高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十五讲 不定积分及其计算（续）
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
二,不定积分的计算利用不定积分的性质换元法 ( 第一、第二 )
分部积分法部分分式法
3,不定积分的分部积分法
,种方法积分时应用较广泛的一分部积分法是计算不定
,导公式相对应该方法与函数的乘积求
,)( ),( 则有上可微在区间设函数 Ixvxu
,)()()()())()(( xvxuxvxuxvxu
,)()( )()( 对上式两的原函数存在与如果函数 xvxuxvxu
,便得到积分边关于 x
,d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu
,分部积分公式该公式称为不定积分的定理
)()(,)(,)( xvxuIxvxu?若函数上可微在区间设函数
,则上的原函数存在在区间 I
,d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu
,分部积分公式该公式称为不定积分的
,
函数的积分计算一个数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算,
幂函数与三角函数 (或反三角函数 ) 之积,
指数函数与三角函数 (或反三角函数 ) 之积,
幂函数与指数函数之积,
指数函数与对数函数之积,
一个函数难于用其它方法积分,
两个函数的乘积,
例 1
解
,ds in? xxx计算
xxu?)(
1)( xu
xxv sin)(
xxv c os)(
xxxxxxx d)c o s()c o s(ds in
xxxx dc o sc o s
,s i nc o s Cxxx
例 2
解
,s i n dc o s 3? x xxx计算
x
1
x
x
3sin
cos
x2sin2
1?
xxxxx xxx 223 s in2 d21s in2s in dc o s
,c o t21c s c2 2 Cxxx
333 ds i n )d ( s i ns i n dc o s u uxxx xx
,s i n2 121 22 CxCu
) sin ( xu?
例 3
解
,da r c c o s? xx计算
x
1xarccos
21
1
x?
1 da r c c o sda r c c o s 2 xxxxxxx
,1 a rc c o s 2 Cxxx
例 4
解
,ds in 2? xxx计算
xcos?
xsin2x
x2
xxxxxxxx dc o s2c o sds in 22
xsin
xcosx
1
)ds ins in(2c o s2 xxxxxx
,c o s2s i n2c o s2 Cxxxxx
,
,,,
用分部积分法可以连续使只要条件允许与换元法一样该例说明例 5
解
xsin
xcosxe
xe
,dc o s? xxe x计算
ds ins indc o s xxexexxe xxx
xcos?
xsinxe
xe
)dc o sc o s(s in xxexexe xxx
dc o sc o ss in xxexexe xxx
,)c o s( s i n21dc o s Cxxexxe xx故
,,,可能会出现下列关系式在运用分部积分法时该例显示
,) 1 ( d)()(d)( axxfaxxxf?
,,便可得出后任意常数经移项并在等式右端加此时 C
所求的不定积分
,)(1 1d)( Cxaxxf
例 6
解
x
122 ax?
22 ax
x
,d 22 xaxI计算
dd 2222222 ax xxaxxxaxI
d)( 22
222
22?
ax
xaaxaxx
dd 2222222 ax xaxaxaxx
||ln 22222 axxaIaxx
,||ln221d 2222222 CaxxaaxxxaxI故例 7
解
,,d)( ln Znxx n计算
x
1nx)(ln
xxn
n 1)(ln 1?
,d)( ln 则记 xxI nn
d)( ln)( lnd)( ln 1 xxnxxxxI nnnn
,)( ln 1 nn Inxx
,,得到一个递推关系式于是
,)( ln 1 nnn InxxI
利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分,
,d)( l n,33 xxI求例如
,3)( ln 233 IxxI
,2)( ln 122 IxxI
,ln 01 IxxI
,dd)( ln 00 CxxxxI
)(ln1 CxxxI
))(ln(2)( ln 22 CxxxxxI
,6ln6)( ln3)( ln 233 CxxxxxxxI故例 8
解
xcos?
xsinxn 1sin?
xxn n c o ss in)1( 2,ds in? xxn计算
,ds in 则记 xxI nn
xxxxxI nnn ds ins inds in 1
dc o ss in)1(c o ss in 221 xxxnxx nn
ds in)1(ds in)1(c o ss in 21 xxnxxnxx nnn
xx 22 s i n1c o s
nnn InInxx )1( )1(c o ss in 21
,1c o ss i n1 21 nnn InnxxnI故,d0 CxxI
如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用。
例 9
解
,1 d x
x
e
xxe计算
1d2d )1l n ( 1 22,故，，则令 u uuxuxeu x
uu
u
u
uuuu
e
xxe
x
x
d)1(ln 21
d2)1()1ln (
1
d 22
22
,d)]1ln ()1[ ln ( 2 uuu
1d)1l n (d)1l n ( u uuuuuu
uuuuu d1 1)1()1l n (
,|1|ln)1l n ( 1Cuuuu
类似地，有
|1|ln)1ln (d)1ln ( 2,Cuuuuuu
Cuuuuue xxe xx |1| |1|ln24)1l n (2 1 d 2故
,11 11 ln21 )2(2 Ceeex x
x
x?
例 10
解
,d1a r c ta n 22 xx xx计算
d1 a r c ta n)11( d1a r c ta n 2222 xx xxxx xx
d1a r c t a nda r c t a n 2 xx xxx
)d ( a r c ta na r c t a n1 da r c t a n 2 xxxxxxx
x
1xarctan
21
1
x?
,a r c ta n21)1l n (21a r c ta n 22 Cxxxx
4,不定积分的部分分式法众所周知，有些函数虽然在某区间上连续，
可以积分，但由于它的原函数不能表示为初等函数的形式（即初等函数的原函数不一定是初等函数），这时我们称该函数可积，但积不出,
,ds i n,d,ds i n 22 等例如, xxxexx x x
下面介绍原函数可以表示为初等函数的三类常用函数的积分法 —— 部分分式法,
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xPxR
)c o s,( s i n xxR
),( 2 cbxaxxR
换元法部分分式法
(1) 有理函数的积分法 —— 部分分式法式的商构成的函数：有理函数是由两个多项
)( 为有理真分式；时，称当 xRmn?
,)( 为有理假分式时，称当 xRmn?
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xPxR
为一个多项式与一个运用除法可将假分式化
,有理真分式的和的形式我们只需讨论有理真分式的积分方法,
由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：
,)(,,)(,22 kk qpxx BAxqpxx BAxax Bax A
,04 2 qpRqpaBAZk,且，，，，，常数其中，
高等代数有关定理简介
，则，，若 0)()()()(,1 11 aQZkxQaxxQ k
,)( )( )()( )( )(
1
11
1
1
xQ
xP
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
k
k
k
k?
,)( )(
1
1 为有理真分式其中，
xQ
xP
，则，且，若 04 )()()(,2 222 qpZkxQqpxxxQ k
,)( )( )()( )( )(
2
2
2
11
12
11
2 xQ
xP
qpxx
BxA
qpxx
BxA
qpxx
BxA
xQ
xP
k
kk
k
kk?
,)( )(
2
2 为有理真分式其中，
xQ
xP 有理真分式可以分解为部分分式例 11
解
,2422 1322)( 2345 2 写成部分分式形式将 xxxxx xxxR
)1)(2(2422 222345,故令因为 xxxxxxx
)1)(2(
1322
2422
1322
22
2
2345
2
xx
xx
xxxxx
xx
1)1(2 222?
x
EDx
x
CBx
x
A
通分、比较分子的系数
2342 )22()2()(1322 xEDABxDExDAxx
)22()22( ECAxEDBC
得到代数方程组
0 DA
02 DE
222 EDAB
222 EDBC
1322 ECA
,2,1,4,3,1 故＝解方程组得, EDCBA
,12)1( 4321 2422 1322 2222345
2
x
x
x
x
xxxxxx
xx
例 12
解
,d43 1 23 2 xxx x计算
)1()2(43 223,得由 xxxx
,2)2(143 1 223
2
x
C
x
B
x
A
xx
x
通分，比较系数，得
,)1)(2()1()2(1 22 xxCxBxAx; 92,1 Ax 得令 ; 35,2 Bx 得令
,97,0 Cx 得令
xxxxxxx x d2197)2( 1351192d43 1 223
2
故
,|2|ln97)2( 3 5|1|ln92 Cxxx
(2) 三角函数有理式的积分法 —— 半角代换
,2t a n 积分转化为相应的可将三角函数有理式的令 xt?
有理函数的积分计算：
,1 d2) 11,1 2 (d)c o s,( s in 2222 ttttttRxxxR
,
1
2
2
ta n1
2
ta n2
2
s e c
2
ta n2
2
c o s
2
ta n2
2
c o s
2
s in2s in 2
22
2
t
t
x
x
x
x
xxxx
x
,
1
1
2
ta n1
2
ta n1
2
c o s)
2
ta n1(
2
s in
2
c o sc o s 2
2
2
2
2222
t
t
x
x
xxxx
x
xd
它将代换”常常被人们称为“万能代换,2ta n xt?
而转化为有理函数积分,d)( d)c o s,( s in ttRxxxR
最差的情况也可用部解决了的有理函数的积分是彻底 (
换”能够彻底解决从而可以认为“万能代分分式法,)
,,法但它不一定是最好的方计算三角函数有理式的积分请记住：
2t a n 时：xt?
21
2s in
t
tx
2
2
1
1c o s
t
tx
21
d2d
t
tx
例 13
解
,s i n45 d xx计算
,1 d2d,1 2s in,2t a n 22 故则令 ttxttxxt
5 8 5 d2 s i n45 d 2 tt txx ) 5 8 5 ( 5 d 012 tt t
22 3d2 u u4 5 tu
Cu 3a rc t a n32
,3 4 2 ta n 3 5 a r c ta n 3 2 Cx
例 14
解
,dc o s2 s i n2 xxx计算
dc o s2 s i nc o s2 d2dc o s2 s i n2 xxxxxxxx
,)c o s2ln (c o s2 )c o s2( ddc o s2 s in 2Cxx xxxx
,1 d 2d,11c o s,2ta n 222 故则令 t txttxxt
3d 4c o s2 d2 2t txx 3a r c ta n34 1Ct
2ta n31a r c ta n34 1Cx
,)c o s2ln (2ta n31a r c ta n34dc o s2 s in2 Cxxxxx从而其它三角函数有理式的积分计算
,)c o s,(s i n)c o s,s i n( )1( xxRxxR若
,,t an 此时则可令 xt?
,1 dd,1 1c o s,1s in 22222 ttxtxttx
,c o s,)c o s,(s i n)c o s,s i n( )2( xtxxRxxR 则可令若
,s i n,)c o s,( s i n)c o s,( s i n )3( xtxxRxxR 则可令若
)4( 的积分化将一些三角函数有理式运用三角函数恒等式可
,为适宜的积分计算例 15
解
,s i n2 d 2 xx计算
,1 dd,1s in,ta n 2222 故则令 ttxttxxt
2ds i n2 d 22 t txx
Ct 2a r c ta n21
,2t a na r c t a n21 Cx
例 16
解
,t a n2 d 2 xx计算
,1 dd,t a n 2 故则令 ttxxt
)1)(2( dta n2 d 222 tt txx
d2111 22 ttt
2a r c t a n21a r c t a n Ctt
,2ta na r c t a n21 Cxx
例 17
解
,) 0,0 ( c o ss i n d 为常数计算 baxbxa x
c o ss in c o ss in 222222 xba bxba abaxbxa
,)s in (22 xba
,s in,c o s,2222 ba bba a其中
)s in ( d1c o ss in d 22?x xbaxbxa x
d)c s c (1 22 xxba?
,|)c o t()c s c (|ln1 22 Cxxba ＋
利用恒等变换例 18
解
,dc o s1 s i n1 xxx计算
d)c o s1)(c o s1( )c o s1)(s in1(dc o s1 s in1 xxx xxxxx
xx xxxx ds i n c o ss i ns i nc o s1 2
xxxxxxx d) s inc o sc s cs inc o sc s c ( 22
|s in|ln|c o tc s c|lns in 1c o t Cxxxxx
,s i n |c o s1|lns i nc o s1 2 Cx xx x
也没有用变量代换
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第二十五讲 不定积分及其计算（续）
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中第五章 一元函数的积分本章学习要求：
熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式,
熟悉不定积分基本运算公式,熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法,掌握简单的有理函数积分的部分分式法,
了解利用建立递推关系式求积分的方法,
理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系,
熟悉牛顿 — 莱布尼兹公式,
理解广义积分的概念,掌握判别广义积分收敛的比较判别法,
能熟练运用牛顿 — 莱布尼兹公式计算广义积分。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
二,不定积分的计算利用不定积分的性质换元法 ( 第一、第二 )
分部积分法部分分式法
3,不定积分的分部积分法
,种方法积分时应用较广泛的一分部积分法是计算不定
,导公式相对应该方法与函数的乘积求
,)( ),( 则有上可微在区间设函数 Ixvxu
,)()()()())()(( xvxuxvxuxvxu
,)()( )()( 对上式两的原函数存在与如果函数 xvxuxvxu
,便得到积分边关于 x
,d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu
,分部积分公式该公式称为不定积分的定理
)()(,)(,)( xvxuIxvxu?若函数上可微在区间设函数
,则上的原函数存在在区间 I
,d)()()()(d)()( xxvxuxvxuxxvxu
,分部积分公式该公式称为不定积分的
,
函数的积分计算一个数的积分计算转化为另分部积分公式将一个函一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑运用分部积分法进行计算,
幂函数与三角函数 (或反三角函数 ) 之积,
指数函数与三角函数 (或反三角函数 ) 之积,
幂函数与指数函数之积,
指数函数与对数函数之积,
一个函数难于用其它方法积分,
两个函数的乘积,
例 1
解
,ds in? xxx计算
xxu?)(
1)( xu
xxv sin)(
xxv c os)(
xxxxxxx d)c o s()c o s(ds in
xxxx dc o sc o s
,s i nc o s Cxxx
例 2
解
,s i n dc o s 3? x xxx计算
x
1
x
x
3sin
cos
x2sin2
1?
xxxxx xxx 223 s in2 d21s in2s in dc o s
,c o t21c s c2 2 Cxxx
333 ds i n )d ( s i ns i n dc o s u uxxx xx
,s i n2 121 22 CxCu
) sin ( xu?
例 3
解
,da r c c o s? xx计算
x
1xarccos
21
1
x?
1 da r c c o sda r c c o s 2 xxxxxxx
,1 a rc c o s 2 Cxxx
例 4
解
,ds in 2? xxx计算
xcos?
xsin2x
x2
xxxxxxxx dc o s2c o sds in 22
xsin
xcosx
1
)ds ins in(2c o s2 xxxxxx
,c o s2s i n2c o s2 Cxxxxx
,
,,,
用分部积分法可以连续使只要条件允许与换元法一样该例说明例 5
解
xsin
xcosxe
xe
,dc o s? xxe x计算
ds ins indc o s xxexexxe xxx
xcos?
xsinxe
xe
)dc o sc o s(s in xxexexe xxx
dc o sc o ss in xxexexe xxx
,)c o s( s i n21dc o s Cxxexxe xx故
,,,可能会出现下列关系式在运用分部积分法时该例显示
,) 1 ( d)()(d)( axxfaxxxf?
,,便可得出后任意常数经移项并在等式右端加此时 C
所求的不定积分
,)(1 1d)( Cxaxxf
例 6
解
x
122 ax?
22 ax
x
,d 22 xaxI计算
dd 2222222 ax xxaxxxaxI
d)( 22
222
22?
ax
xaaxaxx
dd 2222222 ax xaxaxaxx
||ln 22222 axxaIaxx
,||ln221d 2222222 CaxxaaxxxaxI故例 7
解
,,d)( ln Znxx n计算
x
1nx)(ln
xxn
n 1)(ln 1?
,d)( ln 则记 xxI nn
d)( ln)( lnd)( ln 1 xxnxxxxI nnnn
,)( ln 1 nn Inxx
,,得到一个递推关系式于是
,)( ln 1 nnn InxxI
利用递推关系式可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分,
,d)( l n,33 xxI求例如
,3)( ln 233 IxxI
,2)( ln 122 IxxI
,ln 01 IxxI
,dd)( ln 00 CxxxxI
)(ln1 CxxxI
))(ln(2)( ln 22 CxxxxxI
,6ln6)( ln3)( ln 233 CxxxxxxxI故例 8
解
xcos?
xsinxn 1sin?
xxn n c o ss in)1( 2,ds in? xxn计算
,ds in 则记 xxI nn
xxxxxI nnn ds ins inds in 1
dc o ss in)1(c o ss in 221 xxxnxx nn
ds in)1(ds in)1(c o ss in 21 xxnxxnxx nnn
xx 22 s i n1c o s
nnn InInxx )1( )1(c o ss in 21
,1c o ss i n1 21 nnn InnxxnI故,d0 CxxI
如果需要，条件又允许，则不定积分的换元法、分部积分法等可以混合起来使用。
例 9
解
,1 d x
x
e
xxe计算
1d2d )1l n ( 1 22,故，，则令 u uuxuxeu x
uu
u
u
uuuu
e
xxe
x
x
d)1(ln 21
d2)1()1ln (
1
d 22
22
,d)]1ln ()1[ ln ( 2 uuu
1d)1l n (d)1l n ( u uuuuuu
uuuuu d1 1)1()1l n (
,|1|ln)1l n ( 1Cuuuu
类似地，有
|1|ln)1ln (d)1ln ( 2,Cuuuuuu
Cuuuuue xxe xx |1| |1|ln24)1l n (2 1 d 2故
,11 11 ln21 )2(2 Ceeex x
x
x?
例 10
解
,d1a r c ta n 22 xx xx计算
d1 a r c ta n)11( d1a r c ta n 2222 xx xxxx xx
d1a r c t a nda r c t a n 2 xx xxx
)d ( a r c ta na r c t a n1 da r c t a n 2 xxxxxxx
x
1xarctan
21
1
x?
,a r c ta n21)1l n (21a r c ta n 22 Cxxxx
4,不定积分的部分分式法众所周知，有些函数虽然在某区间上连续，
可以积分，但由于它的原函数不能表示为初等函数的形式（即初等函数的原函数不一定是初等函数），这时我们称该函数可积，但积不出,
,ds i n,d,ds i n 22 等例如, xxxexx x x
下面介绍原函数可以表示为初等函数的三类常用函数的积分法 —— 部分分式法,
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xPxR
)c o s,( s i n xxR
),( 2 cbxaxxR
换元法部分分式法
(1) 有理函数的积分法 —— 部分分式法式的商构成的函数：有理函数是由两个多项
)( 为有理真分式；时，称当 xRmn?
,)( 为有理假分式时，称当 xRmn?
)(
)()(
1
1
10
1
1
10
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xPxR
为一个多项式与一个运用除法可将假分式化
,有理真分式的和的形式我们只需讨论有理真分式的积分方法,
由高等代数知识，任何一个有理真分式均可化为下列四类简单分式之和的形式：
,)(,,)(,22 kk qpxx BAxqpxx BAxax Bax A
,04 2 qpRqpaBAZk,且，，，，，常数其中，
高等代数有关定理简介
，则，，若 0)()()()(,1 11 aQZkxQaxxQ k
,)( )( )()( )( )(
1
11
1
1
xQ
xP
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
k
k
k
k?
,)( )(
1
1 为有理真分式其中，
xQ
xP
，则，且，若 04 )()()(,2 222 qpZkxQqpxxxQ k
,)( )( )()( )( )(
2
2
2
11
12
11
2 xQ
xP
qpxx
BxA
qpxx
BxA
qpxx
BxA
xQ
xP
k
kk
k
kk?
,)( )(
2
2 为有理真分式其中，
xQ
xP 有理真分式可以分解为部分分式例 11
解
,2422 1322)( 2345 2 写成部分分式形式将 xxxxx xxxR
)1)(2(2422 222345,故令因为 xxxxxxx
)1)(2(
1322
2422
1322
22
2
2345
2
xx
xx
xxxxx
xx
1)1(2 222?
x
EDx
x
CBx
x
A
通分、比较分子的系数
2342 )22()2()(1322 xEDABxDExDAxx
)22()22( ECAxEDBC
得到代数方程组
0 DA
02 DE
222 EDAB
222 EDBC
1322 ECA
,2,1,4,3,1 故＝解方程组得, EDCBA
,12)1( 4321 2422 1322 2222345
2
x
x
x
x
xxxxxx
xx
例 12
解
,d43 1 23 2 xxx x计算
)1()2(43 223,得由 xxxx
,2)2(143 1 223
2
x
C
x
B
x
A
xx
x
通分，比较系数，得
,)1)(2()1()2(1 22 xxCxBxAx; 92,1 Ax 得令 ; 35,2 Bx 得令
,97,0 Cx 得令
xxxxxxx x d2197)2( 1351192d43 1 223
2
故
,|2|ln97)2( 3 5|1|ln92 Cxxx
(2) 三角函数有理式的积分法 —— 半角代换
,2t a n 积分转化为相应的可将三角函数有理式的令 xt?
有理函数的积分计算：
,1 d2) 11,1 2 (d)c o s,( s in 2222 ttttttRxxxR
,
1
2
2
ta n1
2
ta n2
2
s e c
2
ta n2
2
c o s
2
ta n2
2
c o s
2
s in2s in 2
22
2
t
t
x
x
x
x
xxxx
x
,
1
1
2
ta n1
2
ta n1
2
c o s)
2
ta n1(
2
s in
2
c o sc o s 2
2
2
2
2222
t
t
x
x
xxxx
x
xd
它将代换”常常被人们称为“万能代换,2ta n xt?
而转化为有理函数积分,d)( d)c o s,( s in ttRxxxR
最差的情况也可用部解决了的有理函数的积分是彻底 (
换”能够彻底解决从而可以认为“万能代分分式法,)
,,法但它不一定是最好的方计算三角函数有理式的积分请记住：
2t a n 时：xt?
21
2s in
t
tx
2
2
1
1c o s
t
tx
21
d2d
t
tx
例 13
解
,s i n45 d xx计算
,1 d2d,1 2s in,2t a n 22 故则令 ttxttxxt
5 8 5 d2 s i n45 d 2 tt txx ) 5 8 5 ( 5 d 012 tt t
22 3d2 u u4 5 tu
Cu 3a rc t a n32
,3 4 2 ta n 3 5 a r c ta n 3 2 Cx
例 14
解
,dc o s2 s i n2 xxx计算
dc o s2 s i nc o s2 d2dc o s2 s i n2 xxxxxxxx
,)c o s2ln (c o s2 )c o s2( ddc o s2 s in 2Cxx xxxx
,1 d 2d,11c o s,2ta n 222 故则令 t txttxxt
3d 4c o s2 d2 2t txx 3a r c ta n34 1Ct
2ta n31a r c ta n34 1Cx
,)c o s2ln (2ta n31a r c ta n34dc o s2 s in2 Cxxxxx从而其它三角函数有理式的积分计算
,)c o s,(s i n)c o s,s i n( )1( xxRxxR若
,,t an 此时则可令 xt?
,1 dd,1 1c o s,1s in 22222 ttxtxttx
,c o s,)c o s,(s i n)c o s,s i n( )2( xtxxRxxR 则可令若
,s i n,)c o s,( s i n)c o s,( s i n )3( xtxxRxxR 则可令若
)4( 的积分化将一些三角函数有理式运用三角函数恒等式可
,为适宜的积分计算例 15
解
,s i n2 d 2 xx计算
,1 dd,1s in,ta n 2222 故则令 ttxttxxt
2ds i n2 d 22 t txx
Ct 2a r c ta n21
,2t a na r c t a n21 Cx
例 16
解
,t a n2 d 2 xx计算
,1 dd,t a n 2 故则令 ttxxt
)1)(2( dta n2 d 222 tt txx
d2111 22 ttt
2a r c t a n21a r c t a n Ctt
,2ta na r c t a n21 Cxx
例 17
解
,) 0,0 ( c o ss i n d 为常数计算 baxbxa x
c o ss in c o ss in 222222 xba bxba abaxbxa
,)s in (22 xba
,s in,c o s,2222 ba bba a其中
)s in ( d1c o ss in d 22?x xbaxbxa x
d)c s c (1 22 xxba?
,|)c o t()c s c (|ln1 22 Cxxba ＋
利用恒等变换例 18
解
,dc o s1 s i n1 xxx计算
d)c o s1)(c o s1( )c o s1)(s in1(dc o s1 s in1 xxx xxxxx
xx xxxx ds i n c o ss i ns i nc o s1 2
xxxxxxx d) s inc o sc s cs inc o sc s c ( 22
|s in|ln|c o tc s c|lns in 1c o t Cxxxxx
,s i n |c o s1|lns i nc o s1 2 Cx xx x
也没有用变量代换
