高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十三讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第 八 节 微积分在物理学中的应用一、变力沿直线作功二、液体的静压力三、连续函数的平均值一、变力沿直线作功
.,,)( 的变化而变化值大小随轴正向其方向沿设变力 xxxf
,)( 轴正向运动到点处沿从点推动物体变力 xaxxf?
,)( 所作的功为处点 babx
x xxO x
y
)(xf
a b
,0 ],,( xbax
,可视物体在区间很小时当 x?
,)( 其值为作功按常力xf
,],[ 处的值以变力在点上 xxxx
,)( xxfW
,d)(d,,xxfW?微分元素为变力沿直线作功问题的于是
,性由于功对区间具有可加
,的功为
].,[,bax?积分区间
,d)(d,xxfW?微分元素
,d)(d, baba xxfWW功的计算
O x
y
a b
W
)(xfy? )( 沿直线移动物体所做故变力 xf
变力作功的几何表示例 1
解
,)( 1,)( 20.0 充满了压强的气缸内长为直径为 mm
,,)/( 108.9 25 若保持温度不变的某种气体为 mN?
,)( 5.0 使气体压缩所作的功求推动活塞前进 m
xO x 5.0 1
,建立坐标系如图所示
,)1.0( 2S活塞的面积为
,) B o y l e ( 定律根据波义耳
,VP 与体积气体的压强恒温下
,的乘积为常数
) (,为常数kkPV?
,)1(,,SxVx压缩后气体的体积为处时当活塞移动到
xO
5108.9?
1
,所以 )( VkxP? )1( SxK,)1.0()1( 2 x k
为处作用在活塞上的压力从而在 x
,1 )( xkSPxF
2)1.0(?S
xO x 5.0 1
xx
,],[,0 视压上在取 xxxx
,)( 则在该小区间上压缩气不变力 xF
体作的功为
,)( xxFW
,108.9)0(,0,5 故气体的压强时当由已知条件 Px
,9800)1.0(108.9 250xPVk
,,所作的功为所求的使气体体积压缩于是
5.0 0 5.0 0 d1 9800 d)( xxxxFW?
))1ln ((9 8 0 0 5.0 0 x
).( 1013.22ln9 8 0 0 4 焦耳
1
dd)(d,
x
xkxxFW
微分元素
9800k
例 2
解
,)( 10 了水的半球形的水池内装满半径为 m
,所作的功求将池内的水全部抽干
O
x
y
10
x ),( yxP
xx
,建立坐标系如图所示
,平面上的截面为一半圆球在 yx
其方程为
,10 222 yx
,0 ],10,0[ 则微分元素为 xx
)d(d 2 xxyW
,d)10( 22 xx
).g/( 1 0 0 0 3mk水的比重—?
体积 位移 比重
,],[ 薄片的上在 xxx
d,2 为为底面积体积用以 xy?
,高的圆柱体的体积代替
,所作的功为将水池中的水全部抽干从而
d)10(d 10 0 2210 0 xxxWW?
) 4150 ( 10 0 42 xx
2500?
,)( 107 8 5 4 3 mkg
二、液体的静压力
,回顾有关的知识
,,) 1 ( 总是垂直于物体的表面液体对物体的压力
,,)2( 液体的压强为处在液面下深 h
),( 是液体的比重 hP
,)3( 各个方向上产生的处液体在其内部任意一点
,压强相同
,,)4( 受力面积压强压力常数时在压强P
例 3
解
O y
x
2 m
m 2
m 3
x
,,,尺寸如图所示挡水有一等腰梯形闸门直立某水渠中
,,闸门所承受的压力求当水面齐渠道顶端时
,建立坐标系如图所示
,0 ],2,0[ 则有 xx
15.1
1
2
2
yx
2
x
2－
x
15.1?
1?y
x?y
),23 (21 xy即有
,故图中阴影部分面积为
d2d xySS
,d)23( xx
,]2,0[?x积分区间：
SxP d)(d,微分元素,d)23( xxx
).( 4700d)23(,2 0 kgxxxP计算压力三、连续函数的平均值个数值的平均值为的离散变量 nu
,21 n uuuu n
,],[ )( 如何计算上连续取值在区间如果函数 baxf
],[ )( 上的平均值在区间函数 baxf
,]),([)( baRxf?设
),,,2,1( ],[,],[ 1 nixxnba ii个小区间等分为将区间
,n ab?每个小区间的长度均为
)( 1,],[
1
1 可作为函数则的中点为区间取?
n
i
iiii fnxx
,],[ )( 上的平均值的近似值在区间 baxf
端点也可
],[ )( 上的平均值定义为在我们将函数 baxf
,)(1lim
1
n
i
in fny?
吗这里能与积分联系起来
,)(1l i m
1
变形将表达式?
n
i
in fny?
)(1lim
1
n
i
in n
abf
aby?
)(1lim
1
n
i
iin xfab?
],[ 1 的长度ii xx?
n abxi
,d)(1 ba xxfab
],[ )( ]),,([)( 上的平均值为在则 baxfbaRxf?
,
d)(
ab
xxf
y
b
a
]),,([)( 则若 baCxf?,
d)(
ab
xxf
y
b
a
,性质可知由闭区间上连续函数的
,],[ 使得至少存在一点 ba
,
d)(
)(
ab
xxf
f
b
a
,))((d)( abfxxfba
积分中值定理
)()())(( aFbFabF 微分中值定理例 3
解
,0 秒内的平均速度秒到体在求作自由落体运动的物 T
,tgvt?的速度为已知自由落体在时刻故所求的平均速度为
,21 2110
d
0
2
0 Tgtg
TT
ttg
v T
T
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十三讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第 八 节 微积分在物理学中的应用一、变力沿直线作功二、液体的静压力三、连续函数的平均值一、变力沿直线作功
.,,)( 的变化而变化值大小随轴正向其方向沿设变力 xxxf
,)( 轴正向运动到点处沿从点推动物体变力 xaxxf?
,)( 所作的功为处点 babx
x xxO x
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,)( 其值为作功按常力xf
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,性由于功对区间具有可加
,的功为
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,d)(d, baba xxfWW功的计算
O x
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变力作功的几何表示例 1
解
,)( 1,)( 20.0 充满了压强的气缸内长为直径为 mm
,,)/( 108.9 25 若保持温度不变的某种气体为 mN?
,)( 5.0 使气体压缩所作的功求推动活塞前进 m
xO x 5.0 1
,建立坐标系如图所示
,)1.0( 2S活塞的面积为
,) B o y l e ( 定律根据波义耳
,VP 与体积气体的压强恒温下
,的乘积为常数
) (,为常数kkPV?
,)1(,,SxVx压缩后气体的体积为处时当活塞移动到
xO
5108.9?
1
,所以 )( VkxP? )1( SxK,)1.0()1( 2 x k
为处作用在活塞上的压力从而在 x
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,)( 则在该小区间上压缩气不变力 xF
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,108.9)0(,0,5 故气体的压强时当由已知条件 Px
,9800)1.0(108.9 250xPVk
,,所作的功为所求的使气体体积压缩于是
5.0 0 5.0 0 d1 9800 d)( xxxxFW?
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例 2
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,建立坐标系如图所示
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其方程为
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)d(d 2 xxyW
,d)10( 22 xx
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体积 位移 比重
,],[ 薄片的上在 xxx
d,2 为为底面积体积用以 xy?
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,所作的功为将水池中的水全部抽干从而
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) 4150 ( 10 0 42 xx
2500?
,)( 107 8 5 4 3 mkg
二、液体的静压力
,回顾有关的知识
,,) 1 ( 总是垂直于物体的表面液体对物体的压力
,,)2( 液体的压强为处在液面下深 h
),( 是液体的比重 hP
,)3( 各个方向上产生的处液体在其内部任意一点
,压强相同
,,)4( 受力面积压强压力常数时在压强P
例 3
解
O y
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,,闸门所承受的压力求当水面齐渠道顶端时
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15.1
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,故图中阴影部分面积为
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SxP d)(d,微分元素,d)23( xxx
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,21 n uuuu n
,],[ )( 如何计算上连续取值在区间如果函数 baxf
],[ )( 上的平均值在区间函数 baxf
,]),([)( baRxf?设
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1 可作为函数则的中点为区间取?
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积分中值定理
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