高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第四节 二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为
)()()()( 1)1(1)( 。xfyxpyxpyxpy nnnn
0)( 阶齐线性微分方程；时，称为当 nxf?
0)( 阶非齐线性微分方程；时，称为当 nxf?
),,2,1 ( )( 数方程；均为常数时，称为常系当 nixp i
),,2,1 ( )( 系数方程。不全为常数时，称为变当 nixp i
二阶线性微分方程的一般形式为
)()()( 。xfyxqyxpy
,0)( 时，方程称为齐方程当?xf
0)()( 。 yxqyxpy
) 1 (
)2(
通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。
我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。
1,二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构
(1) 叠加原理是二阶齐线性微分方程和若 )( )( 21 xyxy
0)()( yxqyxpy
的解，则它们的线性组合
)()( 2211 xycxyc?
也是方程 (2) 的解，
)2(
) ( 21 。不一定相互独立为任意常数、其中 cc
你打算怎么证明这个原理？
证 )2( )()()( 2211 中，得，代入方程令 xycxycxy
))()()(())()(( 22112211 xycxycxpxycxyc
))()()(( 2211 xycxycxq
))()()(())()(( 22112211 xycxycxpxycxyc
))()()(( 2211 xycxycxq
))()()()()(( 1111 xyxqxyxpxyc
))()()()()(( 2222 xyxqxyxpxyc
000,
)2( )()()( 2211 的解。为方程即 xycxycxy
0)()()( 1)1(1)( yxpyxpyxpy nnnn?
),,2,1 ( )( 阶齐线性微分方程是若 nnixy i
的解，则它们的线性组合
n
i
ii xycxy
1
)()(
也是方程 (2) 的解。
) ( ),,2,1 ( 。不一定相互独立为任意常数其中 nic i
)2(
推 广在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？
(2) 线性无关、线性相关
)()( 21 上有定义。在区间、设函数 Ixyxy
21,使得和若存在不全为零的常数 cc
0)()( 2211,Ixxycxyc
)( )( 21 上是线性相关的。在区间与则称函数 Ixyxy
)( )( 21 上是线性无关的。在区间与否则称函数 Ixyxy
时，才有当且仅当 0 21 cc
0)()( 2211,Ixxycxyc
)( )( 21 上线性无关。在区间与则 Ixyxy
例证
s i n c o s 线性无关的。在任何一个区间上均为与证明,xx
s i n c o s 全为零上线性相关，则存在不在某区间与若 Ixx
)0( 221,使不妨设，的常数?ccc
0s i nco s 21,Ixxcxc
t a n
2
1 。即 Ixc
c
cx
由三角函数知识可知，这是不可能的，故
s i n c o s 线性无关的。在任何一个区间上均为与 xx
例证
1s i n co s 22 线性相关的。在任何区间上均为与证明,?xx
),( 1 21 时，有，则当取 xcc
01s inc o s)1( s inc o s 222221, xxxcxc
1s i n c o s 22 线性相关的。在任何区间上均为与故?xx
朗斯基 ( Wronsky ) 行列式
)()( 21 上有定义，且有一阶在区间、设函数 Ixyxy
)()( )()( )](),([
21
21
21 xyxy
xyxyxyxyW
)()( 21 上的朗斯基行列式。在区间、称为函数 Ixyxy
导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。
0)](),([ 21,若 IxxyxyW
)()( 21 上线性无关。在，则函数 Ixyxy
例 )2,0( 1 c o ss i n s i nc o s ]s i n,[ c o s 。 xxx xxxxW
)2,0( s i n c o s 上线性无关。在区间与故?xx
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构定理 1 )()( 21 是二阶齐线性方程、若 xyxy
( 2 ) 0)()( yxqyxpy
的两个线性无关的解，则
)()()( 2211 xycxycxy
是方程 (2) 的通解。
0)()()(,则方程若 xqxpxh
0)()()( yxqyxpyxh
。必有一解 xey?
定理 2
)()(,即可得证。的特点：由函数 xxxx eeee
例解
0)1( 的通解。求方程 yyxyx
01)1(,所以，因为 xx
xey?
是原方程的一个解。
又容易看出,也是原方程的一个解。xy?
而 )1( 1 ],[, xeeexexW xx
x
x
0],[ 1 线性无关。与，从而，，故由题意 xx exexWx
由叠加原理，原方程的通解为
21 。xeCxCy
)()( 21 线性无关,xyxy?
)( )(
2
1 常数?
xy
xy
问题：
0)()( )( 1 的一个解，是方程如果已知 yxqyxpyxy
)( )( 21 xyxy 线性无关的解如何求出方程的一个与该问题的解决归功于数学家刘维尔。
0)()( )( 1 的一个非零解。是方程如果已知 yxqyxpyxy
),()( )( )( )(
1
2
12 则线性无关的解：是方程的与若 xcxy
xyxyxy?
)()()( 12,xyxcxy?
代入方程中，得
0)()())(2()())()(( 111111 。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy
1 是方程的解，故得因为 y
0)()())(2( 111 。 xcyxcyxpy
)( xc关键是求出怎么做？
)(,则有令 xcz
0))(2( 111 。 zyxpyzy
关于 z 的一阶线性方程即 0 )(2
1
11 。 z
y
yxpyz
故有
1)( d)(2d
)(2
1
11
，
xxpxy
yxpy
eyexcz
两边积分，得
d1)( d)(2, xeyxc xxp
)( 1 线性无关的解与 xy
d )()()()( 2
d)(
112 。
xyexyxyxcxy
xxp
0)()( 的通解为从而，方程 yxqyxpy
)()( 2211 。xyCxyCy
关于 z 的一阶线性方程刘维尔公式
0)()( )( 1 的一个非零解，是方程若 yxqyxpyxy
d )()( 2
d)(
12 xy
exyxy xxp
)( 1 线性无关的解，且是方程的与 xy
)()( 2211 xyCxyCy
为原方程的通解。
则例解
02 的通解。求方程 yyy
0121,所以，方程有解因为系数满足,
)(1 。xexy?
由刘维尔公式
d)()( 2
d)2(
2,
x
x
x
x xex
e
eexy
故原方程的通解为
)( 2121 。xCCeexCeCy xxx
2,二阶非齐线性微分方程解的结构
(1) 解的性质性质 1 是方程若 )(* xy
)()()( xfyxqyxpy
)( 1 是其对应的齐方程的一个特解，而 xy
0)()( yxqyxpy
的一个特解，则
)(*)(1 xyxyy
是原方程的一个特解。
性质 2 是方程若 )( 1 xy
)()()( 1 xfyxqyxpy
)( 2 是方程的一个特解，而 xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
的一个特解，则
)()( 21 xyxyy
是方程
)()()()( 21 xfxfyxqyxpy
的一个特解。
性质 3 是方程与若 )( )( 21 xyxy
)()()( xfyxqyxpy
的任意两个特解，则
)()( 21 xyxyy
是其对应的齐方程
0)()( yxqyxpy
的一个特解。
性质 4 是方程若 )(i)(* 21 xyxyy
)(i)()()( 21 xfxfyxqyxpy
)()()( 1 xfyxqyxpy
的一个特解。
)( 1 是方程的一个特解，则 xy
)( 2 是方程的一个特解； xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
*Re 1yy?实部
*mI 2yy?虚部可以直接验证性质 1—— 性质 4。
如何求特解？
定理 3 是方程若 )(* xy
)()()( xfyxqyxpy
)( 是其对应的齐方程的一个特解，而 xy
0)()( yxqyxpy
的通解，则
)(*)( xyxyy
是方程 (1) 的通解。
) 1 (
)2(
由性质 1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。
)(* )()()( xyxfyxqyxpy 的特解求方程
常数变易法常数变易法
)(* )()()( xyxfyxqyxpy 的特解求方程常数变易法 )()()( 2211 是齐方程的通解：设 xyCxyCxy 0)()( 。 yxqyxpy )2(
)( )( 2211 为待定的可微函数。，令 xCCxCC
)()()()()( 2211 是非齐方程的解：设 xyxCxyxCxy
)()()(,xfyxqyxpy ) 1 (
则有
)()()()()()()()( 22221111,xyxCxyxCxyxCxyxCy
令
0)()()()( 2211, xyxCxyxC )3(
以下推导的前提于是
)()()()( 2211 。xyxCxyxCy
对上式两边关于 x 求导，得
)()()()()()()()( 22221111 。xyxCxyxCxyxCxyxCy
) 1 ( 式，得的表达式代入、、将 yyy
)()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxCxyxC
)]()()()()[( 2211 xyxCxyxCxp
)()]()()()()[( 2211 xfxyxCxyxCxq
这两部分为零。
即
)()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC )4
联立 (3),(4) 构成方程组
0)()()()( 2211, xyxCxyxC
)()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC
)( 2,则和 xC
解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 )(1 xC
)()()()()(* 2211 xyxCxyxCxy
)()()( 的一个特解。为方程 xfyxqyxpy
例解
22 的通解。求方程 xxeyyy
该方程所对应的齐方程为
02 。 yyy
它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为
21 。xx exCeCy
由常数变易法，解方程组
0 )( )( 21, xx xexCexC
2))(( )( 21 。xxxx exexexCexC
2
1 x
x
exy
ey
) 1 (
)2(
) 1 ()2(,得?
2)(2,xxC
两边积分，取积分常数为零，得
)( 22 。xxC?
) 1 ( 式，得代入
2)( 21,xxC
两边积分，取积分常数为零，得
32)( 31 。xxC
故原方程有一特解
3132)()(* 3232211,xxx exxexexyxCyxCy
从而，原方程的通解为
31* 321 。xxx exxeCeCyyy
0 )( )( 21 xx xexCexC
在这一节中所讲述的理论均可推广到
n 阶线性微分方程中去。
参考书：
北京大学、复旦大学、中山大学等编写的
,常微分方程,教材
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第四节 二阶常系数线性微分方程一、高阶线性微分方程的一般理论二、二阶常系数齐线性微分方程的解三、二阶常系数非齐线性微分方程的解一、高阶线性微分方程的一般理论
n 阶线性方程的一般形式为
)()()()( 1)1(1)( 。xfyxpyxpyxpy nnnn
0)( 阶齐线性微分方程；时，称为当 nxf?
0)( 阶非齐线性微分方程；时，称为当 nxf?
),,2,1 ( )( 数方程；均为常数时，称为常系当 nixp i
),,2,1 ( )( 系数方程。不全为常数时，称为变当 nixp i
二阶线性微分方程的一般形式为
)()()( 。xfyxqyxpy
,0)( 时，方程称为齐方程当?xf
0)()( 。 yxqyxpy
) 1 (
)2(
通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。
我们讨论二阶线性方程的一般理论，所得结论可自然推广至 n 阶线性方程中。
1,二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构
(1) 叠加原理是二阶齐线性微分方程和若 )( )( 21 xyxy
0)()( yxqyxpy
的解，则它们的线性组合
)()( 2211 xycxyc?
也是方程 (2) 的解，
)2(
) ( 21 。不一定相互独立为任意常数、其中 cc
你打算怎么证明这个原理？
证 )2( )()()( 2211 中，得，代入方程令 xycxycxy
))()()(())()(( 22112211 xycxycxpxycxyc
))()()(( 2211 xycxycxq
))()()(())()(( 22112211 xycxycxpxycxyc
))()()(( 2211 xycxycxq
))()()()()(( 1111 xyxqxyxpxyc
))()()()()(( 2222 xyxqxyxpxyc
000,
)2( )()()( 2211 的解。为方程即 xycxycxy
0)()()( 1)1(1)( yxpyxpyxpy nnnn?
),,2,1 ( )( 阶齐线性微分方程是若 nnixy i
的解，则它们的线性组合
n
i
ii xycxy
1
)()(
也是方程 (2) 的解。
) ( ),,2,1 ( 。不一定相互独立为任意常数其中 nic i
)2(
推 广在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？
(2) 线性无关、线性相关
)()( 21 上有定义。在区间、设函数 Ixyxy
21,使得和若存在不全为零的常数 cc
0)()( 2211,Ixxycxyc
)( )( 21 上是线性相关的。在区间与则称函数 Ixyxy
)( )( 21 上是线性无关的。在区间与否则称函数 Ixyxy
时，才有当且仅当 0 21 cc
0)()( 2211,Ixxycxyc
)( )( 21 上线性无关。在区间与则 Ixyxy
例证
s i n c o s 线性无关的。在任何一个区间上均为与证明,xx
s i n c o s 全为零上线性相关，则存在不在某区间与若 Ixx
)0( 221,使不妨设，的常数?ccc
0s i nco s 21,Ixxcxc
t a n
2
1 。即 Ixc
c
cx
由三角函数知识可知，这是不可能的，故
s i n c o s 线性无关的。在任何一个区间上均为与 xx
例证
1s i n co s 22 线性相关的。在任何区间上均为与证明,?xx
),( 1 21 时，有，则当取 xcc
01s inc o s)1( s inc o s 222221, xxxcxc
1s i n c o s 22 线性相关的。在任何区间上均为与故?xx
朗斯基 ( Wronsky ) 行列式
)()( 21 上有定义，且有一阶在区间、设函数 Ixyxy
)()( )()( )](),([
21
21
21 xyxy
xyxyxyxyW
)()( 21 上的朗斯基行列式。在区间、称为函数 Ixyxy
导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。
0)](),([ 21,若 IxxyxyW
)()( 21 上线性无关。在，则函数 Ixyxy
例 )2,0( 1 c o ss i n s i nc o s ]s i n,[ c o s 。 xxx xxxxW
)2,0( s i n c o s 上线性无关。在区间与故?xx
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构定理 1 )()( 21 是二阶齐线性方程、若 xyxy
( 2 ) 0)()( yxqyxpy
的两个线性无关的解，则
)()()( 2211 xycxycxy
是方程 (2) 的通解。
0)()()(,则方程若 xqxpxh
0)()()( yxqyxpyxh
。必有一解 xey?
定理 2
)()(,即可得证。的特点：由函数 xxxx eeee
例解
0)1( 的通解。求方程 yyxyx
01)1(,所以，因为 xx
xey?
是原方程的一个解。
又容易看出,也是原方程的一个解。xy?
而 )1( 1 ],[, xeeexexW xx
x
x
0],[ 1 线性无关。与，从而，，故由题意 xx exexWx
由叠加原理，原方程的通解为
21 。xeCxCy
)()( 21 线性无关,xyxy?
)( )(
2
1 常数?
xy
xy
问题：
0)()( )( 1 的一个解，是方程如果已知 yxqyxpyxy
)( )( 21 xyxy 线性无关的解如何求出方程的一个与该问题的解决归功于数学家刘维尔。
0)()( )( 1 的一个非零解。是方程如果已知 yxqyxpyxy
),()( )( )( )(
1
2
12 则线性无关的解：是方程的与若 xcxy
xyxyxy?
)()()( 12,xyxcxy?
代入方程中，得
0)()())(2()())()(( 111111 。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy
1 是方程的解，故得因为 y
0)()())(2( 111 。 xcyxcyxpy
)( xc关键是求出怎么做？
)(,则有令 xcz
0))(2( 111 。 zyxpyzy
关于 z 的一阶线性方程即 0 )(2
1
11 。 z
y
yxpyz
故有
1)( d)(2d
)(2
1
11
，
xxpxy
yxpy
eyexcz
两边积分，得
d1)( d)(2, xeyxc xxp
)( 1 线性无关的解与 xy
d )()()()( 2
d)(
112 。
xyexyxyxcxy
xxp
0)()( 的通解为从而，方程 yxqyxpy
)()( 2211 。xyCxyCy
关于 z 的一阶线性方程刘维尔公式
0)()( )( 1 的一个非零解，是方程若 yxqyxpyxy
d )()( 2
d)(
12 xy
exyxy xxp
)( 1 线性无关的解，且是方程的与 xy
)()( 2211 xyCxyCy
为原方程的通解。
则例解
02 的通解。求方程 yyy
0121,所以，方程有解因为系数满足,
)(1 。xexy?
由刘维尔公式
d)()( 2
d)2(
2,
x
x
x
x xex
e
eexy
故原方程的通解为
)( 2121 。xCCeexCeCy xxx
2,二阶非齐线性微分方程解的结构
(1) 解的性质性质 1 是方程若 )(* xy
)()()( xfyxqyxpy
)( 1 是其对应的齐方程的一个特解，而 xy
0)()( yxqyxpy
的一个特解，则
)(*)(1 xyxyy
是原方程的一个特解。
性质 2 是方程若 )( 1 xy
)()()( 1 xfyxqyxpy
)( 2 是方程的一个特解，而 xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
的一个特解，则
)()( 21 xyxyy
是方程
)()()()( 21 xfxfyxqyxpy
的一个特解。
性质 3 是方程与若 )( )( 21 xyxy
)()()( xfyxqyxpy
的任意两个特解，则
)()( 21 xyxyy
是其对应的齐方程
0)()( yxqyxpy
的一个特解。
性质 4 是方程若 )(i)(* 21 xyxyy
)(i)()()( 21 xfxfyxqyxpy
)()()( 1 xfyxqyxpy
的一个特解。
)( 1 是方程的一个特解，则 xy
)( 2 是方程的一个特解； xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
*Re 1yy?实部
*mI 2yy?虚部可以直接验证性质 1—— 性质 4。
如何求特解？
定理 3 是方程若 )(* xy
)()()( xfyxqyxpy
)( 是其对应的齐方程的一个特解，而 xy
0)()( yxqyxpy
的通解，则
)(*)( xyxyy
是方程 (1) 的通解。
) 1 (
)2(
由性质 1 以及通解的概念立即可以得知该定理成立。
)(* )()()( xyxfyxqyxpy 的特解求方程
常数变易法常数变易法
)(* )()()( xyxfyxqyxpy 的特解求方程常数变易法 )()()( 2211 是齐方程的通解：设 xyCxyCxy 0)()( 。 yxqyxpy )2(
)( )( 2211 为待定的可微函数。，令 xCCxCC
)()()()()( 2211 是非齐方程的解：设 xyxCxyxCxy
)()()(,xfyxqyxpy ) 1 (
则有
)()()()()()()()( 22221111,xyxCxyxCxyxCxyxCy
令
0)()()()( 2211, xyxCxyxC )3(
以下推导的前提于是
)()()()( 2211 。xyxCxyxCy
对上式两边关于 x 求导，得
)()()()()()()()( 22221111 。xyxCxyxCxyxCxyxCy
) 1 ( 式，得的表达式代入、、将 yyy
)()()()()()()()( 22221111 xyxCxyxCxyxCxyxC
)]()()()()[( 2211 xyxCxyxCxp
)()]()()()()[( 2211 xfxyxCxyxCxq
这两部分为零。
即
)()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC )4
联立 (3),(4) 构成方程组
0)()()()( 2211, xyxCxyxC
)()()()()( 2211 。xfxyxCxyxC
)( 2,则和 xC
解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到 )(1 xC
)()()()()(* 2211 xyxCxyxCxy
)()()( 的一个特解。为方程 xfyxqyxpy
例解
22 的通解。求方程 xxeyyy
该方程所对应的齐方程为
02 。 yyy
它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为
21 。xx exCeCy
由常数变易法，解方程组
0 )( )( 21, xx xexCexC
2))(( )( 21 。xxxx exexexCexC
2
1 x
x
exy
ey
) 1 (
)2(
) 1 ()2(,得?
2)(2,xxC
两边积分，取积分常数为零，得
)( 22 。xxC?
) 1 ( 式，得代入
2)( 21,xxC
两边积分，取积分常数为零，得
32)( 31 。xxC
故原方程有一特解
3132)()(* 3232211,xxx exxexexyxCyxCy
从而，原方程的通解为
31* 321 。xxx exxeCeCyyy
0 )( )( 21 xx xexCexC
在这一节中所讲述的理论均可推广到
n 阶线性微分方程中去。
参考书：
北京大学、复旦大学、中山大学等编写的
,常微分方程,教材
