高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十三讲 闭区间上连续函数的性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第九节 闭区间上连续函数的性质一,最大值和最小值定理二,介值定理三,函数的一致连续性一,最大值和最小值定理设 f (x)?C ( [a,b] ),则
(i) f (x) 在 [a,b] 上为 以下四种 单调函数时
aO b x
y
aO b x
y
O a b x
y
O a b x
y
y = f (x)?[a,b],
y = f (x)?[a,b],
,)()(m a x ],[ bfxfbax,)()(m i n
],[ afxfbax
,)()(m a x ],[ afxfbax,)()(m i n ],[ bfxfbax
此时,函数 f (x) 恰好在 [a,b] 的端点 a 和 b 处 取到最大值和最小值,
则则
(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时
},,,,,,,m a x {m a x 654321],[ baaaaaaabax mmmmmmmm
},,,,,,,m in {m in 654321],[ baaaaaaabax mmmmmmmm
x
y
a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
ma
mb
y = f (x)
O
1am
2am
3am
4am
5am
6am
(最大值和最小值定理 )
若 f (x)?C ( [a,b] ),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次,
在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,
y = x 在 (1,3) 内连续,但它不能取到它的最大值和最小值,
定理若 f (x)?C( [a,b] ),则 f (x) 在 [a,b] 上有界,
x
y
a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
ma
mb
y = f (x)
O
1am
2am
3am
4am
5am
6am
看图就知道如何证明了,
推论
f (x) 在 [a,b] 上可取到它的最大值 M 和
f (x)?C ( [a,b] )
故 m? f (x)? M,x?[a,b],
| f (x) |? M*,x?[a,b],
令 M* = max { |m|,| M| },则即 f (x) 在 [a,b] 上有界,
最小值 m,
证二,介值定理
a x
y
y = f (x)
f (a)
b
f (b)
O
f (x)?C ( [a,b] ),f (a) f (b) < 0,
f (? )＝ 0.
先看一个图描述一下这个现象
(根存在定理或零点定理 )
则至少存在一点(a,b),使得 f (? )＝ 0.
设 f (x)?C ( [a,b] ),且 f (a) f (b) < 0,
a x
y
y = f (x)
f (a)
b
f (b)
O
如何证明
？
定理 1
证明的思想方法 —区间套法将区间 [a,b] 等分为 [a,a1] 和 [a1,b],
在这两个区间中,选择与 [a,b] 性质相同的一个,例如,若 f (a1) f (b) < 0,则选取 区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且
[a1,b],然后,对 [a1,b] 进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间,
总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的(a,b).
f (a) =A
f (b) =By y = f (x)
Cy?
f (? ) = C
下面看看,坐标平移会产生什么效果,
xxxxO a b? x
a b xO
如何描述这个现象?
(介值定理 )
设 f (x)?C ( [a,b] ),f (a)＝ A,f (b)＝ B,
且 A? B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,
至少存在一点(a,b),使得 f (?) = C.
定理 2
令? (x) = f (x)? C
故由根存在定理,至少存在一点(a,b) 使则? (x)?C ( [a,b] )
C 在 A,B 之间
(a) (b) = ( f (a)? C )?( f (b)? C )
= ( A? C ) ( B? C ) < 0
y
B
C
A
O a b b x
x
证
(? )= 0,即 f (? ) = C,
最大、最小值定理介质定理？
引入设 f (x)?C ( [a,b] ),则 f (x) 取得值 m 之间的任何 一个 值,
推论介于其在 [a,b] 上的最大值 M 和最小
.)()()()( 21 n xfxfxff n
设 f (x)?C ( [a,b] ),
证明,至少存在一点[x1,xn ],使得例 1
a < x1< x2 < … < xn < b,
证 故由 ] ),,([)( baCxf?
,)(m a x)()(m i n ],[],[ Mxfxfmxf baxbax
,)()( 1 Mn xfxfm n从而由介值定理,至少存在一点( x1,xn ),使
,)()()( 1 n xfxff n
证明方程 x5 – 3x =1,在 x =1 与 x =2 之间令 f (x) = x5 – 3x –1,x?[1,2],
则 f (x)?C( [1,2] ),
又 f (1) = –3,f (2) = 25,f (1)? f (2) < 0,
即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根,
故 至少存在一个(1,2),使得 f (? ) = 0,
至少有一根,
例 2
证至少有一个不超过 a + b 的正根,
证明方程 x = a sin x + b ( a > 0,b > 0 )
设 f (x) = x? a sin x? b,x?[ 0,a + b ],
则 f (x)?C( [ 0,a + b ] ),
而 f (0) = 0 – a sin 0 – b = – b < 0,
f (a + b) = (a + b) – a sin (a + b) – b,
= a ( 1? sin (a + b) )? 0,
例 3
证,],0( 上求方程的根的问题问题归结为在 ba?
1) 如果 f (a + b)＝ 0,则? = a + b 就是方程的根,
即方程至少有一个不超过 a + b 的正根,
定理,至少存在一个( 0,a + b ),使得 f (? ) = 0.
2) 如果 f (a + b) > 0,则 f (0)? f (a + b) < 0,由根存在综上所述,方程在 ( 0,a + b ] 上至少有一个根,
例 4,,,证明并且连续在圆周上有定义已知函数 f
,,使处和在其两个端点可以找到一直径 ba
证,,极坐标系以某个半径为极轴建立以圆心为极点
,,的也是函数确定圆周上的一点可由极角于是 f
,2,为周期且以的函数?
).()(,, ff使得原问题归结为求一从而
,)( ),()()( 是一连续函数则令 ff; 0,0)0( 的直径即为所求则对应于极角若
).()( bfaf?
,0)0( 则由若
)2()()()()( ffff
),0()]()0([)0()( ffff
)()()( ff
,0)()0(,],0[ )( 且上连续在故函数
,0)( ),,0(,00 使得由介质定理可知
).()( 00 ff即有证毕三 *,函数的一致连续性设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义,
,若,当 | x? x0 | <? 时,有成立,则 称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
| f (x)?f (x0) | <?
,部性的概念函数的连续性是一个局
,言的函数的连续性是对点而
,,0 的位置有关而且与点不仅依赖于定义中的 x
,),( 0x
,续函数所具有的特性一致连续性是指有些连
,0对于任意给定的一个
0,)( 有关的可以找到只与
,21 xxI 和内的任意两点使对区间
),( || 21 就有只要 xx
,|)()(| 21 xfxf
,0,,1 Ix对于任意给定的一个就是说
)(,),( 11 就夹在水平线曲线时当 xfyxxx
,)( )( 11 之间与 xfyxfy
大数学家魏尔斯特拉斯给我们提供了一个在闭区间上判别函数一致连续的原则
——内闭一致连续性：
若函数在区间 I 内连续,则在区间 I 内的任何一个闭区间 [a,b] I 上,函数是一致连续的,
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十三讲 闭区间上连续函数的性质脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第三章 函数的极限与连续性本章学习要求：
了解函数极限的概念，知道运用,ε－ δ”和,ε－ X,语言描述函数的极限。
理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。
理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。
理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。
第三章 函数的极限与连续性第九节 闭区间上连续函数的性质一,最大值和最小值定理二,介值定理三,函数的一致连续性一,最大值和最小值定理设 f (x)?C ( [a,b] ),则
(i) f (x) 在 [a,b] 上为 以下四种 单调函数时
aO b x
y
aO b x
y
O a b x
y
O a b x
y
y = f (x)?[a,b],
y = f (x)?[a,b],
,)()(m a x ],[ bfxfbax,)()(m i n
],[ afxfbax
,)()(m a x ],[ afxfbax,)()(m i n ],[ bfxfbax
此时,函数 f (x) 恰好在 [a,b] 的端点 a 和 b 处 取到最大值和最小值,
则则
(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时
},,,,,,,m a x {m a x 654321],[ baaaaaaabax mmmmmmmm
},,,,,,,m in {m in 654321],[ baaaaaaabax mmmmmmmm
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1am
2am
3am
4am
5am
6am
(最大值和最小值定理 )
若 f (x)?C ( [a,b] ),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次,
在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,
y = x 在 (1,3) 内连续,但它不能取到它的最大值和最小值,
定理若 f (x)?C( [a,b] ),则 f (x) 在 [a,b] 上有界,
x
y
a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
ma
mb
y = f (x)
O
1am
2am
3am
4am
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6am
看图就知道如何证明了,
推论
f (x) 在 [a,b] 上可取到它的最大值 M 和
f (x)?C ( [a,b] )
故 m? f (x)? M,x?[a,b],
| f (x) |? M*,x?[a,b],
令 M* = max { |m|,| M| },则即 f (x) 在 [a,b] 上有界,
最小值 m,
证二,介值定理
a x
y
y = f (x)
f (a)
b
f (b)
O
f (x)?C ( [a,b] ),f (a) f (b) < 0,
f (? )＝ 0.
先看一个图描述一下这个现象
(根存在定理或零点定理 )
则至少存在一点(a,b),使得 f (? )＝ 0.
设 f (x)?C ( [a,b] ),且 f (a) f (b) < 0,
a x
y
y = f (x)
f (a)
b
f (b)
O
如何证明
？
定理 1
证明的思想方法 —区间套法将区间 [a,b] 等分为 [a,a1] 和 [a1,b],
在这两个区间中,选择与 [a,b] 性质相同的一个,例如,若 f (a1) f (b) < 0,则选取 区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且
[a1,b],然后,对 [a1,b] 进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间,
总保持函数区间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的(a,b).
f (a) =A
f (b) =By y = f (x)
Cy?
f (? ) = C
下面看看,坐标平移会产生什么效果,
xxxxO a b? x
a b xO
如何描述这个现象?
(介值定理 )
设 f (x)?C ( [a,b] ),f (a)＝ A,f (b)＝ B,
且 A? B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,
至少存在一点(a,b),使得 f (?) = C.
定理 2
令? (x) = f (x)? C
故由根存在定理,至少存在一点(a,b) 使则? (x)?C ( [a,b] )
C 在 A,B 之间
(a) (b) = ( f (a)? C )?( f (b)? C )
= ( A? C ) ( B? C ) < 0
y
B
C
A
O a b b x
x
证
(? )= 0,即 f (? ) = C,
最大、最小值定理介质定理？
引入设 f (x)?C ( [a,b] ),则 f (x) 取得值 m 之间的任何 一个 值,
推论介于其在 [a,b] 上的最大值 M 和最小
.)()()()( 21 n xfxfxff n
设 f (x)?C ( [a,b] ),
证明,至少存在一点[x1,xn ],使得例 1
a < x1< x2 < … < xn < b,
证 故由 ] ),,([)( baCxf?
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,)()( 1 Mn xfxfm n从而由介值定理,至少存在一点( x1,xn ),使
,)()()( 1 n xfxff n
证明方程 x5 – 3x =1,在 x =1 与 x =2 之间令 f (x) = x5 – 3x –1,x?[1,2],
则 f (x)?C( [1,2] ),
又 f (1) = –3,f (2) = 25,f (1)? f (2) < 0,
即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根,
故 至少存在一个(1,2),使得 f (? ) = 0,
至少有一根,
例 2
证至少有一个不超过 a + b 的正根,
证明方程 x = a sin x + b ( a > 0,b > 0 )
设 f (x) = x? a sin x? b,x?[ 0,a + b ],
则 f (x)?C( [ 0,a + b ] ),
而 f (0) = 0 – a sin 0 – b = – b < 0,
f (a + b) = (a + b) – a sin (a + b) – b,
= a ( 1? sin (a + b) )? 0,
例 3
证,],0( 上求方程的根的问题问题归结为在 ba?
1) 如果 f (a + b)＝ 0,则? = a + b 就是方程的根,
即方程至少有一个不超过 a + b 的正根,
定理,至少存在一个( 0,a + b ),使得 f (? ) = 0.
2) 如果 f (a + b) > 0,则 f (0)? f (a + b) < 0,由根存在综上所述,方程在 ( 0,a + b ] 上至少有一个根,
例 4,,,证明并且连续在圆周上有定义已知函数 f
,,使处和在其两个端点可以找到一直径 ba
证,,极坐标系以某个半径为极轴建立以圆心为极点
,,的也是函数确定圆周上的一点可由极角于是 f
,2,为周期且以的函数?
).()(,, ff使得原问题归结为求一从而
,)( ),()()( 是一连续函数则令 ff; 0,0)0( 的直径即为所求则对应于极角若
).()( bfaf?
,0)0( 则由若
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),0()]()0([)0()( ffff
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,0)()0(,],0[ )( 且上连续在故函数
,0)( ),,0(,00 使得由介质定理可知
).()( 00 ff即有证毕三 *,函数的一致连续性设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义,
,若,当 | x? x0 | <? 时,有成立,则 称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的,
| f (x)?f (x0) | <?
,部性的概念函数的连续性是一个局
,言的函数的连续性是对点而
,,0 的位置有关而且与点不仅依赖于定义中的 x
,),( 0x
,续函数所具有的特性一致连续性是指有些连
,0对于任意给定的一个
0,)( 有关的可以找到只与
,21 xxI 和内的任意两点使对区间
),( || 21 就有只要 xx
,|)()(| 21 xfxf
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)(,),( 11 就夹在水平线曲线时当 xfyxxx
,)( )( 11 之间与 xfyxfy
大数学家魏尔斯特拉斯给我们提供了一个在闭区间上判别函数一致连续的原则
——内闭一致连续性：
若函数在区间 I 内连续,则在区间 I 内的任何一个闭区间 [a,b] I 上,函数是一致连续的,
