高等院校非数学类本科数学课程
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第五节 二阶常系数线性微分方程
0 yqypy
二阶常系数齐线性方程
)( xfyqypy
二阶常系数非齐线性方程特征方程
02 qp
特征根
,21
2211 yCyCy通解
* y特解
* yyy通解一、二阶常系数齐次线性微分方程形如
) 1 ( 0 yqypy
)( 常数。实为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程,qp,其中得的解，则代入方程后，假设方程有形如 xey
02, xxx eqepe
即 02 。 qp 特征方程二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
)1 21,则实根特征方程有两个不同的
xx eyey 21 21,
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为
2212211 1 。yCeCyCyCy x
二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
)2 21,则实重根特征方程有
) 1 ( 11 的一个解。是方程此时,xey
042, qp
由求根公式 22 422,1,pqpp
02 1p
由刘维尔公式求另一个解：
xeexeeey xpxx
xp
x dd
)(
)2(
2
d
2
11
1
1
02 1p
d 11 。xx exxe
于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为
)( 2121 111 。xCCeexCeCy xxx
二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
3) 特征方程有一对共轭复根,i i 21,则,
)i(2)i(1 21 xxxx eeyeey,
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
)i(2)i(12211 。xx eCeCyCyCy
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式,s i nic o si 。e
)s ini( c o si)i(1,xxeeeey xxxx
)s ini( c o si)i(1 。xxeeeey xxxx
由线性方程解的性质：
c o s)(21 211,xeyyy x
s i n)(i21 212 xeyyy x
均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：
0]s in c o s[ 。,?xexeW xx
故当特征方程有一对共轭复根
i i 21,
时，原方程的通解可表示为
)s inc o s( 21 。xCxCey x
二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy
特征方程 02 。 qp
特 征 根 通 解 形 式
)( 21 实根 xx eCeCy 21 21
)( 21 实重根 )( 211 xCCey x
)( i2,1 共轭复根 )s inc o s( 21 xCxCey x
例解
032 的通解。求方程 yyy
032 2,特征方程
3 1 21,，＝－特征根
321 。所求通解为 xx eCeCy
例解
052 的通解。求方程 yyy
052 2,特征方程
i21 i21 21,，特征根
)2s in2c o s( 21 。所求通解为 xCxCey x
例解
0 d d2 dd 22 满足初始条件的解：求方程 stst s
012 2,特征方程
1 21,特征根
) ( 21 。所求通解为 tCCey t
2 d d 4
0
0 。,
t
t t
ss
2 4 2 d d 4 21
0 0
，，得，由初始条件
CCtss
tt
故所求特解为
) 24( 。tes t
例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为 m
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
O 0 时，的位移为当点 xx?突然放手，开始拉长，
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
O
例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为 m
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
O 0 时，的位移为当点 xx?突然放手，开始拉长，
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
O
0x
x
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
。xkf （ 恢复力与运动方向相反 ）
由牛顿第二定律，得
dd 22 。xkt xm
2,则有移项，并记 mka?
)0( 0 dd 222 。, axat x
它能正确描述我们的问题吗？
0,则有初始条件：?t记拉长后，突然放手的时刻为
00,初始位移 xx t
0 dd
0
。初始速度?
tt
x
我们要找的规律是下列初值问题的解：
0 dd 222, xat x
00,xx t 。 0 dd
0
tt
x
0 dd 222, xat x
00,xx t 。 0 dd
0
tt
x 0 22,特征方程 a?
i 2,1,特征根 a
s i n c o s 21 。所求通解为 taCtaCy
0100 ；，得由 xCxx t
0 0) c os s in( dd 220 21
0
。，得＝由
CaCtaaCtaaCtx t
t
从而，所求运动规律为
) ( c o s0 。,mkataxx
简谐振动二,n 阶常系数齐线性微分方程形如
) 1 ( 01)1(1)( ypypypy nnnn?
)( 常数。实为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，,,1 npp?其中
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
单实根 xCe? 1 项
实重根k )( 121 kkx xCxCCek项一对共轭复根 )s inc o s( 2
21 xCxCe x项
011 1 nnnn ppp
i 2,1
重复根一对共轭 k
i 2,1
2 项k
c o s)[( 121 xxCxCCe kkx
]s in)( 121 xxDxDD kk
特 征 根 通 解 中 的 对 应 项例解
0dd3dd3dd 2233 的通解。求方程 xxyx yx y
0133 23,特征方程
1 321,特征根
) ( 2321 。所求通解为 xCxCCey x
例解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程
)0( 0dd 444 。,x
试求此方程的通解。
0 44,特征方程
i)1 (2 i)1 (2 432,1,－，特征根,
所求通解为 )
2s in2c o s( 21
2 xCxCey x
) 2s in2c o s( 432 。xCxCe x
2)( 2222244
三、二阶常系数非齐线性微分方程形如
)2( )( xfyqypy
)( 常数。实为的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程,qp,其中它对应的齐方程为
) 1 ( 0 。 yqypy
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下,(2) 的特解。
常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：
,常微分方程讲义,
王柔怀 伍卓群 编人民教育出版社
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy )()(,1 的情形xPexf nx
)( 1110 。其中 nnnnn axaxaxaxP
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
0 2 ；特征方程 qp
21 。，特征根单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？
假设方程
)2( )( xPeyqypy nx
有下列形式的特解,)(,xuey x 则
,ueuey xx
22,ueueuey xxx
代入方程 (2),得
)(])()2([ 2,xPeuqpupue nxx
即
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n
)1( 不是特征根，则若?
02, qp
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
)()( 1110,nnnnn bxbxbxbxQxu
)2( )()( 的特征根时，不是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 。xQey nx
)( xuey x
)2( 是单特征根，则若?
02, qp
由多项式求导的特点可知，应有
)()()( 1110,nnnnn bxbxbxbxxQxxu
)2( )()( 的单特征根时，是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 。xQexy nx
)3( 02 2 为。此时，方程，即而 pp
)()2( 。xPupu n
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n )( xuey
x
)3( 是二重特征根，则若?
02, qp
由多项式求导的特点可知，应有
)()()( 111022,nnnnn bxbxbxbxxQxxu
)2( )()( 的二重特征根时，是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 2 。xQexy nx
)3( 0 2 2 为。此时，方程＝，即＝且 pp
)( 。xPu n
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n )( xuey
x
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程
)2( )( xfyqypy
)()( 时，的右端为 xPexf nx它有下列形式的特解：
)(*,xPexy nxk
其中,0 ；＝不是特征根时，取当 k?
1 ；＝是单特征根时，取当 k?
2 。＝是二重特征根时，取当 k?
,。可以为复数注意?
例解
2 。的通解求方程 xxyy
) )()(( 2 0 )( 2 xPexfnxxxf nx 。，，
对应的齐方程的特征方程为 012,
特征根为 i2,1 。
对应的齐方程的通解为
s i nco s 21 。xCxCy
0,原方程有特解＝不是特征根，故取由于 k?
* 2120,bxbxby
将它代入原方程，得
2 221200,xxbxbxbb
比较两边同类项的系数，得
10,?b
11,?b
02 20, bb
10,?b
11,?b
2 2,b
故原方程有一特解为
2* 2 。 xxy
综上所述，原方程的通解为
2s inc o s* 221 。 xxxCxCyyy
例解
32 。的通解求方程 xeyyy
) )()(( 0 1 )( xPexfnexf nxx 。，，
对应的齐方程的特征方程为 0322,
特征根为 1 3 21 。,
对应的齐方程的通解为
231 。xx eCeCy
1,原方程有特解＝是单特征根，故取由于 k?
* 0,bexy x
将它代入原方程，得
]3)1(2)2([ 000,xx eexbxbxb
请同学们自己算上式即
14 0, b 410,b
故原方程有一特解为
41* 。xexy
综上所述，原方程的通解为
41* 231 。xxx exeCeCyyy
例解
1332 。的通解求方程 xeyyy x
1332 xeyyy x
32 xeyyy
1332 xyyy
41*1 xexy
3
1*
2 xy对应的齐方程的通解为
231 。xx eCeCy
综上所述，原方程的通解为
3141* 231 。 xexeCeCyyy xxx
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy s in)()(
c o s)()(,2
的情形
、
xxPexf
xxPexf
n
x
n
x
)( 1110 。其中 nnnnn axaxaxaxP
你有什么想法没有？
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy s in)()(
c o s)()(,2
的情形
、
xxPexf
xxPexf
n
x
n
x
欧拉公式,s i nic o si 。e
性质 4 是方程若 )(i)(* 21 xyxyy
)(i)()()( 21 xfxfyxqyxpy
)()()( 1 xfyxqyxpy
的一个特解。
)( 1 是方程的一个特解，则 xy
)( 2 是方程的一个特解； xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
*Re 1yy?实部
*mI 2yy?虚部
c o s)( xxPeyqypy nx
s in)( xxPeyqypy nx
)( )i( xPeyqypy nx
)(* )i( xQexy nxk
*Re*1 yy?
*Im*2 yy
i 不是特征根，
0 ；取?k
i 是特征根，
1 ；取?k
例解
c o s 的一个特解。求方程 xyy
01 2,特征方程
i 2,1,＝特征根
i 的特解：首先求方程 xeyy
1 0 i,且有，故取是特征根，由于 kn?
* i0,xexby?
代入上述方程，得 2i ]i2[ 0ii000,，即有 beexbxbb xx
从而，原方程有一特解为
s i n21)c o sis i n(21 Re 。xxxxxx
)2i( Re*Re* i1 xexyy
例解
s i n 的一个特解。求方程 xxyy
01 2,特征方程
i 2,1,＝特征根
i 的特解：首先求方程 xexyy
1 1 i,且有，故取是特征根，由于 kn?
)(* i10,xebxbxy
代入上述方程，得
i22i4 100,xbbxb
比较系数，得
1i4 0,?b
0i10, bb
41 4i 10,, bb
从而，原方程有一特解为
)]c o ss i n()c o ss i n[(41 Im 22 xxxxxxxx
xexyy i
2 )4
1
4
i( Im*Im*
故
)414i()(* ii10,xx exxebxbxy
)c o ss i n(41 2 。xxxx
例解
s i nc o s 的一个特解。求方程 xxxyy
由上面两个例题立即可得
)c o ss in(41s in21*** 221 xxxxxxyyy
c o s41s in43 2 。xxxx
例解
s in2 )4( 的通解。求方程 xyyy
012 24,特征方程
)( i i 4,32,1 二重共轭复根，，特征根
对应的齐次方程的通解为
s i n)(co s)( 2121 。xxDDxxCCy
2 i)4( 有特解由于方程 xeyyy
) 2 ( * i20 。二重根，取, kexby x
将它代入此方程中，得 810,故b
81* i2,xexy
从而，原方程有一特解为 s i n81*Im* 21,xxyy
故原方程的通解为
s i n81s i n)(c o s)( 22121 。xxxxDDxxCCy
我想，
你一定会做这种推广工作。
四、欧拉方程形如
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 ),,2,1 ( 为常数。nip i
tex?令关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号,
d
d
k
kk
t
yyD?
k
kk
tD d
d? ),2,1 ( 。?k
,则有令 tex?
dd1dddddd,tyxxttyxyy
dddd1dd 2
2
22
2
，?
t
y
t
y
xx
yy
dd2dd3dd1dd 2
2
3
3
33
3
，?
t
y
t
y
t
y
xx
yy
yDyx
yDDyx )1(2
yDDDyx )2)(1(3
由数学归纳法可以证明：
)1()2)(1()( 。ynDDDDyx nn
例解
34 223 的通解。求方程 xyxyxyx
这是三阶欧拉方程，,原方程化为令 tex?
34)1()2)(1( 2,teDyyDDyDDD
作代数运算后，得
322 223,teDyyDyD
即
( 1 ) 3dd3dd2dd 22233,tetyt yt y
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
032 23,特征方程
,3 1 0 321,，特征根方程 (1) 对应的齐方程的通解为
33 21 。tt eCeCCy
2 0 2 3)( 2 特征根，故不是，且，，由于 netf t
teby 20*?
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
)688 ( 2 2000,tt eebbb
从而 21* 21 20 。,teyb
故原欧拉方程的通解为
ttt eeCeCCyyy 2 3
3
21 2
1*
211 23321 。xxCxCC
—— 一元微积分学大 学 数 学 （ 一 ）
第三十讲 一元微积分的应用 (六 )
脚本编写：刘楚中 教案制作：刘楚中
—— 微积分在物理中的应用第七章 常微分方程本章学习要求：
了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念,
了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（ Bernoulli）方程和全微分方程,熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法,
会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程,
知道下列高阶方程的降阶法：
,)()( xfy n? ),,( yxfy ),,( yyfy
了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法,
熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法,
掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法,
第五节 二阶常系数线性微分方程
0 yqypy
二阶常系数齐线性方程
)( xfyqypy
二阶常系数非齐线性方程特征方程
02 qp
特征根
,21
2211 yCyCy通解
* y特解
* yyy通解一、二阶常系数齐次线性微分方程形如
) 1 ( 0 yqypy
)( 常数。实为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程,qp,其中得的解，则代入方程后，假设方程有形如 xey
02, xxx eqepe
即 02 。 qp 特征方程二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
)1 21,则实根特征方程有两个不同的
xx eyey 21 21,
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为
2212211 1 。yCeCyCyCy x
二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
)2 21,则实重根特征方程有
) 1 ( 11 的一个解。是方程此时,xey
042, qp
由求根公式 22 422,1,pqpp
02 1p
由刘维尔公式求另一个解：
xeexeeey xpxx
xp
x dd
)(
)2(
2
d
2
11
1
1
02 1p
d 11 。xx exxe
于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为
)( 2121 111 。xCCeexCeCy xxx
二阶常系数齐线性微分方程
) 1 ( 0 yqypy
的特征方程为
02 。 qp
3) 特征方程有一对共轭复根,i i 21,则,
)i(2)i(1 21 xxxx eeyeey,
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为
)i(2)i(12211 。xx eCeCyCyCy
利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
欧拉公式,s i nic o si 。e
)s ini( c o si)i(1,xxeeeey xxxx
)s ini( c o si)i(1 。xxeeeey xxxx
由线性方程解的性质：
c o s)(21 211,xeyyy x
s i n)(i21 212 xeyyy x
均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：
0]s in c o s[ 。,?xexeW xx
故当特征方程有一对共轭复根
i i 21,
时，原方程的通解可表示为
)s inc o s( 21 。xCxCey x
二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy
特征方程 02 。 qp
特 征 根 通 解 形 式
)( 21 实根 xx eCeCy 21 21
)( 21 实重根 )( 211 xCCey x
)( i2,1 共轭复根 )s inc o s( 21 xCxCey x
例解
032 的通解。求方程 yyy
032 2,特征方程
3 1 21,，＝－特征根
321 。所求通解为 xx eCeCy
例解
052 的通解。求方程 yyy
052 2,特征方程
i21 i21 21,，特征根
)2s in2c o s( 21 。所求通解为 xCxCey x
例解
0 d d2 dd 22 满足初始条件的解：求方程 stst s
012 2,特征方程
1 21,特征根
) ( 21 。所求通解为 tCCey t
2 d d 4
0
0 。,
t
t t
ss
2 4 2 d d 4 21
0 0
，，得，由初始条件
CCtss
tt
故所求特解为
) 24( 。tes t
例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为 m
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
O 0 时，的位移为当点 xx?突然放手，开始拉长，
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
O
例解的弹簧从静止状态用手将悬挂着的质量为 m
此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
O 0 时，的位移为当点 xx?突然放手，开始拉长，
簧运动的规律（设其弹性系数为 k ）。
O
0x
x
取 x 轴如如图所示。
由力学的虎克定理，有
。xkf （ 恢复力与运动方向相反 ）
由牛顿第二定律，得
dd 22 。xkt xm
2,则有移项，并记 mka?
)0( 0 dd 222 。, axat x
它能正确描述我们的问题吗？
0,则有初始条件：?t记拉长后，突然放手的时刻为
00,初始位移 xx t
0 dd
0
。初始速度?
tt
x
我们要找的规律是下列初值问题的解：
0 dd 222, xat x
00,xx t 。 0 dd
0
tt
x
0 dd 222, xat x
00,xx t 。 0 dd
0
tt
x 0 22,特征方程 a?
i 2,1,特征根 a
s i n c o s 21 。所求通解为 taCtaCy
0100 ；，得由 xCxx t
0 0) c os s in( dd 220 21
0
。，得＝由
CaCtaaCtaaCtx t
t
从而，所求运动规律为
) ( c o s0 。,mkataxx
简谐振动二,n 阶常系数齐线性微分方程形如
) 1 ( 01)1(1)( ypypypy nnnn?
)( 常数。实为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，,,1 npp?其中
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
单实根 xCe? 1 项
实重根k )( 121 kkx xCxCCek项一对共轭复根 )s inc o s( 2
21 xCxCe x项
011 1 nnnn ppp
i 2,1
重复根一对共轭 k
i 2,1
2 项k
c o s)[( 121 xxCxCCe kkx
]s in)( 121 xxDxDD kk
特 征 根 通 解 中 的 对 应 项例解
0dd3dd3dd 2233 的通解。求方程 xxyx yx y
0133 23,特征方程
1 321,特征根
) ( 2321 。所求通解为 xCxCCey x
例解在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程
)0( 0dd 444 。,x
试求此方程的通解。
0 44,特征方程
i)1 (2 i)1 (2 432,1,－，特征根,
所求通解为 )
2s in2c o s( 21
2 xCxCey x
) 2s in2c o s( 432 。xCxCe x
2)( 2222244
三、二阶常系数非齐线性微分方程形如
)2( )( xfyqypy
)( 常数。实为的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程,qp,其中它对应的齐方程为
) 1 ( 0 。 yqypy
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下,(2) 的特解。
常系数非齐线性微分方程算子解法参考书：
,常微分方程讲义,
王柔怀 伍卓群 编人民教育出版社
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy )()(,1 的情形xPexf nx
)( 1110 。其中 nnnnn axaxaxaxP
方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
0 2 ；特征方程 qp
21 。，特征根单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？
假设方程
)2( )( xPeyqypy nx
有下列形式的特解,)(,xuey x 则
,ueuey xx
22,ueueuey xxx
代入方程 (2),得
)(])()2([ 2,xPeuqpupue nxx
即
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n
)1( 不是特征根，则若?
02, qp
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
)()( 1110,nnnnn bxbxbxbxQxu
)2( )()( 的特征根时，不是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 。xQey nx
)( xuey x
)2( 是单特征根，则若?
02, qp
由多项式求导的特点可知，应有
)()()( 1110,nnnnn bxbxbxbxxQxxu
)2( )()( 的单特征根时，是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 。xQexy nx
)3( 02 2 为。此时，方程，即而 pp
)()2( 。xPupu n
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n )( xuey
x
)3( 是二重特征根，则若?
02, qp
由多项式求导的特点可知，应有
)()()( 111022,nnnnn bxbxbxbxxQxxu
)2( )()( 的二重特征根时，是方程中的故当 xPexf nx?
方程 (2) 有下列形式的特解,
)(* 2 。xQexy nx
)3( 0 2 2 为。此时，方程＝，即＝且 pp
)( 。xPu n
)2( )( xPeyqypy nx
)3( )()()2( 2 。xPuqpupu n )( xuey
x
定理 1 当二阶常系数非齐线性方程
)2( )( xfyqypy
)()( 时，的右端为 xPexf nx它有下列形式的特解：
)(*,xPexy nxk
其中,0 ；＝不是特征根时，取当 k?
1 ；＝是单特征根时，取当 k?
2 。＝是二重特征根时，取当 k?
,。可以为复数注意?
例解
2 。的通解求方程 xxyy
) )()(( 2 0 )( 2 xPexfnxxxf nx 。，，
对应的齐方程的特征方程为 012,
特征根为 i2,1 。
对应的齐方程的通解为
s i nco s 21 。xCxCy
0,原方程有特解＝不是特征根，故取由于 k?
* 2120,bxbxby
将它代入原方程，得
2 221200,xxbxbxbb
比较两边同类项的系数，得
10,?b
11,?b
02 20, bb
10,?b
11,?b
2 2,b
故原方程有一特解为
2* 2 。 xxy
综上所述，原方程的通解为
2s inc o s* 221 。 xxxCxCyyy
例解
32 。的通解求方程 xeyyy
) )()(( 0 1 )( xPexfnexf nxx 。，，
对应的齐方程的特征方程为 0322,
特征根为 1 3 21 。,
对应的齐方程的通解为
231 。xx eCeCy
1,原方程有特解＝是单特征根，故取由于 k?
* 0,bexy x
将它代入原方程，得
]3)1(2)2([ 000,xx eexbxbxb
请同学们自己算上式即
14 0, b 410,b
故原方程有一特解为
41* 。xexy
综上所述，原方程的通解为
41* 231 。xxx exeCeCyyy
例解
1332 。的通解求方程 xeyyy x
1332 xeyyy x
32 xeyyy
1332 xyyy
41*1 xexy
3
1*
2 xy对应的齐方程的通解为
231 。xx eCeCy
综上所述，原方程的通解为
3141* 231 。 xexeCeCyyy xxx
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy s in)()(
c o s)()(,2
的情形
、
xxPexf
xxPexf
n
x
n
x
)( 1110 。其中 nnnnn axaxaxaxP
你有什么想法没有？
)2( )( xfyqypy
)1( 0 。 yqypy s in)()(
c o s)()(,2
的情形
、
xxPexf
xxPexf
n
x
n
x
欧拉公式,s i nic o si 。e
性质 4 是方程若 )(i)(* 21 xyxyy
)(i)()()( 21 xfxfyxqyxpy
)()()( 1 xfyxqyxpy
的一个特解。
)( 1 是方程的一个特解，则 xy
)( 2 是方程的一个特解； xy
)()()( 2 xfyxqyxpy
*Re 1yy?实部
*mI 2yy?虚部
c o s)( xxPeyqypy nx
s in)( xxPeyqypy nx
)( )i( xPeyqypy nx
)(* )i( xQexy nxk
*Re*1 yy?
*Im*2 yy
i 不是特征根，
0 ；取?k
i 是特征根，
1 ；取?k
例解
c o s 的一个特解。求方程 xyy
01 2,特征方程
i 2,1,＝特征根
i 的特解：首先求方程 xeyy
1 0 i,且有，故取是特征根，由于 kn?
* i0,xexby?
代入上述方程，得 2i ]i2[ 0ii000,，即有 beexbxbb xx
从而，原方程有一特解为
s i n21)c o sis i n(21 Re 。xxxxxx
)2i( Re*Re* i1 xexyy
例解
s i n 的一个特解。求方程 xxyy
01 2,特征方程
i 2,1,＝特征根
i 的特解：首先求方程 xexyy
1 1 i,且有，故取是特征根，由于 kn?
)(* i10,xebxbxy
代入上述方程，得
i22i4 100,xbbxb
比较系数，得
1i4 0,?b
0i10, bb
41 4i 10,, bb
从而，原方程有一特解为
)]c o ss i n()c o ss i n[(41 Im 22 xxxxxxxx
xexyy i
2 )4
1
4
i( Im*Im*
故
)414i()(* ii10,xx exxebxbxy
)c o ss i n(41 2 。xxxx
例解
s i nc o s 的一个特解。求方程 xxxyy
由上面两个例题立即可得
)c o ss in(41s in21*** 221 xxxxxxyyy
c o s41s in43 2 。xxxx
例解
s in2 )4( 的通解。求方程 xyyy
012 24,特征方程
)( i i 4,32,1 二重共轭复根，，特征根
对应的齐次方程的通解为
s i n)(co s)( 2121 。xxDDxxCCy
2 i)4( 有特解由于方程 xeyyy
) 2 ( * i20 。二重根，取, kexby x
将它代入此方程中，得 810,故b
81* i2,xexy
从而，原方程有一特解为 s i n81*Im* 21,xxyy
故原方程的通解为
s i n81s i n)(c o s)( 22121 。xxxxDDxxCCy
我想，
你一定会做这种推广工作。
四、欧拉方程形如
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn
的方程，称为 n 阶欧拉方程，其中 ),,2,1 ( 为常数。nip i
tex?令关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
引入算子记号,
d
d
k
kk
t
yyD?
k
kk
tD d
d? ),2,1 ( 。?k
,则有令 tex?
dd1dddddd,tyxxttyxyy
dddd1dd 2
2
22
2
，?
t
y
t
y
xx
yy
dd2dd3dd1dd 2
2
3
3
33
3
，?
t
y
t
y
t
y
xx
yy
yDyx
yDDyx )1(2
yDDDyx )2)(1(3
由数学归纳法可以证明：
)1()2)(1()( 。ynDDDDyx nn
例解
34 223 的通解。求方程 xyxyxyx
这是三阶欧拉方程，,原方程化为令 tex?
34)1()2)(1( 2,teDyyDDyDDD
作代数运算后，得
322 223,teDyyDyD
即
( 1 ) 3dd3dd2dd 22233,tetyt yt y
这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且
032 23,特征方程
,3 1 0 321,，特征根方程 (1) 对应的齐方程的通解为
33 21 。tt eCeCCy
2 0 2 3)( 2 特征根，故不是，且，，由于 netf t
teby 20*?
为方程 (1) 特解形式，代入方程 (1) 中，得
)688 ( 2 2000,tt eebbb
从而 21* 21 20 。,teyb
故原欧拉方程的通解为
ttt eeCeCCyyy 2 3
3
21 2
1*
211 23321 。xxCxCC
