高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十二讲 一元微积分的应用 (五 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 平面曲线的曲率第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第 七 节 平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度,而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等,
你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?
O x
y
M
M?
)(xfy?
.)( 1Cxfy设沿曲线运动到点点 M
相应地切线转时,M?
),( 称为转角过角度
,称弧的改变量为 s?
.,具有方向性与其中 s
单位弧长上的转角
︵,的平均曲率为 MM?
一、曲率的概念
sk
sskk ss d
dlimlim
00
,)( 处的曲率在点称为曲线 Mxfy?
,极限的方法又是平均值?
例 1
解求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率,
M M
如图所示,在圆上任取一点 M,则
R
|||| MMs
︵ R
故
ss
0
lim
即圆上点的曲率处处相同：
Rk
1?
半径越小的圆,弯曲得越厉害,
RRs
1lim
0
O
设曲线方程为,)( xfy?,)( 二阶可导xf
则在曲线上点 ),( yxM 处的曲率为
)1(
2
32
y
yk
二、曲率的计算公式
O x
y
M
M?
)( xfy?
证 如图所示,曲线在处切线的斜率为点 M
ta ny
故 y a r c t a n?
x
y
yx d
d
1
1
d
d
2
21 y
y
又 xys d1 d 2
从而 )1( d
d
2
32
y
y
s
k
x
y
y d
1
d 2?
例 2
解
,上任意一点处的曲率求直线 bxay
,0, yay?
0
)1(
2
32?
y
yk
,) ( Rx
直线上任意一点处的曲率均为零,
俗话说,直线不弯曲,
例 3
解
,)0( s i n,c o s 上椭圆 babyax
哪一点曲率最大,哪一点曲率最小,
利用参数方程求导法求出,d
d
d
d
2
2
x
y
x
y 和
,si ndd ax,c o sdd by?
,c o s
d
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ax,sindd 2
2
by
c o tsi nc o sdd ababxy
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2
a
a
b
x
y
32 sin
1
a
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2
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y
yk
2
3)c o ss in( 2222 ba
ab
故
,0
)c o ssin(
c o ssin)(3
d
d
2
32222
22
ba
baabk令得驻点,23,,2,0
,ba?因为 故在各象限中 的符号依次为 dd?k
++
ⅣⅢⅡⅠ
由此可得,
取最大值时当 k,,0 2m a x b
ak?
取最小值时当 k,23,2 2m in abk?
2
3)])(())([(
| )()()()( |
22
yx
xyxyk
则二阶可导若,)(,)(,
)(
)(
yx
yy
xx
,)( )(ddxyxy 32
2
))((
)()()()(
d
d
x
xyxy
x
y
将它们代入曲率计算公式中即可得：
三、参数方程下曲率的计算公式例 4
解
,0) ( 0,4 2 处的曲率在点求抛物线 xy?
,2 xy如果用 会出现导数的分母为零的情形,的图形与但 4 4
2
2 yxxy
相同,
对称,故原问题可以转为求曲线的与而 4 4
22 x
yyx图形关于在 4
2x
y?
,)0,0( 处的曲率点
xy?
,0)41 (
0
2
0
x
x xy
,21) 21 (
0
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x
x xy
在 4
2x
y? 处的曲率为点 )0,0(
2
1
)1(
2
321?
y
yk
处的曲率为在点故 0) ( 0,4 2 xy?,21?k
在有些实际问题中,
,1 ||y若,|| yk则可取现在问你一下,(假设单位是统一的 )
如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为,51
你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？
由此及前面讲的例题 1,你有什么想法？
M?O M?O
,5,51 Rk
M在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径
1?
),( )( yxMxfy 上一点过光滑曲线?作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q,
使
RMQ? ||
),(
2
)1(
1 2
3
yxM
y
y
k
以 Q 为中心,R 为半径所作的圆称为曲线在点
M 处的曲率圆,圆心 Q 称为曲率中心,R 称为曲率半径,) ( 处的曲率为曲线在点 Mk
三、曲率圆、曲率中心曲率圆与曲线在点 M 处相切,且在点 M 处两者曲率相同,
曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一,二阶导数,当讨论曲线在点 M 处与一,二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现,
曲率圆的性质
)(,)( 存在且设曲线方程为 xfxfy
,0)( 0 xf 则曲线在点的坐标为中心 ),(D
处的曲率 ),( 00 yxM
,)1(
2
0 y
yyx
,1
2
0 y
yy
,Mxfyyy 处的导数在点是与式中 )(
曲率中心的坐标证 处的在点设曲线 ),( )( 00 yxMxfy?
,),(,DR 曲率中心为曲率半径为 则曲线在点 ),( 00 处的曲率圆方程为yxM
222 )()( Ryx
,),(,是曲率圆上的点点其中 yx
2
32
2
2 )1(1
y
y
k
R
由于
,),( 00 在曲率圆上又点 yxM故有
2020 )()( yx 2
32 )1(
y
y
,处的法线上位于曲线在点又 MDM 其斜率为
0
0
x
yk
法曲线在点 M 处切线的斜率为,y? 从而,有
0
0
y
xy
(1)
(2)
由 (1),(2) 两式消去 得,0x
2
22
2
0
)1()(
y
yy
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以
,是反号的与 yy 故对上式两边开方得
y
yy
2
0
1?
由 (2) 式,得
y
yyx
)1( 2
0?
画画图更清楚例 5
解处的在点求抛物线 )1,1( 2xy?
曲率半径、曲率中心和曲率圆方程,
,22 11 xx xy,21xy
处的曲率半径为在点 1) ( 1,
)1(
2
32
y
yR
2
125
2
)21( 232
,1,1 00 yx
曲率中心为
y
yyx
)1( 2
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7
2
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曲率圆的方程为
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4
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2
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—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十二讲 一元微积分的应用 (五 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 平面曲线的曲率第六章 一元微积分的应用本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、
判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。
掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。
知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。
掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。
熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、
平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。
能利用定积分定义式计算一些极限。
第六章 一元微积分的应用第 七 节 平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度,而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等,
你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?
O x
y
M
M?
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.)( 1Cxfy设沿曲线运动到点点 M
相应地切线转时,M?
),( 称为转角过角度
,称弧的改变量为 s?
.,具有方向性与其中 s
单位弧长上的转角
︵,的平均曲率为 MM?
一、曲率的概念
sk
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00
,)( 处的曲率在点称为曲线 Mxfy?
,极限的方法又是平均值?
例 1
解求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率,
M M
如图所示,在圆上任取一点 M,则
R
|||| MMs
︵ R
故
ss
0
lim
即圆上点的曲率处处相同：
Rk
1?
半径越小的圆,弯曲得越厉害,
RRs
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设曲线方程为,)( xfy?,)( 二阶可导xf
则在曲线上点 ),( yxM 处的曲率为
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2
32
y
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二、曲率的计算公式
O x
y
M
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,上任意一点处的曲率求直线 bxay
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直线上任意一点处的曲率均为零,
俗话说,直线不弯曲,
例 3
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,)0( s i n,c o s 上椭圆 babyax
哪一点曲率最大,哪一点曲率最小,
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ⅣⅢⅡⅠ
由此可得,
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取最小值时当 k,23,2 2m in abk?
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将它们代入曲率计算公式中即可得：
三、参数方程下曲率的计算公式例 4
解
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2
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相同,
对称,故原问题可以转为求曲线的与而 4 4
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2x
y?
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在有些实际问题中,
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如果告诉你一条曲线在点 M 处的曲率为,51
你能想象出它的弯曲程度吗？
如果告诉你有一个半径为 5 的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？
由此及前面讲的例题 1,你有什么想法？
M?O M?O
,5,51 Rk
M在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径
1?
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以 Q 为中心,R 为半径所作的圆称为曲线在点
M 处的曲率圆,圆心 Q 称为曲率中心,R 称为曲率半径,) ( 处的曲率为曲线在点 Mk
三、曲率圆、曲率中心曲率圆与曲线在点 M 处相切,且在点 M 处两者曲率相同,
曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一,二阶导数,当讨论曲线在点 M 处与一,二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现,
曲率圆的性质
)(,)( 存在且设曲线方程为 xfxfy
,0)( 0 xf 则曲线在点的坐标为中心 ),(D
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曲率中心的坐标证 处的在点设曲线 ),( )( 00 yxMxfy?
,),(,DR 曲率中心为曲率半径为 则曲线在点 ),( 00 处的曲率圆方程为yxM
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32
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,处的法线上位于曲线在点又 MDM 其斜率为
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yk
法曲线在点 M 处切线的斜率为,y? 从而,有
0
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(1)
(2)
由 (1),(2) 两式消去 得,0x
2
22
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由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以
,是反号的与 yy 故对上式两边开方得
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由 (2) 式,得
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画画图更清楚例 5
解处的在点求抛物线 )1,1( 2xy?
曲率半径、曲率中心和曲率圆方程,
,22 11 xx xy,21xy
处的曲率半径为在点 1) ( 1,
)1(
2
32
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2
125
2
)21( 232
,1,1 00 yx
曲率中心为
y
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曲率圆的方程为
,)27,4(?D曲率中心：
4
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