高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十一讲 一元微积分的应用 (四 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 面积、体积、弧长第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第四、五、六节 面积、体积、弧长一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积一、微分元素法
)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素
,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程
,,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时
,分问题来处理常可将问题归结为定积
,具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时 A
取极限”—求和—近似“分划—
,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成
,,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证
,采用按照定积分的概念
].,[ )( 1
11
iii
n
i
ii
n
i
i xxxfAA?
便有关系式
,,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见 ii
,,]d,[ ],[ 1 且取称之为典型小区间表示为小区间 xxxxx ii
,则有为区间的左端点 xi?
,d)( xxfA
,)( d)( 记为或积分元素的微分元素为量通常称 Axxf
,d)(d xxfA?
( 0d,相当于取极限过程对区间的可加性由量?xA
],[ d,0)|||| 上“无限累加”起来在区间将微分元素 baAx
],[ )( 上的值：在区间就得到量即作定积分 baA
,d)(d baba xxfAA
,,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之
,,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时 A
注意
,],[ 个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间 Aba
,的和分量 A?
,的步骤如下求量 A; ]d,[ ],[ ) 1 ( xxxba?中任取一小区间在区间
,)2( 记为近似值在小区间上的部分量的求出 AA?
)d)(d ( d)( xxfAxxfA 微分元素为
],[ )3( 上的值在区间计算定积分求出量 baA
,d)(d baba xxfAA
一,平面图形的面积
1 直角坐标系中平面图形的面积
)(xfy?
)(xgy?
ax? bx?
,
,)( ),(
积所围成的平面图形的面及求由连续曲线 bxaxxgyxfy
O x
y
a b
)(,],[],[ 为面积元素则微分元素任取 baxxx
x xx
Ad
xxgxfA d|)()(| d
,所求面积为于是
ba xxgxfA d |)()(|
O x
y )(xfy?
)(xgy?
ax? bx?
a b
积的计算公式为所围成的平面图形的面
bxaxxgyxfy,)( ),( 及求由连续曲线
)(,d |)()(| baxxgxfA ba
dycyyxyx,)( ),( 及求由连续曲线
积的计算公式为所围成的平面图形的面
)(,d |)()(| dcyyyA dc
,类似地例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
],1,2[x积分区间例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
有何想法?
例 2
解
,2,,2 所围平面图形的面积直线求曲线 xyxyxy
O x
y xy 2?
xy?
2xy?
,) 1 ( 求积分区间
)2( 微分元素
)3( 计算面积联立方程组
2xy?
xy?
2xy?
2xy?
xy?
2xy?
,)0,0( ),4,2( ),1,1 ( OBA求得交点为 A
B
1 2
,2] [ 0,]2 [ 1,1] [ 0,积分区间为; dd)2(d,]1,0[ xxxxxA中在,d)2(d,]2,1[ 2 xxxA中在
,6 7d)2(d)2( 2 1 21 0xxxxxxA
例 3
解
,4 2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 xyxy
O x
y xy 22?
4 xy
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组 xy 2
2?
4 xy
,)4,8(,)2,2( BA?求得交点为
,由图可以看出
,为积分变量好为积分变量比选择选择 xy
)2( 求微分元素,d)21)4((d 2 yyyA
)3( 计算面积,18d)21)4((4 2 2yyyA
,]4,2[y积分区间为
2 参数方程形式下平面图形的面积
,出如果曲线由参数方程给
,,)(,)( ttytx
,处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面
,)( )( 件满足定积分换元法的条和此时要求函数 tt
例 4
解
,积所围成的平面图形的面
20,s in,c o s 33 ttaytax求星形线
O x
y
a
2
2
3?
,只需求出由对称性
,1 然第一象限中的面积 A
,4 即可后乘以
) 1 ( 积分区间,02,,0,tax 时
)2( 微分元素
,dc o ss in3)c o sd(s ind ||d 242331 tttatataxyA
)3( 所求面积
0 2 242 0 1 d)c o ss i n3(4d || 44? tttaxyAA a
,8 3ds in)s in1(12 22 0 422 attta?
t
例 5
解
)c o s1( ),s i n( 的第一拱求由摆线 tayttax
,)20( 积所围成的平面图形的面与横轴 xt
O x
y
a?2
a
) 1 ( 求积分区间
,20,,20, tax 时
)2( 求微分元素
d || d xyA? ))s i n(d()c o s1( ttata
,d)c o s1( 22 tta
)3( 计算面积
2 0 222 0 d)c o s1(d|| ttaxyA a
,3d)c o sc o s21( 22 0 22 attta
t
3 极坐标系中平面图形的面积
O x
d
,)( rrr 及射线求由曲线
)( 所围成的平面图r
,,为积分变量取形的面积时?
,],[ 剩下的问则积分区间为
,积分值题是求微分元素和计算
)(?rr?
,],[]d,[ 在该小区间上任取一个小区间
d,)( 的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为rr?
,,面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇
)(,d)( 2 1d 2 微分元素rA?
)(,)( rrrr 及射线求由曲线积的计算公式为所围成的平面图形的面
,d)( 2 1d 2rAA
,中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系例 6
解
,2s i n 积所围成的平面图形的面求曲线?ar?
O x
y
,4,,11 AAA?则积计算出第一象限中的面由对称性
,]2,0[ ) 1 (积分区间微分元素 )2(
,d)2s in(21d 21aA?
)3( 计算面积
d)2s in(2144 2 0 21
aAA
,2d2 4c o s1 2
2
2
0
2 aa
例 7
解
c o s1 c o s3 所围成的与心形线求圆 rr
,平面图形的面积
O x3
co s3?r
c o s1r
,2,,11 AAA?则求出上半部分的面积由对称性
) 1 ( 联立方程组求积分区间
co s3?r
c o s1r
2
1co s
3
,c o s1,30 r曲边为时当
)2( 微分元素
,d)c o s1(21d 21A
,c o s3,2 3 r曲边为时当,d)c o s3(21d 21A
)3( 计算面积
12AA
2
3
23
0
2 d)c o s3(
2
1d)c o s1(
2
12?
3 0 d)2 2c o s1c o s21( 2
3
d2 )2c o s1(9
4
5
O x
)(1?rr?
)(2?rr?
A
如何计算?
,d|)()(|21d 2221 rrA
,d|)()(|21 2221 rrA
二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某
,,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体
,,间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间 I
,旋转体的特点
,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴
,图形均为圆截口
O x
y
1
A
B
a b
)(xfy?
x xx
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?
,0 ],,[ xbax
,得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点 xxxx
,).( )(,可以用很小时当和其半径分别为两个圆 xxxfxf
,)( 似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以 xxf?
,))((,],[ 22 xxfxyVxxx上的体积体在
,积分区间
,微分元素
O x
y
1
A
B
a b
)(xfy?
x xx
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?,积分区间
,微分元素,dd 2 xyV
,d))((d 2 xxfV
,计算体积 d
b
a VV
,d 2 ba xy?
2
],[ )( 上的一段弧在区间计算连续曲线 dcyx
,转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 x
,轴所围成的平面图形以及与直线 ydycyAB
,类似于上面的作法可得
,],[ dcy?,积分区间
,微分元素,dd 2 yxV,d))((d 2 yyV
,计算体积 d
b
a VV,d
2 b
a xy?
例 8
解
,1 2222 轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆 yxbyax
,旋转体的体积
O x
y
a? a
b?
b
)( ) 1 ( 只需用上半椭圆轴旋转绕 x
,],[ aax,积分区间
,微分元素 dd 2 xyV
,3 4d)( d 2 2222 abxxaabVV a aa a
,d)( 2222 xxaab
,计算体积
)( )2( 只需用右半椭圆轴旋转绕 y
,],[ aax,积分区间
,微分元素 dd 2 yxV
,3 4d)( d 2 2222 bayybbaVV b bb b
,d)( 2222 yybba
,计算体积
O x
y
a? a
b?
b
O x
y 22 xy
xy?
1
1
M
x
例 9
解
2 2 轴所以及与抛物线求圆弧 yxyxy
,轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕 yx
,转体的体积
) 1 ( 轴旋转绕 x
,积分区间
,微分元素 d])()2([dd 2222 xxxxyV
,67d)2( d 21 0a a xxxVV,计算体积
,之差可视为两个旋转体体积
xy?
22 xy
) 1,1 ( M交点 ].1,0[?x 圆环的面积
O x
y 22 xy
xy?
1
1
M
) 2 ( 轴旋转绕 y
,积分区间
,微分元素
,dd)(dd 42221 yyyyyxV
d d 2 1 21 0 121 VVVVV,计算体积
,]2,1[]1,0[y
,1] [0,上在区间
,d)2(dd 222 yyyxV,]2 [1,上在区间
,15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy
有其它的计算方法吗
O x
y 22 xy
xy?
1
M
) 2 ( 轴旋转绕 y
,0 ],1,0[, xx如图所示
x
xx
,小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y
,故微分的空心圆柱体一个壁厚为 x?
元素为
,d)2(2d 2 xxxxV
周长 高 厚
,15 22220d)2(2d 1 0 21 0xxxxVV
于是例 10
解
)2(0 )c o s1( ),s i n( ttayttax 的第一拱求摆线
,转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 x
O x
y
a?2
a
,式这是曲线的参数方程形
,法处理我们可以按照积分换元
,d 2 ba xyV?由
),c o s1( ),s i n( 且则令 tayttax
,20,ax,20,t
d 2 0 2 a xyV故 d)c o s1()c o s1(2 0 22 ttata
,5d)c o s1( 32 0 33 atta
展开回想一下旋转体体积计算公式的创建过程,
O x
y
A
B
a b
)(xfy?
x
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?,积分区间
,微分元素,dd 2 xyV
,计算体积 d
b
a VV
)(2 xSy,轴的截平面上的面积垂直于 x
d ba VV d)( ba xxS
有何想法?
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
).( xSxA 轴的平面所截得的面积被垂直于设几何体
O x
y
a b?x
)(xS
],[ ]),,([)( 上的体积为位于区间则几何体若 baAbaCxS?
,d)( ba xxSV 微分元素
d)( xxS
例 11
解
,,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底
,的正劈锥的体积高为 h
O x
y
h
xa? a
y
h
||y||y
,|| ) ||2(21)( 22 xahhyhyxS
222 ayx,|| 22 xay
例 11
解
,,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底
,的正劈锥的体积高为 h
O x
y
h
xa? a
y
,积分区间
,微分元素
,计算体积
].,[ aax
,dd 22 xxahV
a a xxahV 22 d
c os?ax?令,21ds i n 2 0 22 ahah
正劈锥的体积等于同底、同高的圆柱体体积的一半,
四、弧长及其计算方法
)(,所量得的长度但不能拉长把弧拉直后有人说
,,简称为弧长就是弧的长度
？
1 平面曲线弧长的定义
O x
y
A
B
BMMMMA nn,,,,110?0
1M
1?nM
nM
1?iM iM
a
1x 1?ix ix 1?nx
b
,任意取分点上在弧 AB
,个小段弧分成将 nAB
).,,2,1 ( 1 niMM ii
).,,2,1 (,1 从而得到弦依次连接相邻两分点成 niMM ii
,该折线的长度为一条折线
,||
1
1
1
n
i
ii
n
i
i MMs
}.{m a x ||||,|| 111 iniiiiiii ssMMMMs 记的长度为弦其中
,的长度极限值为曲线 AB
,,l i m
10||||
是可求长的则称曲线存在若极限 ABs
n
i
is?
在则曲线若一般说来 )( ]),,([)(,1 xfybaCxf
,],[ 上是可求长的区间 ba
,,光滑曲线是可求长的也就是说
2 式平面曲线弧长的计算公证定理,,],[ )( 分别其端点为光滑曲线设 BAbaxxfy
,则该曲线弧的长度为和对应于 bxax
,d1 2 ba xys
,],[ Tba 进行分化任意对
110 bxxxxa nn
).,,2,1( ],[,1 nixxn ii个小区间得到
).,,2,1(,1 nixxx iii每个小区间长度
,,],[ 1 为相应当弦的长度上在 iii lxx
1?ix ix
)(xfy?
1?iM
iM
il?
,))()(()( 2121 iiiii xfxfxxl
] ),,([)( 1 由微分中值定理得因为 baCxf?
),,( )(1 12 iiiiii xxxfl
,为所对应的整个折线长度到从从而 BA
).,( 1 1
1
2
iii
n
i
ii xx x )( ξf L?
,)(1 },{m a x |||| 21 的长度为得的可积性则由记 ABxfxx ini
)(1 l i m
1
2
0||||
n
i
iix xfs?,d)(1
2 b
a xxf
1?ix ix
)(xfy?
1?iM
iM
il? ),,( )(1
12 iiiiii xxxfl
,求弧长的由上面的推导可知
,微分元素为
,ii ls
,d)(1 d 2 xxfs
,,所以我们必须规定是非负数由于弧长 s
,量的增加方向一致弧长的增加方向与自变则或者是极坐标形式式如果曲线是参数方程形,,
,)( 的表达式方法求出可以利用参数方程求导 xf?
的方程为设曲线 L )(ty )(tx,的起终Lt
, tt 和点别对应于
0,)()( ] ),,([)( ),( 221 ttCtt 且若函数
,d)()( 22 ttts
,其弧长为是可求长的则曲线 L
)(
)(
t
ty
,)(, rrL 的方程为极坐标形式设曲线
,]),,([)( 1 其弧长为是可求长的则曲线若函数 LCr
,d)()( 22 rrs
,)( 可化为参数形式方程?rr?
c o s)(rx?
s i n)(ry?
例 12
解
,中的钢筋形状为抛物线建筑中所使用的鱼腹梁
0 ),(,2 axay可将其方程表示为适当选取坐标后
),( ],[ 见图之间的钢筋长度求在 bb?
O x
y
b? b
2xay? d))((1
22?
b
b xxas
d)2(1 2 b b xax
d)2(1 2 0 2 b xax
).41 2l n (2 141 2222 baababab
M a t l a b
或者用可查积分表例 13
解
).( s i n,c o s abtbytax设椭圆方程为
,求计算椭圆全长的公式
,,弧长只需计算第一象限中的由椭圆的对称性
d)s i n()c o s( 4 2 0 22 ttbtas
dc o ss i n 4 2 0 2222 ttbta
dc o s)c o s1( 4 2 0 2222 ttbta
dc o s1 4 2 0 22
22
tta ba
,dc o s1 4 2 0 22 ttka
)(
2
22
椭圆离心率
a
bak
椭圆积分该积分称为椭圆积分表解析性质幂级数，利用幂级数的可以将被积函数展开为
,求椭圆积分的近似值
432 8642 5311 642 311 42 11 2111 xxxxx
) 11 ( x
),20 ( 1c o s0,10 从而故由于 xx
c o s!! 2 11c o s1 2222 xx
2 0 222 0 22 d)c o s211 ( 4 dc o s1 4 ttattas于是
)411 (2 2 a
例 14
解
,)0,2(0 )c o s1( 的整个弧长求心形线 aar
d)()( 0 22 rrs
d)s i n()c o s1( 0 222 aa
d)c o s1(2 0 2a
d 2c o s4 0 22a
d2c o sd2c o s2 2 0a
,8a?
例 15
解
)c o s1( ),s i n( 的第一拱的长为求分摆线 tayttax
,3:1 的点的坐标摆线的第一拱全长为
ds i n)c o s1(2 0 22 tttas,8d2s i n2 2 0 atta
,24 ],0[,00 asttt 上曲线的长度为则在设分点的坐标对应于
0 0 d2s i n22 t ttaa即有,) 2c o s1 (4 0ta
,32,212c o s 00 tt由此得
,23 ),2 332 ( 00 ayax故分点的坐标为
3 弧微分
O x
y
a b
)(xfy?
A B
x
C
]),,([)( 1 则光滑设函数 baCxf?
)( 的弧长为曲线 xfy?
,d)(1 2 ba xxfs
],,( 所对应到点则点 xabax
,d)(1 )( 2 xa ttfxs
,有由积分上限函数的性质
,)(1 d)(1 d dd )(d 2 2 tfttfxx xs xa
的长度为的弧 AC
,)( 的增加方向一致时的增加方向与自变量当弧长 xxs
,d )(d 则有同号与 xxs
,d1 d 2 xys
,ddd 222 yxs及
,),( )( d 处的弧微分在点称为曲线 yxxfys?
baba xyss 2 d1 d
,],[ 上的弧长计算公式在区间 ba
弧微分的几何意义
O x
y
x xx d?
xd
yd),( yxP
sd
sd
xd
yd
自变量的微分函数的微分弧微分
)( xfy?
五、旋转体的侧面积
,用定积分来计算旋转体的侧面积可以利
O x
y
A
B
a b
)(xfy?
x xx
,]),([)( 1 baCxf?设函数
,生成的旋转轴旋转一周绕 x
可加体的侧面积对区间具有
,性
],[ ],,[],[ 上的侧面积旋转体在 xxxbaxxx
轴旋转一周所生成的小绕线近似等于图中所示的切 xPP?
,圆锥台的侧面积?为什么用切线
P
P? ],[ )(,baxxfyAB曲线
,],[ sxxx 上曲线段的弧长求侧面积应该用
,d,ss由弧微分的几何意义
O x
y
x xx d?
xd yd
P sd
sd
yd
xd
)( xfy?
P?
,求旋转体的侧面积时方法由圆锥台侧面积的计算
,d2d syS微分元素为
,]),([)( 1 baCxf?设函数
,,的计算公式为生成的旋转体的侧面积轴旋转一周绕 x
],[ )(,baxxfyAB曲线
].,[,bax?积分区间
,d1 2d2d,2 xyysyS微分元素
,d12,2 ba xyyS?计算面积例 16
解
,的球面的面积求半径为 r
,222 ryx设球面的方程为
,22 轴旋转一周生成绕球面可视为上半圆 xxry
,) ( 2222 故该球面的面积为又 xr xxry
d1 2 22
2
22?
r
r xxr
xxrS?
,4d2 2 rxr r r
例 17
解
)0( s i n,c o s 绕其长轴求椭圆 batbytax
,的面积旋转一周而成的椭球面
].,0[,t积分区间
,d1 2d,2 xyyS微分元素
,s in c o s )c o s( )s in( ta tbta tby
ttata tbtbS d)s i n(s i nc os1 s i n2d 22
22
) ( dc o s1 s in2
22
22
a
batttba
离心率
,d12,2 ba xyyS?计算面积
0 22 dc o s1 s i n2 tttbaS
,11,,0,,co s 故时则令 uttu?
d1 2 11 22 uubaS
d1 2 1 1 22 uuba
d1 4 10 22 uuba
),a r c s i n1 (2 2 ba
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十一讲 一元微积分的应用 (四 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 面积、体积、弧长第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第四、五、六节 面积、体积、弧长一、平面图形的面积三、平行截面面积为已知的几何体的体积二、旋转体的体积四、弧长及其计算方法五、旋转体的侧面积一、微分元素法
)( 或称为积分元素法法数学建模中的微分元素
,当把非均匀变化的问题实际中在物理、几何以及工程
,,则通积达形式能表示为某两个量的乘看作是均匀变化时
,分问题来处理常可将问题归结为定积
,具有对区间的可加性要求量运用定积分处理问题时 A
取极限”—求和—近似“分划—
,局利用整体上变化的量在局部问题的步骤将整体问题化成
,,替“变”在局部上以“不变”代关系部上近似于不变的辩证
,采用按照定积分的概念
].,[ )( 1
11
iii
n
i
ii
n
i
i xxxfAA?
便有关系式
,,个将具有代表性的第略去下标为简便和醒目起见 ii
,,]d,[ ],[ 1 且取称之为典型小区间表示为小区间 xxxxx ii
,则有为区间的左端点 xi?
,d)( xxfA
,)( d)( 记为或积分元素的微分元素为量通常称 Axxf
,d)(d xxfA?
( 0d,相当于取极限过程对区间的可加性由量?xA
],[ d,0)|||| 上“无限累加”起来在区间将微分元素 baAx
],[ )( 上的值：在区间就得到量即作定积分 baA
,d)(d baba xxfAA
,,加解为微分元素的无限累我们在这里将定积分理简言之
,,具有可加性要求所计算的量在应用微分元素法时 A
注意
,],[ 个子区间上部总等于它在该区间的各量上即在区间 Aba
,的和分量 A?
,的步骤如下求量 A; ]d,[ ],[ ) 1 ( xxxba?中任取一小区间在区间
,)2( 记为近似值在小区间上的部分量的求出 AA?
)d)(d ( d)( xxfAxxfA 微分元素为
],[ )3( 上的值在区间计算定积分求出量 baA
,d)(d baba xxfAA
一,平面图形的面积
1 直角坐标系中平面图形的面积
)(xfy?
)(xgy?
ax? bx?
,
,)( ),(
积所围成的平面图形的面及求由连续曲线 bxaxxgyxfy
O x
y
a b
)(,],[],[ 为面积元素则微分元素任取 baxxx
x xx
Ad
xxgxfA d|)()(| d
,所求面积为于是
ba xxgxfA d |)()(|
O x
y )(xfy?
)(xgy?
ax? bx?
a b
积的计算公式为所围成的平面图形的面
bxaxxgyxfy,)( ),( 及求由连续曲线
)(,d |)()(| baxxgxfA ba
dycyyxyx,)( ),( 及求由连续曲线
积的计算公式为所围成的平面图形的面
)(,d |)()(| dcyyyA dc
,类似地例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
],1,2[x积分区间例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
例 1
解
,2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 yxxy
O x
y
2xy?
2 yx
2? 1
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组
2xy?
2 yx
,) 1,1 ( ),4,2(,BA?求得交点
,d])2[(d )2( 2 xxxA微分元素
)3( 计算面积
,2 14 ]322[d])2[( 1 2321 2 2 xxxxxxA
有何想法?
例 2
解
,2,,2 所围平面图形的面积直线求曲线 xyxyxy
O x
y xy 2?
xy?
2xy?
,) 1 ( 求积分区间
)2( 微分元素
)3( 计算面积联立方程组
2xy?
xy?
2xy?
2xy?
xy?
2xy?
,)0,0( ),4,2( ),1,1 ( OBA求得交点为 A
B
1 2
,2] [ 0,]2 [ 1,1] [ 0,积分区间为; dd)2(d,]1,0[ xxxxxA中在,d)2(d,]2,1[ 2 xxxA中在
,6 7d)2(d)2( 2 1 21 0xxxxxxA
例 3
解
,4 2 2 积所围成的平面图形的面与直线求曲线 xyxy
O x
y xy 22?
4 xy
A
B
) 1 ( 求积分区间联立方程组 xy 2
2?
4 xy
,)4,8(,)2,2( BA?求得交点为
,由图可以看出
,为积分变量好为积分变量比选择选择 xy
)2( 求微分元素,d)21)4((d 2 yyyA
)3( 计算面积,18d)21)4((4 2 2yyyA
,]4,2[y积分区间为
2 参数方程形式下平面图形的面积
,出如果曲线由参数方程给
,,)(,)( ttytx
,处理即可积公式按定积分换元法则将直角坐标系下的面
,)( )( 件满足定积分换元法的条和此时要求函数 tt
例 4
解
,积所围成的平面图形的面
20,s in,c o s 33 ttaytax求星形线
O x
y
a
2
2
3?
,只需求出由对称性
,1 然第一象限中的面积 A
,4 即可后乘以
) 1 ( 积分区间,02,,0,tax 时
)2( 微分元素
,dc o ss in3)c o sd(s ind ||d 242331 tttatataxyA
)3( 所求面积
0 2 242 0 1 d)c o ss i n3(4d || 44? tttaxyAA a
,8 3ds in)s in1(12 22 0 422 attta?
t
例 5
解
)c o s1( ),s i n( 的第一拱求由摆线 tayttax
,)20( 积所围成的平面图形的面与横轴 xt
O x
y
a?2
a
) 1 ( 求积分区间
,20,,20, tax 时
)2( 求微分元素
d || d xyA? ))s i n(d()c o s1( ttata
,d)c o s1( 22 tta
)3( 计算面积
2 0 222 0 d)c o s1(d|| ttaxyA a
,3d)c o sc o s21( 22 0 22 attta
t
3 极坐标系中平面图形的面积
O x
d
,)( rrr 及射线求由曲线
)( 所围成的平面图r
,,为积分变量取形的面积时?
,],[ 剩下的问则积分区间为
,积分值题是求微分元素和计算
)(?rr?
,],[]d,[ 在该小区间上任取一个小区间
d,)( 的圆扇形的面积近中心角为可以用半径为rr?
,,面积元素为从而形的面积似代替其上的窄曲边扇
)(,d)( 2 1d 2 微分元素rA?
)(,)( rrrr 及射线求由曲线积的计算公式为所围成的平面图形的面
,d)( 2 1d 2rAA
,中曲边扇形的面积公式该公式也称为极坐标系例 6
解
,2s i n 积所围成的平面图形的面求曲线?ar?
O x
y
,4,,11 AAA?则积计算出第一象限中的面由对称性
,]2,0[ ) 1 (积分区间微分元素 )2(
,d)2s in(21d 21aA?
)3( 计算面积
d)2s in(2144 2 0 21
aAA
,2d2 4c o s1 2
2
2
0
2 aa
例 7
解
c o s1 c o s3 所围成的与心形线求圆 rr
,平面图形的面积
O x3
co s3?r
c o s1r
,2,,11 AAA?则求出上半部分的面积由对称性
) 1 ( 联立方程组求积分区间
co s3?r
c o s1r
2
1co s
3
,c o s1,30 r曲边为时当
)2( 微分元素
,d)c o s1(21d 21A
,c o s3,2 3 r曲边为时当,d)c o s3(21d 21A
)3( 计算面积
12AA
2
3
23
0
2 d)c o s3(
2
1d)c o s1(
2
12?
3 0 d)2 2c o s1c o s21( 2
3
d2 )2c o s1(9
4
5
O x
)(1?rr?
)(2?rr?
A
如何计算?
,d|)()(|21d 2221 rrA
,d|)()(|21 2221 rrA
二、旋转体的体积一轴旋转一周所生成的将平面图形绕平面上某
,,该轴称为旋转轴几何体称为旋转体
,,间的可加性旋转体的体积具有对区上在区间 I
,旋转体的特点
,截旋转体所得的的平面任何一个垂直于旋转轴
,图形均为圆截口
O x
y
1
A
B
a b
)(xfy?
x xx
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?
,0 ],,[ xbax
,得到如图所示的轴的平面分别作垂直于和点过点 xxxx
,).( )(,可以用很小时当和其半径分别为两个圆 xxxfxf
,)( 似旋转为高的圆柱体的体积近以为半径的圆为底以 xxf?
,))((,],[ 22 xxfxyVxxx上的体积体在
,积分区间
,微分元素
O x
y
1
A
B
a b
)(xfy?
x xx
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?,积分区间
,微分元素,dd 2 xyV
,d))((d 2 xxfV
,计算体积 d
b
a VV
,d 2 ba xy?
2
],[ )( 上的一段弧在区间计算连续曲线 dcyx
,转体的体积轴旋转一周所产生的旋绕 x
,轴所围成的平面图形以及与直线 ydycyAB
,类似于上面的作法可得
,],[ dcy?,积分区间
,微分元素,dd 2 yxV,d))((d 2 yyV
,计算体积 d
b
a VV,d
2 b
a xy?
例 8
解
,1 2222 轴旋转一周所生成的绕轴绕求椭圆 yxbyax
,旋转体的体积
O x
y
a? a
b?
b
)( ) 1 ( 只需用上半椭圆轴旋转绕 x
,],[ aax,积分区间
,微分元素 dd 2 xyV
,3 4d)( d 2 2222 abxxaabVV a aa a
,d)( 2222 xxaab
,计算体积
)( )2( 只需用右半椭圆轴旋转绕 y
,],[ aax,积分区间
,微分元素 dd 2 yxV
,3 4d)( d 2 2222 bayybbaVV b bb b
,d)( 2222 yybba
,计算体积
O x
y
a? a
b?
b
O x
y 22 xy
xy?
1
1
M
x
例 9
解
2 2 轴所以及与抛物线求圆弧 yxyxy
,轴旋转一周所生成的旋绕轴围成的平面图形绕 yx
,转体的体积
) 1 ( 轴旋转绕 x
,积分区间
,微分元素 d])()2([dd 2222 xxxxyV
,67d)2( d 21 0a a xxxVV,计算体积
,之差可视为两个旋转体体积
xy?
22 xy
) 1,1 ( M交点 ].1,0[?x 圆环的面积
O x
y 22 xy
xy?
1
1
M
) 2 ( 轴旋转绕 y
,积分区间
,微分元素
,dd)(dd 42221 yyyyyxV
d d 2 1 21 0 121 VVVVV,计算体积
,]2,1[]1,0[y
,1] [0,上在区间
,d)2(dd 222 yyyxV,]2 [1,上在区间
,15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy
有其它的计算方法吗
O x
y 22 xy
xy?
1
M
) 2 ( 轴旋转绕 y
,0 ],1,0[, xx如图所示
x
xx
,小矩形生成轴旋转时平面图形绕 y
,故微分的空心圆柱体一个壁厚为 x?
元素为
,d)2(2d 2 xxxxV
周长 高 厚
,15 22220d)2(2d 1 0 21 0xxxxVV
于是例 10
解
)2(0 )c o s1( ),s i n( ttayttax 的第一拱求摆线
,转体的体积轴旋转一周所生成的旋绕 x
O x
y
a?2
a
,式这是曲线的参数方程形
,法处理我们可以按照积分换元
,d 2 ba xyV?由
),c o s1( ),s i n( 且则令 tayttax
,20,ax,20,t
d 2 0 2 a xyV故 d)c o s1()c o s1(2 0 22 ttata
,5d)c o s1( 32 0 33 atta
展开回想一下旋转体体积计算公式的创建过程,
O x
y
A
B
a b
)(xfy?
x
)( 在区间计算连续曲线 xfy?
轴所围成的平面图形以及 xbx?
转体的轴旋转一周所产生的旋绕 x
,体积
,],[ axABba?与直线上的一段弧
,],[ bax?,积分区间
,微分元素,dd 2 xyV
,计算体积 d
b
a VV
)(2 xSy,轴的截平面上的面积垂直于 x
d ba VV d)( ba xxS
有何想法?
三、平行截面面积为已知的几何体的体积
).( xSxA 轴的平面所截得的面积被垂直于设几何体
O x
y
a b?x
)(xS
],[ ]),,([)( 上的体积为位于区间则几何体若 baAbaCxS?
,d)( ba xxSV 微分元素
d)( xxS
例 11
解
,,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底
,的正劈锥的体积高为 h
O x
y
h
xa? a
y
h
||y||y
,|| ) ||2(21)( 22 xahhyhyxS
222 ayx,|| 22 xay
例 11
解
,,的线段为顶以平行且等于该圆直径求以圆为底
,的正劈锥的体积高为 h
O x
y
h
xa? a
y
,积分区间
,微分元素
,计算体积
].,[ aax
,dd 22 xxahV
a a xxahV 22 d
c os?ax?令,21ds i n 2 0 22 ahah
正劈锥的体积等于同底、同高的圆柱体体积的一半,
四、弧长及其计算方法
)(,所量得的长度但不能拉长把弧拉直后有人说
,,简称为弧长就是弧的长度
？
1 平面曲线弧长的定义
O x
y
A
B
BMMMMA nn,,,,110?0
1M
1?nM
nM
1?iM iM
a
1x 1?ix ix 1?nx
b
,任意取分点上在弧 AB
,个小段弧分成将 nAB
).,,2,1 ( 1 niMM ii
).,,2,1 (,1 从而得到弦依次连接相邻两分点成 niMM ii
,该折线的长度为一条折线
,||
1
1
1
n
i
ii
n
i
i MMs
}.{m a x ||||,|| 111 iniiiiiii ssMMMMs 记的长度为弦其中
,的长度极限值为曲线 AB
,,l i m
10||||
是可求长的则称曲线存在若极限 ABs
n
i
is?
在则曲线若一般说来 )( ]),,([)(,1 xfybaCxf
,],[ 上是可求长的区间 ba
,,光滑曲线是可求长的也就是说
2 式平面曲线弧长的计算公证定理,,],[ )( 分别其端点为光滑曲线设 BAbaxxfy
,则该曲线弧的长度为和对应于 bxax
,d1 2 ba xys
,],[ Tba 进行分化任意对
110 bxxxxa nn
).,,2,1( ],[,1 nixxn ii个小区间得到
).,,2,1(,1 nixxx iii每个小区间长度
,,],[ 1 为相应当弦的长度上在 iii lxx
1?ix ix
)(xfy?
1?iM
iM
il?
,))()(()( 2121 iiiii xfxfxxl
] ),,([)( 1 由微分中值定理得因为 baCxf?
),,( )(1 12 iiiiii xxxfl
,为所对应的整个折线长度到从从而 BA
).,( 1 1
1
2
iii
n
i
ii xx x )( ξf L?
,)(1 },{m a x |||| 21 的长度为得的可积性则由记 ABxfxx ini
)(1 l i m
1
2
0||||
n
i
iix xfs?,d)(1
2 b
a xxf
1?ix ix
)(xfy?
1?iM
iM
il? ),,( )(1
12 iiiiii xxxfl
,求弧长的由上面的推导可知
,微分元素为
,ii ls
,d)(1 d 2 xxfs
,,所以我们必须规定是非负数由于弧长 s
,量的增加方向一致弧长的增加方向与自变则或者是极坐标形式式如果曲线是参数方程形,,
,)( 的表达式方法求出可以利用参数方程求导 xf?
的方程为设曲线 L )(ty )(tx,的起终Lt
, tt 和点别对应于
0,)()( ] ),,([)( ),( 221 ttCtt 且若函数
,d)()( 22 ttts
,其弧长为是可求长的则曲线 L
)(
)(
t
ty
,)(, rrL 的方程为极坐标形式设曲线
,]),,([)( 1 其弧长为是可求长的则曲线若函数 LCr
,d)()( 22 rrs
,)( 可化为参数形式方程?rr?
c o s)(rx?
s i n)(ry?
例 12
解
,中的钢筋形状为抛物线建筑中所使用的鱼腹梁
0 ),(,2 axay可将其方程表示为适当选取坐标后
),( ],[ 见图之间的钢筋长度求在 bb?
O x
y
b? b
2xay? d))((1
22?
b
b xxas
d)2(1 2 b b xax
d)2(1 2 0 2 b xax
).41 2l n (2 141 2222 baababab
M a t l a b
或者用可查积分表例 13
解
).( s i n,c o s abtbytax设椭圆方程为
,求计算椭圆全长的公式
,,弧长只需计算第一象限中的由椭圆的对称性
d)s i n()c o s( 4 2 0 22 ttbtas
dc o ss i n 4 2 0 2222 ttbta
dc o s)c o s1( 4 2 0 2222 ttbta
dc o s1 4 2 0 22
22
tta ba
,dc o s1 4 2 0 22 ttka
)(
2
22
椭圆离心率
a
bak
椭圆积分该积分称为椭圆积分表解析性质幂级数，利用幂级数的可以将被积函数展开为
,求椭圆积分的近似值
432 8642 5311 642 311 42 11 2111 xxxxx
) 11 ( x
),20 ( 1c o s0,10 从而故由于 xx
c o s!! 2 11c o s1 2222 xx
2 0 222 0 22 d)c o s211 ( 4 dc o s1 4 ttattas于是
)411 (2 2 a
例 14
解
,)0,2(0 )c o s1( 的整个弧长求心形线 aar
d)()( 0 22 rrs
d)s i n()c o s1( 0 222 aa
d)c o s1(2 0 2a
d 2c o s4 0 22a
d2c o sd2c o s2 2 0a
,8a?
例 15
解
)c o s1( ),s i n( 的第一拱的长为求分摆线 tayttax
,3:1 的点的坐标摆线的第一拱全长为
ds i n)c o s1(2 0 22 tttas,8d2s i n2 2 0 atta
,24 ],0[,00 asttt 上曲线的长度为则在设分点的坐标对应于
0 0 d2s i n22 t ttaa即有,) 2c o s1 (4 0ta
,32,212c o s 00 tt由此得
,23 ),2 332 ( 00 ayax故分点的坐标为
3 弧微分
O x
y
a b
)(xfy?
A B
x
C
]),,([)( 1 则光滑设函数 baCxf?
)( 的弧长为曲线 xfy?
,d)(1 2 ba xxfs
],,( 所对应到点则点 xabax
,d)(1 )( 2 xa ttfxs
,有由积分上限函数的性质
,)(1 d)(1 d dd )(d 2 2 tfttfxx xs xa
的长度为的弧 AC
,)( 的增加方向一致时的增加方向与自变量当弧长 xxs
,d )(d 则有同号与 xxs
,d1 d 2 xys
,ddd 222 yxs及
,),( )( d 处的弧微分在点称为曲线 yxxfys?
baba xyss 2 d1 d
,],[ 上的弧长计算公式在区间 ba
弧微分的几何意义
O x
y
x xx d?
xd
yd),( yxP
sd
sd
xd
yd
自变量的微分函数的微分弧微分
)( xfy?
五、旋转体的侧面积
,用定积分来计算旋转体的侧面积可以利
O x
y
A
B
a b
)(xfy?
x xx
,]),([)( 1 baCxf?设函数
,生成的旋转轴旋转一周绕 x
可加体的侧面积对区间具有
,性
],[ ],,[],[ 上的侧面积旋转体在 xxxbaxxx
轴旋转一周所生成的小绕线近似等于图中所示的切 xPP?
,圆锥台的侧面积?为什么用切线
P
P? ],[ )(,baxxfyAB曲线
,],[ sxxx 上曲线段的弧长求侧面积应该用
,d,ss由弧微分的几何意义
O x
y
x xx d?
xd yd
P sd
sd
yd
xd
)( xfy?
P?
,求旋转体的侧面积时方法由圆锥台侧面积的计算
,d2d syS微分元素为
,]),([)( 1 baCxf?设函数
,,的计算公式为生成的旋转体的侧面积轴旋转一周绕 x
],[ )(,baxxfyAB曲线
].,[,bax?积分区间
,d1 2d2d,2 xyysyS微分元素
,d12,2 ba xyyS?计算面积例 16
解
,的球面的面积求半径为 r
,222 ryx设球面的方程为
,22 轴旋转一周生成绕球面可视为上半圆 xxry
,) ( 2222 故该球面的面积为又 xr xxry
d1 2 22
2
22?
r
r xxr
xxrS?
,4d2 2 rxr r r
例 17
解
)0( s i n,c o s 绕其长轴求椭圆 batbytax
,的面积旋转一周而成的椭球面
].,0[,t积分区间
,d1 2d,2 xyyS微分元素
,s in c o s )c o s( )s in( ta tbta tby
ttata tbtbS d)s i n(s i nc os1 s i n2d 22
22
) ( dc o s1 s in2
22
22
a
batttba
离心率
,d12,2 ba xyyS?计算面积
0 22 dc o s1 s i n2 tttbaS
,11,,0,,co s 故时则令 uttu?
d1 2 11 22 uubaS
d1 2 1 1 22 uuba
d1 4 10 22 uuba
),a r c s i n1 (2 2 ba
