高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第一讲 一元微积分的应用 (一 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数的单调性、极值第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性一、导数的简单应用
,1 用导数在几何中的简单应
,2 应用导数在物理学中的简单
,)( )1( 法线方程在某点处的切线方程和求曲线 xfy?
,)2( 点处的交角求两条相交的曲线在交
,)1( 速度或变量的变化率求物体运动的速度、加
,)2( 求变量间的相关变化率
,1 用导数在几何中的简单应
,)( )1( 法线方程在某点处的切线方程和求曲线 xfy?
,),( )(,)( 00 处在点则曲线可微设函数 yxMxfyxf?
,)( 0xfk切线的斜率为
,) 0)( (,)(1 1 0
0
1 xfxfkk法线的斜率为; ))(( 000 xxxfyy切线方程为
,)()(1 0
0
0 xxxfyy法线方程为
,,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例
,)2( 点处的交角求两条相交的曲线在交
,间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交
O x
y
1?
2?
1L
2L
M
,),(
)(,
,)(,
00
22
11
处相交于点设曲线
yxM
xfyL
xfyL
,相应的切线方程分别为
,)(
,)(
10222
10111
bxxfbxky
bxxfbxky
,导数的问题
O x
y
1?
2?
1L
2L
M
)t an (t an 12
1
21
12
kk
kk
,)()(1 )()(
0201
0102
xfxf
xfxf
,),( )()(1 )()( a r c ta n
0201
0201 取锐角一般故
xfxf
xfxf
例 1
解
,1?的交角抛物线与求双曲线 xyxy
O x
y
xy?
1
xy?
M
,联立方程组求交点
1
xy?
xy?
,) 1,1 (,M得交点为解此方程组
,1 11 1211 xx xxk
,2 1 2 1 )( 112 xx xxk
,a r c t a n 3
2
1
)1(1
2
1
)1(
a r c t a n?
故例 2
解
013 2 yxxy 上哪一点的切线与直线抛物线
45 o的交角为
),( 2 处的切线的斜率为上任意一点抛物线 yxxy?
,2)( 21 xxk
013 的斜率为直线 yx
,3)13(2 xk
,得式由题意及曲线间交角公
,1 231 23 xx
)()(1 )()( ta n
0201
0102
xfxf
xfxf
取锐角
,16 1,41 )1,1(,)61(23 和解之得所求点为即 xx
例 3
解
,用立方抛物线和适当选取参数 cA
))()(( cxbxaxAy
将两条射线
,)( )(1 axaxky
)( )(2 xbbxky
,],[ 上光滑地连接起来在区间 ba
两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接”,
,,切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线
,同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函
,,有处和在点对立方抛物线而言 bxax
,))(( cabaAy ax
,))(( cbabAy bx
,有接到含义由直线方程以及光滑连
,))(( 1kcabaA
,))(( 2kcbabA
( 1 )
( 2 )
)2()1( 得?
,)]()[( 2122 kkacbcbabbcacabaA
)3(,)( 221ba kkA故
,)1( (3 ) 值式中求代入将 c
,))(( )( 1221 kcababa kk
从而
,
21
21
kk
kbkac
,,,)(
21
21
2
21 即可满足要求故取
kk
kbkac
ba
kkA
,2 应用导数在物理学中的简单
,)1( 速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例 4,,0 其运动方程为发射炮弹发射角以初速度?v
,)c o s( 0 tvx
,21 )s i n( 20 tgtvy; )1( 的运动方向炮弹在时刻求 t
,)2( 的速度大小炮弹在时刻 t
解
O x
y
0v?
v
xv
yv
)1( 时的方向炮弹在时刻 t
时的刻就是炮弹的轨迹线在时 t
,而切线方向对应点上的切线方向
,反映可以通过切线的斜率来
) )c o s((
)
2
1 )s i n((
d
d
0
2
0
tv
tgtv
x
y
,c o s s in
0
0
v
tgv
,,则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记 xt?
,)c o s( 0 tvx
,21 )s i n( 20 tgtvy
,c o s s in ddta n
0
0
v
tgv
x
y
,轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻 xt
,) ( c o s s in a r c ta n
0
0 取锐角?
v
tgv
,)2( 分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t
,; 且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于 yx vyvx
,s indd,c o sdd 00 tgvtyvvtxv yx
,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知 t
,s in2 2202022 tgtgvvvvv yxt
,)2( 求变量间的相关变化率在实际问题中，往往是同时出现几个变量,变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数 ( 例如，都是时间 t 的函数,) 从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题,
例 5
解
,c m / 0,0 1,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板
,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为
,,则面积为设圆板的半径为 yx
( 1 ),2xy
,c m / 0,0 1dd,,,秒且的函数都是显然?txtyx
dd,cm 2 0 0 tyx 时现要求
,(1 ) 得求导式两边关于将 t
,dd 2dd txxty
,200 圆板面积的增加率为时故在?x
,)( c m / 401.02 0 0 2dd 秒ty
例 6
解
8,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为
5,/m 4,3 米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水升的速度
,,米水深为分钟后设注水 ht,,米水面的直径也是此时 h
,12231 3
2
hhhV容器内水的体积为
,,412,4,3 得求导对此式两边关于故有此外 tthtV
,16dd 2hth
,5 其表面上升的速度为米时故当水深?h
,)( m / 204.02516516dd 2 分th
例 7
解
,设一贴靠在铅直的墙上
5 米的梯子的下端以长度为
,m/ 3 的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑速度大小相同？
y
xO
m 5
t
x
d
d
t
y
d
d
,引入坐标系如图所示
,( m ) ( m ),,yxt 上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻
,,,且有的函数均为显然 tyx
( 1 ),5,)( m / 3dd 222 yxtx 秒
x
y
,我们的问题是注意到速度的方向性
( 2 ),)( m / 3dd秒ty
,5 222 得求导两边关于对 tyx
,0dd2dd2 tyytxx
,dd dd txyxty即有
,,3 3,)( m / 3dd )2( yxyxtx 即得秒式及由
,25,5 222 yxyx 故而
,,25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx
,,使的值求 yx
y
xO
m 5
t
x
d
d
t
y
d
d
x
y
下面我们运用函数的导数 (微分 )来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形,
,理和公式回忆一下几个重要的定
,))(()()( abfaFbF式拉格朗日中值定理的公
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf泰勒公式
,))( o ( )()(! 3 )()(! 2 )( 303300200 xxxRxxxfxxxf
由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道,
,)( 则内可导在区间若函数 Ixf
0)( xf )( Ixf?
0)( xf )( Ixf?
,)( 0)( 单调性的分界点的点可以作为函数 xfxf
二、函数的单调性观察下面的图形,你能得出什么结论？
O x
y
O x
y
)( 不存在的点也可作为使得函数的导数 xf?
,函数单调性的分界点综上所述,可知,
在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,
然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,
在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少,
提供了判断函数单调性的方法
)( 0)( )( 不存在的点或的导数使得函数 xfxfxf
,分界点可以作为函数单调性的
,82 的单调性讨论 xxy
),0()0,(,定义域
2
82
xy )4(
2 2
2 xx
得令,0y,2,2 21 xx
x
y?
y
)2,( 2? 0),2(? 0 2),0( 2 ),2(
0 0
例 1
解
xxy
82,函数综上所述
) ( 2,,)2,( ；内单调增加在
,)2,0(,)0,2( 内单调减少在?
列表可使问题明朗化
,),( s i n 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx
,),( s i n)( xxxxf令
,01co s)(,)),(()( xxfCxf则
,0)(,)( 2 xfZkkx 时且仅当?
,)( 仅在孤立点处为零即 xf?
),(s i n)( xxxf从而
,)(,轴最多有一个交点与曲线就是说 xxfy?
例 2
证
,)( s inlim)(lim xxxf xx而
,)( s inlim)(lim xxxf xx
,)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性 xxfy?
,)(,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述 xxfy?
,),( s i n 内有且仅有一个实根在即方程 xx
满足条件：设 )( xf; 0)0(,) ),0[()( )1( fCxf
,)(,),0( )( )2( ),0( xfxf 且内可导在
,)()(,),0( x xfxg证明
,)()()( 2x xfxxfxg由于
,),0( 0)()( xxfxfx
下一步你打算怎么办?
这个式子有点像 ……？
例 3
证 故关键在于证明
,式形式拉格朗日中值定理的公
],0[ )(,),0( 上满足在由已知条件可知 xtfx
)0)(()0()( xffxf?
得由,0)0(?f
,)(0,)()( xxfxf
,)( ),0( xf又,)()(,xxfxf从而
,0)()()( 2 x xfxxfxg于是
,)(,),0(xgx 得的任意性故由故有，拉格朗日中值定理条件
,)3( 是单调减少的数列证明, nnx nn
,),3[,)( 1 xxxf x令
2
1 ln1
)( x xxxf x
,3 时当?x,0)( xf
,)( ),3[xf故
,)3(,}{, nx n由此可得利用函数处理数列例 4
证三、函 数 的 极 值函数的极值是个局部性的概念,
,)( )( )U( 00 的大小与内比较在 xfxfx
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式,
费马定理 — 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 — 可利用高阶导数定理
,0)( )( 00 xfxxf 处取极值的必要条件是在点可微函数
,实质上就是费马定理费 马
Pierre de Fermat
(1601－ 1665)
费马，法国数学家,出身于一个商人家庭,他的祖父、父亲、叔父都从商,他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店,
费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职,曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权,精通 6 种语言,业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作,
,1637 写下了著名的算术》时年费马研究丢番图的《
,费马大定理
,,,)2( zyxnzyx nnn 的正整数不存在满足
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”,
,)( 0)( 0 的驻点的点称为函数使 xfxf
,,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知
,极值函数在驻点处不一定取
,0,0 yx 处在点
,3xy?例如
,0 不是极值此时但?xy
y
xO
3xy?
0?x
,点也是极值可疑点使得函数导数不存在的
),( ||, xxy例如
,0 处不可导在点?x
,0 恰好是它的极小点但?x
y
xO
|| xy?
0?x
否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点
,0)(,的点驻点 xf
,0)( 不存在点使 xf
首先考察下列函数的图形,
O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x
极大点 极小点极大点 极小点 不是极值点
O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x
不是极值点
O x
y
0x0x0x
极小点 不是极值点
O x
y
0x0x0x
O x
y
0x0x0x
O x
y
0x0x0x
极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？
判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号,
两侧函数的单调性,
,)(U?,))( U ()( 00 内可微在设 xxCxf?
,)( 0 的极值可疑点为点 xfx; 0)(,)1( 0 xfxx 时若
,0)(,0 xfxx 时
,)(,)( 00 为极大值的极大点为则 xfxfx; 0)(,)2( 0 xfxx 时若
,0)(,0 xfxx 时
,)(,)( 00 为极小值的极小点为则 xfxfx
(单调增加 )
(单调减少 )
(单调减少 )
(单调增加 )
定理证,,)(U?
0 由已知条件可知xx
,],[,; ],[,0000 上在时上在时 xxxxxxxx
,)( 条件满足拉格朗日中值定理函数 xf
,,0 时于是 xx? 使,) ( 01 xx
))(()()( 010 xxfxfxf
使,),( 02 xx
))(()()( 020 xxfxfxf
,0 时xx?
由定理中 (1) 的条件,得
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
O x
y
0x
,)(,)( 00 为极大值的极大点为故 xfxfx
由定理中 (2) 的条件,得
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
,0 时xx?,)()( 0xfxf? O x
y
0x
,)(,)( 00 为极小值的极小点为故 xfxfx
)U(,00 内就是在是否为函数的极值点判别点 xx
,)( )( 0 的大小与比较函数值 xfxf
也体现了想想还有哪一个公式中比较关系 的与 )( )( 0xfxf
,)1( )U( )( 0 则阶导数内有直到在设?nxxf
,)()(! )()(
0
0
0
)(
xRxxk xfxf n
n
k
k
k
)(
)(
! 2
)(
))(()()( 200000
xR
xx
xf
xxxfxfxf
n
即
.,0会是驻点如果 x
,回忆泰勒公式看这一部分
))((o)(! 2 )()()( 202000 xxxxxfxfxf
))((o)(! 2 )()()( 202000 xxxxxfxfxf
,,则在如果函数的二阶导数存对于驻点
0 别点处的二阶导数符号来判可利用函数在点 x
,0 是否为极值点x
,,))( U ()( 00 有二阶导数在设 xxCxf?
则即的驻点为且,) 0)( ( )( 00 xfxfx; )(,0)( )1( 00 的极大点为时 xfxxf; )(,0)( )2( 00 的极小点为时 xfxxf
,)(,0)( )3( 00 的极值点是否为不能判定时 xfxxf
此时应另找其他方法,
什么方法？
高阶的泰勒展开式？
定理
,)1()( 322 的极值求 xxf
,),( )(xxf 的定义域：
3
3
1
2
)1)(1( 3
42)1(
3
2)(
xx
xxxxf
,0,0)( xxf 得驻点令
,)(,1,1 不存在时又 xfxx
,1,0,1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性,判别极值,
例 5
解
x
y?
y
)1,( 1? )0,1(? 0 )1,0( 1 ),1(
极小极小极大
0)2(f 0)5.0(f 0)5.0(f 0)2(f
的极小点为,)( xf ; 1,1 xx
极小值为,,0)1(,0)1( ff
的极大点为,)( xf ; 0?x
极大值为,,1)0(?f 自己总结求极值的步骤
0
,12)( 3 的极值求 xxxf
,),( )(xxf 的定义域：
123)( 2 xxf )2)(2(3 xx
0)( xf令,2,2 xx驻点
,6)( xxf又
,012)2(f
,16)2(,2 fx 极大值为极大点故
,012)2(f
,16)2(,2 fx 极小值为极小点例 6
解
,1)1()( 32 的极值求 xxf
,),( )(xxf 的定义域：
22 )1( 6)( xxxf
得驻点令,0)( xf,1,0,1 xxx
1)(5)1( 6)( 22 xxxf又
,06)0(f?
,)( 0 的极小点是 xfx,0)0(?f极小值
,0)1(,0)1( ff而 怎么办？
例 7
解首先看看函数的图形,
O x
y
1? 1
由图形可知,
1x 不是函数的极值点,
问题在于如何进行解析描述,
我们再看一下泰勒公式：
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
)()(! 3 )( 3300 xRxxxf
,0)(,0)(,000 存在时且为驻点 xfxfx
)()( 0xfxf )()(! 3 )( 3300 xRxxxf
,)()(,00 此时左右两边反号在显然 xxfxf?
,0 处不取极值函数在 x
,,))( U ()( 00 有三阶导数在设 xxCxf?
0)(,0)(,)( 000 xfxfxfx 的驻点为且
,0 不是函数的极值点则 x
就是说：
)3(5 24)( 2 xxxf?
,48)1( f,48)1(f
,1,1 不是函数的极值点故 xx
综上所述,
,)( 0 的极小点是 xfx?,0)0(?f极小值
1 )( 处在该题也可通过讨论函数xxf
,左右两边的单调性来做
,,))( U ()( 00 阶导数处有在设 nxxCxf?
,0)()()( 0)1(00 xfxfxf n?若
,0)( 0)( 则?xf n; )(,) 1 ( 0 的极值点不是为奇数时当 xfxn
)(,)2( 0,的极值点是为偶数时当 xfxn;,0)( 00)( 为极小点时 xxf n?
,,0)( 00)( 为极大点时 xxf n?
定理在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少,费用最省,而效率和效益最高等问题,这些问题反映到数学上就是最优化问题,
优化技术应用价值很大三、函 数 的 最大、最小值怎样求函数在一个区间上的最大、最小值呢？
回忆以前学过的知识：
,) ],[ ()( baCxf?若 上必在则 ],[ )( baxf
取到它的最大值和最小值,
内在如果 ),( )( baxf 取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值,
)(xf 的最大值和最小值可能在区间的端点
,,处取得bxax 也可能在区间内部取得,
温故而知新求一个连续函数在 ],[ ba 上的最大值和最小值,只要先求出函数 内的在 ),( )( baxf
一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的点 ),然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值,其中最大者就是函数 在区间 )( xf
,],[ 上的最小值区间 ba
最小者就是函数,],[ 上的最大值ba 在 )(xf
求最值的几个特殊情况
,)( )1( ],[ baxf?若,)( 为最大值则 bf,)( 为最小值af
,)( )2( ],[ baxf?若,)( 为最大值则 af,)( 为最小值bf
,) ],[ ()( )3( baCxf?若 ),( 内只有唯一点一个在 ba
极大 (小 )值点,则该点就是函数的最大 (小 )值点,
实际判断原则
,I 0x可疑点上只有唯一的一个极值在区间
I )( 上在区间函数而由实际问题可以断定 xf
)( )( 0 的最必为函数值，则点小存在最大 xfx
,)( 值点小大
) I ()(,且在处理实际问题时：若 Cxf?
,]2,2[ 52)( 24 上的最大和最小值在求 xxxf
xxxf 44)( 3 )1)(1(4 xxx
,0)( xf令,得极值可疑点
)(,1,0,1 驻点 xxx
计算函数值,; 4)1(,5)0(,4)1( fff
,13)2(,13)2( ff ( 端点值 )
例 8
解
,2],2[ )( 上的最大值和最小值为在故?xf
13} 13,13,4,5,4m a x {m a xy
4} 13,13,4,5,4m i n {m i ny
,2,2, xx最大值点为
,1,1, xx最小值点为没有什么新的东西用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?
设容积 (体积 )为 V,半径为 r,高为 h,
用料最省即指容器的表面积 A 最小,
2 2 hrrA故
hrV 2 2rVh
r
Vr 22
得令,022dd 2 r VrrA?,3?Vr?
应用题例 8
解
,,3 的最小点为所以 AVr
,3 的唯一极值可疑点是因为 AVr
又 A 的最小值一定存在,
故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径
,3?Vr?,3 可使用料最省高?Vh?
,06)42(dd
33 3 2
2
VrVr r
V
r
A事实上如果不放心,可用二阶导数进行判断,
某出版社出版一种书,印刷 x 册所需成本为
)( 52 5 0 0 0 元xy
每册售价 p 与 间有经验公式 x
)301( 61000 px
假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？
例 9
则表示获利以,Q
yxpQ
由经验公式,得
20030
xp
于是
)5( 2 5 0 0 0 )2 0 030( xxxQ
052 0 0)2 0 030( xxQ令得唯一极值可疑点,)( 2 5 0 0 册?x
解
,1001Q又
,2 5 0 0 为极大点故?x 即为 Q 的最大点,
从而应将价格 p 定为
)( 5.172002 5 0 030)20030( 2 5 0 0 元xxp
此时最大获利为
2500m a x )]52 5 0 0 0( )2 0 030[( xxx
xQ
)( 6 2 5 0 元?
将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁,
问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗弯截面模量 W 最大？
d h
b
由力学知识,梁的抗弯截面模量为
2
6
1 hbW?
由右图可以看出：
,),0( 222 dhbbdh
例 10
解问题归结为求函数 W 的最大值：
,)(61 22 bdbW
,31,0)3(61 22 dbbdW 得驻点令由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当
,31 db?,32 时dh? 梁的抗弯截面模量最大,
,1:2:3::,?bhd此时唯一的一个
,1,10 时当证明, px,1)1(2 1 1 ppp xx
,]1,0[,)1()( xxxxf pp记
,0)1()( 11 pp xppxxf令,21?x得驻点
x
y?
y
)1/2,0( )1,2/1(
极小
0
例 11
证例 10
2/1
)}2/1(,)1(,)0(m a x {m a x ffff?
,1}2 1,1,1m a x { 1p
)}2/1(,)1(,)0(m i n {m i n ffff?
,) 1 ( 2 1}2 1,1,1m in { 11 ppp
,)(,1,10 m a xm i n fxffpx 时故当
,1)1(2 1 1 ppp xx即与端点值比较利用导数的性质证明不等式是一种常用的技巧,它包含以下几个部分,
利用微分中值定理利用泰勒公式 (二阶以上的 )
利用函数的单调性利用函数的极值和最值
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第一讲 一元微积分的应用 (一 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数的单调性、极值第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第一、二节 运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性一、导数的简单应用
,1 用导数在几何中的简单应
,2 应用导数在物理学中的简单
,)( )1( 法线方程在某点处的切线方程和求曲线 xfy?
,)2( 点处的交角求两条相交的曲线在交
,)1( 速度或变量的变化率求物体运动的速度、加
,)2( 求变量间的相关变化率
,1 用导数在几何中的简单应
,)( )1( 法线方程在某点处的切线方程和求曲线 xfy?
,),( )(,)( 00 处在点则曲线可微设函数 yxMxfyxf?
,)( 0xfk切线的斜率为
,) 0)( (,)(1 1 0
0
1 xfxfkk法线的斜率为; ))(( 000 xxxfyy切线方程为
,)()(1 0
0
0 xxxfyy法线方程为
,,部分请参看导数的几何意义这部分不再举新例
,)2( 点处的交角求两条相交的曲线在交
,间的交角是它们在交点处的切线两条相交曲线的夹角就一个求点处的交角实质上仍是求两条相交的曲线在交
O x
y
1?
2?
1L
2L
M
,),(
)(,
,)(,
00
22
11
处相交于点设曲线
yxM
xfyL
xfyL
,相应的切线方程分别为
,)(
,)(
10222
10111
bxxfbxky
bxxfbxky
,导数的问题
O x
y
1?
2?
1L
2L
M
)t an (t an 12
1
21
12
kk
kk
,)()(1 )()(
0201
0102
xfxf
xfxf
,),( )()(1 )()( a r c ta n
0201
0201 取锐角一般故
xfxf
xfxf
例 1
解
,1?的交角抛物线与求双曲线 xyxy
O x
y
xy?
1
xy?
M
,联立方程组求交点
1
xy?
xy?
,) 1,1 (,M得交点为解此方程组
,1 11 1211 xx xxk
,2 1 2 1 )( 112 xx xxk
,a r c t a n 3
2
1
)1(1
2
1
)1(
a r c t a n?
故例 2
解
013 2 yxxy 上哪一点的切线与直线抛物线
45 o的交角为
),( 2 处的切线的斜率为上任意一点抛物线 yxxy?
,2)( 21 xxk
013 的斜率为直线 yx
,3)13(2 xk
,得式由题意及曲线间交角公
,1 231 23 xx
)()(1 )()( ta n
0201
0102
xfxf
xfxf
取锐角
,16 1,41 )1,1(,)61(23 和解之得所求点为即 xx
例 3
解
,用立方抛物线和适当选取参数 cA
))()(( cxbxaxAy
将两条射线
,)( )(1 axaxky
)( )(2 xbbxky
,],[ 上光滑地连接起来在区间 ba
两曲线有是指在连接点处两条曲线“光滑连接”,
,,切线的斜率相同即在连接点处两曲线的共同的切线
,同数在连接点处的导数相也就是曲线所对应的函
,,有处和在点对立方抛物线而言 bxax
,))(( cabaAy ax
,))(( cbabAy bx
,有接到含义由直线方程以及光滑连
,))(( 1kcabaA
,))(( 2kcbabA
( 1 )
( 2 )
)2()1( 得?
,)]()[( 2122 kkacbcbabbcacabaA
)3(,)( 221ba kkA故
,)1( (3 ) 值式中求代入将 c
,))(( )( 1221 kcababa kk
从而
,
21
21
kk
kbkac
,,,)(
21
21
2
21 即可满足要求故取
kk
kbkac
ba
kkA
,2 应用导数在物理学中的简单
,)1( 速度或变量的变化率求物体运动的速度、加例 4,,0 其运动方程为发射炮弹发射角以初速度?v
,)c o s( 0 tvx
,21 )s i n( 20 tgtvy; )1( 的运动方向炮弹在时刻求 t
,)2( 的速度大小炮弹在时刻 t
解
O x
y
0v?
v
xv
yv
)1( 时的方向炮弹在时刻 t
时的刻就是炮弹的轨迹线在时 t
,而切线方向对应点上的切线方向
,反映可以通过切线的斜率来
) )c o s((
)
2
1 )s i n((
d
d
0
2
0
tv
tgtv
x
y
,c o s s in
0
0
v
tgv
,,则轴正向间的夹角炮弹运动方向与时为时刻记 xt?
,)c o s( 0 tvx
,21 )s i n( 20 tgtvy
,c o s s in ddta n
0
0
v
tgv
x
y
,轴正向间的夹角为炮弹的运动方向与时故在时刻 xt
,) ( c o s s in a r c ta n
0
0 取锐角?
v
tgv
,)2( 分速度的速度可以分解为两个炮弹在时刻 t
,; 且轴的铅直速度平行于轴的水平速度平行于 yx vyvx
,s indd,c o sdd 00 tgvtyvvtxv yx
,时的速度大小为炮弹在时刻由速度的合成可知 t
,s in2 2202022 tgtgvvvvv yxt
,)2( 求变量间的相关变化率在实际问题中，往往是同时出现几个变量,变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数 ( 例如，都是时间 t 的函数,) 从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题,
例 5
解
,c m / 0,0 1,秒的速度均匀增加其半径以加热一金属圆板
,cm 200 少圆板面积的增加率为多时问当半径为
,,则面积为设圆板的半径为 yx
( 1 ),2xy
,c m / 0,0 1dd,,,秒且的函数都是显然?txtyx
dd,cm 2 0 0 tyx 时现要求
,(1 ) 得求导式两边关于将 t
,dd 2dd txxty
,200 圆板面积的增加率为时故在?x
,)( c m / 401.02 0 0 2dd 秒ty
例 6
解
8,8 米的圆锥形容器内匀速深为米向一个上顶的直径为
5,/m 4,3 米时水表面上求当水深分若注水的速度为注水升的速度
,,米水深为分钟后设注水 ht,,米水面的直径也是此时 h
,12231 3
2
hhhV容器内水的体积为
,,412,4,3 得求导对此式两边关于故有此外 tthtV
,16dd 2hth
,5 其表面上升的速度为米时故当水深?h
,)( m / 204.02516516dd 2 分th
例 7
解
,设一贴靠在铅直的墙上
5 米的梯子的下端以长度为
,m/ 3 的速度离开墙脚滑动秒动的问何时梯子上下两端滑速度大小相同？
y
xO
m 5
t
x
d
d
t
y
d
d
,引入坐标系如图所示
,( m ) ( m ),,yxt 上端离墙脚梯子下端离墙脚时设在时刻
,,,且有的函数均为显然 tyx
( 1 ),5,)( m / 3dd 222 yxtx 秒
x
y
,我们的问题是注意到速度的方向性
( 2 ),)( m / 3dd秒ty
,5 222 得求导两边关于对 tyx
,0dd2dd2 tyytxx
,dd dd txyxty即有
,,3 3,)( m / 3dd )2( yxyxtx 即得秒式及由
,25,5 222 yxyx 故而
,,25 小相同梯子上下端滑动速度大时即当 yx
,,使的值求 yx
y
xO
m 5
t
x
d
d
t
y
d
d
x
y
下面我们运用函数的导数 (微分 )来研究函数的有关性质：单调性、凹凸性、极值等，并研究如何作出函数的图形,
,理和公式回忆一下几个重要的定
,))(()()( abfaFbF式拉格朗日中值定理的公
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf泰勒公式
,))( o ( )()(! 3 )()(! 2 )( 303300200 xxxRxxxfxxxf
由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道,
,)( 则内可导在区间若函数 Ixf
0)( xf )( Ixf?
0)( xf )( Ixf?
,)( 0)( 单调性的分界点的点可以作为函数 xfxf
二、函数的单调性观察下面的图形,你能得出什么结论？
O x
y
O x
y
)( 不存在的点也可作为使得函数的导数 xf?
,函数单调性的分界点综上所述,可知,
在讨论函数的单调性时，一般先求出函数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点,
然后按这些点将所讨论的区间分成小区间,
在每个小区间内函数只有一种单调性,利用导数符号判断函数是单调增加还是单调减少,
提供了判断函数单调性的方法
)( 0)( )( 不存在的点或的导数使得函数 xfxfxf
,分界点可以作为函数单调性的
,82 的单调性讨论 xxy
),0()0,(,定义域
2
82
xy )4(
2 2
2 xx
得令,0y,2,2 21 xx
x
y?
y
)2,( 2? 0),2(? 0 2),0( 2 ),2(
0 0
例 1
解
xxy
82,函数综上所述
) ( 2,,)2,( ；内单调增加在
,)2,0(,)0,2( 内单调减少在?
列表可使问题明朗化
,),( s i n 内有且仅有一个实根在证明：方程 xx
,),( s i n)( xxxxf令
,01co s)(,)),(()( xxfCxf则
,0)(,)( 2 xfZkkx 时且仅当?
,)( 仅在孤立点处为零即 xf?
),(s i n)( xxxf从而
,)(,轴最多有一个交点与曲线就是说 xxfy?
例 2
证
,)( s inlim)(lim xxxf xx而
,)( s inlim)(lim xxxf xx
,)(,轴至少有一个交点与曲线由连续性 xxfy?
,)(,轴有且仅有一个交点与曲线综上所述 xxfy?
,),( s i n 内有且仅有一个实根在即方程 xx
满足条件：设 )( xf; 0)0(,) ),0[()( )1( fCxf
,)(,),0( )( )2( ),0( xfxf 且内可导在
,)()(,),0( x xfxg证明
,)()()( 2x xfxxfxg由于
,),0( 0)()( xxfxfx
下一步你打算怎么办?
这个式子有点像 ……？
例 3
证 故关键在于证明
,式形式拉格朗日中值定理的公
],0[ )(,),0( 上满足在由已知条件可知 xtfx
)0)(()0()( xffxf?
得由,0)0(?f
,)(0,)()( xxfxf
,)( ),0( xf又,)()(,xxfxf从而
,0)()()( 2 x xfxxfxg于是
,)(,),0(xgx 得的任意性故由故有，拉格朗日中值定理条件
,)3( 是单调减少的数列证明, nnx nn
,),3[,)( 1 xxxf x令
2
1 ln1
)( x xxxf x
,3 时当?x,0)( xf
,)( ),3[xf故
,)3(,}{, nx n由此可得利用函数处理数列例 4
证三、函 数 的 极 值函数的极值是个局部性的概念,
,)( )( )U( 00 的大小与内比较在 xfxfx
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式,
费马定理 — 可微函数取极值的必要条件函数的单调性判别定理和方法泰勒公式 — 可利用高阶导数定理
,0)( )( 00 xfxxf 处取极值的必要条件是在点可微函数
,实质上就是费马定理费 马
Pierre de Fermat
(1601－ 1665)
费马，法国数学家,出身于一个商人家庭,他的祖父、父亲、叔父都从商,他的父亲是当地的第二执政官,经办着一个生意兴隆的皮革商店,
费马毕业于法国奥尔良大学，以律师为职,曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵族特权,精通 6 种语言,业余爱好数学并在数论、几何、概率论、微积分等领域内作出了创造性的工作,
,1637 写下了著名的算术》时年费马研究丢番图的《
,费马大定理
,,,)2( zyxnzyx nnn 的正整数不存在满足
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”,
,)( 0)( 0 的驻点的点称为函数使 xfxf
,,疑点驻点只是函数的极值可由费马定理可知
,极值函数在驻点处不一定取
,0,0 yx 处在点
,3xy?例如
,0 不是极值此时但?xy
y
xO
3xy?
0?x
,点也是极值可疑点使得函数导数不存在的
),( ||, xxy例如
,0 处不可导在点?x
,0 恰好是它的极小点但?x
y
xO
|| xy?
0?x
否确为极值点如何判断极值可疑点是极值可疑点
,0)(,的点驻点 xf
,0)( 不存在点使 xf
首先考察下列函数的图形,
O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x
极大点 极小点极大点 极小点 不是极值点
O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x O x
y
0x0x0x
不是极值点
O x
y
0x0x0x
极小点 不是极值点
O x
y
0x0x0x
O x
y
0x0x0x
O x
y
0x0x0x
极大点通过观察以上的图形你得到什么结论？
判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号,
两侧函数的单调性,
,)(U?,))( U ()( 00 内可微在设 xxCxf?
,)( 0 的极值可疑点为点 xfx; 0)(,)1( 0 xfxx 时若
,0)(,0 xfxx 时
,)(,)( 00 为极大值的极大点为则 xfxfx; 0)(,)2( 0 xfxx 时若
,0)(,0 xfxx 时
,)(,)( 00 为极小值的极小点为则 xfxfx
(单调增加 )
(单调减少 )
(单调减少 )
(单调增加 )
定理证,,)(U?
0 由已知条件可知xx
,],[,; ],[,0000 上在时上在时 xxxxxxxx
,)( 条件满足拉格朗日中值定理函数 xf
,,0 时于是 xx? 使,) ( 01 xx
))(()()( 010 xxfxfxf
使,),( 02 xx
))(()()( 020 xxfxfxf
,0 时xx?
由定理中 (1) 的条件,得
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
O x
y
0x
,)(,)( 00 为极大值的极大点为故 xfxfx
由定理中 (2) 的条件,得
,0 时xx?,)()( 0xfxf?
,0 时xx?,)()( 0xfxf? O x
y
0x
,)(,)( 00 为极小值的极小点为故 xfxfx
)U(,00 内就是在是否为函数的极值点判别点 xx
,)( )( 0 的大小与比较函数值 xfxf
也体现了想想还有哪一个公式中比较关系 的与 )( )( 0xfxf
,)1( )U( )( 0 则阶导数内有直到在设?nxxf
,)()(! )()(
0
0
0
)(
xRxxk xfxf n
n
k
k
k
)(
)(
! 2
)(
))(()()( 200000
xR
xx
xf
xxxfxfxf
n
即
.,0会是驻点如果 x
,回忆泰勒公式看这一部分
))((o)(! 2 )()()( 202000 xxxxxfxfxf
))((o)(! 2 )()()( 202000 xxxxxfxfxf
,,则在如果函数的二阶导数存对于驻点
0 别点处的二阶导数符号来判可利用函数在点 x
,0 是否为极值点x
,,))( U ()( 00 有二阶导数在设 xxCxf?
则即的驻点为且,) 0)( ( )( 00 xfxfx; )(,0)( )1( 00 的极大点为时 xfxxf; )(,0)( )2( 00 的极小点为时 xfxxf
,)(,0)( )3( 00 的极值点是否为不能判定时 xfxxf
此时应另找其他方法,
什么方法？
高阶的泰勒展开式？
定理
,)1()( 322 的极值求 xxf
,),( )(xxf 的定义域：
3
3
1
2
)1)(1( 3
42)1(
3
2)(
xx
xxxxf
,0,0)( xxf 得驻点令
,)(,1,1 不存在时又 xfxx
,1,0,1 xxx极值可疑点为故列表讨论单调性,判别极值,
例 5
解
x
y?
y
)1,( 1? )0,1(? 0 )1,0( 1 ),1(
极小极小极大
0)2(f 0)5.0(f 0)5.0(f 0)2(f
的极小点为,)( xf ; 1,1 xx
极小值为,,0)1(,0)1( ff
的极大点为,)( xf ; 0?x
极大值为,,1)0(?f 自己总结求极值的步骤
0
,12)( 3 的极值求 xxxf
,),( )(xxf 的定义域：
123)( 2 xxf )2)(2(3 xx
0)( xf令,2,2 xx驻点
,6)( xxf又
,012)2(f
,16)2(,2 fx 极大值为极大点故
,012)2(f
,16)2(,2 fx 极小值为极小点例 6
解
,1)1()( 32 的极值求 xxf
,),( )(xxf 的定义域：
22 )1( 6)( xxxf
得驻点令,0)( xf,1,0,1 xxx
1)(5)1( 6)( 22 xxxf又
,06)0(f?
,)( 0 的极小点是 xfx,0)0(?f极小值
,0)1(,0)1( ff而 怎么办？
例 7
解首先看看函数的图形,
O x
y
1? 1
由图形可知,
1x 不是函数的极值点,
问题在于如何进行解析描述,
我们再看一下泰勒公式：
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
)()(! 3 )( 3300 xRxxxf
,0)(,0)(,000 存在时且为驻点 xfxfx
)()( 0xfxf )()(! 3 )( 3300 xRxxxf
,)()(,00 此时左右两边反号在显然 xxfxf?
,0 处不取极值函数在 x
,,))( U ()( 00 有三阶导数在设 xxCxf?
0)(,0)(,)( 000 xfxfxfx 的驻点为且
,0 不是函数的极值点则 x
就是说：
)3(5 24)( 2 xxxf?
,48)1( f,48)1(f
,1,1 不是函数的极值点故 xx
综上所述,
,)( 0 的极小点是 xfx?,0)0(?f极小值
1 )( 处在该题也可通过讨论函数xxf
,左右两边的单调性来做
,,))( U ()( 00 阶导数处有在设 nxxCxf?
,0)()()( 0)1(00 xfxfxf n?若
,0)( 0)( 则?xf n; )(,) 1 ( 0 的极值点不是为奇数时当 xfxn
)(,)2( 0,的极值点是为偶数时当 xfxn;,0)( 00)( 为极小点时 xxf n?
,,0)( 00)( 为极大点时 xxf n?
定理在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少,费用最省,而效率和效益最高等问题,这些问题反映到数学上就是最优化问题,
优化技术应用价值很大三、函 数 的 最大、最小值怎样求函数在一个区间上的最大、最小值呢？
回忆以前学过的知识：
,) ],[ ()( baCxf?若 上必在则 ],[ )( baxf
取到它的最大值和最小值,
内在如果 ),( )( baxf 取得其最大值和最小值,则这些最值一定是函数的极值,
)(xf 的最大值和最小值可能在区间的端点
,,处取得bxax 也可能在区间内部取得,
温故而知新求一个连续函数在 ],[ ba 上的最大值和最小值,只要先求出函数 内的在 ),( )( baxf
一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的点 ),然后比较极值可疑点的函数值及区间端点函数值,其中最大者就是函数 在区间 )( xf
,],[ 上的最小值区间 ba
最小者就是函数,],[ 上的最大值ba 在 )(xf
求最值的几个特殊情况
,)( )1( ],[ baxf?若,)( 为最大值则 bf,)( 为最小值af
,)( )2( ],[ baxf?若,)( 为最大值则 af,)( 为最小值bf
,) ],[ ()( )3( baCxf?若 ),( 内只有唯一点一个在 ba
极大 (小 )值点,则该点就是函数的最大 (小 )值点,
实际判断原则
,I 0x可疑点上只有唯一的一个极值在区间
I )( 上在区间函数而由实际问题可以断定 xf
)( )( 0 的最必为函数值，则点小存在最大 xfx
,)( 值点小大
) I ()(,且在处理实际问题时：若 Cxf?
,]2,2[ 52)( 24 上的最大和最小值在求 xxxf
xxxf 44)( 3 )1)(1(4 xxx
,0)( xf令,得极值可疑点
)(,1,0,1 驻点 xxx
计算函数值,; 4)1(,5)0(,4)1( fff
,13)2(,13)2( ff ( 端点值 )
例 8
解
,2],2[ )( 上的最大值和最小值为在故?xf
13} 13,13,4,5,4m a x {m a xy
4} 13,13,4,5,4m i n {m i ny
,2,2, xx最大值点为
,1,1, xx最小值点为没有什么新的东西用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?
设容积 (体积 )为 V,半径为 r,高为 h,
用料最省即指容器的表面积 A 最小,
2 2 hrrA故
hrV 2 2rVh
r
Vr 22
得令,022dd 2 r VrrA?,3?Vr?
应用题例 8
解
,,3 的最小点为所以 AVr
,3 的唯一极值可疑点是因为 AVr
又 A 的最小值一定存在,
故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径
,3?Vr?,3 可使用料最省高?Vh?
,06)42(dd
33 3 2
2
VrVr r
V
r
A事实上如果不放心,可用二阶导数进行判断,
某出版社出版一种书,印刷 x 册所需成本为
)( 52 5 0 0 0 元xy
每册售价 p 与 间有经验公式 x
)301( 61000 px
假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？
例 9
则表示获利以,Q
yxpQ
由经验公式,得
20030
xp
于是
)5( 2 5 0 0 0 )2 0 030( xxxQ
052 0 0)2 0 030( xxQ令得唯一极值可疑点,)( 2 5 0 0 册?x
解
,1001Q又
,2 5 0 0 为极大点故?x 即为 Q 的最大点,
从而应将价格 p 定为
)( 5.172002 5 0 030)20030( 2 5 0 0 元xxp
此时最大获利为
2500m a x )]52 5 0 0 0( )2 0 030[( xxx
xQ
)( 6 2 5 0 元?
将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁,
问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗弯截面模量 W 最大？
d h
b
由力学知识,梁的抗弯截面模量为
2
6
1 hbW?
由右图可以看出：
,),0( 222 dhbbdh
例 10
解问题归结为求函数 W 的最大值：
,)(61 22 bdbW
,31,0)3(61 22 dbbdW 得驻点令由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当
,31 db?,32 时dh? 梁的抗弯截面模量最大,
,1:2:3::,?bhd此时唯一的一个
,1,10 时当证明, px,1)1(2 1 1 ppp xx
,]1,0[,)1()( xxxxf pp记
,0)1()( 11 pp xppxxf令,21?x得驻点
x
y?
y
)1/2,0( )1,2/1(
极小
0
例 11
证例 10
2/1
)}2/1(,)1(,)0(m a x {m a x ffff?
,1}2 1,1,1m a x { 1p
)}2/1(,)1(,)0(m i n {m i n ffff?
,) 1 ( 2 1}2 1,1,1m in { 11 ppp
,)(,1,10 m a xm i n fxffpx 时故当
,1)1(2 1 1 ppp xx即与端点值比较利用导数的性质证明不等式是一种常用的技巧,它包含以下几个部分,
利用微分中值定理利用泰勒公式 (二阶以上的 )
利用函数的单调性利用函数的极值和最值
