高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十五讲 导数的概念脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第一节 导数的概念第四章 一元函数的导数与微分一,导数产生的背景二,导数的概念三,导数存在的必要条件四,函数的增量与导数的关系一,导数产生的背景
1,物理背景
2,几何背景
1.物理背景在真空中,当时间由 t 变到 t+?t 时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为
22
2
1)(
2
1)()( gtttgtSttS )2(2
1 2tttg
例 1
物体由 t 到 t +?t 一段的平均速度是
ttt
tSttStV
)(
)()()(
t
tttg
)2(
2
1 2
tggt 21
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt,就是
t
tSttStVV
ttt?
)()(l im)(l im
00
gttggt
t
)21(lim
0
令?t?0 的极限过程：
从物理学看,当?t?0 时,应该有,0)()( tSttS
这是否也说明了一个什么问题?
P
l?l
力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量,
直线的一端为原点,线段 OP 的长度为 l,质量为 m,
则 m 是 l 的函数,m = f (l ),求点 P 处的线密度?,
例 2
O P?
给 l 一个增量?l,则?l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是而在 P 点处的线密度就是?l? 0 平均密度的极限：
0lim l lm
l?
0
lim l lfllf
l?
)()(lim
0
l
lfllf
l
m
)()(?
比较两个极限式：
l
lfllf
l?
)()(lim
0
,)()(lim
0 t
tSttS
t?
与
PTPQ
PLQ
PL
的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线平面曲线上切线的概念
L
P
Q
T
切线 PT
切点?
2,数学背景 — 平面曲线的切线问题沿曲线趋近于点 A时的极限位置,
平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0,y0) 处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+?x,y0+?y)
O x
y
)( xfy?
A
A?
B
x?
y?
T
定义切线方程,
,)( 00 xxkyy
ta n?k
ta nlim 0 x
其中,
,lim
0 x
y
x?
(1) 建立一个函数关系 y = f (x) x?I,
(2) 求函数由 x0 到 x0+?x 的平均变化率：
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤,
(3) 求?x? 0 的 极限：;)()( 00 x xfxxfxy
,)()(l i ml i m 00
00 x
xfxxf
x
y
xx?
小结二,导数的概念设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义,且 x0+?x? U(x0).
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f (x) 在
,|' 0 ay xx,a
x
xf?
d
)(d 0,d
d
0 ax
y
xx
如果极限
axyx xfxxf
xx
0
00
0
lim)()(lim
存在,
点 x0 处 的导数,记为
，axf )( 0
定义
1,导数的定义
k? 0为常数,
x
xfxxfxf
x
)()(lim)( 00
00
x
xxfxxfxf
x?
2
)()(lim)( 00
00
xk
xfxkxfxf
x?
)()(lim)( 00
00;)()(lim)('
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导,则设函数 f (x) 在 [x0,x0+? ) 内有定义,若存在,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数,记为
2.左、右导数
ax xfxxfxy
xx
)()(l iml im 00
00
.)( 0 axf
定义设函数 f (x) 在 (x0 –?,x0] 内有定义,若存在,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数,记为
ax xfxxfxy
xx
)()(l iml im 00
00
axf )( 0
定义
axf )( 0 axfxf
)()( 00
定理好像见过面啊！
3,导函数
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)(
00
若? x?(a,b),函数 f (x) 皆可导,则说 f (x) 在
(a,b) 内可导,这时 f?(x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a,b) 内的导函数,通常我们仍称之为 f (x) 在 (a,b) 内的导数：
定义函数在点 x0? I 处的导数,
0)()( 0 xxxfxf
)(,)( bfaf若 f (x) 在 (a,b) 内可导,且 存在,
则称 f (x )在 [a,b] 上可导,f?(x) 称为 f (x) 在 [a,b] 上的导函数,简称为导数,
先求导、后代值,
定义
4.导数的几何意义
)(t a n 0xfk
此时,切线方程为,
))(( 000 xxxfyy
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f?( x0) 就是对应的平面曲线 y = f (x) 在点 (x0,y0) 处的切线的斜率 k,
y
O x x0
y = c
f?(x0) = 0
y
O x
f?(x0) =?
x0
O x
y
x0
y
O x x0
f?(x0)不存在 f?(x0)不存在切线平行于 x 轴,0)( 0 xf
曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能 平行 于 x 轴、
垂直 于 x 轴、或不存在,所 反映出的导数值是：
切线垂直于 x 轴, )( 0xf （曲线为连续曲线）
在点 x0 处无切线,f?(x0) 不存在,
在任意一点 x 处,有
x
xxx
x
yk
xx?
22
00
) (limlim
在点 (1,1) 处故所求切线方程为：
22 110 xx xkk
求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率,并求在点 (1,1) 处的切线方程,
xxxx 2)2(lim 0
即 y = 2x –1.y –1= 2(x –1),
例 3
解三,导数存在的必要条件设 f (x) 在点 x0 可导,即有于是,)()()( 0
0
0
xf
xx
xfxf
0
0
00
)()(l i ml i m)(
0 xx
xfxf
x
yxf
xxx?
)( 0 0xx
故?)())(()()(
0000 xxxxxfxfxf
)(l im
0
xfxx
)( 0xf?
] )())(()([l im 0000
0
xxxxxfxfxx
,)(,0 处连续在点函数就是说 xxf
函数 f (x) 在点 x0可导的必要条件是它在点 x0 连续,
只是必要条件！
定理
y = | x | 在点 x = 0 连续,但不可导,
x
xf
x?
|0||0|lim)0(
0
x
xf
x
|0||0|li m)0(
0
故 f?(0) 不存在,
y = | x |
O x
y
1||l i m
0
x
x
x ＋
1||l i m
0
x
x
x
例 4
解
,0 ||,0 ||l i m 00 处连续在点故但 xxyyx xx
在点 x = 0 处的 连续性和可导性,
,1|1s i n |?x?
01s inlim 0 xx nx
00xy又
当 n?N 时,函数在 在点 x = 0 处连续,
)(
0,0
0,
1
s i n
Zn
x
x
x
x
y
n
讨论例 5
解 )( Zn
当 n =1 时,
xx
y
xx?
limlim
00
不存在,
故 n =1 时,函数在 x = 0 处不可导,
当 n >1 时,
xx
y
xx?
limlim
00
故 n >1时,函数在 x = 0 处可导,其导数为,00xy
xx
1s i nl i m
0
01s i nlim 1
0
x
x n
x
xx
1s i n
xx
n
1s i n
f (x) 在 x = 0 处 可导,
从而 f (x) =
1 + bx,x≤0
e – x,x > 0
f (0) = 1
f (x) 在 x = 0 处 连续,f (0) = a,
例 6
解
,1,1lim)(lim 00 aexf xxx 故又设
a + bx,x≤0
求 a,b 之值,
e – x,x > 0
y = 在 x = 0 可导,
由可导性：
故 b = –1,此时函数为
f (x) =
1? x,x ≤ 0
e – x,x > 0
x
e
x
fxf x
xx?
1lim)0()0(lim
00
bx xbx fxf
xx
1)1(lim)0()0(lim
00
1lim
0
x
x
x
,1,1 ba
四,函数的增量与导数的关系可表示为?y = f ' (x0)?x + o(?x),
若函数 f (x) 在点 x0 处有 ( 有限 ) 导数 f?(x0),
则函数 f (x) 在该点的增量?y = f (x0+?x)? f (x0),
定理
,lim)(
00 x
yxf
x?
得
,)( 0 xfxy
0 ) 0( 时 x
故 )o()()( 00 xxxfxxxfy
证 由则函数 f (x) 在点 x0 处有若函数 f (x) 在点 x0 处有 (有限 )导数 f?(x0),
可近似表示为,?y? f?(x0)?x
(1) 函数 f (x) 在该点的增量?y = f (x0+?x)? f (x0)
xxfxfxxf )()()( 000(2) ; ) )U( (
00 xxx
))(()()( 000 xxxfxfxf ))U(( 0xx?
推论
,2xy?设则
)o(2)o( xxxxxyy
于是
xxxyy 2
例 7
,2)( 2 xxy
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第十五讲 导数的概念脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第一节 导数的概念第四章 一元函数的导数与微分一,导数产生的背景二,导数的概念三,导数存在的必要条件四,函数的增量与导数的关系一,导数产生的背景
1,物理背景
2,几何背景
1.物理背景在真空中,当时间由 t 变到 t+?t 时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为
22
2
1)(
2
1)()( gtttgtSttS )2(2
1 2tttg
例 1
物体由 t 到 t +?t 一段的平均速度是
ttt
tSttStV
)(
)()()(
t
tttg
)2(
2
1 2
tggt 21
求物体在时刻 t 的瞬时速度 vt,就是
t
tSttStVV
ttt?
)()(l im)(l im
00
gttggt
t
)21(lim
0
令?t?0 的极限过程：
从物理学看,当?t?0 时,应该有,0)()( tSttS
这是否也说明了一个什么问题?
P
l?l
力学中的线密度问题设有一根可视为直线的棒上非均匀地分布着质量,
直线的一端为原点,线段 OP 的长度为 l,质量为 m,
则 m 是 l 的函数,m = f (l ),求点 P 处的线密度?,
例 2
O P?
给 l 一个增量?l,则?l 这一段 ( PP' ) 的平均密度是而在 P 点处的线密度就是?l? 0 平均密度的极限：
0lim l lm
l?
0
lim l lfllf
l?
)()(lim
0
l
lfllf
l
m
)()(?
比较两个极限式：
l
lfllf
l?
)()(lim
0
,)()(lim
0 t
tSttS
t?
与
PTPQ
PLQ
PL
的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线平面曲线上切线的概念
L
P
Q
T
切线 PT
切点?
2,数学背景 — 平面曲线的切线问题沿曲线趋近于点 A时的极限位置,
平面曲线 y = f (x) 的切线：
曲线在点 A(x0,y0) 处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA’ 当点 A’(x0+?x,y0+?y)
O x
y
)( xfy?
A
A?
B
x?
y?
T
定义切线方程,
,)( 00 xxkyy
ta n?k
ta nlim 0 x
其中,
,lim
0 x
y
x?
(1) 建立一个函数关系 y = f (x) x?I,
(2) 求函数由 x0 到 x0+?x 的平均变化率：
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤,
(3) 求?x? 0 的 极限：;)()( 00 x xfxxfxy
,)()(l i ml i m 00
00 x
xfxxf
x
y
xx?
小结二,导数的概念设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义,且 x0+?x? U(x0).
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导,极限值 a 称为 f (x) 在
,|' 0 ay xx,a
x
xf?
d
)(d 0,d
d
0 ax
y
xx
如果极限
axyx xfxxf
xx
0
00
0
lim)()(lim
存在,
点 x0 处 的导数,记为
，axf )( 0
定义
1,导数的定义
k? 0为常数,
x
xfxxfxf
x
)()(lim)( 00
00
x
xxfxxfxf
x?
2
)()(lim)( 00
00
xk
xfxkxfxf
x?
)()(lim)( 00
00;)()(lim)('
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx?
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导,则设函数 f (x) 在 [x0,x0+? ) 内有定义,若存在,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数,记为
2.左、右导数
ax xfxxfxy
xx
)()(l iml im 00
00
.)( 0 axf
定义设函数 f (x) 在 (x0 –?,x0] 内有定义,若存在,则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数,记为
ax xfxxfxy
xx
)()(l iml im 00
00
axf )( 0
定义
axf )( 0 axfxf
)()( 00
定理好像见过面啊！
3,导函数
x
xfxxf
x
yxf
xx?
)()(limlim)(
00
若? x?(a,b),函数 f (x) 皆可导,则说 f (x) 在
(a,b) 内可导,这时 f?(x) 是关于 x 的一个新函数,
称之为 f (x) 在 (a,b) 内的导函数,通常我们仍称之为 f (x) 在 (a,b) 内的导数：
定义函数在点 x0? I 处的导数,
0)()( 0 xxxfxf
)(,)( bfaf若 f (x) 在 (a,b) 内可导,且 存在,
则称 f (x )在 [a,b] 上可导,f?(x) 称为 f (x) 在 [a,b] 上的导函数,简称为导数,
先求导、后代值,
定义
4.导数的几何意义
)(t a n 0xfk
此时,切线方程为,
))(( 000 xxxfyy
函数 f (x) 在点 x0 的导数 f?( x0) 就是对应的平面曲线 y = f (x) 在点 (x0,y0) 处的切线的斜率 k,
y
O x x0
y = c
f?(x0) = 0
y
O x
f?(x0) =?
x0
O x
y
x0
y
O x x0
f?(x0)不存在 f?(x0)不存在切线平行于 x 轴,0)( 0 xf
曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能 平行 于 x 轴、
垂直 于 x 轴、或不存在,所 反映出的导数值是：
切线垂直于 x 轴, )( 0xf （曲线为连续曲线）
在点 x0 处无切线,f?(x0) 不存在,
在任意一点 x 处,有
x
xxx
x
yk
xx?
22
00
) (limlim
在点 (1,1) 处故所求切线方程为：
22 110 xx xkk
求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率,并求在点 (1,1) 处的切线方程,
xxxx 2)2(lim 0
即 y = 2x –1.y –1= 2(x –1),
例 3
解三,导数存在的必要条件设 f (x) 在点 x0 可导,即有于是,)()()( 0
0
0
xf
xx
xfxf
0
0
00
)()(l i ml i m)(
0 xx
xfxf
x
yxf
xxx?
)( 0 0xx
故?)())(()()(
0000 xxxxxfxfxf
)(l im
0
xfxx
)( 0xf?
] )())(()([l im 0000
0
xxxxxfxfxx
,)(,0 处连续在点函数就是说 xxf
函数 f (x) 在点 x0可导的必要条件是它在点 x0 连续,
只是必要条件！
定理
y = | x | 在点 x = 0 连续,但不可导,
x
xf
x?
|0||0|lim)0(
0
x
xf
x
|0||0|li m)0(
0
故 f?(0) 不存在,
y = | x |
O x
y
1||l i m
0
x
x
x ＋
1||l i m
0
x
x
x
例 4
解
,0 ||,0 ||l i m 00 处连续在点故但 xxyyx xx
在点 x = 0 处的 连续性和可导性,
,1|1s i n |?x?
01s inlim 0 xx nx
00xy又
当 n?N 时,函数在 在点 x = 0 处连续,
)(
0,0
0,
1
s i n
Zn
x
x
x
x
y
n
讨论例 5
解 )( Zn
当 n =1 时,
xx
y
xx?
limlim
00
不存在,
故 n =1 时,函数在 x = 0 处不可导,
当 n >1 时,
xx
y
xx?
limlim
00
故 n >1时,函数在 x = 0 处可导,其导数为,00xy
xx
1s i nl i m
0
01s i nlim 1
0
x
x n
x
xx
1s i n
xx
n
1s i n
f (x) 在 x = 0 处 可导,
从而 f (x) =
1 + bx,x≤0
e – x,x > 0
f (0) = 1
f (x) 在 x = 0 处 连续,f (0) = a,
例 6
解
,1,1lim)(lim 00 aexf xxx 故又设
a + bx,x≤0
求 a,b 之值,
e – x,x > 0
y = 在 x = 0 可导,
由可导性：
故 b = –1,此时函数为
f (x) =
1? x,x ≤ 0
e – x,x > 0
x
e
x
fxf x
xx?
1lim)0()0(lim
00
bx xbx fxf
xx
1)1(lim)0()0(lim
00
1lim
0
x
x
x
,1,1 ba
四,函数的增量与导数的关系可表示为?y = f ' (x0)?x + o(?x),
若函数 f (x) 在点 x0 处有 ( 有限 ) 导数 f?(x0),
则函数 f (x) 在该点的增量?y = f (x0+?x)? f (x0),
定理
,lim)(
00 x
yxf
x?
得
,)( 0 xfxy
0 ) 0( 时 x
故 )o()()( 00 xxxfxxxfy
证 由则函数 f (x) 在点 x0 处有若函数 f (x) 在点 x0 处有 (有限 )导数 f?(x0),
可近似表示为,?y? f?(x0)?x
(1) 函数 f (x) 在该点的增量?y = f (x0+?x)? f (x0)
xxfxfxxf )()()( 000(2) ; ) )U( (
00 xxx
))(()()( 000 xxxfxfxf ))U(( 0xx?
推论
,2xy?设则
)o(2)o( xxxxxyy
于是
xxxyy 2
例 7
,2)( 2 xxy
