高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十讲 罗必达法则脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四节 罗必达法则第四章 一元函数的导数与微分大量,为此,我们称这类极限为,不定型,,
,00或我们知道,两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大量的形式不同,极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷记为,
以下各类极限称为不定型的极限：
,00,,0,
,1?,00,0?
其中,; 0 表示无穷小量 ; 表示无穷大量?
,1 1 为极限的变量表示以不定型的极限
00
0
1? 00 0?
倒数法取对数法 只需讨论这两种极限罗必达法则设在某一极限过程中
00,0)(l i m,0)(l i m )1( xgxf
,)(l i m,)(l i m xgxf
,)(,)(,)2( 存在在该极限过程中 xgxf,0)( xg且
,)( )(l i m )3( 存在或为无穷大xg xf
,)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf则有
,)(,)(,)2( 存在在该极限过程中 xgxf解释：
是指：
,0xx?若极限过程为
,)(U? )(,)( 0 存在在则 xxgxf
,x若极限过程为
,|| )(,)( 存在当则 Xxxgxf
,0 时情形先证 xx?
,0)(l i m,0)(l i m
00
xgxf xxxx由于
,)(,)( 0 总可令处是否连续在故不论 xxgxf
,0)(,0)( 00 xgxf
内从而在成为连续函数使得 )U(,)(,)( 0xxgxf
可选择适当区间来运用柯西中值定理,
型就可将令 )(1)(,)(1)( 21 xgxxfx
,00 型转换为证的极限过程转换则可将令,1 xtx
,0)( 0 0 的极限过程为 tt
详细的证明过程请同学们自己看书,
运用罗必达法则时的注意事项在运用罗必达法则时,不存在如果 )(
)(lim
xg
xf
但也不是无穷大,则不能说明 不存 )( )(l i m xg xf
在,此时应重新另找其它方法进行计算,
罗必达法则只限于求,00 型的极限和其它类型的不定型应首先化成这两种形式才能用罗必达法则,
在运用罗必达法则求极限过程中,极限存在并且不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化,
在运用罗必达法则求极限过程中,尽可能运用等价无穷小替代方法,它往往可使问题得到明显的简化,
如果在使用罗必达法则后,仍是 )(
)(lim
xg
xf
,00 型或 仍满足罗必达法且 )(,)( xgxf
则条件,则可继续使用罗必达法则,
使用罗必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错,
,c o slim
0 x
xe x
x
求 0
0
1
s inlimc o slim
00
xe
x
xe x
x
x
x
1?
此题不用罗必达法则也可作,分子加 1 减 1,
然后运用等价无穷小替代即可,
例 1
解
,lnl i m x x
x
求?
1
1
l i m
ln
l i m x
x
x
xx
01l i m
xx
例 2
解
,si nl i m x xx
x
求?
)c o s1(limsi nlim xx xx
xx
不存在,
故不能用罗必达法则求此极限,
,1) si n1 (lim si nlim
x
x
x
xx
xx
实际上例 3
解
,si nt a nlim
0 xx
xx
x?
求 0
0
x
x
xx
xx
xx c o s1
1s e clim
s in
ta nlim 2
00?
x
xx
x s in
s e cta n2lim 2
0?
2c o s2li m 3
0
xx
(化简 )
在使用罗必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单,
连续使用罗必达法则
0
0
例 4
解
,
||ln
||lnc o sl i m
axax ee
axx
求
||ln
||lnc o sl i m
axax ee
axx
||ln
||lnl i mc o sl i m
axaxax ee
axx
)(
l i mc os
axe
eea
x
ax
ax?
ax
ee
ea
ax
axxax?
l i m1l i mc o s
x
ax
a eea
limc o s acos?
0
0
运用罗必达法则时,定式因子如有极限应单独分出计算,
例 5
解例 6
解
.1s i n1l i m 22
0
xxx
求
xx
xx
xx xx 22
22
0220 s i n
s i n l i m1
s i n
1l i m
xx
xxxx
x 220 s i n
)s i n)(s i n(lim
xx
xx
x
xx
xx s i n
s i nl i m
s i n
s i nl i m
200
30
s i nl i m2
x
xx
x
xx ~sin
20 3
c o s1lim2
x
x
x
2
2
1~c o s1 xx? 3
1
3
2
1
lim2 2
2
0
x
x
x
极限不等于零的因子
.,0,l i m?
Znae x xa
n
x
求?
xa
n
xxa
n
x ea
xn
e
x 1limlim?
xa
n
x ea
xnn
2
2)1(
l i m
次
! lim
n xanx ea
n
0?
如果 n 不是正整数,怎么办？
1 knk
Zk
例 7
解夹逼定理
,l i m 100
1
0
2
x
e x
x
求 0
0
102
1
0100
1
0 50
l im l im
22
x
e
x
e x
x
x
x
0
0
你还打算做下去吗?
这样做,分母中 x 的次数将越来越高,
而分子不变,极限始终无法求出,
例 8
解将原极限稍加变形,
2
2
1
100
0100
1
0
l i m l i m
x
x
x
x
e
x
x
e?
2
1
3
1 0 1
0 2
1 0 0
lim
x
x
e
x
x
2
1
98
0
50
l i m
x
x
e
x?
次50
0! 50l im
2
10
x
x
e
,l i m 100
1
0
2
x
e x
x
求 0
0
例 8
解下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用罗必达法则计算的例题,
,lnli m 0 xxx求0
x
x
xx
xx 1
ln
limlnlim
00
0)(lim
1
1
lim
0
2
0
x
x
x
xx
倒数法,
用另一种形式颠倒行不行?
行,但繁些,
存在一个选择问题,
例 9
解
,ln 11 lim
1
xx
x
x
求
这种形式可以直接通分,
xx
xxx
xx
x
xx ln)1(
)1(ln l i m
ln
1
1 l i m 11?
0
0
1ln
ln l i m
1
xxx
xx
x 0
0
2
1
11ln
1ln l i m
1
x
x
x
该题也可用倒数法例 10
解
.a r c tan2l i m ln
1
x
x
x
求 00
运用取对数法,
x
x
x ln
1
a r c tan2lim
}{
ln
)a r c ta n
2
l n (
l i me x p
x
x
x
}{ )ar ct an2 l n (ln 1 ex plim xx
x
0
例 11
解
}{
2
a r c tan
1l i me x p 2
x
x
x
x0
0
}{
1
1l i me x p
2
2
x
x
x?
1e
.
)1(
l i m
1
1
0
x
x
x e
x
求
1
运用取对数法,
原式 }{ )1l n (lim ex p 20 x xxx0
0
}{
2
1
1
1
ex p
x
x
21}{
)1(2
1 e x p
e
x
例 12
解
,)( 111 l i m 2 n
n nn
求 这是数列的极限
x
x
n
n xxnn
)()( 111 l i m 111 l i m 22
x
xx
x 1
)
11
1 ( ln
l i mex p
2
t
tt
t
) 1 ( lnl i me x p 2
0
xt
1?
e
罗必达例 13
解此题也可用重要极限的方法来求解,
,方法求解此题可以按重要极限的
22
11
11
1
22
111l i m111l i m nnn
nn
n
n
n nnnn
,e?
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十讲 罗必达法则脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求：
理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。
熟悉一阶微分形式不变性。
熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、
复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。
了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。
熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。
掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。
第四节 罗必达法则第四章 一元函数的导数与微分大量,为此,我们称这类极限为,不定型,,
,00或我们知道,两个无穷小量或两个无穷大量的商的极限,随着无穷小量或无穷大量的形式不同,极限值可能存在、也可能不存在、可能是无穷小量、也可能是无穷记为,
以下各类极限称为不定型的极限：
,00,,0,
,1?,00,0?
其中,; 0 表示无穷小量 ; 表示无穷大量?
,1 1 为极限的变量表示以不定型的极限
00
0
1? 00 0?
倒数法取对数法 只需讨论这两种极限罗必达法则设在某一极限过程中
00,0)(l i m,0)(l i m )1( xgxf
,)(l i m,)(l i m xgxf
,)(,)(,)2( 存在在该极限过程中 xgxf,0)( xg且
,)( )(l i m )3( 存在或为无穷大xg xf
,)( )(lim)( )(lim xg xfxg xf则有
,)(,)(,)2( 存在在该极限过程中 xgxf解释：
是指：
,0xx?若极限过程为
,)(U? )(,)( 0 存在在则 xxgxf
,x若极限过程为
,|| )(,)( 存在当则 Xxxgxf
,0 时情形先证 xx?
,0)(l i m,0)(l i m
00
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,)(,)( 0 总可令处是否连续在故不论 xxgxf
,0)(,0)( 00 xgxf
内从而在成为连续函数使得 )U(,)(,)( 0xxgxf
可选择适当区间来运用柯西中值定理,
型就可将令 )(1)(,)(1)( 21 xgxxfx
,00 型转换为证的极限过程转换则可将令,1 xtx
,0)( 0 0 的极限过程为 tt
详细的证明过程请同学们自己看书,
运用罗必达法则时的注意事项在运用罗必达法则时,不存在如果 )(
)(lim
xg
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但也不是无穷大,则不能说明 不存 )( )(l i m xg xf
在,此时应重新另找其它方法进行计算,
罗必达法则只限于求,00 型的极限和其它类型的不定型应首先化成这两种形式才能用罗必达法则,
在运用罗必达法则求极限过程中,极限存在并且不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化,
在运用罗必达法则求极限过程中,尽可能运用等价无穷小替代方法,它往往可使问题得到明显的简化,
如果在使用罗必达法则后,仍是 )(
)(lim
xg
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,00 型或 仍满足罗必达法且 )(,)( xgxf
则条件,则可继续使用罗必达法则,
使用罗必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错,
,c o slim
0 x
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x
求 0
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1
s inlimc o slim
00
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此题不用罗必达法则也可作,分子加 1 减 1,
然后运用等价无穷小替代即可,
例 1
解
,lnl i m x x
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求?
1
1
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例 2
解
,si nl i m x xx
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)c o s1(limsi nlim xx xx
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不存在,
故不能用罗必达法则求此极限,
,1) si n1 (lim si nlim
x
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实际上例 3
解
,si nt a nlim
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(化简 )
在使用罗必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单,
连续使用罗必达法则
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例 4
解
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求
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运用罗必达法则时,定式因子如有极限应单独分出计算,
例 5
解例 6
解
.1s i n1l i m 22
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如果 n 不是正整数,怎么办？
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例 7
解夹逼定理
,l i m 100
1
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1
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x
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x
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x
x
x
0
0
你还打算做下去吗?
这样做,分母中 x 的次数将越来越高,
而分子不变,极限始终无法求出,
例 8
解将原极限稍加变形,
2
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0100
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例 8
解下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用罗必达法则计算的例题,
,lnli m 0 xxx求0
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xx 1
ln
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00
0)(lim
1
1
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倒数法,
用另一种形式颠倒行不行?
行,但繁些,
存在一个选择问题,
例 9
解
,ln 11 lim
1
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x
x
求
这种形式可以直接通分,
xx
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x
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该题也可用倒数法例 10
解
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运用取对数法,
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例 11
解
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运用取对数法,
原式 }{ )1l n (lim ex p 20 x xxx0
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例 12
解
,)( 111 l i m 2 n
n nn
求 这是数列的极限
x
x
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2
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罗必达例 13
解此题也可用重要极限的方法来求解,
,方法求解此题可以按重要极限的
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