[],[],[],[],[ 112211 bababababa nnnn
[]
左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列
,,],[ nknn xba 记为中任取数列的一个元素在区间
,},{ 且它是原数列的子数列则得到一个数列 nkx
,l i m,cx nkn由夹逼定理
).( 2 ],[ Znabban nnn 的区间长度为个小区间第
,存在故由单调收敛准则可知
cba nnnn l i ml i m
,02lim)(lim
nnnnn
abab即有
nkn bxa n
,}{ 收敛即子数列 nkx
上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”,
,,]},{[ 它们满足是数轴上的一串闭区间设 kk ba
(区间套定理 )定理; ],,[],[ )1( 11 Zkbaba kkkk
0,||lim )2( kkk ab
),],[ ||,( 的长度为区间其中 kkkk baab?
,],,[ 且则存在唯一的实数 Zkbac kk
,limlim cba kkkk
3,柯西收敛准则
) }{ ( lim 收敛即数列 nnn xax
,||,,,0,0 nm xxNnmN 时当满足此条件的数列,称为,柯西列,,
柯西准则可写为,
,}{ }{ 为柯西列收敛数列 nn xx
,} 131211 { 时发散的证明数列 n
证,1 31211 nx n记
nnnxx nn 2
1
2
1
1
1||
2由于
,212 111 nnnnn?
,,,21 0 均有时当取何值则不论时故取 NnN
02 2
1 ||
nn xx
由柯西收敛准则可知,该数列是发散的,
例 6
,,Rx证明
,}2s i n2 2s i n2s i n { 2 收敛数列 nnxxx
证,2s i n2 2s i n2s i n 2 有记 Rxnxxxx nn
mnnnm
mxxnxnxx
2
s i n
2
)2s i n (
2
)1s i n ( ||
21
,2 12 12112 12 12 12 1 1121 nnmnmnn
,,],1[ l o g,0 2 有时则当取从而 NnmN
nnm xx 21 ||
由柯西收敛准则可知,该数列是收敛的,
例 7
柯 西
A.L.Cauchy
(1789－ 1857)
业绩永存的数学大师柯西 1789 年 8月 21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。
1805－ 1810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。 1810年成为工程师。 1815年获科学院数学大奖,1816年 3月被任命为巴黎科学院院士，同年 9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。
由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。 1821年柯西提出了极限定义的 ε 方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或 ε － δ 定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在 性。
他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。
数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。
在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无误为止。
柯西一生撰写的数学论著有 800多种。他是 19 个科学院或著名学术团体的成员。 1838年他还被授予男爵封号。他在学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。
柯西一生最大的错误是,失落,了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。
1857年 5月 23日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：
,人总是要死的，但他们的业绩永存。,
二、无穷小量与无穷大量
1,无穷小量我们称之为由数列的定义,)(, Znnfx n
,nx整序变量或变量对数列极限的描述,实际上,就是对整序变量极限的描述,
,}{ nn xx 的值构成相应的数列整序变量
(1) 无穷小量的定义
,,0lim 为一个无穷小量则称变量若 nnn xx
简言之：
以零为极限的量,为该极限过程中的无穷小量,
无穷小量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很小的数,
,1,01lim )1( 时为无穷小量当故
nnxn n
n
,2 1,02 1l i m )2( 时为无穷小量当故
nx nnn
n
)1(,0)1(lim )3(
11
nxn
n
n
n
n
故
,时为无穷小量当n
无穷小量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很小的数,
小量：以下几个变量均为无穷时当,n例 8
(2) 无穷小量的运算性质
,0 l i m,0 l i m nnnn yx设
),(
,0)(l i m
之和仍为无穷小量推广：有限个无穷小量
nnn
yx
),(
,0)(l i m
之积仍为无穷小量推广：有限个无穷小量
nnn
yx
两个无穷小量的商的情况比较复杂,以后会专门讨论,
,,仍为无穷小量无穷小量与有界量之积时n
(推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量,)
证,0)(l i m
nnn yx
0,,,0 l i m,0 l i m所以因为 nnnn yx
,||,,0 11 nxNnN 时当
,||,,0 22 nyNnN 时当有时则当取,},,m a x { 21 NnNNN
,2 |||| || nnnn yxyx
,0)(l i m nnn yx即其它性质可仿此进行证明,
几个问题结 论
,3 否一定不是无穷小量？两个非无穷小量的和是
0,2 是否为无穷小量？数
0,0,0,,} 0 {,1 是否为无穷小量？数列?
,,1,1,1,}{,1,1,1,:}{
,.,3
nn yx
例如不一定
,
,.,2
数不是指一个数值很小的的变化趋势无穷小量描述的是变量不是
,00l i ml i m,,1 nnn x因为是
2,无穷大量首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,
无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量的变化趋势,
0,以后要用到的记号 M
,,不论它的值多么大任意给定一个正数
(1) 无穷大量的定义定义无穷大量时,用的是绝对值,|| nx
去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量,
有时当若,,0,0 NnNM
Mx n? ||
,,时的无穷大量为则称成立nx n
,l i m nn x记为 去掉绝对值符号会怎么样？
有时当若,,0,0 NnNM Mx
n?,,时的正无穷大量为则称成立nx
n,l i m
nn x记为有时当若,,0,0 NnNM Mx
n,,时的负无穷大量为则称成立nx
n
,lim nn x记为
,lim,)1( nnxn nn 为正无穷大量：时当
,)2(l i m )2(,)2( nnnnxn 为无穷大量：时当无穷大量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很大的数,
大量：以下几个变量均为无穷时当,n
,l i m,)3( nnxn nn 为正无穷大量：时当例 9
由无穷大量与无界量的定义是否可得出,
无穷大量一定是无界量,
反之,无界量一定是无穷大量?
,4,0,3,0,2,0,1,0,}{ nx
无穷大量一定是无界量,
无界量不一定是无穷大量,
几个问题考察例题结 论
(2) 无穷小量与无穷大量的关系
,l i m 01l i m 你有什么想法？和看看
nn
nn
无穷小量与无穷大量互为倒数关系？
,,0,0,lim 时当若 NnNMx nn
Mx n? ||
,1|| 1 Mx
n
则有可取的任意性由,1,MM
,,0,0 时当 NnN,|| 1
nx
,01lim?
nn x
即分母不能为零
),(,不为零为无穷大量若变量时当 nxn
,1 为无穷小量则它的倒数
nx
),(,不为零为无穷小量若变量时当 nxn
,1 为无穷大量则它的倒数
nx
利用无穷小量与无穷大量的关系可以将一些无穷大量的运算归结为相应的无穷小量运算,并可得到有关无穷大量的运算性质,
几个问题结 论
,1 仍为无穷大量两个无穷大量之和是否
,2 是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之积
,3 是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之和
,4 否一定不是无穷大量两个非无穷大量之积是
,4.,3.,2.,,1 不一定是不一定不一定考察例题
)(,4,3,2,1,,1 无穷大量?nx
) (,4,3,2,1,,2 无穷大量ny
) (,1,,31,21 1,,.3 有界量 nz n
),,(
),1()1( ),1()1(,4 1
均不是无穷大量与时 nn
n
n
n
n
yxn
nnynnx
利用这里提供的数列可以得出上面的结论,
(3) 无穷大量的运算性质
,||l i m,l i m nnnn xx 则若
,)(l i m,l i m,l i m nnnnnnn yxyx 则若
,)(l i m,}{,l i m nnnnnn yxyx 则有界若
,lim,lim,lim nnnnnnn yxyx 则若
,l i m,0l i m,l i m nnnnnnn yxayx 则若请同学自己证明,
(1) 无穷小量与极限的关系
,,0,0,lim 时当则若 NnNax nn
|0)(| || axax nn
将它记为是一个无穷小量时即,,axn n
ax n
,, axNn n时则当上述过程显然可以反推过去,于是就可得出下面的重要定理：
三、极限的运算定理怎么写？
,,,0 lim axNnNax nnn 时当
,0l i m,n其中定理
),0lim (,lim nnnn axax
或写为
(2) 数列 (整序变量 ) 极限的运算
,lim,lim 则设 byax nnnn
,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
,lim)(lim akxkxk nnnn
,l i ml i m,nnnnnn yxyx 则若
).0l i m,(,
l i m
l i m
l i m
by
b
a
y
x
y
x
nn
nn
nn
n
n
n
其中证,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
故因为,lim,lim byax nnnn
),0(,,,,0 11 naxNnN n 其中时当
).0(,,,,0 22 nbyNnN n 其中时当
,))(( baabbayx nn于是由无穷小量的运算性质,可得到
,0lim,0lim,0lim nnn ba
得由公式从而,limlim)(lim,nnnnnnn yxyx
,l i ml i m)(l i m)(l i m nnnnnnnn yxabbaabyx
其余的证明由学生自己完成
).13(lim 2 nnn求解 由于两个无穷大量的差不一定是无穷大,所以进行变形处理：
2
2
2
2
2 11
3
1
l i m
11
3
1
l i m
13
1
l i m
nn
n
nn
n
nn nnn
,0
3
0
11
3lim
1
lim
2
2
nn
n
n
n
,)13(lim 2 nnn从而例 10
).14 135115131(l i m 2 nn?求
)12)(12( 114 1 2 nnn?
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
14
1
35
1
15
1
3
1
2 nnn
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
11
2
1
nn?
12 1121 n
12 112 121 nn
,2112 1121l i m)14 135 115 131(l i m 2 nn nn?故部分分式法例 11
解
,! lim n
n n
n
求
,11l i ml i m,11 enxnx
n
nnn
n
n
则有设
n
n nxxx
11
2
11
1
11 21
21而
,! )1(1 342312
321
n
n
n
n nn
得式由几何平均值的极限公,l i ml i m 21 nnn nn xxxx
,l i ml i m! 1l i m 21 exxxxnn nnn nnnn
,1! 1lim! lim en nnnnn nnnn故几何平均值极限公式
nnn nn xxxx limlim 21?例 12
解例 13 ).1( lim aa
n
nn求解,11,1 nnnn xannxa nx则令
,11,1 有时故当由于 ana,111 ann
,}{,11 nxan 数列时即
,}{ ),( 0 有下界即数列而 nn xZnx
,l i m,,bx nn不妨设该数列收敛由单调收敛准则
,0,lim1lim1lim 1
babxnnaxb n
nnnn
故于是
)1( 0 lim
aan n
n
类似该例的做法,还可以得到下列结果,
);,1( 0lim?
Znaan n
k
n;1lim nn n
);0( 1lim aann
例 14
解
.),,,,(
,l i m
21
21
Zkaaa
aaa
k
n n
k
nn
n
为正常数其中求
},,,,m a x { 21 则有记 naaaa
,21 nn nn nknnn n kakaaaaaa
,1lim 故由夹逼定理得而 nn k
}.,,,m a x {lim 2121 kn nknnn aaaaaaa
除最大的一个外,其余的均取为零,
例 15
解
).1( l i m?
aan n
n
求
,11,1 nnnn xannxa nx则令
,11,,11l i m,1 有时当所以因为
a
nnna
n
,111 ann
,0,}{,?nn xx 又从某一项开始单调减少数列从而
,}{,}{ 收敛由收敛准则可知数列有界故数列 nn xx
,lim11limlim1lim 1 n
nnnnnn
xannxax
由
,0l i ml i m
nnnn a
nx得例 16,1lim, nn n证明
,0 ),1( 0lim 有故因为
aa n n
n
0,)1(lim
nn
n
,1,1)1(,,0 nn nnNnN 即时当故
,,),( 1 必有时当所以而 NnZnnn
,|1|n n
,1l i m nn n故 11n n
证例 17 ).0( 1lim, aann证明证
,1 1][,1 nn naana 就有只要时当及夹逼定理可知由 11l i m,1l i m nnn n
);1( 1l i m aann
,1,1,10 所以则令时当 baba
,11l i m 1 l i ml i m
nn
n
n
n
n bb
a
,,即得所证综上所述
,,1 结论是显然的时?a
四、施笃兹 (O.Stolz)定理及其应用运用施笃兹定理计算数列的极限,往往会使问题变得十分简单,
施笃兹定理,
}.{ }{ nn yx 和设有数列
),( 1 或从某一项开始若 Znyy nn
则且,l i m nn y
1
1limlim
nn
nn
nn
n
n yy
xx
y
x
,,?为已知右边的极限存在或其中
),( lim 求或为设 aa nn,lim 21 n aaa nn
解 由施笃兹定理,令,,21 nyaaax nnn
则
1
121 lim limlim
nn
nn
nn
n
n
n
n yy
xx
y
x
n
aaa?
)1(
)()(l i m 12121
nn
aaaaaa nn
n
,) ( lim 或为aa nn
例 18
算术平均值由此,利用对数函数可得出例 12的几何平均的极限,
例 19 证明：若,l i m,l i m byax nnnn
,l i m 1121 abn yxyxyx nnn
n
证 分析,.限形式有点像算术平均值的极
,,nnnn byax令
).( 0,0, nnn其中
1121 n yxyxyx nnn
n
yxyx nnnn ))(())(( 1111
展开后得
n
b
n
aab nn )()( 2121
n
nnn 1121算数平均值
,||,}{,,0lim Mn nnnn 有界时故由
,有从而
n
nnn | | 0 1121
n
M nn |)||||(| 11
算数平均值剩下的问题请同学自己解决。
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第四讲 数列极限收敛准则、
无穷小量、极限运算脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第二章 数列的极限与常数项级数的含义。和极限。正确理解
》语言描述数列的会用《了解数列极限的概念，
N
N
念和性质。
量的概收敛准则。熟悉无穷小熟悉数列极限的性质和
。极限或简单的极限证明限运算法则计算数列的以及极式”法、“夹逼定理”能熟练运用“放大不等性质。件以及收敛级数的基本必要条性质。掌握级数收敛的理解常数项级数概念和别法。
收敛判判别法。掌握交错级数熟悉常数项级数的收敛
－级数的敛散性。数、熟悉等比级数、调和级 P
本章学习要求：
第二章 数列的极限与常数项级数第二节 数列极限收敛准则第三节 数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用
1.单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限,
单调增加有上界的数列必有极限,
一、数列极限收敛准则通常说成：单调有界的数列必有极限,
,11 收敛证明数列
n
n
证 由中学的牛顿二项式展开公式
32 1! 3 )2)(1(1! 2 )1(1! 1111 nnnnnnnnnnx
n
n
nnn
nnnn 1
!
))1(()1(
nnn 2111! 3111 2111 ！
,112111! 1 nnnnn?
例 1
类似地,有
1
1 1
11?
n
n nx
111121111! 1 nnnnn?
11121111! )1( 1 n nnnn?
121111! 31111 2111 nnn！
除前面的展开式可以看出与比较,1?nn xx
并且的对应项的每一项都小于两项外,,1?nn xx
因此一项还多了最后的大于零的,1?nx
1 nn xx
,}{ 是单调增加的即 nx
nnnx n 2111! 3111 2111 ！
112111! 1 nnnnn?
又
!
1
! 3
1
! 2
111
n
12 2
1
2
1
2
111
n?
,3
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1 1
n
n
等比数列求和放大不等式
,}{ 有界从而 nx
每个括号小于 1,
综上所述,数列 {xn}是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为 e,即
,11l i m en
n
n
e 称为欧拉常数,
5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 4.2?e
,ln,,,xye?记为称为自然对数为底的对数以
! !
1
! 3
1
! 2
1
! 1
11
nnn
e
e
的计算公式为
,10,其中欧拉一身经历坎坷。他于 1707年生于瑞士巴塞尔,20年后却永远离开了祖国。在他 76年的生命历程中，还有 25年住在德国柏林（ 1741
－ 1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。
欧拉 31岁时右眼失明,59岁时双目失明。
他的寓所和财产曾被烈火烧尽（ 1771年），与他共同生活 40年的结发之妻先他 10年去世。
欧拉声誉显赫。 12次获巴黎科学院大奖（ 1738－ 1772年）
曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。
欧拉成就卓著。生前就出版了 560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间，还口述了几本书和约 400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。
欧拉聪明早慧,13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从 18岁开始就一直从事数学研究工作。
欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（ D,F,J,Arago,1786－ 1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”
有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第 17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。
为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。
欧拉创用 a,b,c 表示三角形的三条边，用 A,B,C
表示对应的三个角 ( 1748 )；创用? 表示求和符号 ( 1755 )；
提倡用?表示圆周率（ 1736）； 1727年用 e 表示自然对数的底；还用?y 表示差分等等。
十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，
如他在 1748年出版的,无穷分析引论,。
2.数列极限的夹逼定理设数列 { xn},{ yn},{ zn} 满足下列关系,
(2),limlim azy n
nnn
则 ax n
nlim
(1) yn? xn? zn,n? Z+ (或从某一项开始 ) ;
想想：如何证明夹逼定理?
,limlim 所以因为 azy nnnn
,||,,0,0 1 ayNnN n时当
,||,,0,0 22 azNnN n时当
,},,m a x { 21 有时则当取 NnNNN
,||,|| azay nn
故有或从某一项开始已知 ),( Znzxy nnn
)( Nnazxya nnn
,,由极限定义得有时即当 axNn n
.lim ax nn
解
,12111 l i m 222
nnnnn
求
1
1
2
1
1
1
22222 n
n
nnnnnn
n?
,1lim 2 nn nn而 11lim 2 n nn
由于
112111 l i m 222 nnnnn?故例 2
想得通吧？
解
.,! lim?
Znnn n
n
求
,11 321! 0 nnnnnnnnnn n由于
1,1,,3,2 均小于nnnn,00l i m,01l i m nn n而
,0! lim?
nn n
n故例 3
,)321(l i m
1
nnn
n
求
1
3
2
3
13)321(
1
1 nnn
nnn
,3132311
nn
而
,33)321(3
11
nnnn故
,3)33(lim
1
n
n
又
,3)321(l i m,
1
nnn
n
得由夹逼定理夹逼定理例 4
解例 5,
221l i m
2
n
n nn
求解,1 时当?n
221 2nn
,12122121 2
nnn
nnnn
故
,121l i m,21l i m 22 enen
n
n
n
n
而
,221l i m 22 enn
n
故 夹逼定理请自己做 !
n11,121)1( 221 nnnn
有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列,
.,}{ bxax nn有界设数列
].,[,}{
,],[
11 bax
ba
n 记为的无穷多项含有数列间则其中至少有一个小区二等分将区间
].,[
,],[
22
11
ba
ba
多项的新的小区间无穷又可得到一个含有数列二等分再将
,,
,
含前一个小区间内且每一个小区间都被包区间无穷多项的小可得到无穷多个含数列如此下去定理
[ ]
a b
[
1a 1b
]
2a 2b
[
3a 3b
na nb
],[],[],[],[],[ 112211 bababababa nnnn
[]
左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列
,,],[ nknn xba 记为中任取数列的一个元素在区间
,},{ 且它是原数列的子数列则得到一个数列 nkx
,l i m,cx nkn由夹逼定理
).( 2 ],[ Znabban nnn 的区间长度为个小区间第
,存在故由单调收敛准则可知
cba nnnn l i ml i m
,02lim)(lim
nnnnn
abab即有
nkn bxa n
,}{ 收敛即子数列 nkx
上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”,
,,]},{[ 它们满足是数轴上的一串闭区间设 kk ba
(区间套定理 )定理; ],,[],[ )1( 11 Zkbaba kkkk
0,||lim )2( kkk ab
),],[ ||,( 的长度为区间其中 kkkk baab?
,],,[ 且则存在唯一的实数 Zkbac kk
,limlim cba kkkk
3,柯西收敛准则
) }{ ( lim 收敛即数列 nnn xax
,||,,,0,0 nm xxNnmN 时当满足此条件的数列,称为,柯西列,,
柯西准则可写为,
,}{ }{ 为柯西列收敛数列 nn xx
,} 131211 { 时发散的证明数列 n
证,1 31211 nx n记
nnnxx nn 2
1
2
1
1
1||
2由于
,212 111 nnnnn?
,,,21 0 均有时当取何值则不论时故取 NnN
02 2
1 ||
nn xx
由柯西收敛准则可知,该数列是发散的,
例 6
,,Rx证明
,}2s i n2 2s i n2s i n { 2 收敛数列 nnxxx
证,2s i n2 2s i n2s i n 2 有记 Rxnxxxx nn
mnnnm
mxxnxnxx
2
s i n
2
)2s i n (
2
)1s i n ( ||
21
,2 12 12112 12 12 12 1 1121 nnmnmnn
,,],1[ l o g,0 2 有时则当取从而 NnmN
nnm xx 21 ||
由柯西收敛准则可知,该数列是收敛的,
例 7
柯 西
A.L.Cauchy
(1789－ 1857)
业绩永存的数学大师柯西 1789 年 8月 21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。
1805－ 1810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。 1810年成为工程师。 1815年获科学院数学大奖,1816年 3月被任命为巴黎科学院院士，同年 9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。
由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。 1821年柯西提出了极限定义的 ε 方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或 ε － δ 定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在 性。
他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了 200 年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。
数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。
在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无误为止。
柯西一生撰写的数学论著有 800多种。他是 19 个科学院或著名学术团体的成员。 1838年他还被授予男爵封号。他在学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。
柯西一生最大的错误是,失落,了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。
1857年 5月 23日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：
,人总是要死的，但他们的业绩永存。,
二、无穷小量与无穷大量
1,无穷小量我们称之为由数列的定义,)(, Znnfx n
,nx整序变量或变量对数列极限的描述,实际上,就是对整序变量极限的描述,
,}{ nn xx 的值构成相应的数列整序变量
(1) 无穷小量的定义
,,0lim 为一个无穷小量则称变量若 nnn xx
简言之：
以零为极限的量,为该极限过程中的无穷小量,
无穷小量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很小的数,
,1,01lim )1( 时为无穷小量当故
nnxn n
n
,2 1,02 1l i m )2( 时为无穷小量当故
nx nnn
n
)1(,0)1(lim )3(
11
nxn
n
n
n
n
故
,时为无穷小量当n
无穷小量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很小的数,
小量：以下几个变量均为无穷时当,n例 8
(2) 无穷小量的运算性质
,0 l i m,0 l i m nnnn yx设
),(
,0)(l i m
之和仍为无穷小量推广：有限个无穷小量
nnn
yx
),(
,0)(l i m
之积仍为无穷小量推广：有限个无穷小量
nnn
yx
两个无穷小量的商的情况比较复杂,以后会专门讨论,
,,仍为无穷小量无穷小量与有界量之积时n
(推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量,)
证,0)(l i m
nnn yx
0,,,0 l i m,0 l i m所以因为 nnnn yx
,||,,0 11 nxNnN 时当
,||,,0 22 nyNnN 时当有时则当取,},,m a x { 21 NnNNN
,2 |||| || nnnn yxyx
,0)(l i m nnn yx即其它性质可仿此进行证明,
几个问题结 论
,3 否一定不是无穷小量？两个非无穷小量的和是
0,2 是否为无穷小量？数
0,0,0,,} 0 {,1 是否为无穷小量？数列?
,,1,1,1,}{,1,1,1,:}{
,.,3
nn yx
例如不一定
,
,.,2
数不是指一个数值很小的的变化趋势无穷小量描述的是变量不是
,00l i ml i m,,1 nnn x因为是
2,无穷大量首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,
无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量的变化趋势,
0,以后要用到的记号 M
,,不论它的值多么大任意给定一个正数
(1) 无穷大量的定义定义无穷大量时,用的是绝对值,|| nx
去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量,
有时当若,,0,0 NnNM
Mx n? ||
,,时的无穷大量为则称成立nx n
,l i m nn x记为 去掉绝对值符号会怎么样？
有时当若,,0,0 NnNM Mx
n?,,时的正无穷大量为则称成立nx
n,l i m
nn x记为有时当若,,0,0 NnNM Mx
n,,时的负无穷大量为则称成立nx
n
,lim nn x记为
,lim,)1( nnxn nn 为正无穷大量：时当
,)2(l i m )2(,)2( nnnnxn 为无穷大量：时当无穷大量描述的是变量的变化趋势,
不是指一个很大的数,
大量：以下几个变量均为无穷时当,n
,l i m,)3( nnxn nn 为正无穷大量：时当例 9
由无穷大量与无界量的定义是否可得出,
无穷大量一定是无界量,
反之,无界量一定是无穷大量?
,4,0,3,0,2,0,1,0,}{ nx
无穷大量一定是无界量,
无界量不一定是无穷大量,
几个问题考察例题结 论
(2) 无穷小量与无穷大量的关系
,l i m 01l i m 你有什么想法？和看看
nn
nn
无穷小量与无穷大量互为倒数关系？
,,0,0,lim 时当若 NnNMx nn
Mx n? ||
,1|| 1 Mx
n
则有可取的任意性由,1,MM
,,0,0 时当 NnN,|| 1
nx
,01lim?
nn x
即分母不能为零
),(,不为零为无穷大量若变量时当 nxn
,1 为无穷小量则它的倒数
nx
),(,不为零为无穷小量若变量时当 nxn
,1 为无穷大量则它的倒数
nx
利用无穷小量与无穷大量的关系可以将一些无穷大量的运算归结为相应的无穷小量运算,并可得到有关无穷大量的运算性质,
几个问题结 论
,1 仍为无穷大量两个无穷大量之和是否
,2 是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之积
,3 是否仍为无穷大量无穷大量与有界量之和
,4 否一定不是无穷大量两个非无穷大量之积是
,4.,3.,2.,,1 不一定是不一定不一定考察例题
)(,4,3,2,1,,1 无穷大量?nx
) (,4,3,2,1,,2 无穷大量ny
) (,1,,31,21 1,,.3 有界量 nz n
),,(
),1()1( ),1()1(,4 1
均不是无穷大量与时 nn
n
n
n
n
yxn
nnynnx
利用这里提供的数列可以得出上面的结论,
(3) 无穷大量的运算性质
,||l i m,l i m nnnn xx 则若
,)(l i m,l i m,l i m nnnnnnn yxyx 则若
,)(l i m,}{,l i m nnnnnn yxyx 则有界若
,lim,lim,lim nnnnnnn yxyx 则若
,l i m,0l i m,l i m nnnnnnn yxayx 则若请同学自己证明,
(1) 无穷小量与极限的关系
,,0,0,lim 时当则若 NnNax nn
|0)(| || axax nn
将它记为是一个无穷小量时即,,axn n
ax n
,, axNn n时则当上述过程显然可以反推过去,于是就可得出下面的重要定理：
三、极限的运算定理怎么写？
,,,0 lim axNnNax nnn 时当
,0l i m,n其中定理
),0lim (,lim nnnn axax
或写为
(2) 数列 (整序变量 ) 极限的运算
,lim,lim 则设 byax nnnn
,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
,lim)(lim akxkxk nnnn
,l i ml i m,nnnnnn yxyx 则若
).0l i m,(,
l i m
l i m
l i m
by
b
a
y
x
y
x
nn
nn
nn
n
n
n
其中证,l i ml i m)(l i m bayxyx nnnnnnn
故因为,lim,lim byax nnnn
),0(,,,,0 11 naxNnN n 其中时当
).0(,,,,0 22 nbyNnN n 其中时当
,))(( baabbayx nn于是由无穷小量的运算性质,可得到
,0lim,0lim,0lim nnn ba
得由公式从而,limlim)(lim,nnnnnnn yxyx
,l i ml i m)(l i m)(l i m nnnnnnnn yxabbaabyx
其余的证明由学生自己完成
).13(lim 2 nnn求解 由于两个无穷大量的差不一定是无穷大,所以进行变形处理：
2
2
2
2
2 11
3
1
l i m
11
3
1
l i m
13
1
l i m
nn
n
nn
n
nn nnn
,0
3
0
11
3lim
1
lim
2
2
nn
n
n
n
,)13(lim 2 nnn从而例 10
).14 135115131(l i m 2 nn?求
)12)(12( 114 1 2 nnn?
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
14
1
35
1
15
1
3
1
2 nnn
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
11
2
1
nn?
12 1121 n
12 112 121 nn
,2112 1121l i m)14 135 115 131(l i m 2 nn nn?故部分分式法例 11
解
,! lim n
n n
n
求
,11l i ml i m,11 enxnx
n
nnn
n
n
则有设
n
n nxxx
11
2
11
1
11 21
21而
,! )1(1 342312
321
n
n
n
n nn
得式由几何平均值的极限公,l i ml i m 21 nnn nn xxxx
,l i ml i m! 1l i m 21 exxxxnn nnn nnnn
,1! 1lim! lim en nnnnn nnnn故几何平均值极限公式
nnn nn xxxx limlim 21?例 12
解例 13 ).1( lim aa
n
nn求解,11,1 nnnn xannxa nx则令
,11,1 有时故当由于 ana,111 ann
,}{,11 nxan 数列时即
,}{ ),( 0 有下界即数列而 nn xZnx
,l i m,,bx nn不妨设该数列收敛由单调收敛准则
,0,lim1lim1lim 1
babxnnaxb n
nnnn
故于是
)1( 0 lim
aan n
n
类似该例的做法,还可以得到下列结果,
);,1( 0lim?
Znaan n
k
n;1lim nn n
);0( 1lim aann
例 14
解
.),,,,(
,l i m
21
21
Zkaaa
aaa
k
n n
k
nn
n
为正常数其中求
},,,,m a x { 21 则有记 naaaa
,21 nn nn nknnn n kakaaaaaa
,1lim 故由夹逼定理得而 nn k
}.,,,m a x {lim 2121 kn nknnn aaaaaaa
除最大的一个外,其余的均取为零,
例 15
解
).1( l i m?
aan n
n
求
,11,1 nnnn xannxa nx则令
,11,,11l i m,1 有时当所以因为
a
nnna
n
,111 ann
,0,}{,?nn xx 又从某一项开始单调减少数列从而
,}{,}{ 收敛由收敛准则可知数列有界故数列 nn xx
,lim11limlim1lim 1 n
nnnnnn
xannxax
由
,0l i ml i m
nnnn a
nx得例 16,1lim, nn n证明
,0 ),1( 0lim 有故因为
aa n n
n
0,)1(lim
nn
n
,1,1)1(,,0 nn nnNnN 即时当故
,,),( 1 必有时当所以而 NnZnnn
,|1|n n
,1l i m nn n故 11n n
证例 17 ).0( 1lim, aann证明证
,1 1][,1 nn naana 就有只要时当及夹逼定理可知由 11l i m,1l i m nnn n
);1( 1l i m aann
,1,1,10 所以则令时当 baba
,11l i m 1 l i ml i m
nn
n
n
n
n bb
a
,,即得所证综上所述
,,1 结论是显然的时?a
四、施笃兹 (O.Stolz)定理及其应用运用施笃兹定理计算数列的极限,往往会使问题变得十分简单,
施笃兹定理,
}.{ }{ nn yx 和设有数列
),( 1 或从某一项开始若 Znyy nn
则且,l i m nn y
1
1limlim
nn
nn
nn
n
n yy
xx
y
x
,,?为已知右边的极限存在或其中
),( lim 求或为设 aa nn,lim 21 n aaa nn
解 由施笃兹定理,令,,21 nyaaax nnn
则
1
121 lim limlim
nn
nn
nn
n
n
n
n yy
xx
y
x
n
aaa?
)1(
)()(l i m 12121
nn
aaaaaa nn
n
,) ( lim 或为aa nn
例 18
算术平均值由此,利用对数函数可得出例 12的几何平均的极限,
例 19 证明：若,l i m,l i m byax nnnn
,l i m 1121 abn yxyxyx nnn
n
证 分析,.限形式有点像算术平均值的极
,,nnnn byax令
).( 0,0, nnn其中
1121 n yxyxyx nnn
n
yxyx nnnn ))(())(( 1111
展开后得
n
b
n
aab nn )()( 2121
n
nnn 1121算数平均值
,||,}{,,0lim Mn nnnn 有界时故由
,有从而
n
nnn | | 0 1121
n
M nn |)||||(| 11
算数平均值剩下的问题请同学自己解决。
