高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十四讲 常微分方程脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。
通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。
“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。
型 )(,1 )( xfy n?
)1(,则原方程化为令 nyu
)(dd 。xfxu?
这是变量可分离的方程，两边积分，得
,)(d)( 11 CxCxxfu
即
)( 1)1( 。Cxy n )( )( 型仍是 xfy n?
只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：
每次积分都应该出现一个积分常数。
例解
ln 的通解。求方程 xy
lndln 1，Cxxxxxy
xCxxxy d)ln( 1
432ln 212,CxCxx
xCxCxxy d432ln 212
23611ln61 322133 。CxCxCxxx
3 次，得到所求的通解：连续积分对方程两边关于 x
例解
1 )( 的通解。求方程?ny
次，得到所求的通解：连续积分对方程两边关于 nx
1)1(,Cxy n
21 212)2(,CxCxy n
! 21! 31 32213)3(,CxCxCxy n
! )2( 1! )1( 1 12211, nnnn CxCxCnxny?
! )1( 1! 1 111 。nnnn CxCxCnxny
型 ),(,2 )1()( nn yxfy
)1(,则原方程化为令 nyp
),(dd 。pxfxp?
这是一个一阶微分方程。设其通解为
),( 1,Cxp
),( 1)1(,Cxy n
)( )( 型的方程：这是一个 xfy n?
连续积分即可求解。
例解
3 1 2)1 ( 002 解。，满足条件求方程 xx yyyxyx
,则原方程化为令 yp
1 d2d 2,x xxpp
两边积分，得 )1 ( 21,xCp
即 )1(dd 21,xCxy
再积分，得原方程的通解
)31(d)1 ( 23121 。CxxCxxCy
3 1 00 代入，得，以条件 xx yy 1 3 21 。, CC
13 3 。故所求特解为 xxy
例解
0 )4()5( 的通解。求方程 yyx
)4(,则原方程化为令 yp?
0dd, pxpx
分离变量，得
dd,xxpp?
积分，得
)4(,Cxpy
连续积分 4 次，得原方程的通解为
) 120 ( 154233251 。,CCCxCxCxCxCy
型 )()( xfy n?
型 ),(,3 yyfy
dddddddd 。，则令 yppxyypxpyyp
于是，原方程化为
),(dd 。pyfypp?
这是一个一阶微分方程。设其通解为
),(dd 1 。Cypxy
这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。
例解
0 2 。的通解＝求方程 yyy
dd 。，则令 yppyyp
于是，原方程化为 0dd 2 。? pyppy
0dd 0 。，故此时有解，则若 Cyxyp
0,则原方程化为若?p dd 。yypp?
两边积分，得 dd 1 。yCpxy
运用分离变量法，得此方程的通解为 12 。xCeCy?
综上所述，原方程的通解为 12 。xCeCy?
0 0 1 Cp 对应于例解
0)( 。的通解求方程 yfy什么类型？
2,得到两边同乘以 y?
0)(22, yfyyy
即 0) d)(2(d d 2, yyfyx
yyfy d)()(?
x
y
y
y
x
y
d
d
d
)(d
d
)(d
从而 d)(2 12,Cyyfy
即 d)(21 。 yyfCy
运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：
。
d)(2
d)(
1
2
2 yyfC
yCx
方程克莱罗 )C l a i ra u t (,4
形如
)( yfyxy
的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。
可以直接写出该方程的通解：
)( 。CfxCy
并且由下列方程组可求得该方程的奇解：
0)( yfx
)( yfyxy
证 将克莱罗方程两边关于 x 求导，得
)( 。yyfyyxy
)(,则有令 xpy?
0dd))(( 。 xppfx
)( 0dd )1( 代入原方程，得，，则若 Cxpyxp
)( 。CfxCy ( 通解 )
0)( )2( 方程的奇解：，则可联立方程组求出若 pfx
0)( pfx
)( pfpxy
)( yfyxy
例解
1 2 的解。求方程 yxyy
原方程即
1,yyxy ) 0 (y
由题意这是一个克莱罗方程，故其通解为
1 。CxCy
11d d)( 2,故联立方程组由于 ppppf
012 px
ppxy
1
)1(
)2(
)2( ) 1 (,得式式 p
2,pxy?
1 1 ) 1 ( 2,代入上式，得，故得又由 xpxp
2,xy
故原方程有奇解
42 。xy?
综上所述，原方程的通解为
1,CxCy
且方程还有奇解
42 。xy?
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十四讲 常微分方程脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第三节 几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。
通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。
“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。
型 )(,1 )( xfy n?
)1(,则原方程化为令 nyu
)(dd 。xfxu?
这是变量可分离的方程，两边积分，得
,)(d)( 11 CxCxxfu
即
)( 1)1( 。Cxy n )( )( 型仍是 xfy n?
只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：
每次积分都应该出现一个积分常数。
例解
ln 的通解。求方程 xy
lndln 1，Cxxxxxy
xCxxxy d)ln( 1
432ln 212,CxCxx
xCxCxxy d432ln 212
23611ln61 322133 。CxCxCxxx
3 次，得到所求的通解：连续积分对方程两边关于 x
例解
1 )( 的通解。求方程?ny
次，得到所求的通解：连续积分对方程两边关于 nx
1)1(,Cxy n
21 212)2(,CxCxy n
! 21! 31 32213)3(,CxCxCxy n
! )2( 1! )1( 1 12211, nnnn CxCxCnxny?
! )1( 1! 1 111 。nnnn CxCxCnxny
型 ),(,2 )1()( nn yxfy
)1(,则原方程化为令 nyp
),(dd 。pxfxp?
这是一个一阶微分方程。设其通解为
),( 1,Cxp
),( 1)1(,Cxy n
)( )( 型的方程：这是一个 xfy n?
连续积分即可求解。
例解
3 1 2)1 ( 002 解。，满足条件求方程 xx yyyxyx
,则原方程化为令 yp
1 d2d 2,x xxpp
两边积分，得 )1 ( 21,xCp
即 )1(dd 21,xCxy
再积分，得原方程的通解
)31(d)1 ( 23121 。CxxCxxCy
3 1 00 代入，得，以条件 xx yy 1 3 21 。, CC
13 3 。故所求特解为 xxy
例解
0 )4()5( 的通解。求方程 yyx
)4(,则原方程化为令 yp?
0dd, pxpx
分离变量，得
dd,xxpp?
积分，得
)4(,Cxpy
连续积分 4 次，得原方程的通解为
) 120 ( 154233251 。,CCCxCxCxCxCy
型 )()( xfy n?
型 ),(,3 yyfy
dddddddd 。，则令 yppxyypxpyyp
于是，原方程化为
),(dd 。pyfypp?
这是一个一阶微分方程。设其通解为
),(dd 1 。Cypxy
这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。
例解
0 2 。的通解＝求方程 yyy
dd 。，则令 yppyyp
于是，原方程化为 0dd 2 。? pyppy
0dd 0 。，故此时有解，则若 Cyxyp
0,则原方程化为若?p dd 。yypp?
两边积分，得 dd 1 。yCpxy
运用分离变量法，得此方程的通解为 12 。xCeCy?
综上所述，原方程的通解为 12 。xCeCy?
0 0 1 Cp 对应于例解
0)( 。的通解求方程 yfy什么类型？
2,得到两边同乘以 y?
0)(22, yfyyy
即 0) d)(2(d d 2, yyfyx
yyfy d)()(?
x
y
y
y
x
y
d
d
d
)(d
d
)(d
从而 d)(2 12,Cyyfy
即 d)(21 。 yyfCy
运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：
。
d)(2
d)(
1
2
2 yyfC
yCx
方程克莱罗 )C l a i ra u t (,4
形如
)( yfyxy
的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。
可以直接写出该方程的通解：
)( 。CfxCy
并且由下列方程组可求得该方程的奇解：
0)( yfx
)( yfyxy
证 将克莱罗方程两边关于 x 求导，得
)( 。yyfyyxy
)(,则有令 xpy?
0dd))(( 。 xppfx
)( 0dd )1( 代入原方程，得，，则若 Cxpyxp
)( 。CfxCy ( 通解 )
0)( )2( 方程的奇解：，则可联立方程组求出若 pfx
0)( pfx
)( pfpxy
)( yfyxy
例解
1 2 的解。求方程 yxyy
原方程即
1,yyxy ) 0 (y
由题意这是一个克莱罗方程，故其通解为
1 。CxCy
11d d)( 2,故联立方程组由于 ppppf
012 px
ppxy
1
)1(
)2(
)2( ) 1 (,得式式 p
2,pxy?
1 1 ) 1 ( 2,代入上式，得，故得又由 xpxp
2,xy
故原方程有奇解
42 。xy?
综上所述，原方程的通解为
1,CxCy
且方程还有奇解
42 。xy?
