高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (三 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数展开为幂级数第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
一、幂级数的解析运算三、函数展开为幂级数四、函数展开为幂级数应用举例第六章 一元微积分的应用第四节 函数展开为幂级数二、泰勒级数一,幂级数的解析运算
1 幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性,
该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似,
将函数项级数与构造的一个常数项级数进行比较即可,
该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯,
魏尔斯特拉斯
Weierstrass,K,W
1815 — 1897
数学家魏尔斯特拉斯 1815年 10月 31日出生于德国的奥斯登费尔特； 1897年 2月 19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。
魏尔斯特拉斯 11岁丧母，翌年其父再婚。他有一个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。 1834年其父将他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位创造条件。
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。
后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。
在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。 1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于 1854年发表于,克雷尔杂志,上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。
1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受一年的研究假期。 1856 年 6 月 14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的 11月 19日他当选为柏林科学院院士。 1864年成为柏林大学教授，在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,
成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。 1873年他出任柏林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行。
1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,
医治无效，于 1897年 2月 19日与世长辞，享年 82 岁。
除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（ 1856年）、巴黎科学院院士（ 1868年）、英国皇家学会会员（ 1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。
魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人，是无与伦比的大学数学教师。
幂级数的解析运算
2 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的
)),(()(
0
RRCxfxa
n
n
n
在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性,
,)1,1(
0
其和为：内收敛在
n
nx
))1,1(( 1 1)( Cxxf
幂级数的解析运算
3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性
dd)(
0 0 0 0
n
x n
n
x
n
n
n ttatta
在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,
故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,
幂级数也在其收敛区间内可积,
逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变,
,)1 || (,
1
1
xxn
n
n求
,na n?由于,11lim|| ||lim 1 nnaa n
n
n
n
,)1,1(
1
1 内可逐项积分在故
n
nxn
d d) (0
1 0
1
1
1
x
n
x n
n
n xxnxxn
,1
1 x
xx
n
n
首项为 x,
公比为 x,
例 1
解
d) (d d 0
1
1
1
1
x
n
n
n
n xxn
xxn从而
x
x
x 1d
d
,) 1 || (,)1( 1 2 xx
,1?R即
111
2 122 12
x
n
n
n
n
n x
nn
1
2
11
2 122 12
x
n
n
n
n
n x
nn
1
22
11
2 122 12
x
n
n
n
n
n x
nn
符合积分要求了
,2 12
1
之值求?
n
n
n
例 2
,)2,2( 2 12
1
22
的收敛区间为
n
n
n x
n
,)2,2( 中在?
1 0
22
0 1
22 d
2
12 d)
2
12(
n
x n
n
x
n
n
n xx
nxxn
1
12
2n n
nx
1
2
2
1
n
nx
x 22 x
x
等比级数
,2 12
1
之值求?
n
n
n
例 2
解
2
1
22
2 d
d
2
12
x
x
xx
n
n
n
n故 22
2
)2(
2
x
x
,1 得取?x,3 )2(
2
2
12
1
22
2
1
xn
n x
xn
幂级数的解析运算
4 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性
,)(d dd d
00
n
n
n
n
n
n xaxxax
逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值,
1
12
0
2 2)(
d
d
n
n
n
n xnx
x例如
,)1 |(| 5312
53
1
12
之和求
xxxxnx
n
n
,)12(2 1
1
的值并由此求?
n
n n
,12)(,12 则由令这是缺项的幂级数nxxu nn
,12 12lim|)(| |)(|lim 221 xxnnxu xu n
n
n
n
,,1 ||,原级数绝对收敛时得?x
例 3
解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得
1
12
1
12
1212 n
n
n
n
n
x
n
x
0
22
n
nx
,1 11 242 xxx
x
n
n
xxnx 0 2
1
12
d1 112 故 xxxx d111 21
0
,) 1 || (,11ln 21 xxx
)12(2 1
1
？的值如何求?
n
n n
)1 |(| 11ln 2112
1
12
xxxnx
n
n
已知
11 12
2
1
)12(2
1
n
n
n
n nn 12
)2(
1
1
2
n
n
n
1
12
12
2
1
2
1
n
n
n,1)2ln ( 2
1
2
1?x取请自己完成例 4
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径,如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分,
就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性,
幂级数的性质多好啊 ！
如何将函数表示为幂级数?
怎么做？
,将函数表示为我们在前面已经遇到过实际上
—泰勒公式：多项式的情形—
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
,))o ( ()(! )( 000)( nnn xxxxn xf
马克劳林公式：
,)o( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )(2 nnn xxnfxfxffxf
吗？还记得公式的推导过程二、泰勒 级数将函数展开为幂级数得的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?
一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数,
),( )(
0
RRxxSxa
n
n
n
任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢? 即是否有
) )( ( )()(
0
0 xfxxaxf
n
n
n
如何确定系数 na
)( 的关系如何与 xfa n
工程需要泰勒公式问题回忆泰勒中值定理的构建过程
,)U( 0 内具有足够阶的导数时当函数在 x
))o ( ()(! )()( 0
0
00
)( nn
k
kk xxxx
k
xfxf
))o ( ()(! )()( 101
0
00
)(
nn
k
kk xxxx
k
xfxf
)(! )1( )( 100)1( nn xxn xf分出按照上面的方法不断地做下去,是否有下 面的结论,
0
0
0
)(
)( )()(
n
n
n
xxn xfxf ！
200000 )(! 2 )())(()( xxxfxxxfxf
! )( 0)( n xf n
等号成立吗
？
该级数收敛吗？
即算级数收敛,其和函数等于 f (x) 吗？
)( )U( )(
0
00 即的和函数，内为幂级数在若?
n
n
n xxaxxf
)U(,)()( 0
0
0 xxxxaxf
n
n
n
,),2,1,0( ! )( 0)( nn xfa nn则定理证 由定理的条件可知,,)U(
0 内幂级数收敛在 x
,)U( 0 内可对其进行逐项求导故在 x且其和函数
,)U( )( 0 内具有任意阶导数在 xxf 于是有
nn xxaxxaxxaaxf )()()()( 0202010
10203021 )()(3)(2)( nn xxnaxxaxxaaxf
204032 )(34)(232)( xxaxxaaxf
20 )()1( nn xxann
)( 23)1()1(! )( 01)( xxannnanxf nnn
则有代入上述各式以,0xx?
,)( 00 xfa?,)( 01 xfa,? ! )( 0
)(
n
xfa n
n?
由数学归纳法,得
),2,1,0( )( 0)( nn xfa nn ！
该定理说明,内为某个在如果 )U( )( 0xxf
0
0
0
)(
)(! )(
n
n
n
xxn xf
幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式,
)( 0 则称有任意阶导数，在点设 xxf
0
0
0
)(
)(! )(
n
n
n
xxn xf
,)( 0 处的泰勒级数在点为 xxf
定理和定义给我们提供了什么信息?
定义定理和定义告诉我们：
0 )( xxf 在点如果 处有任意阶导数,则它就有一个相应的泰勒级数存在,
但此泰勒级数 不一定收敛,
即算收敛,其和函数也不一定等于,)(xf
就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是条件的,
)U( )( 0xxf 在如果 内可表示为幂级数的形式,
则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数,
问 题
,在什么条件下
)U( )( 0 数呢内可以展开为一个幂级在 xxf
)(,)( 呢？且和函数等于的泰勒级数收敛 xfxf
,在什么条件下回忆泰勒中值定理的构建过程
,)1( )U( )( 0 则阶的导数内有直到在设?nxxf
,)()(! )()(
0
0
0
)(
xRxxk xfxf n
n
k
k
k
,)(! )1( )()( 10
)1(
为拉格朗日余项其中?
n
n
n xxn
fxR?
由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?
定理
,)U( )( 0 内具有任意阶导数在设 xxf
内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf
的充要条件是收敛于 )( xf
0)(l i m xR nn
)( )(,0 处泰勒公式的拉在为其中 xxfxR n
,格朗日余项证 )(! )(
0
0
0
)(
的部分和为级数?
n
n
n
xxn xf
)(! )()( 0
0
0
)(
kn
k
k
n xxk
xfxS
)( 的泰勒公式为函数 xf
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxn xfxf nk
n
k
k
)()()( xSxfxR nn故余下的工作由学生自己完成,
1
0
)1(
)(! )1( )()(?
n
n
n xxn
fxR?
),2,1,0( |)(| )( nMxf n若推 论
,0 ),2,1,( 0,|)(| )U( )(0 为常数内若在 MMxfx n?
)U( )( 0 内可展开为泰勒级数在则 xxf
,)U(,)(! )()( 0
0
0
0
)(
xxxxn xfxf
n
n
n
证 （提示）
)(! )1( )( |)(| 0 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?
)( 0! )1(
1
nnM
n?
,) ( 为邻域半径?
,)( 0! lim, Rana nn此外自己做 !
0
)(
! )0(
n
n
n
xnf 2! 2 )0()0()0( xfxff
nn xnf ! )0()(
马克劳林级数
,0 0 级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取?x
,)( 0 处具有任意阶导数在点只要函数 xxf
就可写出它的泰勒级数,但它的泰勒级数不一定收敛,
,)(xf 只有当拉格朗日余项 0)( )( nxR n
时,泰勒级数才收敛于,)(xf
一个函数如果能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的,
)( 也不一定等于xS即使收敛,其和函数三、函数展开为 幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法该方法是先求出函数,)( )( )( xfxf n的导数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足,0)(lim xR nn 确定级数的收敛区间,
直接展开法
,)( 为马克劳林级数展开 xexf?
),2,1,0( 1)0( 0)( nef xxn
的马克劳林级数为xe
0 ! n
n
n
x
! 1 n
xx n
011lim|| ||lim 1 naa n
n
n
n由于
,,R该级数的收敛半径为所以例 4
解
! )1( || |! )1( )( | |)(| 0
1
| | 1
)1(
n
xex
n
fxR nxnn
n
而
) 0 ( 之间与在 x?
,)( 0! lim Rana nn因为
)),(( 0! )1( ||l i m
1
||
xn xe
n
x
n
所以
,0)(l i m 故所求马克劳林级数为即 xR nn
,),(,!
0
xnxe
n
n
x
,s i n)( 展开为马克劳林级数将 xxf?
,)2s in ()( )( nxxf n因为
)(
12,)1(
2,0
)0(,)(
Zk
kn
kn
f
k
n所以
s i n 的马克劳林级数为故 x
1
12
1
)12()1(n
n
n
n
x
！ ! 5! 3
53 xxx
例 5
解
,! )12()1()(
12
1
n
xxu nn
n记
02)12(l i m|| ||l i m
2
1?
nn
x
u
u
nn
n
n
,R故该级数的收敛半径为
),2,1,0( 1 |)0(| )( nf n因为
,s i n,即林级数可以展开为它的马克劳所以 x
).,(,! )12()1(s i n
1
12
1
x
n
xx
n
n
n
从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法,称为间接展开法,
间接展开法
,c o s)( 展开为马克劳林级数将 xxf?
)( s i nc o s xx ) ! )12()1( (
1
12
1?
n
n
n
n
x
1
12
1 )
! )12()1((n
n
n
n
x
1
22
1
! )22()1(n
n
n
n
x
.),(,! )2()1(
0
2
xnx
n
n
n
例 6
解
)),((
! )12(
)1(si n
0
12
x
n
xx
n
n
n
)),((
! )2(
)1(c o s
0
2
x
n
xx
n
n
n
,)( 2 展开为马克劳林级数将 xexf
,2xy令
,),(,!
0
ynye
n
n
y因为
,),(,! )1(
0
22
x
n
xe
n
nn
x所以利用变量代换例 7
解
,)3( 1)( 的幂级数为展开 xxxf
)3(3
11
xx
3
31
1
3
1
x
等比级数的和例 8
解
,)1,1(,1 1)1(
0
得由
xxx
n
nn
3
31
1
3
1
1
xx?
0 3
)3()1(
3
1
n
n
n
n x
,3 )3()1(
0
1?
n
n
n
n x
13 31 x
？x
,)6,0(?x
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (三 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 函数展开为幂级数第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
一、幂级数的解析运算三、函数展开为幂级数四、函数展开为幂级数应用举例第六章 一元微积分的应用第四节 函数展开为幂级数二、泰勒级数一,幂级数的解析运算
1 幂级数在其收敛区间内具有内闭一致收敛性,
该性质的证明与阿贝尔定理的证明类似,
将函数项级数与构造的一个常数项级数进行比较即可,
该定理归功于数学家魏尔斯特拉斯,
魏尔斯特拉斯
Weierstrass,K,W
1815 — 1897
数学家魏尔斯特拉斯 1815年 10月 31日出生于德国的奥斯登费尔特； 1897年 2月 19日卒于柏林。
魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名受过高等教育的政府官员，颇具才智，但对子女相当专横。
魏尔斯特拉斯 11岁丧母，翌年其父再婚。他有一个弟弟和两个终身未嫁的妹妹，她们一直在生活上照顾终身未娶的魏尔斯特拉斯。 1834年其父将他送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋取政府高级职位创造条件。
魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，并令人惊讶地放弃了即将获得的法学博士学位，离开了波恩大学。在其父亲的一位朋友的建议下，再一次被送到一所神学院学习。
后来参加并通过了中学教师资格国家考试，在一所任教。
在此期间他撰写了 4 篇直到他的全集刊印时才问世的数学论文。这些论文实际上已显示了他建立函数论的基本思想和基本结构。 1853年夏他在父亲家中度假时,研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心撰写“阿贝尔函数”的论文，并于 1854年发表于,克雷尔杂志,上。这篇出自一个名不见经传的中学体育教师的杰作，引起了数学界的瞩目。
1855年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师，并享受一年的研究假期。 1856 年 6 月 14日柏林皇家综合科学校任命他为数学教授，他欣然地接受了聘书。同年的 11月 19日他当选为柏林科学院院士。 1864年成为柏林大学教授，在此期间魏尔斯特拉斯着手系统地建立数学分析基础，进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论。这些工作主要是通过他在该校讲授大量的课程完成的。短短几年他就闻名遐尔,
成为德国以至全欧洲知名度最高的教授。 1873年他出任柏林大学校长，从此他成为一个大忙人。繁杂的公务几乎占去了他的全部时间，紧张的工作影响了他的健康，使他疲惫不堪，但他的智力未见衰退，研究工作仍继续进行。
1897年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，引发肺炎,
医治无效，于 1897年 2月 19日与世长辞，享年 82 岁。
除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是格丁根皇家科学学会会员（ 1856年）、巴黎科学院院士（ 1868年）、英国皇家学会会员（ 1881年）。在某种意义上魏尔斯特拉斯被人们视为德意志的民族英雄。
魏尔斯特拉斯是数学分析算术化的完成者、解析函数论的奠基人，是无与伦比的大学数学教师。
幂级数的解析运算
2 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的
)),(()(
0
RRCxfxa
n
n
n
在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性,
,)1,1(
0
其和为：内收敛在
n
nx
))1,1(( 1 1)( Cxxf
幂级数的解析运算
3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性
dd)(
0 0 0 0
n
x n
n
x
n
n
n ttatta
在幂级数的收敛区间内,其和函数连续,
故幂级数的和函数在收敛区间内可积,当然,
幂级数也在其收敛区间内可积,
逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但端点处的敛散性可能改变,
,)1 || (,
1
1
xxn
n
n求
,na n?由于,11lim|| ||lim 1 nnaa n
n
n
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,)1,1(
1
1 内可逐项积分在故
n
nxn
d d) (0
1 0
1
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1
x
n
x n
n
n xxnxxn
,1
1 x
xx
n
n
首项为 x,
公比为 x,
例 1
解
d) (d d 0
1
1
1
1
x
n
n
n
n xxn
xxn从而
x
x
x 1d
d
,) 1 || (,)1( 1 2 xx
,1?R即
111
2 122 12
x
n
n
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n x
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1
22
11
2 122 12
x
n
n
n
n
n x
nn
符合积分要求了
,2 12
1
之值求?
n
n
n
例 2
,)2,2( 2 12
1
22
的收敛区间为
n
n
n x
n
,)2,2( 中在?
1 0
22
0 1
22 d
2
12 d)
2
12(
n
x n
n
x
n
n
n xx
nxxn
1
12
2n n
nx
1
2
2
1
n
nx
x 22 x
x
等比级数
,2 12
1
之值求?
n
n
n
例 2
解
2
1
22
2 d
d
2
12
x
x
xx
n
n
n
n故 22
2
)2(
2
x
x
,1 得取?x,3 )2(
2
2
12
1
22
2
1
xn
n x
xn
幂级数的解析运算
4 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性
,)(d dd d
00
n
n
n
n
n
n xaxxax
逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径,但要注意：由于常数的导数为零,故有些幂级数在求导后要改变下标的起始值,
1
12
0
2 2)(
d
d
n
n
n
n xnx
x例如
,)1 |(| 5312
53
1
12
之和求
xxxxnx
n
n
,)12(2 1
1
的值并由此求?
n
n n
,12)(,12 则由令这是缺项的幂级数nxxu nn
,12 12lim|)(| |)(|lim 221 xxnnxu xu n
n
n
n
,,1 ||,原级数绝对收敛时得?x
例 3
解由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性,得
1
12
1
12
1212 n
n
n
n
n
x
n
x
0
22
n
nx
,1 11 242 xxx
x
n
n
xxnx 0 2
1
12
d1 112 故 xxxx d111 21
0
,) 1 || (,11ln 21 xxx
)12(2 1
1
？的值如何求?
n
n n
)1 |(| 11ln 2112
1
12
xxxnx
n
n
已知
11 12
2
1
)12(2
1
n
n
n
n nn 12
)2(
1
1
2
n
n
n
1
12
12
2
1
2
1
n
n
n,1)2ln ( 2
1
2
1?x取请自己完成例 4
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项积分后,得到一个新的幂级数,且它与原幂级数具有相同的收敛半径,如有必要,可对它连续进行逐项求导和逐项积分,
就是说,在收敛区间内幂级数的和函数具有任意阶的导数及任意次的可积性,
幂级数的性质多好啊 ！
如何将函数表示为幂级数?
怎么做？
,将函数表示为我们在前面已经遇到过实际上
—泰勒公式：多项式的情形—
2
00000 )(! 2
)())(()()( xxxfxxxfxfxf
,))o ( ()(! )( 000)( nnn xxxxn xf
马克劳林公式：
,)o( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )(2 nnn xxnfxfxffxf
吗？还记得公式的推导过程二、泰勒 级数将函数展开为幂级数得的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?
一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,即它的和函数,
),( )(
0
RRxxSxa
n
n
n
任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢? 即是否有
) )( ( )()(
0
0 xfxxaxf
n
n
n
如何确定系数 na
)( 的关系如何与 xfa n
工程需要泰勒公式问题回忆泰勒中值定理的构建过程
,)U( 0 内具有足够阶的导数时当函数在 x
))o ( ()(! )()( 0
0
00
)( nn
k
kk xxxx
k
xfxf
))o ( ()(! )()( 101
0
00
)(
nn
k
kk xxxx
k
xfxf
)(! )1( )( 100)1( nn xxn xf分出按照上面的方法不断地做下去,是否有下 面的结论,
0
0
0
)(
)( )()(
n
n
n
xxn xfxf ！
200000 )(! 2 )())(()( xxxfxxxfxf
! )( 0)( n xf n
等号成立吗
？
该级数收敛吗？
即算级数收敛,其和函数等于 f (x) 吗？
)( )U( )(
0
00 即的和函数，内为幂级数在若?
n
n
n xxaxxf
)U(,)()( 0
0
0 xxxxaxf
n
n
n
,),2,1,0( ! )( 0)( nn xfa nn则定理证 由定理的条件可知,,)U(
0 内幂级数收敛在 x
,)U( 0 内可对其进行逐项求导故在 x且其和函数
,)U( )( 0 内具有任意阶导数在 xxf 于是有
nn xxaxxaxxaaxf )()()()( 0202010
10203021 )()(3)(2)( nn xxnaxxaxxaaxf
204032 )(34)(232)( xxaxxaaxf
20 )()1( nn xxann
)( 23)1()1(! )( 01)( xxannnanxf nnn
则有代入上述各式以,0xx?
,)( 00 xfa?,)( 01 xfa,? ! )( 0
)(
n
xfa n
n?
由数学归纳法,得
),2,1,0( )( 0)( nn xfa nn ！
该定理说明,内为某个在如果 )U( )( 0xxf
0
0
0
)(
)(! )(
n
n
n
xxn xf
幂级数的和函数,则该幂级数一定是下列形式,
)( 0 则称有任意阶导数，在点设 xxf
0
0
0
)(
)(! )(
n
n
n
xxn xf
,)( 0 处的泰勒级数在点为 xxf
定理和定义给我们提供了什么信息?
定义定理和定义告诉我们：
0 )( xxf 在点如果 处有任意阶导数,则它就有一个相应的泰勒级数存在,
但此泰勒级数 不一定收敛,
即算收敛,其和函数也不一定等于,)(xf
就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是条件的,
)U( )( 0xxf 在如果 内可表示为幂级数的形式,
则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数,
问 题
,在什么条件下
)U( )( 0 数呢内可以展开为一个幂级在 xxf
)(,)( 呢？且和函数等于的泰勒级数收敛 xfxf
,在什么条件下回忆泰勒中值定理的构建过程
,)1( )U( )( 0 则阶的导数内有直到在设?nxxf
,)()(! )()(
0
0
0
)(
xRxxk xfxf n
n
k
k
k
,)(! )1( )()( 10
)1(
为拉格朗日余项其中?
n
n
n xxn
fxR?
由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有?
定理
,)U( )( 0 内具有任意阶导数在设 xxf
内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf
的充要条件是收敛于 )( xf
0)(l i m xR nn
)( )(,0 处泰勒公式的拉在为其中 xxfxR n
,格朗日余项证 )(! )(
0
0
0
)(
的部分和为级数?
n
n
n
xxn xf
)(! )()( 0
0
0
)(
kn
k
k
n xxk
xfxS
)( 的泰勒公式为函数 xf
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxn xfxf nk
n
k
k
)()()( xSxfxR nn故余下的工作由学生自己完成,
1
0
)1(
)(! )1( )()(?
n
n
n xxn
fxR?
),2,1,0( |)(| )( nMxf n若推 论
,0 ),2,1,( 0,|)(| )U( )(0 为常数内若在 MMxfx n?
)U( )( 0 内可展开为泰勒级数在则 xxf
,)U(,)(! )()( 0
0
0
0
)(
xxxxn xfxf
n
n
n
证 （提示）
)(! )1( )( |)(| 0 10
)1(
n
n
n xxn
fxR?
)( 0! )1(
1
nnM
n?
,) ( 为邻域半径?
,)( 0! lim, Rana nn此外自己做 !
0
)(
! )0(
n
n
n
xnf 2! 2 )0()0()0( xfxff
nn xnf ! )0()(
马克劳林级数
,0 0 级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取?x
,)( 0 处具有任意阶导数在点只要函数 xxf
就可写出它的泰勒级数,但它的泰勒级数不一定收敛,
,)(xf 只有当拉格朗日余项 0)( )( nxR n
时,泰勒级数才收敛于,)(xf
一个函数如果能够展开为幂级数形式,则该幂级数一定是它的泰勒级数,且这种展开是唯一的,
)( 也不一定等于xS即使收敛,其和函数三、函数展开为 幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法该方法是先求出函数,)( )( )( xfxf n的导数写出它的泰勒级数,然后,判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足,0)(lim xR nn 确定级数的收敛区间,
直接展开法
,)( 为马克劳林级数展开 xexf?
),2,1,0( 1)0( 0)( nef xxn
的马克劳林级数为xe
0 ! n
n
n
x
! 1 n
xx n
011lim|| ||lim 1 naa n
n
n
n由于
,,R该级数的收敛半径为所以例 4
解
! )1( || |! )1( )( | |)(| 0
1
| | 1
)1(
n
xex
n
fxR nxnn
n
而
) 0 ( 之间与在 x?
,)( 0! lim Rana nn因为
)),(( 0! )1( ||l i m
1
||
xn xe
n
x
n
所以
,0)(l i m 故所求马克劳林级数为即 xR nn
,),(,!
0
xnxe
n
n
x
,s i n)( 展开为马克劳林级数将 xxf?
,)2s in ()( )( nxxf n因为
)(
12,)1(
2,0
)0(,)(
Zk
kn
kn
f
k
n所以
s i n 的马克劳林级数为故 x
1
12
1
)12()1(n
n
n
n
x
！ ! 5! 3
53 xxx
例 5
解
,! )12()1()(
12
1
n
xxu nn
n记
02)12(l i m|| ||l i m
2
1?
nn
x
u
u
nn
n
n
,R故该级数的收敛半径为
),2,1,0( 1 |)0(| )( nf n因为
,s i n,即林级数可以展开为它的马克劳所以 x
).,(,! )12()1(s i n
1
12
1
x
n
xx
n
n
n
从一些已知函数的泰勒展开式出发,利用幂级数的四则运算和解析运算性质,以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法,称为间接展开法,
间接展开法
,c o s)( 展开为马克劳林级数将 xxf?
)( s i nc o s xx ) ! )12()1( (
1
12
1?
n
n
n
n
x
1
12
1 )
! )12()1((n
n
n
n
x
1
22
1
! )22()1(n
n
n
n
x
.),(,! )2()1(
0
2
xnx
n
n
n
例 6
解
)),((
! )12(
)1(si n
0
12
x
n
xx
n
n
n
)),((
! )2(
)1(c o s
0
2
x
n
xx
n
n
n
,)( 2 展开为马克劳林级数将 xexf
,2xy令
,),(,!
0
ynye
n
n
y因为
,),(,! )1(
0
22
x
n
xe
n
nn
x所以利用变量代换例 7
解
,)3( 1)( 的幂级数为展开 xxxf
)3(3
11
xx
3
31
1
3
1
x
等比级数的和例 8
解
,)1,1(,1 1)1(
0
得由
xxx
n
nn
3
31
1
3
1
1
xx?
0 3
)3()1(
3
1
n
n
n
n x
,3 )3()1(
0
1?
n
n
n
n x
13 31 x
？x
,)6,0(?x
